Расчет температурной зависимости поверхностной энергии металлических нанокластеров в широком диапазоне их радиусов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536

Расчет температурной зависимости поверхностной энергии металлических нанокластеров в широком диапазоне их радиусов

И.Ф. Головнев, Е.И. Головнева

Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

В работе проведено исследование влияние радиуса наноразмерных сфер серебра и температуры на полную потенциальную энергию системы, энергию атомов поверхности и объема, а также энергию связи между ними. Разработан подход для расчета поверхностной энергии сферических наноразмерных кластеров. В качестве объекта исследования использованы серебряные наносферы радиусом от 2 до 8 нм. Работа выполнена с помощью метода молекулярной динамики. Для описания взаимодействия атомов Ag между собой применен потенциал, полученный по методу внедренного атома.

Ключевые слова: металлы, поверхностная энергия, нанокластер, метод молекулярной динамики, влияние температуры, влияние размера, диффузия

DOI 10.24411/1683-805X-2019-15005

Calculation of the temperature dependence of the surface energy of metal nanoclusters in a wide range of their radii

I.F. Golovnev and E.I. Golovneva

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia

This study explores the influence of the radius of silver nanospheres and temperature on the total potential energy of the system and its components such as the energy of surface and bulk atoms, and their binding energy. An approach is developed for calculating the surface energy of spherical nanoclusters. The investigation is performed for silver nanospheres with a radius of 2 to 8 nm by molecular dynamics simulations. The interaction of Ag atoms with each other is described using an embedded atom potential.

Keywords: metals, surface energy, nanocluster, molecular dynamics method, temperature effect, size effect, diffusion

1. Введение

Научное обоснование оптимальных технологических условий плавления и кристаллизации металлов для получения наноразмерных сплавов с заранее заданными свойствами представляет важную фундаментальную задачу. Актуальность данной темы обусловлена потребностями современной микро-, наноэлектронной промышленности, металлургии, авиастроения, где существует необходимость разработки технологических условий для получения сплавов и сварных швов с заранее заданными свойствами [1-4]. Большой интерес вызывает молекулярно-динамическое моделирование явлений в твердых телах при их нагреве, формирования сплавов на атомном уровне [5-9].

Первой наиболее значительной работой в этом направлении является [6]. В этой работе авторы не проводят численных расчетов формирования сплавов, они изучают термодинамические свойства стекол на основе заданных изначально при моделировании сплавов Cu-Ag и Си-№. В [7] с теми же целями исследовался сплав Си4^г54. В работе [8] Pd-Ni охлаждали с разными скоростями для получения металлических стекол, а в [9] рассмотрено образование металлических стекол из различных сочетаний материалов Си^г-Ть В этих работах исходным состоянием является некоторый определенный сплав.

Однако к настоящему моменту отсутствует кинетическая теория процессов в конденсированной и жидкой

© Головнев И.Ф., Головнева Е.И., 2019

фазе, аналогичная теории Больцмана или Боголюбова для газов. Модели, основанные на континуальной теории, не дают и не могут дать информацию о микроскопических физических процессах, происходящих при плавлении и кристаллизации вещества. Дорогостоящие экспериментальные исследования также связаны со значительными трудностями, вызванными, во-первых, высокой интенсивностью рассматриваемых процессов и, во-вторых, масштабами явления как во времени, так и в пространстве.

Все вышеприведенные причины и обусловили необходимость применения метода молекулярной динамики для построения физико-математической модели явления фазового перехода «жидкость - твердое тело».

Ранее в работах авторами данной статьи было проведено исследование влияния радиуса наноразмерных медных сфер на поверхностное натяжение, давление Лапласа, коэффициент поверхностного натяжения, коэффициент теплового расширения [10-13], влияние примесей на термодинамику наноразмерных образцов исследовано в работе [14]. Все эти исследования были выполнены для сферического наноразмерного кластера меди в заданном диапазоне радиусов и температур.

Данная статья является продолжением работы [15], в которой предложена методика расчета ряда термодинамических параметров, получена их зависимость от радиуса наноразмерного кластера серебра.

Явления на поверхности, границе раздела зерен [16, 17] представляют большой интерес как в прикладном значении, так и на фундаментальном уровне. Это нашло отражение в данной статье: акцент сделан на выделении атомов поверхности и атомов объема в отдельные подсистемы и построении зависимостей термодинамических характеристик от радиуса кластера и температуры отдельно для каждой из подсистем.

