CC BY
37
Мукаев Р. Ю. М^аег Я. Yu.
кандидат технических наук, доцент кафедры «Информационно-измерительная техника», ФГБОУВО «Уфимский государственный авиационный технический университет», г. Уфа, Российская Федерация
Федотова Ю. А. Fedotova Yu. А.
старший преподаватель кафедры «Информационно-измерительная техника», ФГБОУ ВО «Уфимский государственный авиационный технический университет», г. Уфа, Российская Федерация
УДК 621.374.5
РАСЧЕТ СКОРОСТИ УЛЬТРАЗВУКОВЫХ ВОЛН В ВОЛНОВОДЕ МАГНИТОСТРИКЦИОННОГО ДАТЧИКА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
В данной статье авторами ставится задача изучения влияния различных факторов на скорость ультразвуковых волн в волноводе.
Приведено решение дифференциальных уравнений, которые описывают распространение продольных и поперечных волн вдоль магнитострикционного волновода. Полученные зависимости дают возможность произвести расчеты механических напряжений, возникающих в магнитострикционном волноводе ленточного типа.
Для выявления закономерностей изменения скорости от обобщенного параметра Hf V2 (H — толщина волновода, f — частота, V2 — скорость поперечных ультразвуковых волн в материале волновода, которая зависит от модуля Юнга) полученная зависимость была записана в относительных единицах. Полученное трансцендентное уравнение было решено методом наименьших квадратов только для нулевой моды.
Нулевая мода имеет в выбранном диапазоне частот максимальное значение механического напряжения. Вызванное механическими напряжениями продольное переменное магнитное поле наводит максимальную ЭДС в распределенной по длине волновода катушке. Эта катушка располагается на волноводе и при наличии подвижного постоянного магнита позволяет регистрировать сигналы продольных волн.
Таким образом, электронный блок измеряет интервал времени между моментом возбуждения сигнала сосредоточенной катушкой возбуждения и моментом приема сигнала распределенной приемной катушкой. Этот измеренный интервал времени t имеет значение, которое прямо пропорционально расстоянию х между сосредоточенной катушкой и постоянным магнитом, жестко соединенным с объектом, перемещение которого контролируется: t=x/V, где V — скорость ультразвуковых волн в волноводе.
Скорость ультразвуковых волн зависит от многих параметров, таких как частота, толщина ленточного волновода, свойства материала волновода (модуль Юнга, коэффициент Пуассона), температура и т. д.
Авторами впервые была получена уточненная аппроксимирующая зависимость дисперсии продольных ультразвуковых волн нулевой моды от обобщенного параметра. Полученные зависимости были аппроксимированы с погрешностью менее 0,01 % при Hf V2 < 0,3 для нулевой моды колебаний ультразвуковой волны.
Ключевые слова: ультразвуковые волны, механическое напряжение, нулевая мода, дисперсия, магнитострикционный волновод, распределенная катушка, сосредоточенная катушка, аппроксимирующая зависимость.
68 -
Electrical and data processing facilities and systems. № 2, v. 13, 2017
ESTIMATION OF ULTRASOUND WAVES VELOCITY IN A WAVEGUIDE OF A MAGNETOSTRICTIVE DISPLACEMENT SENSOR
This paper studies factors influencing the velocity of ultrasound waves in a waveguide.
The solution of differential equations which describe longitudinal and transverse waves propagation along the magnetostrictive waveguide is given. The obtained dependences provide opportunities to calculate a mechanical stress in the magnetostrictive waveguide of a tape shape.
The expression is given as nondimensional to reveal the pattern of velocity changes on a combined parameter HfV2 (H — waveguide thickness, f— frequency, V2 — velocity of the transverse ultrasound waves in a waveguide material which depends on Young's modulus). The obtained transcendental equation was solved by least squares method for a zero mode only.
