Расчет спектральных ДОЭ Текст научной статьи по специальности «Физика»

РАСЧЕТ СПЕКТРАЛЬНЫХ ДОЭ

Л.Л. Досколович*, О.И. Петрова+ * Институт систем обработки изображений РАН, + Тольяттинский политехнический институт

Разработан метод расчета спектральных фазовых дифракционных решеток для разделения трех длин волн по трем различным дифракционным порядкам. Метод применен к расчету двухволновых дифракционных оптических элементов, предназначенных для разделения и заданного преобразования двух спектральных компонент освещающего пучка.

(1)

1.Введение

Расчету и использованию дифракционных оптических элементов (ДОЭ) для преобразования и фокусировки монохроматического излучения посвящено большое количество работ. Для работы с различными длинами волн известны спектральные ди фракционные решетки (color separation gratings), позволяющие разделить три длины волны Л0, Л+1 =Л0 N /(N +1), Л-1 =Л0 N /(N -1) ,

где N - целое число, по 0, +1 и -1 дифракционным порядкам [1-3]. Спектральные решетки имеют множество потенциальных применений в таких областях как спектроскопия, цветная печать и фотографии, распознавание и формирование цветных изображений [1-3]. Перспективным является использование спектральных решеток для селективного возбуждения и разделения продольных мод для повышения пропускной способности волоконно-оптических линий связи.

В данной статье рассмотрен расчет спектральных решеток, обобщающих известные решетки на случай более общей связи длин волн и номеров дифракционных порядков. Метод расчета решеток применен к расчету двухволновых ДОЭ, предназначенных для выполнения двух различных оптических функций для двух длин волн. В качестве частного примера двухволновых ДОЭ рассмотрен расчет спектральных линз для разделения и фокусировки трех длин волн в три точки на оптической оси.

2. Спектральные решетки

Рассмотрим сначала известные спектральные дифракционные решетки, позволяющие разделить длины волн (1) по 0, +1 и -1 дифракционным порядкам. Спектральная решетка имеет на периоде N ступенек равной ширины с высотой [1-3]

d, =Л0 ■ i /(n -1), i = 0, N -1 (2)

где n- показатель преломления материала решетки для длины волны Л. Пренебрегая дисперсией материала решетки, определим связь фазового набега 9 с высотой рельефа решетки для длины волны Л ^Л0 в виде [1-3];

р = 2ж\п - /2, I = 0,N -1 (3)

Согласно (3) получим, что решетка (2) для плоских пучков с длинами волн (1) формирует следующие фазовые набеги;

- . Л0 , . 2П

90 = 2m, 9-1 = — 90 = 2п-N,

Л0

2п

(4)

9+1 =-т°- 90 = 2П + —, i = 0, N -1 Л+1 N

С учетом 2п-периодичности фазы, представим фазовые набеги (4) в виде:

90 = ° 9-1 =-:

2п ■ i

N

9+1 = i = 0, N -1 +1 N

(5)

Поскольку для длины волны Х0 фазовый набег равен нулю, то данная спектральная компонента направляется в нулевой порядок. Для длин волн 2±1 фазовые набеги (5) соответствуют фазовым функциям призм, квантованных по N уровням;

р±1 = FN (± 2жи / а) (6)

где а -период решетки, а функция

(7)

описывает операцию квантования по N уровням. Это обеспечивает фокусировку длин волн Л+j в порядках ±1. Вследствие квантования, доля энергии спектральных компонент Л±! фокусируемая в порядках ±1, описывается функцией;

E(N)= Sine 2 (п/ N) . (8)

Рассмотрим расчет спектральных решеток, обобщающих известные решетки (2). Дисперсию материала решетки учитывать не будем [1-3]. Первоначально проведем расчет решетки для разделения по двум порядкам с номерами n0 и n1 длин волн Л, Л1, связанных более общим по сравнению с уравнением (1) соотношением

Л0/ Л1 = M / N (9)

где M и N - взаимно-простые числа. Профиль такой решетки предлагается определить через фазовые функции квантованных по M и N уровням дифракционных призм

fm (u )=Mnint

fN (u ) = -2nint

M mod2n ((nn0«)

2п

N 2п

mod2n(2n7jM)

