CC BY
35
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И
Том XV 1 9 84 №5
УДК 533.6.011.5 519.6
РАСЧЕТ СВЕРХЗВУКОВОГО ОБТЕКАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КОНФИГУРАЦИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ СООТНОШЕНИЙ
Т. В. Погребная, В. В. Самсонов
Предлагаемый численный метод позволяет в линейном приближении определять распределенные и суммарные аэродинамические характеристики при внешнем и внутреннем сверхзвуковом обтекании системы произвольных поверхностей (крылья, оперение, воздухозаборник, схематизированный летательный аппарат в целом). На всех поверхностях обеспечивается равномерная точность определения аэродинамических нагрузок. Краевая задача по определению нагрузок на заданных поверхностях сводится к системе интегральных уравнений, которые решаются методом последовательных приближений. Данный метод расчета является дальнейшим развитием и усовершенствованием метода давлений, изложенного в [1]. По сравнению с [1] в предлагаемом методе сокращено число неизвестных функций и соответственно порядок решаемой системы интегральных уравнений.
1. Краевая задача. Поставим задачу по отысканию возмущенного давления р на системе тонких, слабодеформированных поверхностей, обтекаемых сверхзвуковым потоком идеального газа. Граничные условия непротекания зададим на плоских базовых элементах 5’ (рис. 1), схематизирующих рассматриваемую систему. Для летательного аппарата принцип выбора базовых элементов изложен в работе [2].
„ ду
Пусть <р — потенциал возмущенной скорости, ■ . — скос потока в 1-й ба-
зовой плоскости, п1 — положительная нормаль на элементе 5‘.
Краевую задачу сформулируем следующим образом: найти решение стационарного волнового уравнения
а2 д2
□/>=0, п = — (М2 — і) дх2 +-'ду2 +73*2 (О
(здесь и далее все величины безразмерные, ось х направлена по потоку; М — число М) при следующих условиях:
1) давление и потенциал связаны линеаризированным интегралом Коши—Лагранжа
дер
р = “дх ’ (2)
д<(
2) на элементе функции —- — известны из граничных условий
д<р.
дп*'
= 7* (*, г*); (3)
г‘ — координата в плоскости /;
г1 = — у cos (я*, г) + г cos (л‘, у);
3) на диафрагме а' в вихревой пелене 2* отсутствует перепад давления
Л/,Ц2г =р--р+=0'’ (4)
4) на дозвуковой задней кромке элемента S‘ в точке (х*, г1) условие Чаплыгина— Жуковского запишем в виде
Др (х*, г‘) = 0; (5)
d<p
Х-+Х*
5) на волнах сжатия (разрежения) непрерывны касательные составляющие скорости
д<р
д<р
-f. дп
(7)
дп
6) впереди головной волны поток не возмущен
р = <р = 0. (8)
2. Интегральные уравнения. Решение уравнения (1) в случае, если функция р и ее производные непрерывны внутри замкнутой поверхности 5, ограничивающей некоторый объем V, можно представить в виде [1]:
Ер{хй, уо, г0) = -' (Т \ а5 + ‘ Г Г Нр (х, у, г) аБ, (9)
^ П я \ дп ]х, у, г ^ дп
где
Я = У(*о-х)2- (М2- 1)(у0-у)2_(М2_ 1)(г0-г)2, п—конормаль к 5,
II, (х0, у0, г0) — лежит внутри 5;
1/2, (х0, Уо, г0) — лежит на 5 и сое (и, х0) = 0;
(*о> Уо, •г'о) — лежит вне 5;
II, (х, у, г) — лежит внутри Г;
Я
н=
(0, (х, у, г) —лежит вне Г;
Г —обратный конус Маха с вершиной в точке (х0, у0, г0),
конечная часть расходящегося интеграла [3].
Непосредственно применить формулу (9) для решения поставленной задачи нельзя, так как в поле течения обычно имеются поверхности разрыва функции р (базовые элементы, скачки уплотнения, дозвуковые передние кромки). Выделение особых поверхностей из рассматриваемого объема V ведется путем применения формулы (9) к объемам, границами которых являются поверхности разрыва функции р, а также поверхности <т* и 2*. Внутри этих объемов давление предполагается непрерывным.