The zero mode has a maximum value of the mechanical stress in the chosen frequency band. Longitudinal alternating magnetic field, which is produced by the mechanical stress, generates maximum electromotive force in a coil distributed along the waveguide length. The coil is located on the waveguide and, having a permanent magnet, allows registering signals of the longitudinal waves.
Thus, an electronic unit measures time interval between the time of signal excitation by the lumped coil and the time of signal reception by the distributed coil. This time interval t is directly proportional to a distance x between the lumped coil and the permanent magnet which is rigidly connected with an object being controlled: t=x/V, where V — ultrasound waves velocity in the waveguide.
Ultrasound waves velocity depends on many parameters such as frequency, tape shaped waveguide thickness, waveguide material properties (Young's modulus, Poisoon's constant), temperature and etc.
The authors get a corrected approximating longitudinal ultrasound waves dispersion dependence on the combined parameter for first time. The obtained equations are approximated with 0.01 % error at HfV2 < 0,3 for the ultrasound waves zero mode.
Key words: ultrasound waves, mechanical stress, zero mode, dispersion, magnetostrictive waveguide, distributed coil, lumped coil, approximating dependence.
В настоящее время широко ведутся работы по разработке преобразователей параметров движения, в которых используются новые физические явления и эффекты. Магнито-стрикционные датчики перемещений являются сравнительно новым типом устройств, выпускаемых промышленностью. Эти датчики при соответствующем выборе материалов позволяют измерять параметры движения в диапазоне температур от минус 150 оС до 400 оС. Диапазон измеряемых перемещений достигает 10000 мм, нелинейность статической характеристики не превышает 0,1 %.
По мнению авторов, наиболее целесообразно, в частности, применение магнито-стрикционных датчиков для измерения перемещений в герметичных резервуарах. Для этой области применения магнитострикцион-ные датчики перемещений содержат магнит, соединенный с контролируемым объектом внутри герметичного резервуара, магнито-стрикционный волновод с обмотками, кото-
рые располагаются снаружи, и электронную схему обработки информационного сигнала [1, 2].
Электронный блок измеряет интервал времени между моментом возбуждения сигнала сосредоточенной катушкой возбуждения и моментом приема сигнала распределенной приемной катушкой. Этот измеренный интервал времени I имеет значение, которое прямо пропорционально расстоянию х между сосредоточенной катушкой и постоянным магнитом, жестко соединенным с объектом, перемещение которого контролируется: I = х/У, где V — скорость ультразвуковых волн в волноводе. Перемещение магнита пропорционально времени прохождения ультразвуковых волн, возбуждаемых одной обмоткой и принимаемых другой. Для возбуждения и приёма волн используется прямой и обратный магнитострикционный эффекты. Одна из обмоток выполняется распределенной вдоль всей длины перемещения магнита.
Другим вариантом может быть применение волновода с двумя катушками, одна их которых механически соединена с подвижным объектом, перемещение которого контролируется [3].
В данной работе получены новые уточненные соотношения для расчета скорости волн, что позволяет определить чувствительность преобразователя с учетом геометрических размеров волновода, несущей частоты ультразвуковых волн и модуля упругости материала волновода.
Выявление закономерностей изменения скорости было проведено только для нулевой моды. Нулевая мода имеет в выбранном диапазоне частот максимальное значение механического напряжения. Вызванное механическими напряжениями продольное переменное магнитное поле наводит максимальную ЭДС в распределенной по длине волновода катушке и позволяет регистрировать сигналы продольных волн [4].
В общем виде задача определения фазовой скорости волн была решена для распространения ультразвуковых волн в волноводе в виде пластины [5, 6] без учета магнитострик-ционных свойств материала пластины.
При разработке математической модели были приняты следующие допущения: волна является гармонической, толщина ленточного волновода на порядок превышает его толщину [5], коэффициент Пуассона V материала волновода от внешних условий не зависит.
