CC BY
16
7. Vlasenkov A.N., Pavlov A.P., Pasechnik D.Yu. Optimizatsiya konstruktsii izdelii s primeneniem sistem avtomaticheskoi optimizatsii [Optimization of product structures with the use of automatic optimization systems]. Nauka i biznes: puti razvitiya [Science and business: ways of development]. 2020. No. 10 (112). Pp. 16-21.
8. Ol'kov Ya.I., Andronnikov A.V. Avtomatizirovannoe optimal'noe proektirovanie prostranstvennykh metallicheskikh ster-zhnevykh konstruktsii (PMSK) s ispol'zovaniem algoritmov strukturnoi optimizatsii [Automated optimal design of spatial metal rod structures (SMRS) with the use of structural optimization algorithms]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenii. Stroitel'stvo [Proceedings of universities. Investment. Construction], 2003. No. 12 (540). Pp. 8-13.
9. Chemodurov V.T., Vdovichenko V.V. Optimizatsiya parametrov stroitel'nykh konstruktsii na etape proektirovaniya [Optimization of the parameters of building constructions at the design stage]. Sovremenne tekhnologii v stroitel'stve, dizaine, arkhitekture. Sbornik materialov mezhdunarodnoi nauchnoi konferentsii [Modern technologies in construction, design, and architecture. Collection of materials of the International scientific conference], 2013. Pp. 84-91.
10. Litra A.N. Optimizatsiya konstruktsii s pomoshch'yu novykh programmnykh metodov [Optimization of structures with the help of new program methods]. Problemy razvitiya avtomatizatsii i mekhanizatsiiprotsessov dobychi, pererabotki i transporta gaza i gazovogo kondensata. Materialy nauchno-tekhnicheskoi konferentsii " [Problems of development of automation and mechanization of processes of production, processing and transport of gas and gas condensate. Materials of the scientific and technical conference]. OOO "Izdatel'skii dom - Yug", OAO "SPA "Promavtomatika" Publ., 2008. Pp. 90-93.
11. Aleksandrov M.P., Kolobov L.N., Lobov N.A., etc. Gruzopod"yomnye mashiny: Uchebnik dlya vuzov po spetsial'nosti "Pod"emno-transportnye mashiny i oborudovanie" [Lifting machines: A textbook for universities on the specialty "Lifting and transport machines and equipment"]. Moscow: Mashinostroenie Publ., 1986. 400 p.
12. Grebenyuk G.I., Biryulyov V.V. Optimizatsiya uzlov i soedinenii stroitel'nykh konstruktsii [Optimization of assemblies and connections of building constructions]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Stroitel'stvo [Proceedings of higher educational institutions. Construction], 1994. No. 11. Pp. 15-21.
13. Domozhirov L.I. Optimizatsiya koeffitsienta zapasa prochnosti krupnogabaritnykh detalei s uchetom malykh defektov [Optimization of the factor of safety margin of large-sized parts taking into account small defects]. Tyazheloe mashinostroenie [Heavy engineering], 2006. No. 1. Pp. 35-39.
14. Bilyk N.A. Koeffitsienty bezopasnosti i zapasa prochnosti mekhanicheskikh konstruktsii [Coefficients of safety and margin of safety of mechanical structures]. Problemy mashinostroeniya i nadezhnosti mashin [Journal of machinery manufacture and reliability], 2017. No. 5. Pp. 63-70.
15. Serpik I.N., Alekseitsev A.V. Optimizatsiya metallicheskikh konstruktsii putyom evolyutsionnogo modelirovaniya [Optimization of metal structures by evolution modeling]. Moscow: DIA Publ., 2012. 240 p.
16. Yur'ev A.G. Osnovy proektirovaniya ratsional'nykh nesushchikh konstruktsii [Fundamentals of designing rational load-bearing structures]. Belgorod: BTISM Publ, 1988. 94 p.
17. Yur'ev A.G., Klyuev S.V. Evolyutsionnye i geneticheskie algoritmy optimizatsii stroitel'nykh konstruktsii [Evolutionary and genetic algorithms for optimizing building structures]. Belgorod: BSTU Publ., 2006. 134 p.
18. Mazhid K.I. Optimal'noe proektirovanie konstruktsii [Optimal design of structures]. Moscow: Vysshaya shkola Publ., 1979. 237 p.