Это позволит в дальнейшем провести исследование процесса плавления сферических гетероструктур с различным сочетанием свойств металлов.

2. Физическая система и метод расчета

В качестве объекта исследования использована сфера серебра, радиус которой варьировался от 2 до 8 нм. Была выбрана ГЦК-решетка, идеальная кристаллическая структура. Для моделирования межатомного взаимодействия использован потенциал, полученный по методу внедренного атома [18]. Для всех расчетов в представленной статье используется скоростная модификация Верле [19], шаг по времени составляет т = = 10-16 с.

Для всех атомов определялось число соседей в первой координационной сфере. Если оно равнялось 12, то атому присваивался признак атома объема. В случае если оно было меньше, атому присваивался признак поверхностного атома. И на основе этого признака во

всех расчетах были выделены две подсистемы: атомы объема, поверхностные атомы.

2.1. Охлаждение системы

Для подготовки системы, приведения ее к стационарному равновесному состоянию использовался метод искусственной вязкости [20]. Далее найденные значения координат и импульсов использовались в качестве начальных данных для разогрева системы до нужной температуры и проведения всех необходимых расчетов.

Например, для кластера радиусом 4 нм к моменту времени 15 пс формируется равновесное состояние системы при температуре 0.006 K. Температура в конце прогрева к моменту времени 45 пс устанавливается равной 10-9 K.

Для более детального анализа процессов в кластере проводился расчет следующих составляющих полной потенциальной энергии U tot:

- энергии подсистемы атомов объема Uv при заданных положениях атомов для полной системы, при условии фиктивного отсутствия поверхностных атомов;

- энергии подсистемы поверхностных атомов Usa при тех же самых условиях, но при отсутствии подсистемы объемных атомов кластера;

- энергии связи поверхностных и объемных атомов

Ub из условия Utot = Uv + Usa + Ub;

- энергии поверхности, или поверхностной энергии Us, включающей в себя энергию подсистемы поверхностных атомов Usa и энергию связи Us = Usa + Ub.

На рис. 1, 2 представлены изменения этих составляющих потенциальной энергии в процессе охлаждения, которые рассчитывались относительно их значений в начальный момент времени, при котором кристаллическая решетка в кластере обладает идеальной ГЦК-структурой: AUt = Ut (t) - Ut (0), i = tot, v, sa, b, s.

В процессе охлаждения полная энергия, энергия атомов объема и энергия поверхностных атомов зани-

AU, Ю-21 Дж 4000 0

-4000

-8000

-12000

-16000

-20000

0 10 20 30 40 1, пс

Рис. 1. Изменение полной потенциальной энергии AUtot (1), энергии атомов объема AUv (2) и поверхностных атомов AUsa (3) со временем. Радиус кластера 4 нм

Ди, 10-21 Дж 200001500010 000 5000 04

Z, нм

-5000" -10000-

0

10

20

30

40 t, пс

Рис. 2. Изменение поверхностной энергии Ди5 (1), энергии связи объемных и поверхностных атомов Диь (2) со временем. Радиус кластера 4 нм

мают более глубокий потенциальный минимум (рис. 1). Из них наименьшее изменение наблюдается для энергии атомов объема ич, а наибольшее изменение претерпевает энергия поверхностных атомов Ц,а.

При этом поверхностная энергия и8 также опускается на более глубокий потенциальный уровень, а энергия связи иь значительно возрастает, немного отличаясь по абсолютной величине от изменения энергии поверхностных атомов иа (рис. 2).

После окончания процедуры охлаждения системы проверялось, произошло ли перемешивание атомов объема с поверхностными атомами. Для этого проводилось сравнение количества ближайших соседей каждого атома из подсистем с этим параметром в начальный момент времени (до начала процесса охлаждения). Оказалось, что процедура охлаждения не вызвала взаимную диффузию поверхностных и объемных атомов. На рис. 3 показаны лишь поверхностные атомы (остальные удалены для лучшей визуализации) до и после процедуры охлаждения. Видно, что их расположение совпало с большой точностью, что подтверждает сделанный вывод об отсутствии перемешивания поверхностных атомов и атомов объема в процессе охлаждения системы.

