CC BY
38
Численные методы расчета конструкций
РАСЧЕТ СТАЛЕЖЕЛЕЗОБЕТОННОГО ПРОЛЕТНОГО СТРОЕНИЯ
С УЧЕТОМ ПОДАТЛИВОСТИ СТЫКА МЕЖДУ СТАЛЬНЫМИ БАЛКАМИ И ПЛИТОЙ МЕТОДОМ СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ
С.А. ОСИПОВ,
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет
Конструкция типового сталежелезобетонного пролетного строения состоит из двух стальных главных балок с поясами переменного сечения и центрального прогона, объединенных железобетонной плитой и системой горизонтальных и вертикальных связей. При реконструкции такие пролетные строения часто усиливаются и уширяются путем устройства дополнительной накладной плиты поверх старой.
Приближенные расчетные модели таких конструкций обычно строятся на основе теории тонкостенного стержня открытого профиля Власова [1], как, например, в программе МОБТБОВЗ [2]. Однако основные допущения этой теории - пренебрежение деформациями сдвига срединной поверхности профиля, недеформируемость контура поперечного сечения и замена решетчатых связей эквивалентной по жесткости на сдвиг мембраной - могут привести к большим погрешностям расчета. Кроме этого, соотношение ширины типового пролетного строения к длине изменяется в диапазоне 0,2 - 0,3, что превышает допустимое по теории Власова значение 0,1. К серьезным недос?аткам данной приближенной расчетной модели можно отнести невозможность определения усилий в элементах горизонтальных и вертикальных связей и точного учета податливости продольных стыков между главными балками и железобетонной плитой, а также между старой и накладной плитами.
Разработка более точной расчетной модели с использованием метода конечных элементов (МКЭ) и известных программных комплексов на его основе не снимает все указанные недостатки, поскольку конструкция соединений балок и плит, а также учет податливости стыков требуют применения специальных конечных элементов (КЭ), которые могут отсутствовать в библиотеке КЭ конкретной программы. Поэтому ниже предлагается уточненная расчетная модель сталежелезобетонного пролетного строения, учитывающая специфику данной конструкции и разработанная на основе метода суперэлементов (МСЭ) Конечные элементы, используемые в расчетной модели
Уравнение статического равновесия каждого отдельного элемента е, из которых строится расчетная модель, представляется в виде
Се«е=8*+Яе > (О
где йе,£е, яе - векторы перемещений, внешних усилий, действующих на элемент е со стороны остальных КЭ, и нагрузки; Се- матрица жесткости. Поле перемещений в МКЭ аппроксимируется в виде
и = Фги, (2)
где Ф - матрица, составленная из функций формы (ФФ) КЭ; й - вектор пере-
мещений по направлениям степеней свободы (СС). Все ФФ, используемые в расчетной модели, представляются в виде линейных степенных полиномов или кубических полиномов Эрмита.
При построении уточненной модели можно использовать готовые матрицы жесткости для пластинчатых и стержневых КЭ с характерными наборами СС, а затем привести их к нужному виду с помощью специальных процедур преобразования: перехода СС из локальной системы координат (ЛСК) в глобальную систему (ГСК); статической конденсации СС; редукции СС.
Прямоугольный КЭ плоского напряженного состоянш (ПНС) с 16 СС КЭ с высокоточной аппроксимацией полей перемещений, которые задаются в виде произведений линейных и кубических полиномов ФФ. Вектор СС для КЭ ПНС в ЛСК имеют вид
и = [и* | »„] = [«^ | Ро I ит ! ао]- (3)
Здесь и далее греческими буквами г], £ обозначены координатные оси ЛСК, оси ГСК - латинскими х, у, г , а г = 1,2,3,4 номера узлов КЭ. Буквами и обозначены линейные степени свободы, а а ,/3- угловые , равные:
а4=ие> ач = ; ас=и4п; Р( = и* \ Рп=и\\ р( = , где верхние индексы указывают производную по соответствующему аргументу. Таким образом, в каждом узле КЭ есть две линейных и две угловых СС, что обеспечивает высокоточную совместность этих элементов по всем граням. Матрица жесткости данного КЭ получена и приведена в [3].