Информация об авторах
Трескин Сергей Викторович - Иркутский государственный университет путей сообщения, г. Иркутск, e-mail: sergei.tresckin@yandex.ru
Новиков Николай Николаевич - аспирант, Иркутский государственный университет путей сообщения, г. Иркутск, e-mail: novikovnikolayn@mail.ru Иванов Павел Юрьевич - канд. техн. наук, доцент, доцент кафедры электроподвижного состава, Иркутский государственный университет путей сообщения, г. Иркутск, email: savl.ivanov@mail.ru
Дульский Евгений Юрьевич - канд. техн. наук, доцент, доцент кафедры вагонов и вагонного хозяйства, Иркутский государственный университет путей сообщения, г. Иркутск, e-mail: e.dulskiy@mail.ru
DOI 10.26731/1813-9108.2021.2(70).17-24
Information about the authors
Sergei V. Treskin - Irkutsk State Transport University, Irkutsk, e-mail: sergei.tresckin@yandex.ru
Nikolai N. Novikov - Ph.D. student, Irkutsk State Transport University, Irkutsk, e-mail: novikovnikolayn@mail.ru
Pavel Yu. Ivanov - Ph. D. of Engineering Science, Associate Professor, Associate Professor of the Subdepartment of Electric Rolling Stock, Irkutsk State Transport University, Irkutsk, e-mail: savl.ivanov@mail.ru
Evgenii Yu. Dulskii - Ph. D. of Engineering Science, Associate Professor, Associate Professor of the Subdepartment of Railcars and Railcar Facilities, Irkutsk State Transport University, Irkutsk, e-mail: e.dulskiy@mail.ru
УДК 62-97/98
Расчет шестифазной линейной электрической цепи методом симметричных составляющих
А. В. Данеев1^, Р. А. Данеев2, В. Н. Сизых1
1 Иркутский государственный университет путей сообщения, г. Иркутск, Российская Федерация
2 Восточно-Сибирский институт МВД России, г. Иркутск, Российская Федерация И daneev@mail.ru
Резюме
На промышленных объектах многие проблемы возникают из-за синхронных машин, которые работают на выпрямительную (несимметричную) нагрузку. В них важную роль играют переходные процессы, которые в синхронных машинах описываются системой нелинейных дифференциальных уравнений. При исследовании синхронных машин достаточно рассмотреть электромагнитные переходные процессы в силу большой инерционной постоянной машины. Уравнения становятся линейными, но с периодическими коэффициентами, которые также не имеют общего решения, поскольку содержат периодические коэффициенты. Возможности практического применения таких уравнений ограничиваются в общем случае трудностями, связанными с определением собственных чисел. В работе применяется метод симметричных составляющих, являющийся основным методом расчета несимметричных установившихся режимов линейных трехфазных (многофазных) цепей, содержащих в качестве источника электрической энергии или нагрузки вращающиеся машины. Исследование проводится на примере шестифазной цепи с несимметричной нагрузкой. В рассмотренном методе на основании законов Кирхгофа составляется система уравнений, в которых несимметричные системы переменных, действующие в линейной многофазной цепи, заменяются симметричными системами, три из которых являются симметричными системами прямой, обратной и нулевой последовательностей. Для каждой из последовательностей расчетным или экспериментальным путем определяются параметры электрической цепи (например, электрических машин). Преобразованная с учетом этих параметров система уравнений решается относительно неизвестных симметричных составляющих переменных (токов и напряжений). Действительные, несимметричные токи и напряжения находятся методом суперпозиций как векторные суммы соответствующих симметричных составляющих каждой из фаз.
