Расчет столкновения атома газа с поверхностью для различных моделей твердого тела Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том III

19 7 2

М 5

УДК 533.6 011.8:533.722

РАСЧЕТ СТОЛКНОВЕНИЯ АТОМА ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ МОДЕЛЕЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА

А. И. Ерофеев, А. В. Щбакова

Численно решается задача о столкновении атома газа с поверхностью для различных моделей твердого тела — полубесконечной решетки упруго связанных атомов, модели независимых гармонических осцилляторов, модели свободных атомов. Приведены результаты расчетов коэффициентов аккомодации, характеризующих обмен энергией и импульсом между потоком разреженного газа и твердым телом, в зависимости от параметров задачи. Рассматривается влияние модели твердого тела на процесс взаимодействия атома газа с поверхностью.

Сложность описания коллективного взаимодействия на границе фаз приводит к тому, что для решения подобных задач прибегают к моделированию явления упрощенными схемами, области применения которых ограничены определенными интервалами изменения параметров. В работе [1] на примере одномерной задачи были получены оценки для границ применимости модели свободных атомов для случая, когда время взаимодействия атома газа

Фиг. і

с поверхностью х много меньше характерного времени колебания атомов в решетке твердого тела Т. Влияние связей между атомами твердого тела на процесс столкновения атома газа с поверхностью рассматривалось в ряде работ, например [2, 3], для конечного блока атомов твердого тела. Представляется целесообразным провести сравнение взаимодействия атома газа с поверхностью для упрощенных моделей твердого тела и для модели, наиболее полно учитывающей силы, действующие между атомами в решетке.

В качестве такой „эталонной" модели взята полубесконечная трехмерная решетка, ближайшие атомы которой связаны упругими силами.

Численный расчет. Рассмотрим сначала взаимодействие атома газа с поверхностью твердого тела, моделируемого полубеско-нечной трехмерной простой кубической решеткой, при следующих предположениях [4]:

между ближайшими атомами решетки действуют центральные и нецентральные силы с упругими постоянными к и Хх соответственно;

тепловое движение атомов в твердом теле не учитывается, т. е. температура твердого тела принимается равной нулю;

атом газа взаимодействует с некоторой группой поверхностных атомов, и это взаимодействие описывается потенциалом Леннарда — Джонса

а \ 12 / а \6‘

Г

и (г) — 4е

где г — расстояние между частицами, е, а — параметры. В дальнейшем ограничимся случаем, когда атом газа падает на поверхность по нормали (фиг. 1).

При этих предположениях задача сводится к решению следующих уравнений (в безразмерном виде):

Го = -т-2?«;

Iа і к

ь

х1ы V) = Х№ (0) - 6$1 | X ?х1. *, (І - X) &£ (т) А;

0 II Ь’

1

Уік (0 = у1к (0) - 6з, ( X ъг *' (* - ") ёт (') Л;

О V к' і

Ї-ІЬ (^) = 2,4 (0) - 6вх І £ <рг/. к, (* — х) glzikk (х) йх

О к'

с начальными условиями для атома газа

*о (0) = У о (0) =у0, г0 (0) = Н,

2гг V-

и для атомов решетки

(1)

•*о(0)=.Уо(0) = 0, г,

(0) = - У"-

(2)

/?,* (0) = аЛ^*, Яг*(0) = 0.

В соотношениях (1) и (2) введены следующие обозначения:

<Р/*:

1

12

1

'0 ік _2 ^0 ік

г0 ік } \ ' 0 ік

где г01к — расстояние между атомом газа и атомом (і, к.) поверх-нос ти;

е _______ Е0 т

£* ’ 8а — ЦТ > Р-~лГ’

где т, Е0 — масса и начальная энергия атома газа, М — масса атома твердого тела;

gxik (*) = (2^-) J J J (1 + cos 0,) [cos (/ - i') 0,] [cos (k — k') ey] X

X-nyjT- dbxd%d%

2tt

/ —7C

sin Arz

X.

i'k' /\ l'k'

и аналогичные выражения для g\lk (т), g2ik (x),

A* = sin* — + X ^sin2 + sin2 (a, p, 7 = jc, j/, z).

В начальные условия для координат атомов поверхности входит параметр a = //a, где /—расстояние между ближайшими атомами решетки, и вектор Nik, определяющий положение равновесия поверхностных атомов.