(10)

где и е [о, 1] - координата профиля, нормированная

на период решетки. Для удобства выкладок рельеф спектральной решетки определим через индексы

значений 2п /М, 1 = 0,М -1, 2ц / N, ] = 0, N -1,

принимаемых квантованными FM (u), Fn (u), в виде;

An

функциями

H(i, j) = 1) [ /M + 2n • Mn (i, j)]

(11)

i = 0, M _ 1, j = 0, N _ 1,

где M0(i,j) - неизвестная функция, принимающая целые неотрицательные значения. Решетка (11) при A=A формирует фазовый набег равный по модулю 2п фазовой функции квантованной призмы Fm (u). Это обеспечивает фокусировку длины волны Ад в порядке n0. При A=Aj фазовый набег, формируемый решеткой (11), имеет вид

ф(, j; Aj) = 2n(M / N) / M + M 0 (i, j)

- - (12)

i = 0, M _ 1, j = 0, N _ 1.

Для фокусировки компоненты А\ в порядке n функция M0(i,j) в (11) должна выбираться из условия равенства по модулю 2п выражения (12) квантованной фазе Fn (u) в (10). Это дает для расчета функции M0(i,j) следующее уравнение

2n(M / N )[i / N + M 0 (i, j)] =

= 2п [ / N + M1 (i, j)], i = 0,M _1, j = 0, N _ 1. (13) где M\(i,j) - произвольная функция, принимающая целочисленные значения. Прямой подстановкой можно убедиться, что решение уравнения (13) имеет вид:

|M0 ( j) = а10 _i)+ Nz = modN (а1 (( _ 0)

[M! (i, j) = «2 (( _ i) + Mz , (14)

/■ = 0, М -1,] = 0, Ж -1

где а, а2 - целые числа, определяемые из решения уравнения

М ■а1 - N -а2 = 1. (15)

Поскольку числа М и N взаимно-простые, то уравнение (15) всегда имеет решение в целых числах по теореме о наибольшем общем делителе. Согласно (14), формула для профиля спектральной решетки имеет вид:

H (u )= H (i, j ) =

А0

2n(n _ 1)

M i + 2n • mod N (1 ( _ i))

(16)

где

i = in( M mod2n (2яп0 u)

j = intl -N- mod2n(2nn1u)|. Частным случаем (16)

является решетка

H (u )= H (i, j ) =

A0

x mod

N

a1 intl N

(n _ 1)

mod2n(2nn1u )

2n

(17)

для разделения спектральных компонент

А0, А+1 =А0 N / М =А0 N /(Ж + р),

А_1 =А0 N /(Ж - р), р = М - N

по порядкам 0, и +п и -пь В частности, из (17) несложно получить, что спектральная решетка для разделения длин волн (18) по порядкам 0 и ±1 имеет на периоде N ступенек равной ширины с высотой

dj =

A0

(n _ 1)

modn (а), i = 0, N _ 1

(19)

где а! определяется из решения уравнения (15). Известные спектральные решетки [1-3] являются частным случаем решетки (19) при M=N+1.

3. Двухволновые ДОЭ

Уравнения (11), (16) могут быть использованы для расчета двухволновых ДОЭ, предназначенных для разделения и преобразования двух длин волн из (18). Обозначим (рМ (и), р\ N (и), где и = (и,V) -

декартовы координаты в плоскости ДОЭ, квантованные по Ми N уровням фазовые функции, рассчитанные для некоторых заданных преобразований плоских монохроматических пучков с длинами волн А А+1 из (18). Тогда высота рельефа в каждой точке и апертуры двухволнового ДОЭ определяется по формулам (14)-(16), где числа (у) соответствуют индексам значений квантованных функций ( М (и), р1 N (и) в данной точке. Таким образом, расчет

двухволнового ДОЭ сводится к двум независимым задачам расчета квантованных фазовых функций, для решения которых разработаны эффективные итерационные алгоритмы [4, 5].