Ключевые слова
синхронные машины, переходные процессы, несимметричные режимы, метод симметричных составляющих Для цитирования
Данеев А. В. Расчет шестифазной линейной электрической цепи методом симметричных составляющих / А. В. Данеев, Р. А. Данеев, В. Н. Сизых // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2021. - № 2 (70). - С. 1724. - DOI: 10.26731/1813-9108.2021.2(70).17-24
Информация о статье
поступила в редакцию: 10.04.2021, поступила после рецензирования: 02.05.2021, принята к публикации: 11.05.2021
Calculation of a six-phase linear electric circuit by the method of symmetrical components
A. V. Daneev1^, R. A. Daneev2, V. N. Sizykh1
1 Irkutsk State Transport University, Irkutsk, the Russian Federation
2 the East-Siberian Institute of the MIA of Russia, Irkutsk, the Russian Federation
И daneev@mail.ru
Abstract
At industrial facilities many problems are associated with synchronous machines that determine the rectifier (unbalanced) load. Transient processes play a fundamental role in them, which are described by a system of nonlinear differential equations in synchronous machines. When studying synchronous machines, it is enough to consider electromagnetic transient processes due to the large inertial constant of the machine. The equations become linear, but with periodic coefficients that also do not have a general solution, since they contain periodic coefficients. The practical applicability of these equations is generally limited by the difficulties associated with determining the eigenvalues. The work uses the method of symmetrical components, which is the main method for calculating asymmetric steady-state modes of linear three-phase (multiphase) circuits containing rotating machines as a source of electrical energy or load. The research is carried out on the example of a six-phase circuit with an unbalanced load. In the considered method, on the basis of Kirchhoffs laws, a system of equations is drawn up, in which asymmetric systems of variables acting in a linear polyphaser circuit are replaced by symmetric systems, three of which are symmetric systems of direct, reverse and zero sequences. For each of the sequences, the parameters of the electrical circuit (for example, electrical machines) are determined experimentally or by calculation. The system of equations transformed taking into account these parameters is solved with respect to the unknown symmetric components of the variables (currents and voltages). Valid asymmetric currents and voltages are found by the superposition method as vector sums of the corresponding symmetric components of each phase.
Keywords
synchronous machines, transients, unbalanced modes, method of symmetrical components
For citation
Daneev A.V., Daneev R.A., Sizykh V.N. Calculation of a six-phase linear electric circuit by the method of symmetric components [Calculation of a six-phase linear electric circuit by the method of symmetrical components]. Sovremennye tekhnologii.
Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern Technologies. System Analysis. Modeling], 2021, No. 2 (70), pp. 17-24. - DOI: 10.26731/1813-9108.2021.2(70). 17-24
Article info
Received: 10.04.2021, Revised: 02.05.2021, Accepted: 11.05.2021 Введение
Метод симметричных составляющих (СС) является основным методом расчета несимметричных установившихся режимов линейных трехфазных (многофазных) цепей, содержащих в качестве источника электрической энергии или нагрузки вращающиеся машины [1].
Сущность метода СС заключается в следующем:
1. На основании законов Кирхгофа составляется система уравнений, в которых несимметричные системы переменных электро-движущие силы (ЭДС), токи, напряжения), действующие в линейной многофазной цепи, заменяются m (m - число фаз) симметричными системами, три из которых являются симметричными системами прямой, обратной и нулевой последовательностей.
2. Для каждой из последовательностей расчетным или экспериментальным путем определяются параметры электрической цепи (например, электрических машин).
3. Преобразованная с учетом этих параметров система уравнений решается относительно неизвестных симметричных составляющих переменных (токов и напряжений) при заданных ЭДС источника.
4. Действительные, несимметричные токи и напряжения находятся методом суперпозиций как векторные суммы соответствующих СС каждой из фаз.
Расчет шестифазной линейной электрической цепи
Рассмотрим методику расчета многофазной электрической цепи методом СС на примере шестифазной цепи с несимметричной нагрузкой (рис. 1). Здесь источник электрической энергии представлен
в виде шести несинусоидальных ЭДС Ех,...,Е6 с
взаимно-индуктивными связями между фазами.
Данная методика определяется следующей последовательностью расчета:
1. Исходную цилиндрическую матрицу полных сопротивлений электрической цепи определим, как циклическую перестановку фазных импедансов:
Z =
Z Z m Z m Z0 Z m Z m
Z Zm Z Z Zm Z Zm Z0 Z Zm
Z Zm Z Zm Z Z Zm Z Zm Z0
Z0 Z Zm Z Zm Z Z Zm Z Zm
Z Zm Z0 Z Zm Z Zm Z Z Zm
Z m Z m Z0 Z m Z m Z
где обозначения импедансов соответствуют замене реальной схемы соединения обмотки «отдельными» катушками с учетом магнитных связей между ними [2]. 2. Запишем уравнения баланса напряжений:
Рис. 1. Шестифазная цепь с несимметричной нагрузкой Fig. 1. Six-phase circuit with an unbalanced load
U = E - ZI,
(1)
где I = со1оп{11,12,..., 16), й = со1оп{^х ,йг,..., й6) Е = ео1оп{Ё1, Ё2,..., Е6) - векторы-столбцы разных
токов и напряжений, ЭДС источника размерности 6x1.
