CC BY
247
УДК 697.1
ЛЕШКЕВИЧ В. В.
РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ И ПРИВЕДЕННОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ТЕПЛОПЕРЕДАЧЕ ОГРАЖДАЮЩИХ КОНСТРУКЦИЙ ЗДАНИЙ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Белорусский национальный технический университет
Представлен вариант применения метода конечных элементов к расчёту температурных полей и приведенного сопротивления теплопередаче ограждающих конструкций зданий и разработанная на его основе компьютерная программа расчета. Приведены примеры расчета ограждающих конструкций.
Введение
Количество теплоты, проходящее через ограждения здания, является одним из основных показателей для подбора систем обеспечения микроклимата. Согласно [1] основные (трансмиссионные) потери теплоты через ограждающую конструкцию определяются по формуле:
Q = Л& - Вт, (1)
где Л - площадь участка ограждающей конструкции, м2; п - коэффициент, принимаемый в зависимости от положения наружной ограждающей конструкции по отношению к наружному воздуху; 7н - расчетная температура внутреннего и наружного воздуха, °С; ЯТ - сопротивление теплопередаче ограждающей конструкции, м2-°С/Вт.
Традиционный подход [2] упрощенно рассматривает наружную стену здания как плоскую многослойную стенку и предполагает определение сопротивления теплопередаче ее по следующей формуле:
RT= — + Е— + —, м2-°С/Вт,
а„
7 Я,-
а„
(2)
где ав, ан - соответственно, коэффициенты теплоотдачи внутренней и наружной поверхностей ограждающей конструкции, Вт/(м2-°С); 57 - толщина 7-го слоя стенки, м; Х7 - коэффициент теплопроводности материала 7-го слоя стенки, Вт/(м-°С).
Неоднородность конструкции стен (швы кладки, стыки с междуэтажными перекрытиями, оконные откосы, элементы крепления теплоизоляции и др.) вызывают повышенные потери теплоты в местах их расположения и, как правило, компенсировались за счет некоторого запаса тепловой мощности системы отопления здания. Проблемы пониженной температуры и промерзания отдельных участков стен решались конструктивно с последующей проверкой разработанных узлов на строящихся объектах.
Постоянное повышение цен на энергоресурсы и строительные материалы, повышение требований к качеству зданий требует снижения расхода материалов при одновременном повышении теплозащитных качеств ограждающих конструкций. Данные факторы требовали более точного определения сопротивления теплопередаче ограждающих конструкций зданий, что привело к введению изменения № 5 к [2], а позднее и выходу актуализированной редакции ТКП «Строительная теплотехника» [3].
В [3] вводятся понятие теплотехнически однородной и теплотехнически неоднородной ограждающей конструкции, а также понятие приведенного сопротивления теплопередаче -величины, характеризующей теплозащитные свойства ограждающей конструкции в стационарных условиях теплопередачи, численно равной отношению разности температуры воздуха с внутренней и наружной сторон конструкции к усредненной по расчетной площа-
ди конструкции плотности проходящего через неё теплового потока. Усредненная по площади плотность теплового потока определяется на основании расчета стационарного температурного поля ограждающей конструкции.
Наиболее известной и распространенной в Республике Беларусь на данный момент методикой является [4], которая основана на методе конечных элементов и использовании для расчетов температурных полей ограждающих конструкций программного комплекса TEMPER3D. Основными недостатками программы ТЕМ-PER3D являются сложность построения исходной геометрической модели конструкции и ограничение рабочих версий программы в 160 тысяч узлов расчетной сетки, что часто заставляет прибегать к сильным упрощениям модели на сложных конструкциях современных зданий.
Нормативная документация [3] допускает использовать иные (кроме [4]) методики и программные комплексы.
Расчет температурного поля с помощью метода конечных элементов
Стационарное 3-мерное температурное поля фрагмента ограждающей конструкции, описывается уравнением
д(. дТ) д(. дТ
—| 1т — I +--1 1т —
дх ^ дх) дх I ду
\
д ( дТ
--1 1т-
дх I дz
= 0 (3)
аг^пов-Гер)--^/, (4)
Хт =| ^
дТ
1т| &
ду
дТ
[Т - Тср ] 2 ^^.
ёУ+
(5)
После преобразований, подробно изложенных в [6], приходим к выражению, удовлетворяющему минимуму функционала (5), в виде
К(е)
[т ]■
"F (е)
= 0,
(6)
где
К
(е)
" Ь Ь ЬЬ ЬЬк ЬЬ
1т Ь у Ь Ь у Ь у Ь у Ьк Ь у Ь
36У Ьк Ь1 Ьк Ь у Ьк Ьк Ьк Ь1
[ Ь Ь Ь Ьу Ь1 Ьк Ь Ь
+ -
1т
36У
36У
11 4 ё1 4 ё1 ¿1 dl
с у с
СиС
кЧ С С1
ё у
ё у ё у
ёк ё у
ё1ё у
с су
с у с у
Ск с у С су
л1ик ё у ёк
4 ёк ё1ёк
с1 ск с у ск ск ск с ск ё1 ё1 ё у ё1 ёк ё1 ё1 ё1
с1 с
с у с1 ск с1 с с
[ МК ];
F'
(е)
аТТср
3
5 [ Мр ];
с граничными условиями III рода
аг
Т дп '
где Тпов - температура соответствующей поверхности ограждения, °С; Тср - температура среды, омывающей соответствующую поверхность, °С; Т - искомая функция температуры, °С; 1Т - теплопроводность материала, Вт/(м-0С); о.т - коэффициент теплоотдачи соответствующей поверхности, Вт/(м2-°С).