При достаточно больших М, N, (при N>4) ошибкой квантования можно пренебречь. В этом случае можно проводить расчет двухволновых ДОЭ на основе непрерывных функций р(и), р\ (и). Действительно, полагая в (16)

( _i )=int

N ( ) т-п(и)

2п

_ int

2п

int

N

, _Mп(и)+Ш (и)

2п I N v 7 V 7

(20)

получим непрерывный аналог формулы (16) в виде

H (и) =

A0

2n(n0 _1)

[р(и)+2п-

• mod

N

а • int

N ( M

2п I N

П(и) + П1(и)

(21)

де:

Функцию рельефа (21) удобно представит в ви-

H(и) = 2n(A _ 1) [ + G П(и))] (22)

где функция G описывает нелинейное преобразование фазы

П(и)= mod2n(_M п(и)/N + п ()) (23)

по закону фазового набега спектральной решетки (19) для длины волны A0;

G(#) = 2п • mod n (а • int[j • # / 2п] (24)

# e [0,2п) ( )

x

4. Спектральные линзы В качестве важного примера двухволнового ДОЭ рассмотрим расчет спектральных линз для разделения и фокусировки длин волн (18) в три точки на оптической оси. Рельеф линзы определим в виде (22), (24), где

р(и) = шоа2п (- р • р(и) / N + р1 (и)), (25)

р(и) = mod

2я

2 I

яи

20 /0

Р1 (и) = -

яи

20 /1

(26)

фазовые функции линз с фокусами/0 и/1.

Используя формулу (3) несложно получить фазовые набеги, формируемые линзой (22), (24), (25),(26) для длин волн (18) в виде

Ф(и; 20) = р(и) = —Пи—, Ф(и; 2+1) =

20 / 0

¡•Р(и) + FN I-N р(и)+р/ (и)

ф(и;2-1 ) =

N - р

N

(27)

•Р(и)-

- FN \-^р Р(и )+Р/ (и)

N

Пренебрегая ошибкой квантования в (27) и полагая FN \--р р(и)+р1 (и) I ~ р р(и) + р1 (и), полу-

N

N

Ф(и; 20) = р(и) = -—-, Ф(и; 2+1) =

20 /0

= р(и)+р1 (и) = -

яи

2+1/+1

(28)

ф(и;2-1 )=р(и)-р1 (и)=-

яи

2-1 /-

где

/+1 =

/-1 =

N + р /0 • //

N // + /0 N - р /0 • //

(29)

N // - /0

Фазовые набеги (28) соответствуют фазовым функциям линз с фокусами /0, /+1, /-1, что обеспечивает требуемое разделение и фокусировку длин волн (18) в трех точках на оптической оси. Для уменьшения частоты микрорельефа целесообразно рассчитывать спектральную линзу как дополнение к тонкой не дифракционной линзе с фокусом 10 В этом случае положим р(и) = 0 в (22), (25) и получим спектральную зонную пластинку

\ \ 2 II

Н (и) =

20

2я(п0 -1)

О

шod

2я

пи

20 /1

//

(30)

Зонная пластинка (30) для длин волн (18) формирует фазовые набеги

Ф(и; 20) = 0, Ф(и; 2+1) = FN (р (и))« Р1 (и), Ф(и; 2-1 ) = FN (р1 (и))*-р! (и)

Добавляя фазовые набеги (31) к фазовым набе-

гам

Р(и) = -

яи

22/0

А = 0,+1,-1,

(32)

формируемым для длин волн (18) тонкой не дифракционной линзой, получим сферические пучки с фокусами

/00 • /1

/0 , /+1 =

N + р

N '

N + р + /1 ■ — + /0

/-1 =

N - р /0 • //

(33)

N

// —-р - /0

N

что обеспечивает требуемое разделение длин волн.

5. Расчетные примеры В качестве примера рассмотрим расчет 'двух-волновых решеток' для формирования 4-х порядков ±2, ±1 при длине волны 2=20 и 3-х порядков 0, ±1 при длинах волн 2+1=320/4 и

2+1=920/4, соответственно. Расчет решеток (период а) проведем по формуле (16) на основе квантованных фазовых функций 4-х и 3-порядковой решеток, принимающих в интервалах периода [(/ -1) • а /4,/ • а /4], / = 14 значения (0, я, я/2, 3 я/2)

и (0, 0, 2я/3, 2я/3), соответственно. В скалярном приближении Кирхгофа интенсивности порядков I для решетки с фазой р(и) определяются как квадраты модулей коэффициентов Фурье функции ехр(/р(и)). Для 4-порядковой решетки /-2=/-1=/1=/-2=0.205, а для 3-порядковой решетки /0=0.304, I. 1=/1==0.25. Следовательно, приведенные решетки концентрируют более 80% энергии в требуемых порядках -2, -1, +1, +2 и -1, 0, +1.

