Расчет температур и температурных напряжений в стенках каналов движущихся расплавов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.2

РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУР И ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТЕНКАХ КАНАЛОВ ДВИЖУЩИХСЯ РАСПЛАВОВ

Докт. техн. наук, проф. ЕСЬМАН Р. И.

Белорусский национальный технический университет

В ряде теплотехнологий энергетики и машиностроения используются каналы и трубопроводы различных конструкций и назначения. В качестве высокопотенциальных теплоносителей могут применяться расплавы солей и металлов, жидкометаллические теплоносители и т. д. Для изучения возможностей увеличения энергетической эффективности теплоносителей и экономии энергоресурсов, а также повышения надежности и стабильности процессов тепломассопереноса в жидких расплавах проведем компьютерный анализ и расчет полей температур и температурных напряжений в плоских каналах и щелевых питателях в специальных технологиях литья. При решении задачи будем учитывать нелинейный характер внешнего и внутреннего термического сопротивления, переменные теплофизические характеристики стенки канала, изоляции, покрытия, являющиеся функциями температуры.

Тепловой режим канала как многослойного тела определяется следующими факторами: геометрическими размерами и конфигурацией, состоянием в начальный момент времени, теплофизическими и упругими свойствами материала и т. д. Температурные функции, определяющие распределяющие температуры в расплаве и канале (в момент времени ^ в точке х), обозначим соответственно Т\(х,() и Тг(х,(). Требуется найти эти функции, т. е. распределение температуры в любой момент времени в направлении х.

Температурное поле стенок канала описывается дифференциальным уравнением теплопроводности Фурье [1]

где с- - удельная массовая теплоемкость; р- - плотность; X- - коэффициент теплопроводности.

В общем случае теплофизические коэффициенты с,, X-, р- являются функцией температуры данной точки тела в текущий момент времени.

Предположим, что в момент заливки (^ = 0) температура в стенке канала и расплава распределена по сечению равномерно (вдоль оси х), но значения температур в стенке канала и расплаве различны. Соответствующие условия имеют вид

Нижний индекс «0» обозначает для расплава температуру заливки, для канала - начальную температуру стенки.

при - = 1, 2, (1)

(2)

Ввиду малой кривизны стенки канала при расчетах температур и температурных напряжений он может рассматриваться как плоская полость или щель, в которой движутся расплавы. В начальный момент времени стенка канала равномерно прогрета. В этих условиях температурные напряжения отсутствуют. В процессе охлаждения отливки в плоскости нормального сечения (по отношению к стенкам канала) возникает поперечный градиент температуры. Если каждую из сторон стенки канала рассматривать как балку с незакрепленными краями и ввести систему координат, связанную с центром тяжести (причем ось х направить вдоль балки, ось г - по высоте, а ось у - поперек балки в направлении действия градиента температур), и если считать, что поле температур вдоль оси х не меняется, то в точках, достаточно удаленных от краев, возникают напряжения, имеющие проекции на оси х и г , вычисляемые по формулам:

О. = о. =- [Т (у )-Т0 ] + —1— ] вЕ [Т (у)-Т 0 > -

( )-с (3)

(р Е [т ( у )-То ]У

2с (1 - V

где Ох, ог - напряжения по осям х и г; р - коэффициент термического расширения; Е - модуль упругости; V - коэффициент Пуассона; Т(у) - поле температур в стенке канала; То - начальная температура стенки канала; 2с - толщина пластины (балки).

В уравнении (3) первый член дает напряжения сжатия по слоям материала стенки канала; второй член - интегральный, характеризует равномерно распределенные растягивающие напряжения в балке, возникающие за счет неравномерности поля температур в поперечном сечении; третий член определяет напряжения в балке, возникающие за счет неравномерности поля температур в поперечном сечении, напряжения изгиба, проявляющиеся в поперечном сечении за счет несимметричности поля температур.

В действительности по оси х поле температур меняется, и для Ох следует пользоваться формулой

а2

ах2 2)'

где

^ = у | \т (у)-Т - СI1+6 У + 6 у2 |[Т (у)-Т0 ] dу-

1

+— 20

10 + 21у -101 у

} [Т (у)-То ]уф 1 [Т ( у )-Т о ] У

При медленном изменении температуры вдоль оси х добавка к Ох за счет переменности поля вдоль оси х, содержащая производные по х, будет незначительна, и в этом случае формула дает достаточно хорошие результаты для определения напряженного состояния. Последнее справедливо для балок, длина которых значительно превышает ширину, что и имеет место в стенке канала.

