CC BY
31
УДК 517.584; 517.518.45
Трофимов П.А., Акимов А.И.
Оренбургский государственный педагогический университет E-mail: fizmattrofimov@mail.ru
РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТЕЛА НА ОСНОВЕ УЛУЧШЕННОЙ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ
Получено решение задачи о нахождении температурного поля цилиндрического тела в виде ряда Фурье-Бесселя. Решена подобная однородная задача с использованием конечного интегрального преобразования Ханкеля. С помощью решения однородной задачи улучшена сходимость ряда Фурье-Бесселя первой задачи.
Ключевые слова: температурное поле, ряд Фурье-Бесселя, улучшенная сходимость.
Одним из недостатков классических методов получения аналитических решений уравнений математической физики [1, с. 43] часто является невыполнение условия разложения решения в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по исследуемой области (теорема Стеклова), что затрудняет численные расчеты в граничных областях, особенно если это связано с медленной сходимостью найденных рядов.
В данной статье получим решение в виде ряда производственной задачи и улучшим его сходимость, взяв за образец [1, гл. 2]
Рассмотрим проблему определения температурного поля для цилиндрического тела бесконечной длины кругового сечения, т. е.
дТ_ дт
■ = a
'ъ 2Т +1ЭТЛ
r dr
dr2
0 < r < R, (1)
для следующего начального условия
Т (r,0) = Т0 = const и следующих граничных условий
дТ
=0,
ЭТ_ dr
dr
= -h (1 ==R ).
(3)
(4)
Здесь Т0 - начальная температура, Тс - температура среды,
/ а
п =--относительная теплопроводность
X
(а- теплоотдача, X - теплопроводность), Я - радиус, т - время.
В безразмерных переменных наша математическая модель примет вид
Э0
dFo d r
д 20 +1Э0 r dr
(5)
с начальным условием
0(r ,0) = 1
и граничными условиями
Э0
dr -=0
v r 0 у
= 0,
Здесь 0 =
Э0
dr
Т - Тс
Т - Тс
= -Bi0(l, Fo).
(6)
(7)
(8)
безразмерная температура,
r =--безразмерный радиус,
R
= - критерий Фурье, в- аЯ
в1 =--число Био.
X
Решение будем искать методом Фурье. (2) Пусть 0 (г, Г° ) = р(Е° (г) .Тогда дифферен-
циальное уравнение даст систему из двух уравнений
р (Г° ) + Х2р(Г° ) = 0,
) +) + Х2у(( ) = 0.
Первое уравнение имеет решение р(Е°) = С1в'х2г°, второе, подстановкой г = Хг, сводится к уравнению Бесселя
у"(г) + ^'(г )+¥(г ) = 0.
г
Используя линейно независимые функции Бесселя первого и третьего родов нулевого порядка [2, 3], получаем решение второго уравнения в виде линейной комбинации
¥(( ) = с2 j 0 (xr)+cg (xr).
r=1
«Научное наследие М.В. Ломоносова в подготовке современного учителя»
Таким образом, общее решение
0(г,Го) = е^ (А/0 (Аг) + Вв0 (Аг)),
где А = С1С2В = С1С3.
С помощью начального и граничных условий (6)-(8) найдем неизвестные параметры А, А, В.
Из условия второго рода имеем
0 = е'^А(-А/1 (0) + ВС' (0)).
Известно, что /1 (0) = 0 и, следовательно, В = 0. Из граничного условия третьего рода (8) получаем -В1^е)АГо /0 (А) = -ААе~АГо/1 (А), что дает нам трансцендентное уравнение
_А = / 0 (А)
В1 ~ /1 (а) ' (9)
решение которого можно получить графически. Очевидно, что имеется бесконечное число корней А,А2,...Д.,...(А > 0).
С учетом граничных условий получаем
©(( Го ) = £ д/ 0 (А Г )е-А2Г0. 1=1
Воспользуемся начальным условием (6)
1 = х А/ (АГ).
1=1
Применим свойство ортогональности функций Бесселя с весом г для чего домножим обе части равенства на г/0 (г) и проинтегрируем от 0 до 1 по переменной г. Все слагаемые правой части для 1Ф } обратятся в ноль, в случае 1 = ] получаем
1 _ _ _ 1 _
|Г/0 (АГу~г = д|Г/2 (аг)й?г .
| Г/0 (А1Г)й?г
Т. е. А1 =
\\/ 0 (А,Г)
функций [4] следует
А=
и, из теории бесселевых
2 /1 (А)
1 А (/ 02 (А)+/12 (А))
Наконец, получаем
2/1 (А)
©((, Го ) = Х
А (/ 0 (А)+/12 (А))
/0 (Аг )
,-А2Ро
(10)
Для улучшения вблизи внешней границы сходимости этого ряда найдем две эквивалент-
ные функциональные формы решения соответствующей однородной задачи (замкнутая форма и решение тем же методом) [1, с. 48] и прибавим первое и вычтем второе решение из (10).
Итак, имеем однородную задачу
Э 20 1Э0 „ —- +=^ = 0
Эг
Эг
с граничными условиями
Э0
=0,
Э0 Э г
Э г
= -Вг0(1, Го).
(11)
(12)
(13)
Решение в замкнутой форме несложно по-
лучить, переписав (11) как = - г
0 = -01п г + Е. Из условий (:
0 = 0, т. е.
-1(0)
= 0, т.е.
.Э ^ ')
2), (13) получаем
т = Тс. (14)
Для получения решения вторым методом прежде всего заметим, что ряд (10) мог быть получен с помощью конечного интегрального преобразования Ханкеля [5, с. 521]. Воспользуемся этим преобразованием для решения однородной задачи (11)-(13). Предварительно, чтобы избежать вырожденных решений, запишем эту задачу для размерной температуры Т.