Дифференциальные уравнения, описывающие волны в волноводе, можно записать в виде [7]:
д2и д 'И г2тт п
эх2 дг2 2
где и и Ж — механические смещения для продольных и сдвиговых волн в волноводе по осям координат;
/ — частота; Е — модуль Юнга; и — коэффициент Пуассона. Механические напряжения в пластине по координатам х, у, г определяются в виде [7]: Еь
(1 + ы)(1 - 2D) Е
д U d2U I Е
a~x2 + dz2 f(i+u)
д2и д2и dz2 + д.Xdz
_ a U dw d2W
2(1 + w) [ 3X3Z + дХ1 dZ2
Л_( Э 2U д2Ц
1 Б ъ2и a2w Л
J (1+w) ъх2' \ dxdz /
(1)
(1+ы)(1-2ы)^ЭХ2 дг2 Решение уравнений будем искать в виде:
= 0;
и = р1(г)еЛ1а-ш,]-,1¥ = р^гу^^, где К — волновое число Лэмба, К2> К\ >К2, оз = 2ж/. Волны в волноводе движутся со скоростями продольных и поперечных волн.
Выразим и и Ж в виде системы уравнений:
и = С1ск (г,г) еЛь~"] + С2 зк (г,г) ~
Ж = С4зк {у2г) е^^ + с, ск (у2г) е1^,
где С1, С2, С3, С4 — постоянные; у^к2-^,
Г2 ■
К2-К2
(3)
£(1-1;) Е константы для продольных и поперечных волн;
р — плотность материала волновода;
Напряжения а^ и ож на поверхностях волновода ленточного типа толщиной Н равны нулю.
Уравнения (1) и (2) позволяют получить систему уравнений для определения констант С1, С, С3, С4:
ф2 + у22)ск(у1к)+ф2 + + 2С3]Ку2зк{у2к)+2С,]Ку2ск{у2к) = 0
ф2 + £]ск(Г1к)-ф2 + ^Йк*)-
- 2С3^у2зИ{у2И)+2С4]Ку2ск(у2к) = 0 2Сх]Кух 8к{ук)+2С2]Кск{у1к)~
- С3 {к2 + £ )еА(у2А)-С4 {к2 + й )зк(у2к) = 0
- 2С]]Ку1 2С2]Ку ск{ук)-
- С3 (к2 + ^ )ск{у2к)+С4 {к2 + ^ >А( у2А) = 0
где h — половина толщины волновода.
Новая система уравнений (3) будет иметь решение при условиях:
ф' + ^Ы+^К^г^О] 2СиКГ1 з^у^-ф2 + у^Яуф) = 0 };
2С2]КП ск{ухк)-Съ (К2 + ^ ¿й(у2й) = 0 \
(4)
(5)
Решение уравнений (4) и (5) может быть получено при приравнивании к нулю их определителей. Получим уравнения:
-4К2 у, ъ^Ш ск{у2к) = 0; (6)
{К2 + 8к{71к) ск{у2к)-
- АК2 ух у2ск{ухк) 5Й(^2Й) = 0 . (7)
Из записанных уравнений вычисляются С1, С2, С3, С4. После подстановки С3 и С4 в уравнения (2) определим и и Ж:
и = С, сЪ (уиг) еЛк°х-ш,) + С2 зк {уиг) е1{к'х~ш\ ж = с, як е"
Ш8у18яИ {у18И) г ^ и ^ о](кЕх-ш).
[ка + у\а )с/г (уга1г)
(8)
,](К,Х-ая)
где Кр, Ка — волновые числа К, полученные из уравнений (6) и (7) и удовлетворяющие условиям:
7и = л1к1 - К2 ; уг5 - ^К^ —К\ ;
Ги= К2а-К? ; у1а=К]-К22.