О х = О

Определим граничные условия теплового взаимодействия и стенок канала. В первом варианте расчета будем считать, что охлаждение стенки канала с внешней поверхности происходит в среде с некоторой температурой, которая вдали от поверхности постоянна и равна То. В этом случае теплообмен с внешней поверхности стенки канала осуществляется радиа-ционно-конвективным теплообменом. Граничные условия на внешней поверхности стенки канала могут быть сформулированы с учетом радиационного теплообмена в соответствии с законом Стефана-Больцмана

Чп (г) = а*[Т4 (г)-Т4],

где с* - приведенный коэффициент радиационного теплообмена: с* = сов; со - коэффициент излучения абсолютно черного тела (постоянная Больц-мана): со = 5,68 • 10-8 Вт/(м2 • К4); в - интегральная степень черноты поверхности стенки канала.

Условия на внешней поверхности стенки канала

ТТ

Тк = а{Т^ " Т0 ) + 8°0 (Т2 " Т04 ) при Х = а- (4)

Воспользуемся уравнениями подобия, полученными для теплоотдачи при свободном движении жидкости в большом (неограниченном) объеме. Последнее условие предполагает, что объем среды настолько велик, что свободное движение, возникающее у других тел, расположенных в этом объеме, не сказывается на характере теплообмена.

Уравнения подобия для определения коэффициентов теплоотдачи при свободном движении жидкости (газа) вдоль вертикальной пластины имеют вид:

• при свободном ламинарном движении среды Ыи=1,18(Сг • Рг)1/8 при 10-3 < Сг • Рг < 5 •Ю2;

• при переходном режиме свободного движения Ыи=0,54(Сг • Рг)14; при 5-102 <Сг• Рг <2-107;

• при свободном турбулентном движении жидкости Ыи=0,13(Сг • Рг)1/3 при Сг • Рг > 2 •Ю7,

где Ки - число подобия Нуссельта; Рг - число подобия Прандтля; Сг - число подобия Грасгофа.

Число подобия Нуссельта характеризует теплообмен на внешней поверхности стенки канала: Ыи=аЬ/Хв.

Число подобия Прандтля представляет меру подобия полей температур и скоростей движения среды: Рг=с рАв.

Число подобия Грасгофа характеризует подъемную силу, возникающую в среде, которая обтекает внешнюю поверхность стенки канала вследствие разности плотностей

ЯР [72 (а, г)-То ] Ьъ

Сг = ■

где Р - коэффициент температурного расширения; ер - удельная массовая изобарная теплоемкость; ц - коэффициент динамической вязкости; X - ко-

эффициент теплопроводности; Ув - коэффициент кинематической вязкости; Ь - характерный размер тела.

В этих уравнениях все теплофизические параметры принимаются при соответствующих температурах для определенной охлаждающей среды. Коэффициент теплоотдачи на внешней поверхности стенки канала определяется числом Нуссельта: ак =

Здесь теплофизические коэффициенты р, Ср, ц, Ув вычисляются при определяющей температуре, равной

То + Т2 (а, х) 2 '

На границе стенки канала и расплава имеется двухслойная контактная поверхность, состоящая из слоя покрытия толщиной 5 = и газовой

прослойки, толщина которой изменяется во времени по определенному закону 5 = 5 (^). Полагая, что для газовой прослойки и слоя покрытия имеет место квазистационарный режим, при теплопередаче через газовую прослойку, осуществляемую механизмами теплопроводности и радиационного теплообмена, для плотности теплового потока, проходящего через слой

покрытия и воздуха, можно записать следующие соотношения:

—

в = (ТкР - Т2) ;

а

"кр (5)

в=(т - Ткр) ^+в^с (Т4 - ткр),

где Ткр - температура поверхности покрытия, соприкасающейся в начальный момент времени с поверхностью расплава; Т\, Тг - температуры отливки и стенки канала, которые берутся при значении координаты х = ао; А,кр - коэффициент теплопроводности покрытия, в расчетах принимается величиной постоянной; А® - коэффициент теплопроводности среды, вычисляемый при температуре (Т1 + Тг)/2; 81/2 - коэффициент излучения. Выражение (5) можно переписать в следующем виде:

в = (Т - Ткр +ал ), (6)

где ал - коэффициент теплообмена излучением между поверхностью расплава и поверхностью покрытия.