Интегралы по поверхностям скачков уплотнения с помощью соотношений (2) — .(7) сводятся к линейным интегралам от разности скосов вдоль кривых, на которых
да
имеются разрывы граничных условий —- , генерирующие данные скачки. При выделе-
дп1
нии дозвуковой передней кромки последняя окружается цилиндрической поверхностью малого радиуса е с образующими, параллельными мромке. При е->-0 оценка входящих в (9) интегралов по £>е ведется в предположении, что в окрестности кромки
давление р имеет порядок \Ц^& .
Способ «выделения» базовых элементов забисит от того, непрерывны (задача о несущих свойствах) или разрывны (задача о толщине) нормальные скорости дср/дп’
относительно этих элементов. Для краткости выпишем интегральные уравнения для •случая, когда нормальные скорости непрерывны относительно 5*, т. е.
дер
дп‘
д<?
s‘+ _ дп1
(10)
С учетом условий (2, 3, 4, 7, 8, 10) интегральное уравнение для аэродинамиче-• ской нагрузки Ар на базовом элементе 5* в этом случае можно представить в виде:
А, (*, 4 _ ^ ИР К, «<) + ± 'л нЛ- <*, « +
+ _1_Y ГГях'Др(дс, г')*Ш-й8, (11)
71 ГЙ -U dnk
где
1, (х, у, г) £
1, (х, у, г) £ У'+;
— полупространство, прилегающее к стороне (5^_).
дер
В уравнение (И) входят неизвестные на а1 и £‘ значения функции ---------------------
Согласно [1] имеем;
дп1
д? ,1 1 Г . Г Н (х0 — х)
——г (х0, г!*) I = —т— I dzl \ Др(х, г1) —-----------------------------------------:----dx-{-
sl
1 V-, ^ (‘ f . д dQ
+ (.2)
„k
______________________Хп — X__________________________
V (М2 — 1) (у0 — У) + (М2 — 1) (го — г)
/— обобщенное главное значение интеграла [4].
3. Численный метод решения системы интегральных уравнений. Полученная система интегральных уравнений (11, 12) решается методом последовательных приближений. В первом приближении учитывается только первый интеграл в правой части (И), зависящий от граничных условий на том базовом элементе, где вычисляется нагрузка, т. е.
др (*0, 4) |5,- = 4 | (Нр1 (х■г') Ч^г аБ- <13)
!!1
Таким образом определяется нагрузка на всех базовых элементах 1=1, 2.... Далее эти значения Ар подставляются в уравнение (12) и на всех поверхностях а', 2\ 1=1, 2... определяются функции д(р/дп{.
При расчете второго приближения найденные в первом приближении значения Ар и дф/да* подставляются в правую часть уравнения (11), при этом левая часть (И) дает второе приближение для Ар, которое затем подставляется в правую часть (12) И т. д.
Этот процесс обычно очень быстро сходится, так как первое приближение (интегрирование по несущим элементам) дает основной вклад в решение. Сходимость улучшается с увеличением числа М вследствие сужения областей ст* и и при числах М, когда все кромки базовых элементов становятся сверхзвуковыми, первое приближение является точным решением задачи.
При численном счете нагрузки Ар, равно как и скосы потока дф/дл*, определяются в расчетных точках, расположенных в вершинах трапециевидных панелей, на ко-
торые разбиваются каждый базовый элемент S{ и поверхности а' и 2‘ (рис. 1). Между расчетными точками (внутри панелей) функции,Ар и д(р/дп• интерполируются поверхностью второго порядка. При этом на- всей поверхности базового элемента нагрузка Ар (дф/<3я* на а5 и 2’) является, непрерывной функцией переменных х, zi. Это необходимо для корректного вычисления конечных частей расходящихся интегралов [3] и обобщенного главного значения интеграла [4]. Сгущение панелей в сужающихся частях базовых элементов обеспечивает более точное (по сравнению с обычно применяемой равномерной, прямоугольной или характеристической сеткой) вычисление нагрузки в этих .областях. Важно также то, что данная численная сетка точно описывает форм’у кромок несущих поверхостей. Это позволяет устранить «пилообразные» биения нагрузки по хорде и размаху при численном счете.