Механические деформации ¿х и ¿2 по осям Х и 2 могут быть выражены из уравнений для твердого деформированного тела: Эи дж_
(9)
5х~дх ~дг'
ду =С К
Ха а а
ск(у15г) 2УцУм с^у^г)
¡(ЪХ-а)
*Ь(у1аг) 2у1ау2а як{у2а2) <*(*.*) К2а+/2а ск(у2ак)
(10)
ск(у1аг) 2к] ск(у2аг)сЛ^_а]
(11)
где Ср и Са — постоянные двух групп волн, которые соответствуют исходным уравнениям и граничным условиям для них. Волны можно условно назвать продольными (симметричными с индексом Р) и изгибными (антисимметричными). В симметричных
волнах деформация симметрична относительно плоскости 2 = 0, т. е. вверху и внизу ленты смещения дХ5 однонаправлены, а смещения — разнонаправлены. В антисимметричных волнах вверху и внизу ленты деформации ёХа имеют разные знаки, а деформации ¿га — одинаковые.
Магнитострикционные датчики реагируют только на деформацию ^ так как она приводит к наибольшему изменению магнитного потока в волноводе по оси Х из-за одинаковости деформации (вверху и внизу) ленты. Приведенные зависимости дают возможность произвести расчеты деформаций ленты.
Удобно производить расчеты в относительных единицах. Уравнение (6) запишем в виде [7]:
^КЯ^-У1/у?)_ (2-У2 у2)2
У2г2
Ф-У2/У211-У2/У22)'
(12)
г Э и ЭЖ 2 Ш дХ
Используя найденные значения и и Ж получим:
8Х = 8ХХ+8Ха1
1 87.4 + 8га
где У[ =6)/^ и ¥2 = (о1К2 — скорости распространения продольных и поперечных волн при (о 0;
V — фазовая скорость волны.
Так как ¥1>У>У2, ¿й(/х) = у Л(х) и = - / &{х), уравнение (12) можно записать в виде:
V У Г I-:-\ Г? : ГТ" / I-—
V2
2-'
tg
кн/ -1
=4
Г-1
нэ
КН 1-
V?
• (13)
Уравнение (13) не имеет аналитического решения.
Авторами получено новое уточненное аппроксимирующее уравнение с погрешностью менее 0,01 % при условии И. V2 < 0,3. Полученное трансцендентное уравнение было решено методом наименьших квадратов только для нулевой моды.
Относительная фазовая скорость V в волноводе получена в виде:
-=В0+ваЩ-
где Уш =
+В,
У2 )
У2)
\+в.
т. (14)
Коэффициенты при и = 0,3 получены равными: В0= 0,9999, В= 0,0014, В2= - 0,1226, В3= 0,084, В0= - 0,3077. Безразмерная величина И/ V2 позволяет использовать полученное уравнение при разных значениях толщины волновода И, частоты / и модуля
упругости Е. Изменение фазовой скорости в зависимости от безразмерной величины Щ V2 называется дисперсионной кривой. Фазовая скорость обратно пропорциональна чувствительности магнитострикционного датчика перемещения.
В результате решения уравнения (14) установлено, что при изменении частоты излучаемых колебаний в диапазоне до 2 МГц значения относительной фазовой скорости V/Vnл изменяются от 1 до 0,98 для никелевого волновода толщиной 0,2 мм.
С увеличением толщины пластины фазовые скорости симметричной и антисимметричной продольных волн стремятся к фазовой скорости волны Рэлея и затухают по экспоненциальному закону с глубиной [6]. На рисунке 1 изображены дисперсионные кривые при разных значениях толщины Н волновода. При увеличении толщины волновода в два раза, погрешность возрастает на 1,8 %.
На рисунке 2 показаны дисперсионные кривые при изменении модуля упругости никеля марки НП2Т на ± 10 %. Кривая 2 построена при значении модуля упругости Е=2,15*10п Н/м2, кривые 1 и 3 соответственно при значениях - 10 % и + 10 % от значения модуля упругости Е. Причиной изменения модуля упругости Е могут стать увеличение и последующее уменьшение внешнего магнитного поля, которое приводит к добавочной деформации, связанной с маг-нитострикцией. Это явление особенно сильно проявляется в материалах с высокой магни-тострикцией [4].