Решение сформулированной выше задачи зависит от безразмерных параметров ц, г,, е2, X, а, х0, у0, Н. Параметры л:„, у0 — координаты точек цепи, т. е. координаты пересечения прямой, являющейся продолжением начальной траектории атома газа, с плоскостью, проведенной через положения равновесия поверхностных атомов. Начальное положение атома газа над поверхностью Н,

выбирается так, чтобы 2(2 = Я)~ 0, где fzik — сила, дейст-

ik

вующая между атомом газа и атомом (г, k) поверхности.

Выше было сделано предположение о том, что атом газа взаимодействует с конечным блоком поверхностных атомов. С учетом результатов работ [2, 5] был выбран блок из девяти поверхностных атомов, непосредственно взаимодействующих с атомом газа. Влияние остальных атомов решетки на атом газа можно было бы учесть через фоновый потенциал, как это делалось в работе [6], но так как в настоящей работе основное внимание уделялось качественному сравнению различных моделей, то такой потенциал не вводился. При учете нецентральных сил в дальнейшем ограничимся случаем Х=1. Тогда движение девяти выделенных атомов поверхности будет зависеть лишь от трех функций — So (т), Si (х)> ёг ("). причем индекс указывает величину \i—i'\-\-\k — k'\.

Уравнения (1) решались следующим образом. Дифференциальные уравнения решались методом Адамса с постоянным шагом по трехточечной схеме, интегралы вычислялись по методу прямоугольников, функции gt (1) табулировались в интервале 0<т<;30 с шагом Дт = 0,2; за единицу шага интегрирования уравнений принималась величина h0 — 0,2, однако фактический шаг интегрирования изменялся в пределах /г0 > Л0/16.

В качестве выходных параметров были взяты коэффициенты аккомодации энергии а.е и нормального импульса ал, которые для заданных начальных значений лг0, у0 определялись следующим образом:

». = ' + к7- <*>

Здесь vn0, Е0 — нормальная скорость и энергия атома газа до взаимодействия, а vnf, Ef— по окончании взаимодействия, т. е. тогда, когда атом газа находится на достаточно большом расстоянии от поверхности, так что силой взаимодействия с атомами твердого тела можно пренебречь. Если атом газа пролетал внутрь решетки

или при отражении от поверхности не мог преодолеть потенциальный барьер, то принималось ае — ап=1.

Коэффициенты аккомодации, осредненные по координатам точек цели, обозначим через ле и ая. Для получения ле и а„ координаты точек цели выбирались в квадрате, построенном около атома (0,0) поверхности, и являлись узлами гауссовой сетки по обеим координатам. Количество узлов п по одной координате изменялось от 3 до 10 в зависимости от параметров задачи. В большинстве случаев число узлов равнялось 6—7. Наиболее неудобные с точки зрения осреднения случаи возникают тогда, когда осредняемая функция имеет разрывы. Такие ситуации возникали при значении параметра е2, близком к единице, когда атомы газа пролетали внутрь решетки, и в некоторых случаях при малых г2 (г2 ~ 0,001), когда происходил захват атома газа. В табл. 1 дана зависимость ае от числа узлов п для [* = 0,5,, е! = 0,0001 и ■*= 1; 0,1; 0,01.

Таблица! Таблица 2

п Значения ае при г2, равных *2 Значения ае при /г, равных

I | 0,1 0,01 Ло Л0/2 Л0/4 Л0/8

3 0,831 0,744 0,254 1 1 0,683 0,630 0,638

4 0,903 0,690 — 0,316 0,745 0,710 0,712 0,713

5 0,877 0,723 — 0,1 0,593 0,594 0,594 0,594

6 0,884 0,725 0,253 0,0316 0,427 0,426 0,426 —

7 0,896 0,703 0,253 0,01 0,217 0,216 0,216 —

8 0,889 0,729 0,253 0,00316 0,0821 0,0818 0,0818 —

9 0,899 0,713 — 0,001 0,0350 0,0350 — —

10 0,901 0,710 —

Из таблицы видно, что при «> 5 максимальное колебание значений ае имеет место при з2 ===== 0,1 и составляет примерно 4%. Аналогично положение и для р = 1. Различие в величине vnfy обусловленное числом узлов п, следует тем же тенденциям, что* и в величине ае, но количественные расхождения для разного числа узлов несколько больше, так что максимальное колебание значений ил/ достигает 10%, при этом максимальное колебание коэффициента аккомодации нормального импульса в силу определения (3) существенно меньше.