Прямоугольный КЭ изгиба плиты с 12 СС Элемент построен по теории Кирхгофа изгиба тонких плит, не учитывающей деформации сдвига. Обычно для аппроксимации плитных КЭ с 12 СС из-за недостатка граничных условий применяются неполные произведения кубических полиномов от координат, что приводит к несовместности элементов по поворотам граней. Обеспечивается данная совместность путем использования полных произведений полиномов, однако в этом случае в каждом узле КЭ добавляется «неудобная» СС в виде смешанной производной . Условия равенства нулю данных СС позволяют построить совместный, а значит, более точный КЭ с традиционным набором из 12 СС. При этом вектор СС имеет вид
| % ! (4)
причем набор степеней свободы в узле состоит из линейной и двух дополнительных угловых степеней свободы, которые обеспечивают высокоточную совместность элементов по всем граням элементов. Матрица жесткости данного КЭ получена в [4].
Стержневой КЭ с 12 СС Поле перемещений стержня задается в векторе й четырьмя компонентами
й = [и4 ип и( , (5)
которым соответствуют четыре вида напряженно-деформированного состояния (НДС): растяжение-сжатие, изгибы в плоскостях £-77 и по теории Бер-
нулли-Эйлера, не учитывающей деформации сдвига, и кручение. При этом для растяжения-сжатия и кручения задаются линейные ФФ, а для изгиба - полиномы Эрмита. Данной аппроксимации соответствует вектор перемещений КЭ с 12 степенями свободы
й = [и£ | итц | й\ | =[и(, | ип, | а(, ( и0 { | а^,]7, (6)
где / = 1,2 номера узлов и традиционная для стержневого КЭ матрица жесткости с = <иаё[с?\сп\с(\ск], (7)
подматрицы которой общеизвестны из литературы по МКЭ.
КЭ распределенного по длине упругого слоя с 12 СС Данный КЭ используется в расчетной модели для учета податливости продольного стыка между верхними поясами главных балок и низом железобетонной плиты. Податливость стыка моделируется разделением перемещений и^, ип
в его плоскости на верхние и нижние, обозначаемые в дальнейшем индексами у и п, и введением между ними распределенных по длине упругих связей с погонными жесткостями с^, сп.
В КЭ упругого слоя поле перемещений й задается с разделением их по направлениям на верхние и нижние перемещения и представляется в виде
"=[«£ I "ч]7-=[и*» 4?« К* М;7«]Г' а внутренние усилия и деформации разделяются только по направлениям. При этом аппроксимацией полей перемещений в направлении оси £ задаются в виде произведения линейных ФФ, а по т] - линейных и кубических полиномов ФФ. Вектор СС для данной аппроксимации имеет вид
« = ["* К]Г = [й(* ! **» I ! =[М[п | К I а«][п
(9)
Матрица жесткости КЭ приведена в работе [5].
КЭ распределенного по площади упругого слоя с 32 СС КЭ предназначен для учета податливости продольного стыка между верхом старой железобетонной плиты и низом новой накладной плиты. От предыдущего элемента данный КЭ отличается распределением упругих связей с коэффициентами жесткости с,, сп не по длине, а по площади. Векторы ФФ задаются в виде произведений линейных и кубических полиномов, данной аппроксимации соответствуют подвекторы СС из (9):
= [ио \ Ро]{„; V.» = К1 ][„ (1 °)
и матрица жесткости КЭ приведена в [5].
