CC BY
39
Расчет течений стратифицированной жидкости.
УДК 519.6
С.С. Кузиков, Т.В. Попова
Расчет течений стратифицированной
жидкости со свободной границей
Стратифицированные жидкости характеризуются тем, что в стационарном состоянии их физические характеристики (плотность, теплоемкость и др.) изменяются только вдоль некоторого выделенного направления. Наиболее существенное влияние на динамические свойства жидкости оказывает плотностная стратификация, возникающая под действием силы тяжести.
В данной работе рассматривается течение стратифицированной жидкости в ограниченной области со свободной границей. Для исследования характера течения жидкости строится численная модель.
Рассмотрим двумерное установившееся течение несжимаемой невязкой жидкости в ограниченной области С = {(.т,у):0 < х<Х; §(.г) < у < Г(дг)},
где у = Ддг) - свободная граница, у = %(х) - заданная граница. Кусочно-гладкая граница Г состоит из участков втекания, вытекания, непроницаемых стенок и свободной границы.
Для описания течения невязкой несжимаемой жидкости используется система уравнений На-вье-Стокса в переменных «функция тока -вихрь»:
Ду = -со,
Эр Эр и — + у— = 0, дх ду
Эш Эш и —+у — = --дх ду
и =
Эу
V = -
1 Эр Рг2 дх' Э\|/
(1)
(2)
(3)
ду' ’ дх’ где V - функция тока; р - плотность; ш - вихрь; и,м — компоненты вектора скорости; Рг — плот-ностное число Фруда.
Для определения свободной границы, заданной в виде ¥(х,у) ~ 0, используется уравнение
ЭР ЭР „ и — + у— = 0.
дх ду
В данной работе свободная граница задается явно в виде у = Дх). В этом случае уравнение для определения свободной границы принимает вид: сИ-
и1~х=У- <4>
Для задачи (1)—(4) поставим следующие граничные условия.
На участке втекания Гг = {(х,у):х = X; g(А’)<,с<у<с1 < С(Л')} задаем условие для У, р, ш :
У = ЧМ.)0>
Эу
>0
= 1;
где ду
и 0 = \|/,(я) < у < у, (Ь) = 1;
Р = Р|(Ч') и 0 = Р|^ Р ^Р|| _ ш = 0.
На участке вытекания Г2 ={(х,у):х = Х;
считаем известным только значение у;
Ч' = Ч'2 0>).
Эу2
где
ду
>0
И 0 = V)/ 2 (с) < V)/ < \у 2 (</) = 1.
На свободной границе используем условие непротекания:
V = 1> Р = 0. ^
Свободная граница является линией тока, поэтому значение функции тока и плотности на ней сохраняются. Вихрь определяем по формуле:
Рг
где у{ (у) находится из условия для у на участке втекания.
На непроницаемых стенках также ставится условие непротекания.
Установившийся характер течения дает возможность определить значение функций р и ш на всей границе области до начала решения.
Для исследования характера течения жидкости со свободной границей, которое описывается системой уравнений (1)—(4) строим численную модель.
Воспользуемся совмещенной сеткой, когда все неизвестные величины определяют в одних и тех же точках.
Построим в области С сетку равномерную по х и неравномерную по у.
8 = {(/Аде, уДу,): = 0, Ы*,./ = 0, }
где N х , N у — число разбиений по х и у соответ-
ственно; ^ * 4у< -
N.
— шаги по на-
правлению х и у соответственно.