2.2. Разогрев системы

После того как система приходила в стационарное охлажденное состояние, начинался ее разогрев с помощью метода стохастических импульсов [21]. Во время процедуры разогрева проводился расчет всех необходимых энергий системы. Для дальнейшего анализа удобнее использовать зависимость энергий от температуры, а не от числа шагов по времени. На рис. 4 показаны зависимости потенциальной энергии взаимодействия атомов кластера и хаотической составляющей их кинетической энергии от температуры кластера.

-4 -2 0 2 X, нм

Рис. 3. Расположение поверхностных атомов сферы с идеальной ГЦК-структурой (серые кружки), после охлаждения (черные точки). Радиус сферы 4 нм

Отсчет изменения этих составляющих энергии проводился от охлажденного состояния системы.

Как видно из рис. 4, изменение этих характеристик полностью совпадает до 600 К, что говорит о гармоничности потенциала взаимодействия атомов в этом интервале. При более высокой температуре, примерно до 900 К, отклонение слабое, но функция становится нелинейной (рис. 4, линия 1). В интервале от 1000 К примерно до 1400 К поведение этих характеристик начинает существенно различаться. Это область фазового перехода. Свыше 1400 К зависимость потенциальной энергии от температуры становится линейной, но угол наклона увеличивается. Это область жидкого состояния металла. В настоящей работе проведе-

ДЕ, 10-21 Дж

1 200000

800000-

400000-

Рис. 4. Изменение компонент полной энергии, изменение потенциальной энергии кластера Дим (1), хаотической составляющей кинетической энергии атомов ДЕ^ (2) от температуры кластера. Радиус 4 нм

А^, Ю-21 Дж 1 200000

800000

400000 0

0 400 800 1200 1600 Т, К

Рис. 5. Изменение полной потенциальной энергии кластера АЦМ (1), потенциальной энергии атомов объема АЦу (2), потенциальной энергии поверхностных атомов АЦ^ (3) от температуры. Радиус 4 нм

но исследование характеристик энергии поверхностных атомов в интервале до 900 К.

На рис. 5 представлена зависимость полной потенциальной энергии кластера, энергии атомов объема и поверхностных атомов от температуры кластера. Видно, что поведение этих компонент примерно одинаковое, хотя значение энергии поверхностных атомов значительно отличается по величине. Наиболее важное общее свойство всех этих характеристик — это их линейная зависимость от температуры в интервале от нуля примерно до 900 К.

Принципиально отличается от хода этих характеристик поведение энергии связи Аиь и поверхностной энергии Аи8 (рис. 6). При температуре свыше 1000 К характеристики терпят резкий излом и быстро увеличиваются в области отрицательных значений.

Объяснением такому поведению поверхностной энергии Ц и энергии связи между объемной и поверхностной подсистемами Ць может служить температурная зависимость максимального радиуса области кластера, в которой находятся атомы объема (макси-

А^, 10-21 Дж

400 000

0

-200000-

-600000

0 400 800 1200 1600 Т, К

Рис. 6. Изменение поверхностной энергии АЦ (1) и энергии связи объемных и поверхностных атомов АЦь (2) от температуры. Радиус 4 нм

мальный радиус подсистемы объема), и минимального радиуса области, где находятся атомы поверхности (минимальный радиус подсистемы поверхностных атомов) (рис. 7).

Из рис. 7 видно, что примерно до 900 К оба радиуса линейно возрастают. При превышении этой температуры максимальный радиус объемных атомов начинает резко возрастать. В то же время минимальный радиус поверхностных атомов начинает также резко уменьшаться и достигает отметки в 2.5 нм. Таким образом, такое поведение этих характеристик после 900 К означает, что фазовый переход начинается с сильной взаимной диффузией объемных и поверхностных атомов. Это и вызвало излом на температурной зависимости энергии связи поверхностных и объемных атомов (рис. 6, линия 1) и, как следствие, на температурной зависимости поверхностной энергии (рис. 6, линия 2).

Более того, взаимная диффузия атомов поверхностного слоя и атомов объема привела к тому, что признак поверхностных и объемных атомов перестал работать. Начиная с 900 К нужен другой критерий того, что атом является поверхностным (без процесса диффузии был использован признак, что поверхностным атомом считается атом, имеющий координационное число в ГЦК-структуре меньше 12). Однако вплоть до температуры системы 900 К этот критерий может быть применим с хорошей достоверностью результатов.