Э 2т
2
Эг
+1ЭТ=0
г Э г
(15)
с граничными условиями
Г Эт \
Эг V г=0,
=0,
ЭТ Э г
(16) (17)
= -В1 (ТГ=1 -Тс ).
Образ Ханкеля функции определим как 1 _
т (А, Го ) = | Гт ((, Го)/ 0 (аГ
0
( г/0 (Аг) - ядро преобразования), где А1 - положительные корни трансцендентного уравнения
А/1 (А) = В/ 0 (А). (18)
Замечание. Уравнение (18) совпадает с уравнением (9) в методе Фурье, следовательно, корни А в задачах также совпадают.
=1
1=1
XXXI научно-практическая конференция преподавателей и аспирантов
Домножим уравнение (15) на г/0 (г) и проинтегрируем по г от 0 до 1.
После стандартных преобразований с учетом условий (16), (17) получим образ дифференциального уравнения (15)
Б1Тс], (X)- Х2Т = 0, т.е. Т = ХТС3 0 (X).
Тогда по формуле обращения [5, с. 521] получаем
=у 2Д2 30(У) Ы (.
1 =Ъъ ,2 , о 2 3 0 (Х)1с ,
£Bi2+x2 J02(X) X2
Т (r ,т) = 2Тс +
-E
Ji (X)
а именно
Т = 2BiTc E
J 0 (V )
tl (Bi2 + A2)J0 (X).
(19)
Итак, учитывая переход к размерным переменным, сложив в решением исходной задачи (10) выражение в замкнутой форме (14) и вычитая ряд (19), получим модифицированное решение задачи (1)-(4)
Т0 + Тс 1=1 X (J 02 (X)+ Ji2 (X ))
Jn
' R
-Xf —
" D
-2hRТс E
/ \ ' R
£ (h2R2 + Я2 )J 0 (X)
(20)
J
0
Полученное решение (20) имеет более вы- Вследствие чего при численных расчетах дос-
сокую скорость сходимости в отличие от клас- таточно ограничиться несколькими первыми
сических решений рядами Фурье-Бесселя. членами.
--26.09.2011
Список литературы:
1. Кудинов, В.А. Аналитические решения задач тепломассообмена и термоупругости для многослойных конструкций [Текст] / В.А. Кудинов, Э.М. Карташов, М.М. Калашников. - М.: Высш. шк., 2005. - 430 с.
2. Козлов, В.Н. Обратное преобразование Ханкеля для смешанной краевой задачи на конечном интервале [Текст] / В.Н. Козлов, П.А. Трофимов, А.И. Акимов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. -2011. - №1 (116). - С. 71-77.
3. Снеддон, И. Преобразование Фурье [Текст] / Иан Снеддон; перевод с англ. А.Н. Матвеева; под ред. Ю.Л. Рабиновича; [примеч. А.Н. Матвеева]. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1955. - 688 с.
4. Арсенин, В.Я. Методы математической физики и специальные функции [Текст]: учеб. пособие для втузов / В.Я. Арсенин. -Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Наука, 1984. - 384 с.
5. Лыков, А.В. Теория теплопроводности [Текст]: учеб. пособие для вузов / А.В. Лыков. - М.: Высш. шк., 1967. - 600 с.
Сведения об авторах: Трофимов Павел Александрович, аспирант кафедры математического анализа Оренбургского государственного педагогического университета Акимов Алексей Иванович, старший преподователь кафедры информатики Оренбургского государственного педагогического университета, кандидат технических наук 460051, г. Оренбург, пр-т Гагарина, 1, (3532) 332789, fizmattrofimov@mail.ru, akimov_ia@mail.ru
UDC 517.584; 517.518.45 Trofimov P.A., Akimov A.I.
The Orenburg state pedagogical university; fizmattrofimov@mail.ru, akimov_ia@mail.ru CALCULATION OF A TEMPERATURE FIELD OF THE CYLINDER ON THE BASIS OF AN IMPROVING CONVERGENCE OF FOURIER-BESSEL SERIES
The problem of finding the temperature field of the cylinder in the form of a Fourier-Bessel received. Such a homogeneous problem with the use of finite integral Hankel transform is solved. Convergence of Fourier-Bessel series of the first problem by solving the homogeneous problem has improved. Key words: temperature field, the Fourier-Bessel series, improved convergence
Bibliography:
1. Kudinov, V.A. Analytical problem solving heat and mass transfer and thermoelasticity for multilayered structures [Text] / V.A. Kudinov, E.M. Kartashov, M.M. Kalashnikov. - M.: Vyssh.shkola, 2005. - 430 pp.
2. Kozlov, V.N. The inverse Hankel transformation for the mixed boundary value problem in the closed interval [Text] / V.N. Kozlov, P.A. Trofimov, A.I. Akimov / Nauchno-tehnicheskie vedomosti SPbGPU. Fiziko-matematicheskie nauki. - 2011. -№1 (116). - S. 71-77.
3. Sneddon, I. Fourier trancforms [Text] / Ian Sneddon; trans. from eng. by A.N. Matveev; edited by Ju.L. Rabinovich; [remark by A.N. Matveev] - M.: Izd-vo inost. literatury, 1955. - 688 pp.
4. Arsenin, V.Ya. Methods of Mathematical Physics and Special Functions [Text]: textbook for high schools / V.Ya. Arsenin. -Sec. ed., rev. and enlar. - M.: Nauka, 1984. - 384 pp.
5. Lykov, A.V. Theory of heat conduction [Text]: textbook for high schools / A.V. Lykov. - M.: Vyssh.shkola, 1967. - 600 pp.