Так как в окрестности кромок базовых элементов нагрузка может обращаться в бесконечность,, то соответствующие панели (расчетные точки) «отодвигаются» на расстояние е от кромок. Величина е выбирается из условия равенства подъемной силы панели, отстоящей на е от кромки, подъемной силе той же панели, если бы она полностью примыкала к кромке. В последнем случае считается, что в окрестности кромки нагрузка имеет порядок 1 / f/"е.
При расчете вихревой пелены в расчетных точках, примыкающих к дозвуковым задним кромкам, на каждом- приближении нагрузка и скос потока определяются по гипотезе Чаплыгина — Жуковского (5), (6).
4. Тестовые задачи и примеры расчета. Точность численного метода и правильность работы составленной на его основе программы проверялись путем сопоставления расчетов с точными решениями для простейших крыльев и компоновок.
Характер сходимости нагрузки по приближениям при наличии концевого эффекта показан на рис. 2 для прямоугольного крыла удлинения К=2. Полукрыло разбивалось на Л^я=100 панелей, на диафрагме помещалось Л^=50 панелей.
На рис. 3, а показана сходимость по приближениям суммарных характеристик с^,, т\ для того же крыла. Рис. 3, б иллюстрирует влияние числа панелей на крыле и диафрагме на точность расчета этих характеристик при достижении сходимости по приближениям. ' ■
И последний пример решения тестовой ізада>фі для изолированных крыльев показан на рис. 4, а. Здесь представлены данные расчета и точное решение для Ара при
Прямоугольное крало,Х=2 ,М = ][2
у
3,2
30
Ы5 = Ш; Ые=50 °У
Ь'
(Я
т
г ч.б.в п
л.
3,2
3,0
<
-1,6
-15
----точное решение
о расчет
ЮО
200 /Уг
т.
50
100 ЫЛ
■г
г
Рис. 3
~К=2,5, М = 1,4-14-
й)
X = 2, М= [/7 , Л =0,5 \ I -О
влиянии вихревой пелены на обратном треугольном крыле с дозвуковыми задними кромками.
Представленные выше примеры позволяют удостовериться в точности и работоспособности численного метода для изолированных несущих поверхностей, когда решение определяется двумя первыми интегралами в правой части уравнения (11) и первым интегралом в правой части (12). Следующая тестовая задача позволяет судить о точности расчета нагрузок на пространственных конфигурациях. На рис. 4, б даны расчеты и точное решение для нагрузки в центральном сечении верхнего крыла -биплана, образованного прямоугольными крыльями удлинения Л=2.
Расстояние между крыльями h равно половине хорды крыла. Падающий на верхнее крыло скачок уплотнения, индуцированный нижним крылом, приводит к разрыву в значениях нагрузки в точке х=0,5, соответствующей месту падения скачка. Численный метод позволяет описывать эти особенности эпюр давления.
Распределение аэродинамической нагрузки на компоновке, образованной телом вращения с оживальной носовой частью и стреловидным крылом, показано на рис. 5. Сплошные линии — расчет по предлагаемому методу, точки и штриховые линии — экспериментальные и расчетные данные из работы [5].
ЛИТЕРАТУРА
1. Попыталов С. А., Самсонов В. В. К расчету на ЭВМ аэродинамических характеристик летательных аппаратов при сверхзвуковых скоростях. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1978, № 3.
2. Белоцерковский С. М. Математическая модель летательного аппарата для исследования нестационарных аэродинамических характеристик. — ПММ, 1975, т. 39, № 5.
3. Адам ар Ж- Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. — М.: Наука, 1978.
4. Общая теория аэродинамики больших скоростей. — М.: Воениздат,
1962.
5. Woodward F. A. An improved method for aerodynamic analysis of wing-body-fail configurations in subsonic and supersonic flow: — Theory and aplication NASA GR—2228, Part I, 1973.
Рукопись поступила 16/111 1983 г.