Аналогичные результаты получены для всех нано-кластеров с разными радиусами в исследуемом интервале радиусов от 2 до 8 нм, причем с одним и тем же значением пороговой температуры 900 К.

3. Построение линейных аппроксимаций для энергетических характеристик поверхности сферических нанокластеров

На практике при планировании экспериментов полезным оказывается использование аппроксимаций для

R, нм-

4-

3-

20 400 800 1200 1600 Т, К

Рис. 7. Зависимость максимального радиуса подсистемы объема (1 ) и минимального радиуса подсистемы поверхности (2) от температуры

AUtot, 10-21 Дж -6600000

-6 700 000-6 800 000-6900000-1 -7 000 000

800 T, K

Рис. 8. Зависимость полной потенциальной энергии кластера от температуры (1 ) и ее линейная аппроксимация (2). Радиус кластера 4 нм

ßs, 10-21 Дж/K 400

2 4 6 К0, нм

Рис. 9. Зависимость константы Р8 от радиуса кластера R0 с идеальной кристаллической структурой

оценки энергетических характеристик. Именно этой цели посвящен данный раздел.

На основе расчетов с помощью метода молекулярной динамики построен график зависимости полной потенциальной энергии системы и(о( от температуры (рис. 8). Получена линейная аппроксимация зависимости полной энергии от температуры:

и^ = 375.697Т - 6959006.01. Сделаем оценку теплоемкости с учетом того, что иы ~ ~ Екк1, полная энергия системы Е = и(о( + ЕИп = 2 и(о(. Следовательно,

с =дЕ = Э(2и1о1) = ЭЦ121 = дт дт дт

= 2 • 375.697-10-14эрг/К = 750-10-14 эрг/К. (1)

Как известно, теплоемкость кристалла С = 3Ык, следовательно, С/(Nk) = 3. Проверим, выполняется ли это соотношение для данной системы.

Разделим полученное значение теплоемкости (1) на число атомов N = 15683 и на постоянную Больцмана к = 1.38 •Ю-16:

_с = 75°-10-14 в 347

Ш 15683 • 1.38 • 10-16 Получаем число близкое к 3, т.е. зависимость полной потенциальной энергии от температуры согласуется с классическим законом Дюлонга и Пти.

Аналогичным образом получены линейные аппроксимации температурных зависимостей компонент потенциальной энергии нанокластера:

- зависимость потенциальной энергии взаимодействия объемных атомов иу = 297.675Т - 5659775.19;

- зависимость потенциальной энергии взаимодействия атомов поверхности иа = 63.159Т - 907513.96;

- зависимость потенциальной энергии связи между подсистемами атомов поверхности и объема

иь = 14.87Т - 399533.97;

- зависимость поверхностной энергии

Us = 78.020Г -1299230.046.

Подобная обработка результатов была проведена для всего интервала размеров кластеров от 2 до 8 нм и были получены аналогичные результаты. В итоге линейная аппроксимация зависимости компонент потенциальной энергии нанокластера от его радиуса и температуры имеет общий вид:

U, (R, T) = ß (R)T + Utо(R), i = tot,v, sa, b, s. (2) Это выражение с достаточной точностью описывает температурную и размерную зависимость энергетических характеристик.

Численные расчеты позволили построить графики зависимости коэффициента от начального радиуса кластера (до проведения процедуры нагрева) ßt (R0). Оказалось, что для каждой из компонент потенциальной энергии этот коэффициент имеет вид квадратичной параболы с различным множителем при квадрате радиуса. Зависимость конастанты ßs от радиуса кластера R0 с идеальной кристаллической структурой приведена на рис. 9.

Общий вид зависимостей коэффициента ß от начального радиуса кластера R0 можно записать как

ßt =ßotRoai, i = sr,b,s. (3)

Найденные в результате аппроксимации константы ß0i, at занесены в табл. 1.

Не менее важными характеристиками в приложениях оказываются и начальные значения Ui0(R), т.е. значения энергетических компонент поверхностной энергии при температуре близкой к 0 K. На рис. 10 в качестве примера представлен график зависимости начального значения энергии связи между объемной и поверхностной подсистемами от начального радиуса кластера. Другими словами, это потенциальная энергия связи в охлажденном кластере.