Дискретизация блока пролетного строения конечными элементами
Часть конструкции пролетного строения между вертикальными связями назовем для краткости блоком. Таких связевых блоков в реальных конструкциях обычно бывает 8-12. Расчетную модель пролетного строения будем строить по методу суперэлементов в два этапа. На первом осуществляется дискретизация отдельного блока приведенными выше конечными элементами, преобразо-
вание матриц жесткости КЭ с учетом специфики конструкции и сборка из них матрицы жесткости блока. Второй этап заключается в построение из матриц блоков глобальной матрицы жесткости пролетного строения с учетом условий опирания.
Дискретизация конструкций блока показана на рис. 1. Новая накладная плита в расчетной модели блока представлена КЭ пластины [Т] (см. рис. 1), собранная согласно двум видам НДС из КЭ ПНС с 16 СС и КЭ изгиба плиты с 12 СС. Старая железобетонная плита - КЭ
аналогичный, как для накладной
плиты. Стенки главных балок - КЭ ¡Т] ПНС с 16 СС (НДС изгиба плиты не учитывается). Пояса главных балок и центральный прогон с учетом вутов плиты представлены стержневыми КЭ|4|с 12 СС. Продольный стык между главными балками и старой плитой - КЭ | 5 | упругого слоя с 12 СС. Продольный стык между старой плитой и новой накладной плитой - КЭ [б] упругого слоя с 32 СС.
Горизонтальные и вертикальные связи НДС растяжения-сжатия.
стержневые КЭ с двумя СС для
Рис. 1
Поперечное сечение сталежелезобетонного пролетного строения - правая половина, дискретизация блока конечными элементами - левая половина
Объединение КЭ производится в узлах, соответствующих характерным точкам конструкции в плоскости вертикальных связей и однотипно по длине пролетного строения (см. рис. 1). Узел 1 соответствует по положению краю накладной плиты, а краю старой плиты - узел 2. Стыковка между балкой и плитой осуществляется в узле 3, а объединение прогона и плиты - в узле 5. Соединение стенки и нижней полки балки выполняется в узле 4, а в узле 6 сходятся раскосы горизонтальных связей. Для другой половины КЭ модели нумерация по аналогии. Связь КЭ по СС показана на рис. 2 на примере узла 5.
На рис. 2 приняты обозначения: И - высота конкретного элемента блока пролетного строения, причем верхние индексы соответствуют: И- новая накладная плита, Р - старая основная плита, - полка балки, & - стенка балки, 51 - объединенные СС полки и стенки балки. Дополнительные нижние индексы V, п, g обозначают соответственно верхнюю, нижнюю СС и СС жесткой консоли. Нумерация КЭ [Г) - [б] приведена на рис. 1.
Железобетонные плиты пролетного строения обычно имеют небольшие на-
клоны в поперечном сечении для организации водоотвода с проезжей части (см. рис. 1), поэтому оси ЛСК КЭ плит не совпадают с ГСК блока и выполняется преобразование матриц жесткости из одной системы координат в другую. Для этого формируется матрица перехода от СС плиты в ЛСК к соответствующему набору в ГСК. Аналогичные действия производим над матрицами жесткости КЭ горизонтальных и вертикальных связей.
Поскольку СС КЭ [П |~б] упругих слоев (см. рис. 2) располагаются в плоскостях соответствующих стыков, а СС КЭ [Т], |2|, 4 плит, поясов главных балок и прогона - в плоскостях центров тяжести элементов, не совпадающих с плоскостями стыков, в узлы вводятся жесткие консоли и часть СС приводится к уровню стыков. При этом исходный набор СС КЭ плит, приведенный в (3) и (4), преобразуется к новому набору СС
(П)
Рис. 2. Узел 5, вид сбоку
« = [",] , й, = \uxlv ихш uyiv иут uzt Д., аг/] ,
где / = 1,2,3,4 номера узлов.
При построении суперэлемента (СЭ) блока пролетного строения выполняется статическая конденсация внутренних узлов, по которым соседние блоки не стыкуются. Так для поясов главных балок с переменным поперечным сечением исключается узел в месте перемены сечения, а для системы горизонтальных и вертикальных связей - узлы соединения КЭ вертикальных раскосов и нижней распорки.