3. Преобразуем уравнения (1) в уравнения симметричных составляющих переменных с помощью подстановки:
X = Усс • X'
где X' = I\й',Е - переменные СС различных последовательностей систем векторов (рис. 2).
Здесь матрица преобразования к симметричным составляющим при правом направлении вращения систем векторов (по часовой стрелке):
Ucc = 6 2
Преобразованные уравнения имеют вид:
й' = Е-(ГсС ■ Z • Усс)• I\ (2)
где УС£ = Усс (обратная матрица равна комплексно-сопряженной в силу свойств оператора,
1 1 1 1 1
a5 a4 a3 a2 a
a4 a2 1 a4 a2
a3 1 a3 1 a3
a2 a4 1 a2 a4
a a2 a3 a4 a5
a = expl j ■
л
в
: a6 = 1,
Г5 = a5*);
1 + a + a2 +... + a5 = 0,
Усс •Z • Усс = ^^^0, Z1,...,Z5);
Z0 = Z + Zм + + Z0 + + Zм - полное сопротивление для токов нулевой последовательности (рис. 2в);
Zl = Z + а5 • Zм + а4 • + а3 • Zo + а2 • + а • Zм
- полное сопротивление для токов прямой последовательности (2а);
Z2 = Z + а4 • Zм + а2 • Zм + Z'o + а4 • ^ + а2 • Zм
- полное сопротивление для токов последовательности, образующей первую трехфазную систему векторов (2в);
Zз = Z + а3 • Zм + ¿м + а3 • Zo + Zм + а3 • Zм -полное сопротивление для токов последовательности, в которой три вектора направлены встречно другим векторам (а3 = -1) (2е);
Z4 = Z + а2 • Zм + а4 • ^м + Zo + а2 • ^ + а4 • Zм -полное сопротивление для токов последовательности, образующей вторую трехфазную систему векторов (2д);
= 2 + а • 2м + а2 • 2М + а3 • 2о + а4 • 2М + а5 • 2м
- полное сопротивление для токов обратной последовательности (2б); I '= со1оп{1[0,1[ 1[ 2..., 1[ 5)
й = со1оп{й1о,йи,й12...,й15) Е = со1оп{Ё[ 0, Е[ 1, Е[ 2..., Е[ 5) - вектор-столбцы
токов напряжений и ЭДС симметричных составляющих.
В частном случае, когда шестифазная обмотка магнито-связанной электрической цепи является симметричной, т. е. Ё2 = а5 • Е,Е = а4 • Е,...,Е = а• Е, в
3
5
А
Рис. 2. Последовательность симметричных составляющих Fig. 2. Sequence of symmetrical components
силу свойств оператора а имеем Е = со1ощ^0,62 • Е ,...,0
Следовательно, уравнения (2) примут вид:
й' = -г • I
й 10 г0 110,
U„ = б2 • Е1 - Zj • /„,
UI2 = - Z 2 • 4
U 1з = - Z 3 • 11з
и I4 = - Z 4 • I4
и I5 = - Z5 • I 15
U0,5 • k •E, (
2 2 2 Uj + ubj + UC]
Действительно, для установившегося симметричного режима работы МЭГ
= 1т • зт(У, -Ф), /с = 1т ■ sin, -ф + у |
где ] = 1, 2; у - угол между фазными токами и напряжениями при активно-индуктивной нагрузке генератора.
Так как
I2.1 (С + il + С )= Y •1
(3)
Пример
В работах [3-4] на основе математической модели (ММ) шестифазного магнитоэлектрического генератора (МЭГ) в фазовых координатах (ФК), в осях ё, д, 0, а также методом СС произведен на электровычислительной машине расчет в физических единицах электромагнитных переходных процессов. Далее показан график переходных процессов фазных токов при номинальной нагрузке (рис. 3). Расчетные данные в параметры генератора следующие: мощность - 8н = 18 кВА; частота вращения - п = 8 000 об/мин; частота ЭДС - / = 1 066 Гц; действующие значения фазных токов и напряжений - 1фп = 1 А, Ефп = 28,5 В; индуктивные параметры обмотки -1, = 1,6 • 10-6 Гн, Ьач = 2,2 • 10-6 Гн; коэффициент мощности - соб^ = 0,8 [5].