Аись, 10-21 Дж 20000001 600 000 1 200000Н

Таблица 1

Значения коэффициентов из выражений (3) и (4)

2 4 6 R0, нм

Рис. 10. Зависимость потенциальной энергии связи объемной и поверхностной подсистем охлажденного кластера (серая линия) от радиуса кластера с идеальной кристаллической структурой и интерполяция (черная линия)

Оказалось, что общий вид зависимостей начального значения компоненты потенциальной энергии от радиуса нанокластера можно задать формулой

аЬз(ис ,,) = и0 ^.

(4)

Все найденные константы для трех составляющих потенциальной энергии и0, занесены в табл. 1.

Следует отметить, что в выражении для коэффициента в и в выражении для энергии охлажденного кластера показатели степени у радиуса совпали до второго знака после запятой с числом 2. Следовательно, поверхностные характеристики пропорциональны площади поверхности. В связи с этим напрашивается вывод о необходимости проведения анализа энергетических характеристик, отнесенных к единице поверхности.

Расчеты проводились следующим образом. Во время процедуры нагрева через заданный интервал (в данной работе 25 К) рассчитывались все компоненты поверхностной энергии, определялся радиус кластера, вычислялась площадь его поверхности. После чего отношение поверхностной энергии к площади поверх-

10-23 Дж/нм2

800 Т, К

Рис. 11. Зависимость компонент удельной энергии поверхности от температуры: среднее значение потенциальной энергии поверхностных атомов Ц8а (1), потенциальной энергии связи атомов поверхности и атомов объема иь (2), поверхностной потенциальной энергии из (3)

Константа Вид энергии — Р0," а и 0,

Энергия взаимодействия атомов поверхности между собой и8а ехр(-3.35) 2.03 ехр(6.122)

Энергия связи между поверхностной и объемной подсистемами иь ехр(-5.22) 2.15 ехр(4.940)

Поверхностная энергия и ехр(-3.21) 2.05 ехр(6.380)

ности кластера (и, ) = и, (Т)/S(Т) усреднялось в течение 0.1 пс по тепловым флуктуациям. Далее представлены именно эти удельные характеристики (потенциальные энергии на единицу площади поверхности) для всех трех рассматриваемых компонент потенциальной энергии.

На рис. 11 изображены зависимости компонент удельной энергии поверхности от температуры: среднее значение потенциальной энергии поверхностных атомов иа, среднее значение потенциальной энергии связи атомов поверхности и атомов объема иь, среднее значение поверхностной потенциальной энергии и8.

Необходимо отметить, что для всех компонент (рис. 11) зависимости близки к линейным с очень малым коэффициентом угла наклона, т.е. они удовлетворяют уравнению

(иг. )=8, (К)Т + (иРг2,). (5)

На рис. 12 можно увидеть зависимость параметра 8г- от радиуса охлажденных кластеров Я0 для всех компонент поверхностной энергии. Эта зависимость для всех констант хорошо аппроксимируется выражением

8 (Л0) = ХА +8о,. (6)

Константы х и 80г- представлены в табл. 2.

8, 10-23 Дж/(нм2 • К) 0.012

4 6 Ro, нм

Рис. 12. Зависимость параметра 8; от радиуса сферического кластера для потенциальной энергии поверхностных атомов и8а (1), для энергии связи атомов поверхности и атомов объема иь (2), для поверхностной потенциальной энергии и (3)

Таблица 2

Значения коэффициентов из выражения (6)

Константа Вид энергии 80,

Энергия взаимодействия атомов поверхности между собой иза -2.93-10-5 0.0085

Энергия связи между поверхностной и объемной подсистемами иь -8.107-10-6 0.0029

Поверхностная энергия и -3.75 • 10-5 0.0114

Для полного описания выражения (5) на рис. 13 показаны компоненты удельной энергии поверхности при почти абсолютной нулевой температуре в зависимости от радиуса кластера. Обратим внимание, что эти характеристики практически не зависят от размера кластера, а для размера кластера Я0 > 5 нм остаются постоянными в пределах точности расчетов. В табл. 3 занесены значения этих компонент удельной энергии поверхности для каждого значения радиуса, использованного при проведении расчетов.

4. Заключение

Охлаждение нанокластера с радиусом от 2 до 8 нм до криогенных температур с помощью метода искусственной вязкости не вызывает взаимную диффузию поверхностных атомов и атомов объема, тем самым сохраняется выполнение условия принадлежности атомов к объемной или поверхностной подсистемам.