На последнем этапе выполняется сборка СЭ блоков в СЭ пролетного строения и преобразования редукции СС. При этом на часть СС в узлах могут накладываться дополнительные условия, обеспечивающие полную совместность деформирования плиты старой и новой между собой и с балкой, а также условия недеформируемости контура или закона плоских сечений, обычно используемые в приближенных теориях расчета.
Таким образом, предлагаемая расчетная модель сталежелезобетонного пролетного строения на основе МСЭ позволяет учитывать податливость продольных стыков между балками и плитами. Данная методика дает возможность определять усилия в элементах плит, балок, упругого слоя их объединения, системы связей и оценивать точность результатов, получаемых с применением приближенных расчетных моделей для конкретных конструкций данного типа.
Численные исследования
Предложенная суперэлементная модель была реализована в программе «JOINT» для персональных ЭВМ. Исследования проводились для конкретного пролетного строения автодорожного моста на обходе г. Воронежа, который был испытан в процессе реконструкции в 1996 г. В соответствии с проектом реконструкции было выполнено уширение проезжей части моста путем монтажа на
существующую железобетонную плиту дополнительной накладной сборно-монолитной железобетонной плиты. Данные моста: габарит Г9 + 2x1,0 м, длина пролета 43 м, проектные нагрузки Н-30, НК-80, увеличенные после реконструкции на А-11 и НК-80.
Расчеты выполнялись на испытательную нагрузку (см. рис. 3 и рис. 4), состоящую из двух колон грузовых автомобилей КамАЗ весом по 20 тс. Колонны располагались со смещением к одному из тротуаров по двум схемам загруже-ния, вызывая наибольшие усилия и прогибы поочередно в каждой главной балке. В ходе испытаний измерялись деформации поясов главных балок и элементов связей, абсолютные сдвиги между верхними поясами балок и железобетонной плитой в опорных сечениях, а также прогибы середины пролета в пяти точках поперечного сечения: главные балки, центральный прогон и края тротуаров.
Рис. 3. Испытательная нагрузка на мосту
В первоначальном расчете по программе «JOINT» стык между плитой и балкой считался монолитным, у которого абсолютные сдвиги между плитой и балкой отсутствуют. Вычисленное значение среднего прогиба главных балок, равно 19,06 мм, а аналогичная величина экспериментального прогиба -18,84 мм, что говорит о хорошем совпадении расчетной и реальной изгибной жесткости сооружения. При этом значение расчетного угла закручивания поперечного сечения, равного 1,4153'10"3 рад, отличается от экспериментального 1,4462' 10'3 рад в меньшую сторону на 2,2%, что означает завышение расчетной крутильной жесткости. В дополнение к этому эксперимент показал наличие абсолютных сдвигов между плитой и балками в опорном сечении: для наиболее нагруженной балки он составил 51.9 мкм, а для менее нагруженной 26.8 мкм, что также указывало на необходимость учитывать в расчете податливость стыка.
Учет податливости стыка в программе «JOINT» реализован двумя способами. Первый способ задания конкретного коэффициента погонной жесткости стыка, который может быть рассчитан в зависимости от типа конструкции объединения, а для эксплуатируемых сооружений и от реального состояния стыка с учетом дефектов. Второй - задание жесткости стыка через коэффициент ослабления, который интерпретируется, как отношение усилия, возникающего в по-
и графики прогибов в середине пролета
датливом соединении, к аналогичному усилию в монолитном стыке. Значение коэффициента ослабления К0 лежит в пределах от 1 (монолитное соединение) до 0 (отсутствие связей) и может назначаться расчетчиком исходя из своего опыта, данных обследования стыков, а также результатов испытаний моста.