Выводы
Существенное влияние на дисперсию скорости волны в волноводе оказывает изменение модуля упругости под воздействием на него различных факторов, в частности толщины волновода и значения модуля упругости, которые необходимо учитывать при проектировании магнитострикционных датчиков перемещения.
1) при Н = 0,2 мм; 2) при Н = 0,25 мм; 3) при Н = 0,3 мм Рисунок 1. Дисперсионные кривые, полученные в зависимости от толщины волновода
Рисунок 2. Дисперсионные кривые в зависимости от значения модуля упругости Е
Список литературы
1. А.с. 1803852 СССР, МПК G 01 N 27/90. Магнитострикционный преобразователь параметров движения / В.Х. Ясовеев, Р.Ю. Мукаев, Е.С. Березовская, А.А. Маркин, О.А. Измерлиев. 4948714; Заявл. 22.04.1991; Опубл. 23.03.1993. Б.И. 11.
2. Ясовеев В.Х., Мукаев Р.Ю. Математическая модель магнитострикционного преобразователя параметров движения с ленточным волноводом // Измерительные преобразователи и информационные технологии. Уфа: Гилем,1996. 239 с.
3. Пат. 3259222 РФ, МПК G 01 B 17/00. Способ измерения линейных перемещений и устройство для его реализации / Р.Ю. Мукаев, Ю.А. Федотова. Заявл. 16.07.2007, Опубл. 20.06.2009. Бюл. 17.
4. Ультразвук. Маленькая энциклопедия / Гл. ред. И.П. Голямина. М.: Советская энциклопедия, 1979. 400 с.
5. Викторов И.А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике. М.: Наука, 1966. 168 с.
6. Физическая акустика / Под ред. У. Мэзона. М.: Изд-во «Мир», 1966. Т. 1. Методы и приборы ультразвуковых исследований. Ч. А. 592 с.
7. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наук. думка, 1981. 284 с.
References
1. A.s. 1803852 SSSR, MPK G 01 N 27/90. Magnitostriktsionnyi preobrazovatel' parametrov dvizheniya / V.Kh. Yasoveev, R.Yu. Mukaev, E.S. Berezovskaya, A.A. Markin, O.A. Izmerliev. 4948714; Zayavl. 22.04.1991; Opubl. 23.03.1993. B.I. 11.
2. Jasoveev V.H., Mukaev R.Ju. Matema-ticheskaja model' magnitostrikcionnogo preobrazovatelja parametrov dvizhenija s len-tochnym volnovodom // Izmeritel'nye pre-obrazovateli i informacionnye tehnologii. Ufa: Gilem,1996. 239 s.
3. Pat. 3259222 RF, MPK G 01 B 17/00. Sposob izmereniya lineinykh peremeshchenii i ustroistvo dlya ego realizatsii / R.Yu. Mukaev, Yu.A. Fedotova. Zayavl. 16.07.2007, Opubl. 20.06.2009. Byul. 17.
4. Ul'trazvuk. Malen'kaja jenciklopedija / Gl. red. I.P. Goljamina. M.: Sovetskaja jenciklopedija, 1979. 400 s.
5. Viktorov I.A. Fizicheskie osnovy primenenija ul'trazvukovyh voln Rjeleja i Ljemba v tehnike. M.: Nauka, 1966. 168 s.
6. Fizicheskaja akustika / Pod red. U. Mjezona. M.: Izd-vo «Mir», 1966. T. 1: Metody i pribory ul'trazvukovyh issledovanij. Ch. A. 592 s.
7. Grinchenko V.T., Meleshko V.V. Garmonicheskie kolebanija i volny v uprugih telah. Kiev: Nauk. dumka, 1981. 284 s.