Исследование зависимости максимального радиуса подсистемы объема нанокластера и минимального радиуса подсистемы поверхности нанокластера с температурой при нагреве показало, что примерно до 900 К оба радиуса линейно возрастают. При превышении этой температуры максимальный радиус подсистемы атомов объема скачкообразно возрастает, а минимальный радиус подсистемы поверхностных атомов начинает резко уменьшаться, что является следствием возникновения

:ая мезомеханика 22 5 (2019) 34-41 К ис£\, 10-23 Дж/нм2

70-1 ..__.:.-,: = =

603

50- 1

40

302

20 10

2 4 6 Я0, нм

Рис. 13. Зависимость компонент удельной энергии поверхности при абсолютной нулевой температуре от радиуса кластера. Среднее значение потенциальной энергии поверхностных атомов иза (1), потенциальной энергии связи атомов поверхности и атомов объема иь (2), поверхностной потенциальной энергии и (3)

значительной термодиффузии и может быть использовано как признак наступления диффузии при моле-кулярно-динамическом моделировании подобных процессов. Появление диффузии вызывает появление резкого излома на температурной зависимости энергии связи и поверхностной энергии, рассчитанных для первоначального набора атомов, принадлежащих поверхностному слою, и атомов в объеме нанокластера, что является ярким признаком начала фазового перехода.

Проведено исследование поведения всех компонент потенциальной энергии взаимодействия атомов поверхности в интервале до 900 К. Показано, что зависимость всех компонент потенциальной энергии от температуры с большой точностью описывается линейной функцией. Причем множители при температуре описываются квадратичной функцией в зависимости от исходного радиуса кластера с идеальной кристаллической структурой. Зависимость компонент потенциальной энергии взаимодействия атомов поверхности при криогенных температурах от радиуса кластера также с большой точностью описывается квадратичной функцией.

Таблица 3

Значения компонент удельной энергии поверхности в идеальном нанокластере

К0, нм |(ис ,з) |,10-23 Дж/нм2 и ,8Г)1Л0-23 Дж/нм2 и ,ь) 1, 10—23 Дж/нм2

2 61.909 44.238 18.023

3 64.949 46.060 19.266

4 65.432 45.698 20.127

5 67.126 46.780 20.824

6 67.746 47.012 21.148

7 67.880 46.935 21.368

8 67.966 46.907 21.479

Все это позволило ввести в использование для компонент потенциальной энергии взаимодействия атомов поверхности понятие усредненной по тепловым флук-туациям удельной энергии, приходящейся на единицу площади поверхности. Для всех удельных характеристик получены аналитические аппроксимации от температуры и радиуса кластеров.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 18-01-00287-а.

Литература

1. Tyurin A., Nagavkin S., Malikov A., Orishich A. Microstructure of WC-Co hard alloy surface after laser treatment // Surf. Eng. - 2015. -V. 31. - No. 1. - P. 74-77.

2. Pugacheva N.B., Vichuzhanin D.I., Trushina E.B., Antenorova N.P. , Michurov N.S., Orishich A.M., Cherepanov A.N., Malikov A.G. Influence of nanopowders on the fatigue strength of laser welds alloy BT1-0 // Deform. Fract. Mater. - 2014. - No. 7. - P. 7-12.

3. Vorotilo S., Loginov P., Mishnaevsky L., Sidorenko D., Levashov E. Nanoengineering of metallic alloys for machining tools: Multiscale computational and in situ TEM investigation of mechanisms // Mater. Sci. Eng. - 2019. - V. 739. - P. 480-490. - doi 10.1016/j.msea. 2018.10.070.

4. Loginov P.A., Sidorenko D.A., Levashov E.A., Andreev V.A. Development of a next generation of diamond tools based on superhard materials with a nanomodified binder for steel and cast iron machining // Russ. J. Non-Ferrous Met. - 2018. - V. 59. - No. 3. - P. 341-351. -doi 10.3103/S1067821218030094.

5. Kuzkin V.A., Krivtsov A.M. An analytical description of transient thermal processes in harmonic crystals // Phys. Solid State. - 2017. -V. 59. - No. 5. - P. 1051-1062. - doi 10.1134/S1063783417050201.

6. Qi Y., Cagin T., Kimura Y, Goddard W.A., III. Molecular-dynamics simulations of glass formation and crystallization in binary liquid metals: Cu-Ag and Cu-Ni // Phys. Rev. B. - 1999. - V. 59. - P. 3527. -doi S0163-1829(99)05205-4.