При 2+1=320/4 из (14)-(16) получим а1=а2=1 и М0 ])= modз (/ -1). При этом рельеф спектральной решетки для длин волн 20 и 2+1=320/4 принимает вид:

0,

20 3я,

2я(п -1) | 0.5я, 3.5я,

Н (и ) =

и е [0, а/4) и е [а/4, а/2) ие [а/2,3а/4) и е [3а/4, а)

(34)

к 0.2

0.1

а)

т , т ■

-6 -4

чим

2

1

h 0,3

0,2

0,1

б)

_L

-6 -4 -2 0 2 4 6

Рис.1. Интенсивности порядков решеток (34) и (35) для длин волн A0 (а) и A+1=9A0/4 (б). Шо\-

а)

б)

О

I(z)

0.8 0.6 0.4 0.2 О

u/R

0.2 0.4 0.6

0.8

_ Я+1

- Ao

- A-i

- ■Л M

5.6 5.8 6.0 6.2 6.4 6.6

Рис.2. (а) Зонная пластинка для разделения длин волн А0=0.63мкм, А+1=5 А0/6, А-1=5 А0/4 по трем фокусам, (б) Распределение интенсивности на оптической оси.

При А+1=9Ао/4 из (14)-(16) получим а1=-2, а2=1, М0 (, })= то^ (- 2(( - /')). В результате рельеф

двухволновой решетки для длин волн А0 и А+1=9А0/4 принимает вид:

H (u ) =

(35)

0, u e[0, d/4) A0 9n, u e [d/4, d/2)

2n(n _ 1)| 10.5n, u e [d /2,3d /4) 1.5n, u e [3d /4, d) Интенсивности дифракционных порядков решеток (34) и (35) при освещающих пучках с длинами волн A0, A+i=3A0/4 и A0, A+i=9A0/4 совпадают и показаны на рис. 1. Рис. 1 показывает независимое формирование 4-х и 3-х порядков для двух различных волн, что подтверждает работоспособность предложенного метода расчета.

В качестве следующего примера была рассчитана зонная пластинка (30) для разделения длин волн A0 = 0.63 мкм, A+i = 5 A0/6 = 0,525 мкм, A-i = 5 A0/4 = = 0,7875 мкм (N = 5, p = 1 в (18)) по трем фокусам. Рельеф пластинки при n=1.5, радиусе апертуры Я=1.25мм и f1=298 мм показан на Рис.2а). На Рис. 2б) приведено распределение интенсивности вдоль оптической оси, формируемой зонной пластинкой вместе с тонкой линзой с фокусом ^=6мм при освещающем пучке, состоящем из трех некогерентных между собой плоских пучков с указанными длинами волн. Рис 2б) ясно показывает разделение длин волн по трем фокусам. При этом различная интенсивность фокальных пиков I ~ 1 /(Af )2 объясняется различными фокусами и длинами волн.

Литература

1. H. Dammann. Color separation gratings // Appl.Opt., 1978, v.17, N_15, pp. 2273-2279.

2. H. Dammann. Spectral Characteristics of Stepped-phase Gratings // Optic, 1979, v.53, pp. 409-417.

3. M. W. Farn, M. B. Stern. Color separation by use of binary optics // OptLett, 1993, v.18, pp. 12141216.

4. L.L. Doskolovich, P. Perlo, O.I. Petrova, P. Repetto, V.A. Soifer. Direct 2D calculation of quantized DOEs on the basis of a continuous series approach // Jour. of Mod.Opt., 1997, v. 44, pp.685695.

5. L.L. Doskolovich, P. Perlo, O.I. Petrova, P. Repetto, V.A. Soifer. Direct two-dimensional calculation of binary DOEs using a non-binary series expression approach // Int. Jour. Of Optoelectronics, 1995, v. 10, pp.243-249.