Согласно теории метода конечных элементов [5] удовлетворению дифференциального уравнения (3) с граничными условиями (4) соответствует минимизация следующего функционала
( дТ Л 2
1
Ь, Ьу, Ьк, Ьь с, Су, Ск с, di, dу, dk, d^ - вычисляются по значениям координат узлов тетраэдров; У - объем тетраэдра; (е) - индекс показывающий, что величина относится к конечному элементу; S - площадь грани тетраэдра, омываемая воздухом, м2; [МК], [М^] - матрицы коэффициентов:
при £ = у мк =
пРи £ = £,к1 Мк =
при £ = Мк =
0 0 0 0
0 2 1 1
0 1 2 1
0 1 1 2
"2 0 1 1
0 0 0 0
1 0 2 1
1 0 1 2
2 1 0 1
1 2 0 1
0 0 0 0
1 1 0 2
Мр =
0
Мр =
Мр =
"2 1 1 0" "1"
1 2 1 0 1
N 1 1 2 0 , M F = 1
0 0 0 0 0
Вычислив матри цы [K^], [F^e)] для каждого конечного элемента применяем процедуру ансамблирования, представляющую собой объединение матриц [K^], [F^e)] отдельных элементов в глобальные матрицы [K], [F] всей конструкции. Значения температуры [T] в узлах находятся из выражения [K][T] + [F] = 0 при известных [K], [F]
Практическая реализация
Расчет стационарного температурного поля ограждения выполняется в следующей последовательности: задание геометрической модели; ввод исходных данных (граничные условия и характеристики материалов); построение расчётной сетки; построение матриц элементов; построение глобальных матриц (ан-самблирование); решение полученной системы уравнений; обработка и анализ полученных данных.
Построение расчетной сетки является довольно трудоемкой задачей, требующей отдельных исследований. Поэтому принято решение об использовании готовых генераторов сеток. Одним из наиболее оптимальных вариантов для решения данной задачи является Gmsh [7].
Таким образом, задача практической реализации метода свелась к реализации вычислительного блока, позволяющего загружать в память расчётную сетку, выполнять построение соответствующих матриц, выполнить решение СЛАУ, а также производить постобработку полученного решения (вычисление средней температуры поверхностей и средней плотности теплового потока).
Вычислительный блок разработан на интерпретируемом языке программирования Python в виде отдельных пакетов в соответствии с назначением каждого из них: boundary - загрузка и обработка граничных условий; material - загрузка и обработка физических свойств материалов; mesh - загрузка и обработка расчётной сетки; ensemble - построение матриц для конечных элементов, ансамблирование, решение системы линейных алгебраических
уравнений; postpro - вычисление средней плотности теплового потока и сохранение данных расчета.
С целью ускорения разработки и уменьшения времени выполнения расчетов использовались библиотеки Numpy и Scipy [8], созданные с использованием компилируемых языков программирования, что существенно повышает скорость работы с массивами данных. Для ускорения вычислений на современных ПК задача выполняется в нескольких потоках, для чего используется Parallel Python Software [9]. Решение результирующей системы уравнений выполняется по численному алгоритму MINRES [8], предварительное обуславливание матрицы теплопроводности выполняется с помощью пакета Pyamg [10]. Разработка и расчеты выполнялись в операционной системе Debian GNU/Linux.
Опыт практического применения
В качестве примера представлены исходные данные и полученное температурное поле узла сопряжения междуэтажного перекрытия с железобетонной колонной каркаса здания с примыкающим к ним фрагментом самонесущей кладки из керамических блоков, утеплённой минераловатными плитами и установленной в ней двери выхода на лоджию.
На рис. 1 представлен фрагмент плана здания с указанием места расположения узла сопряжения конструкций, температурное поле которого рассчитывается. На рис. 2 показана геометрическая модель рассчитываемого узла со стороны лоджии (а) и помещения (б). Расчетные температуры наружного и внутреннего воздуха в данном примере приняты % = -26 °С и tB = +18 °С. Теплофизические характеристики материалов приняты по [3]. Расчетная сетка имеет 675616 узлов, количество конечных элементов (тетраэдры) - 4151149.
На рис. 3 представлено полученное в результате расчёта температурное поле узла сопряжения конструкций. Визуализация температурного поля выполнена с помощью программы Gmsh.