7. Duan G., Xu D., Zhang Q., Zhang G., Cagin T., Johnson W.L., Goddard W.A., III. Molecular dynamics study of the binary Cu46Zr54 metallic glass motivated by experiments: Glass formation and atomic-level structure // Phys. Rev. B. - 2005. - V. 71. - P. 227208.

8. Ozdemir Kart S., Tomak M., Uludogan M., Cagin T. Molecular dynamics studies on glass formation of Pd-Ni alloys by rapid quenching // Turk. J. Phys. - 2006. - V. 30. - P. 319-327.

9. Qin B., Lai W.S. Metallic glass-forming composition range of the Cu-Zr-Ti ternary system determined by molecular dynamics simulations with many-body potentials // J. Mater. Res. - 2011. - V. 26. - No. 4 -P. 547-560.

10. Головнев И.Ф., Головнева Е.И., Фомин B.M. Молекулярно-динами-ческое исследование поверхностного натяжения наноструктур // МТТ. - 2010. - № 3. - С. 45-55.

11. Головнева Е.И., Головнев И.Ф., Фомин B.M. Молекулярно-динами-ческий расчет коэффициента теплового расширения для нано-кластеров меди // Наносистемы: физика, химия, математика. -2011. - Т. 2. - № 3. - С. 71-78.

12. Golovneva E.I., Golovnev I.F., Fomin V.M. Molecular-dynamic calculation of thermal expansion coefficient for copper nanoclusters // J. Int. Sci. Mater. Meth. Technol. - 2011. - V. 5. - P. 1. - P. 204-211.

13. ГоловневИ.Ф., ГоловневаЕ.И., ФоминBM. Молекулярно-динами-ческое исследование давления Лапласа в твердотельных наноструктурах // Физ. мезомех. - 2012. - Т. 15. - № 1. - С. 69-74.

14. Golovneva E.I., Golovnev I.F., Fomin V.M. Molecular-Dynamics Calculation of Nanostructures Thermodynamics. Research of Impurities Influence on Results // Application of Thermodynamics to Biological and Materials Science. - InTech, 2011. - 628 p.

15. Головнев И.Ф., Головнева Е.И. Исследование зависимости термодинамических параметров металлических наносфер от их радиусов // Физ. мезомех. - 2019. - Т. 22. - № 2. - С. 86-90. - doi 10.24411/1683-805X-2019-12008.

16. KryzhevichD.S., ZolnikovK.P., KorchuganovA.V. Atomic rearrangements at migration of symmetric tilt grain boundaries in vanadium // Comput. Mater. Sci. - 2018. - V. 153. - P. 445-448. - doi 10.1016/ j.commatsci.2018.07.024.

17. Zolnikov K.P., Kryzhevich D.S., Korchuganov A.V. Atomic mechanisms of high-speed migration of symmetric tilt grain boundary in nanocrystalline Ni // Lett. Mater. - 2019. - V. 9. - No. 2. - P. 197201. - doi 10.22226/2410-3535-2019-2-197-201.

18. Voter A.F. Embedded Atom Method Potentials for Seven FCC Metals: Ni, Pd, Pt, Cu, Ag, Au, and Al // Los Alamos Unclassified Technical Report # LA-UR 93-3901. - 1993.

19. Allen M.P., Tildesley D.J. Computer Simulation of Liquids. - New York: Clarendon Press, 1987. - 385 p.

20. Головнева Е.И., Головнев И.Ф., Фомин B.M. Моделирование квазистатических процессов в кристаллах методом молекулярной динамики // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 6. - C. 5-10.

21. Головнев И.Ф., Головнева Е.И., Уткин A.B. Исследование влияния температуры и размеров наноструктур на процесс разрушения под внешними механическими воздействиями // Физ. мезомех. -2017. - Т. 20. - № 4. - C. 94-99. - doi 10.24411/1683-805X-2017-00043.

Поступила в редакцию 12.09.2019 г., после доработки 12.09.2019 г., принята к публикации 19.09.2019 г.

Сведения об авторах

Головнев Игорь Федорович, к.ф.-м.н., снс ИТПМ СО РАН, golovnev@itam.nsc.ru Головнева Елена Игоревна, к.ф.-м.н., снс ИТПМ СО РАН, elena@itam.nsc.ru