Влияние шага интегрирования проверялось для отдельных траекторий. В качестве примера в табл. 2 показано влияние к на ае для 1*=1, е, = 0,0001, л;0==0, у0 = О,25.

Как отмечалось выше, шаг интегрирования выбирался в пределах Л0!>/г >/г0/16 так, чтобы отличия в ае при дальнейшем дроблении шага в два раза не превышали 2% при наибольших значе-нияк е2, в большинстве же случаев это отличие не превышало 1%.

Влияние области определения функций реакции решетки gi (т) на результаты расчетов коэффициентов аккомодации проверялось для двух случаев: 1) £•,. (т) = 0 при т > 10 и 2)§г(х) = 0 при т>30. Оказалось, что скорости отраженных частиц и ае в этих двух

4а

случаях различаются на 1—2% при е2 = 0,001, при е2>0,001 различия не превышают 1% и уменьшаются при увеличении е2. Поэтому при проведении основных расчетов полагалось, что р--(т) = 0 при х> 10.

При взаимодействии атома газа с ансамблем независимых гармонических осцилляторов, моделирующих твердое тело, собственная частота осцилляторов принималась равной [1]

ш'=УЙ'(1+4к)’ = = ^ (2+ЗЬ),

где х — упругая постоянная решетки. Как и в описанном выше случае, принималось, что атом газа взаимодействует лишь с девятью поверхностными атомами. Уравнения движения решались численно методом Адамса по трехточечной схеме с постоянным шагом. Контроль за точностью вычислений осуществлялся по закону сохранения энергии, причем шаг интегрирования выбирался таким, чтобы соответствующее соотношение выполнялось с погрешностью не более 1%. Осредненные значения ае, а„ получены так же, как и в рассмотренной выше задаче.

Результаты расчетов. Результаты расчетов ае, ап представлены на фиг. 2—5 (сплошные кривые — взаимодействие атома газа с полу-бесконечной решеткой, пунктирные — взаимодействие с ансамблем гармонических осцилляторов; звездочками отмечены результаты расчетов для модели свободных атомов).

Отметим качественные особенности зависимости коэффициентов аккомодации от параметров задачи. Зависимость ае от е2 рассматривалась ранее [4]. Здесь отметим лишь, что появление минимума в зависимости ае (е2) связано со следующим обстоятельством: с одной стороны, при уменьшении начальной скорости атома газа (или энергии е2) увеличивается время взаимодействия и столкновение стремится к адиабатическому почти без обмена энергией; с другой стороны, атом газа при отражении должен преодолеть потенциальный барьер и при уменьшении г2 этот фактор становится все более существенным.

Увеличение т. е. энергетического параметра в потенциале взаимодействия атом газа — атом твердого тела приводит к увеличению потенциального барьера для атомов газа, и, следовательно, к увеличению ае. Однако при з2^0,1 в ряде случаев (а — 1) на величину ае существенное влияние оказывает пролет атомов внутрь решетки при некоторых значениях л0, у0, причем для меньших значений параметра Е] вероятность пролета внутрь больше, так как меньшему значению ег соответствует меньший эффективный радиус взаимодействия атома газа и атома решетки при данном значении параметра в. В этих случаях для е2^0,1 коэффициент аккомодации энергии уменьшается с увеличением е,. Влияние параметров е, и е2 на а„ соответствует влиянию этих параметров на коэффициент аккомодации энергии.

Как видно из фиг. 2—5, влияние параметра а на коэффициенты аккомодации достаточно велико, причем оно проявляется двояким образом: во-первых, уменьшение а приводит к тому, что при больших значениях е2 уменьшается возможность пролета атомов газа внутрь решетки; во-вторых, уменьшение а приводит к увеличению потенциального барьера для отраженных атомов газа. Благодаря

первому обстоятельству ае уменьшается в некоторых случаях при е2>0,1, в других же случаях определяющим является увеличение потенциального барьера. Таким образом, влияние параметра а на коэффициент аккомодации энергии до некоторой степени.аналогично влиянию энергетического параметра Влияние же параметра а на лп сложнее. По-видимому, здесь сказывается не только *энергетическое“ влияние, но и изменения в индикатриссе рассеяния.