Приравнивая выражения (5) и (6), получим

Т 2+ Т Г -в +а л

с V с

у-7 __кр V

кР = - У '

+ -в +а

скр с л

Граничные условия на рабочей поверхности стенки канала (при х = ао) могут быть записаны в следующем виде:

(Т -Т2){^ +ал 1 ^р

дх

-+а„

Величина газового зазора как функция времени определяется из решения соответствующей задачи термоупругости. На оси симметрии становится условие

дТ п л

—1 = 0 при х = 0.

дх

(7)

В процессе охлаждения расплава происходит переход из жидкого состояния в твердое. В течение некоторого промежутка времени имеет место двухфазное состояние вещества.

Задача Стефана формулируется следующим образом. Пусть имеются две фазы (жидкая и твердая) с соответствующими теплофизическими коэффициентами ^т (Т), (Т) , р1ж (Т) , С1ж (Т) , Р!т (Т) , С1т (Т). В каждой фазе температурная функция удовлетворяет уравнению нестационарной теплопроводности Фурье (1). Принимаем, что при ] = 1 уравнение относится к жидкой фазе.

На границе раздела фаз температура постоянна и равна температуре фазового перехода Т (х, I) = Тф.

Скорость движения границы фазового перехода й^/й удовлетворяет уравнению

дх

-х дТ'

х=Ъ+0 'Чж

дх

х=Ъ-0

= ГР *'

где г - теплота фазового перехода (теплота фазового затвердевания); р - плотность материала отливки при температуре фазового перехода.

Уравнение (1) с учетом условий на границе фазового перехода запишем в следующем виде:

Р1 (Т1)[с (Т1) + га(71 - Тф д

дх дх

мТ.)£

Здесь приняты следующие обозначения для теплофизических коэффициентов:

• удельная массовая теплоемкость

с(?>к (Т1) при т1 < тФ;

1 1 1с1ж (Т1) пРи Т1 > Тф;

1 коэффициент теплопроводности

[х1т (Т1) при Т1 < Тф;

X (Т1 ) = •

х1ж (Т1) пРи Т1 > тф;

' плотность расплава

А (Т ) = '

Р1т(Т1) пРи Т <тф; Р1ж (Т1 ) ПРИ Т1 > Тф.

Для решения задачи затвердевания расплава (задача Стефана) применяется метод сглаживания: с-функция заменяется с-образной функцией

о(Т - Тф, а), отличной от нуля лишь на интервале (Гф - а, Тф + а) и удовлетворяющей условию нормировки

Тф+А

| о(Т - Тф, А)оТ = 1.

тф-д

Сглаживая на интервале (Тф-а,Тф +а) функции р1ж(Т), Р1т(Т),

с1ж (Т ), с1т (Т ), (Т ), (Т ), например при линейной зависимости между значениями в твердой фазе при ^ < (Т^ — а) и в жидкой фазе при Т\ > (Тл, + а), получим квазилинейное уравнение

Р'<Т) «(Т %=|

(8)

по форме совпадающее с дифференциальным уравнением (1). Для решения квазилинейного уравнения можно использовать разностные методы [2].

В Ы В О Д Ы

1. Разработаны математические модели и алгоритмы численного решения задачи нестационарных температурных полей и температурных напряжений в плоских многослойных стенках каналов.

2. Численными методами решена задача оптимального функционирования плоского канала (питателя) исходя из требований минимизации теп-лопотерь и величины профильных температурных напряжений. Результаты численного эксперимента позволяют определить оптимальные режимные параметры движения высокопотенциальных теплоносителей (расплава жидких металлов и сплавов) в многослойных каналах с эффективной тепловой изоляцией.

3. Анализ динамики температурных полей и напряжений создает возможность на стадии проектирования определить тепловой и гидродинамический оптимальные режимы технологических процессов в специальных технологиях литья на подвижных матрицах-кристаллизаторах и пресс-формах литья под низким и регулируемым давлением.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Л ы к о в, А. В. Тепломассообмен: справ. - М.: Энергоатомиздат, 1972.

2. Р а с ч е т ы процессов литья / Р. И. Есьман [и др.] - Минск: Вышэйш. шк., 1977. - 264 с.

Представлена кафедрой ПТЭ и Т Поступила 04.10.2012