При повторном расчете данного автодорожного моста податливость стыка задавалась с помощью коэффициента ослабления, который подбирался из условия равенства расчетных и экспериментальных абсолютных сдвигов, и в итоге был принят К0 = 0,9. В результате получено хорошее согласование графиков прогибов (рис. 4) и совпадение расчетного угла закручивания 1,4351*10"3 рад с экспериментальным с точностью до 1%. Данное совпадение расчетных и экспериментальных углов закручивания поперечного сечения и абсолютных сдвигов между плитой и балками свидетельствует об адекватности предлагаемой расчетной модели при К0 = 0,9 и реальной конструкции.
Исследовалось изменение среднего прогиба в середине пролета в зависимости от коэффициента ослабления Ко стыка, который принимался постоянным по длине пролета. Графики изменения прогибов показаны на рис. 5, где сплошным линиям соответствуют прогибы наиболее нагруженной балки а пунктирным менее нагруженной балки.
Для данного пролетного строения построены графики абсолютных сдвигов Г между плитой и балкой в опорном сечении в зависимости от коэффициента ослабления К0 упругого слоя, показанные на рис. 6. Графики на рис. 5, 6 позволяют по экспериментальным значениям прогибов и абсолютных сдвигов подобрать величину Ко и достоверно оценить степень податливости стыков.
Так же построена зависимость погонного усилия Т в опорном сечении от
Рис. 5. График прогибов в зависимости от коэффициента ослабления К0 стыка
Г, мкм
сдвиг между плитой и менее нагруженой балкой
Рис. 6. График зависимостей абсолютных сдвигов Г от коэффициента ослабления Ко стыка
)( усилия в стыке менее нагруженой балки с плитой Рис. 7. График зависимости усилий Т в стыке от коэффициента ослабления Кй
коэффициента ослабления К0 упругого слоя, представленная на рис. 7. Из последнего графика видно, что резкое снижение величины усилия Т происходит при Ко < 0,2.
Таким образом, предложенная суперэлементная модель пролетного строения благодаря учету податливости продольных стыков позволяет более точно рассчитать НДС конструкции, что подтверждается хорошим совпадением приведенных расчетных и экспериментальных данных. Проведенные исследования дают возможность оценить влияние ослабления стыка на общую жесткость моста (см. рис. 5) и рассчитать величины абсолютных сдвигов Г и погонных усилий Т в стыке.
Литература
1. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. -М.: Физматгиз, 1959.-568 с.
2. Петранин A.A., Петреня E.H. Программа MostSGB3. Свидетельство о госрегистрации программы для ЭВМ / Серия Б № 0218-01.1.0.RUS. Код ОКП 50 3100 30218 03000. Госком РФ по связи и информатике. Межотр. НИИ «Интеграл».-М., 2001.
3. Петреня E.H., Петранин A.A. Построение прямоугольных конечных элементов пластины переменной толщины с высокоточной аппроксимацией // Современные методы статического и динамического расчета сооружений и конструкций. Вып. 4. - Воронеж, 1998. - С. 60-70.
4. Петреня E.H., Петранин A.A. Построение совместного по перемещениям плитного конечного элемента с учетом инерции вращения// Современные методы статического и динамического расчета сооружений и конструкций. Вып. 2. -Воронеж, 1993. - С. 27-33.
5. Петреня E.H., Осипов С.А. Суперэлементная модель сталежелезобетон-ного пролетного строения автодорожного моста с накладной плитой, учитывающая податливость продольных стыков// Современные методы статического и динамического расчета зданий и сооружений. - Вып. 2. - Воронеж, 2005. - С. 104-120.
CALCULATION OF REINFORCED CONCRETE SPAN STRUCTURE WITH ELASTIC JOINT BETWEEN STEEL BEAMS AND SLAB BY SUPERELEMENT METHOD
S. A. Osipov
The super element model for the reinforced concrete bridge strengthened by a superimposed slab is presented. The model has an elastic joint between beams and a slab. High precision rectangular and bar finite elements were used for approximation.