Результаты, приведенные на фиг. 2—5, свидетельствуют о том, что для двух моделей твердого тела (полубесконечная решетка упруго связанных атомов и ансамбль независимых гармонических осцилляторов) качественная зависимость коэффициентов ак-

а = 1

II

\

\

V £,= 0,001 У4 &

\

X & у *

%ооо1\. *— •¥г

е Р|— А = 1 9/37 1

= 0,001 ■

I Л ы

\ \

\ ч / / 0,0001

\ /

\ > г /

ч У

/

ое

1.0

* = / I

\ /

\ <— / / у —.Л

е}-о,ооог 1

V /

N V у X < ' 0 001 /

V к У /

/< А

/ /

г.

0.5

> II

\

^ / (■?

£,■=0,001* ь>~

1

0,0001^

У/

10~3

10* 10 1 Фиг. 3

*г 7

' 10~3

Г п /*=0/) 1

—■ — I

£,= 0,0001

\ X

/ \ \

ч Ч!

/ 0,001

7

ег Г

Фиг. 4

Л ь ( = / 1

1 ч

\ “

е,-%. к— 101

7 / . ч

Фиг. 2

Фиг. 5

комодации от параметров задачи одинаковая, но количественные расхождения могут быть значительными. Эти различия проявляются в большей степени при уменьшении начальной скорости атома газа, т. е. при увеличении времени взаимодействия, и при увеличении отношения масс. Результаты, полученные при больших скоростях и р-» 1, показывают, что в этом случае справедливо положение, высказанное ранее [1, 7] для квази-одномерного случая, о том, что не выполняется условие однократного столкновения, хотя в трехмерном случае этот факт проявляется менее сильно, чем в квазиодномерном. Напомним, что в пределе при больших начальных скоростях для квазиодномер-ной задачи однократное столкновение атома газа и атома поверхности происходит при а величина зависит от модели

твердого тела. Так, при взаимодействии с линейным гармоническим осциллятором (д.* =0,697, а для модели полубесконечной решетки упруго связанных атомов при Х=1 величина |л*=0,84. Отсюда следует, что при нарушении условия ^<1** ПРИ больших скоростях атома газа связи атомов в решетке будут оказывать влияние на взаимодействие, а так как эти связи в рассматриваемых моделях твердого тела различны, то это и приводит к количественным расхождениям в величинах коэффициентов аккомодации при * 1.

Величина |j.* для квазиодномерной задачи является границей применимости по [д. модели свободных атомов при больших скоростях. Результаты расчетов для трехмерного случая для модели свободных атомов, представленные на фиг. 2 — 5 линиями со звездочками, также показывают, что при [х<0,7 и больших начальных скоростях величины ае, полученные для трех моделей, близки, а при р -* 1 расхождение в результатах достаточно велико. Это сравнение показывает, что в трехмерном случае для оценки возможности применения модели свободных атомов при больших скоростях атома газа можно пользоваться результатами, полученными для квазиодномерной задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ерофеев А. И. О взаимодействии быстрых частиц с поверхностью твердого тела. „Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 4, 1970.

2 Пярнпуу А. А. Модели взаимодействия разреженного газа с поверхностью. В сб. „Численные методы в теории разреженного газа“. Изд. ВЦ АН СССР, 1968.

3. Oman R. A., Bogan A., Li С. Н. Theoretical prediction of momentum and energy accomodation for hypervelocity gas particles on an ideal crystal surface. Rarefied Gas Dynamics, vol. 1, 1967.

4. Goodman F. O. On the theory of accomodation coefficients V. Classical theory of thermal accomodation and trapping. Rarefied Gas Dynamics, vol. 1, 1967.

5. Oman R. A., Bogan A., Weiser С. H., Li С. H. Interaction of gas molecules with an ideal crystal surface. AIAA J , vol. 2,

No 10. 1964.

6. Ерофеев А. И. Об обмене энергией и импульсом между атомами и молекулами газа и поверхностью твердого тела. ПМТФ,

1967, № 2.

7. Goodman F. О. The dynamics of a simple cubic lattics. I. Application to the theory of thermal accomodation coefficients. J. Phys. Chem. Solids, vol. 23, No 9, 1962.

Рукопись поступила I7jXIl 1971 г