По результатам расчета плотность теплового потока через грань помеченную '1*' (см. рис. 2) составила 7,332 Вт/м2, а сопротивление теплопередаче данного участка:
RT = (18 - (-26))/7,332 = 6,001 (м2С)/Вт. (7)
Рис. 1. Фрагмент плана здания с указанием рассчитываемого узла сопряжения (выделено серым прямоугольником)
Рис. 2. Геометрическая модель узла сопряжения междуэтажного перекрытия, колонны, участка самонесущей кладки, двери выхода на лоджию: а - вид со стороны лоджии; б - вид со стороны помещения; 1 - железобетон (несущий каркас); 2 - минераловатная плита; 3 - защитная штукатурка; 4 - вкладыши из пенополистирола; 6 - теплоизоляционный вкладыш; 7 - цементно-песчаная стяжка; 8 - заполнение светового проёма (дверь на лоджию); 9 - покрытие пола
а б
Рис. 3. Температурное поле рассматриваемого узла сопряжения строительных конструкций: а - вид со стороны
лоджии; б - вид со стороны помещения
Аналогичным образом вычисляются значения сопротивления теплопередаче для других участков ограждений, после чего определяется приведенное сопротивление теплопередаче наружных стен всей части здания, оборудованной отдельным прибором учета тепловой энергии (в данном случае - жилой квартиры).
Максимально возможное количество узлов и конечных элементов теоретически ограничено только аппаратными возможностями используемой ЭВМ. Экспериментальным путем достигнуто количество 10 700 000 узлов. Большее количество узлов не проверялось в связи с отсутствием необходимости.
Заключение
Описана математическая модель и представлена программа для выполнения расчета 3-мерного стационарного температурного поля фрагментов ограждающих конструкций зданий. Использование мощного генератора сеток позволяет выполнять расчеты температурных полей узлов сопряжения конструкций высокой сложности, ограниченной на данный момент только возможностями по-
строения соответствующей геометрической модели оператором. Это приводит к повышению точности расчётов при наличии конструктивных элементов с малыми линейными размерами (тонкие слои метала в кронштейнах крепления вентилируемых фасадов, легкие стеновые панели с каркасом из металлического профиля и др.) в связи со снижением степени упрощения исходной модели конструкции.
Литература
1. Отопление, вентиляция и кондиционирование воздуха: СНБ 4.02.01-03. - Введ. 01.01.05. - Минск: Министерство архитектуры и строительства Республики Беларусь, 2004. - 78 с.
2. Строительная теплотехника. Строительные нормы проектирования: ТКП 45-2.04-43-2006. - Введ. 01.07.07. -Минск: Министерство архитектуры и строительства Республики Беларусь, 2007. - 32 с.
3. Строительная теплотехника. Строительные нормы проектирования: ТКП 45-2.04-43-2006*. - Введ. 01.07.07. -Минск: Министерство архитектуры и строительства Республики Беларусь, 2015. - 47 с.
4. Рекомендации по расчёту приведенного сопротивления теплопередаче ограждающих конструкций и расчёту потерь теплоты через ограждения: Р 1.04.115.13. - Введ. 14.10.13. - Минск: Институт жилища - НИПТИС им. Атаева С. С., 2013. - 61 с.
5. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган; Перевод с английского под ред. Н. С. Бахвалова. - Москва: Мир, 1986. - 318 с.
6. Лешкевич, В. В. Расчёт температурного поля многослойных ограждающих конструкций с теплопроводными включениями методом конечных элементов / В. В. Лешкевич, А. М. Протасевич // Энергоэффективность. - 2013. -№ 10(192). - С. 16-20.
7. Geuzaine, С. Gmsh: a three-dimensional finite element mesh generator with built-in pre- and post-processing facilities / C. Geuzaine, J.-F. Remacle // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2009. - № 79(11). - P. 13091331.
8. Bressert, Е. SciPy and NumPy / Е. Bressert. - Sebastopol: O'Reilly Media, 2012. - 68 с.
9 Vanovschi, V. Parallel Python Software / V. Vanovschi // Parallel Python Software [Электронный ресурс]. - 2014. -Режим доступа: http://www.parallelpython.com. - Дата доступа: 14.08.2015.
10 Bell, W. N. PyAMG: Algebraic Multigrid Solvers in Python / W. N. Bell, L. N. Olson, J. Schroder // PyAMG: Algebraic Multigrid Solvers in Python [Электронный ресурс]. - 2013. - Режим доступа: http://www.pyamg.org. - Дата доступа: 14.08.2015.
Поступила 25.06.15
Liashkevich U. U.
CALCULATION OF THE THERMAL FIELD AND THE THERMAL RESISTANCE OF BUILDINGS ENVELOPES USING THE FINITE ELEMENT METHOD
The method of calculation the thermal field and the thermal resistance offragments of building envelope and developed computer calculating program are described in the article «Calculation of the thermal field and the thermal resistance of buildings envelopes using the finite element method». The main logical modules of the program are described. An example of calculation of temperature field and of the thermal resistance of element of monolithic frame building is given.