При математическом описании переходных процессов МЭГ демпфирующие свойства постоянного момента (ПМ) и биметаллической обоймы не учитывались.
ММ в ФК была составлена двумя способами: с численным и аналитическим вычислением матрицы периодических коэффициентов А(/).
По результатам моделирования в ФК можно определить действующие значения токов и напряжений. Для этого достаточно согласно ГОСТ 1970581 построить огибающую переходных процессов по амплитудным значениям фазных переменных и
уменьшить ее значение в л/2 раз. Однако такой переход можно выполнить непосредственно в модели по следующим формулам:
I = д/0,5 • к -Е, (2/ + % + С)),
то для того, чтобы выполнить соотношения I =, й = , необходимо домножить обе
части тождества (3) на коэффициент к1, учитывающий равенство амплитуды изображающего вектора фазных токов и напряжений амплитуде тока и напряжения одной фазы.
Для нашего случая можно записать:
I = У+)
В предложении, что Л(() - вектор, элементы которого являются малыми периодически изменяющимися величинами, имеют место следующие приближенные формулы:
I = 7 0,5 • к -(12=1 (2 + % + £ )), (4)
(5)
U = V0,5 • ki •(I2 , (u
2 2 2 u2 + u2 + u .
1.
где
u., =
+ Дя • Ja, , Ubi = LH • % + Дя • Jb,,
dt
dt
йы = Ьн • + • уы;I = 1,2. ш
Уравнения (4), (5) позволяют, аналогично преобразованию Парка - Горева и методу СС, определить действующие значения фазных токов и напряжений в ФК с обратным переходом к фазным переменным состояния при исследовании симметричных режимов работы МЭГ. Такой переход осуществляется с помощью формул Эйлера для двух трехфазных СС со сдвигом 60°, что позволяет указывать на эквивалентность ортогональных преобразований Парка - Гарева и метода СС в системе координат, связанной с вращающимся ротором синхронных машин (СМ).
Графики переходных процессов для действующего значения напряжения при номинальной нагрузке при моделировании в ФК, методом СС и в осях ё, д, 0 изображены на (рис. 4).
Видно, что результаты расчета методом СС и в осях ё, д, 0 незначительно отличаются от результатов моделирования в ФК. Относительная погрешность вычислений не превышает 0,5 % по сравнению с результатом моделирования в ФК.
Длительность переходных процессов исследуемого МЭГ составляет 0,36 мс, что примерно в 3 раза меньше периода изменения частоты ЭДС. Небольшая длительность переходных процессов в значительной степени определяется малыми индуктивно-стями обмотки статора, что является отличительной особенностью переходных процессов в ЭМ с ПМ.
В целях сравнения моделей по параметрическим возмущениям исследовались различные режимы
работы МЭГ. По результатам расчета в различных системах координат построена внешняя характеристика генератора (рис. 5). Результаты моделирования в ФК, методом СС и осях d, q, 0 при набросе нагрузки от нуля до четырех номиналов (4Н) практически совпадают. В диапазоне изменения нагрузки от 10 до 150 % падение напряжения Д^ составило 5,4 В, что позволяет сделать вывод о жесткости внешней характеристики МЭГ. Рабочий диапазон определяется точками пересечения внешней характеристики генератора с вольт-амперными характеристиками нагрузки
йН1 = 1{1Н1 ) и йН2 = 1{1Н2 ) (рис. 5). Цифр°вое
моделирование показывает, что при решении уравнений МЭГ методом СС затраты машинного времени сокращаются в 13-14 раз по сравнению с временем счета в ФК. Погрешность вычислений методом СС по сравнению с результатом моделирования в ФК не превышает 0,1 %.
Рис. 3. Переходные процессы фазных токов при номинальной нагрузке Fig. 3. Transient processes of phase currents at the rated load
MM в ФК
MM e приведенных MM i otira
W.
1 3 5 7 9 11 13 IS 17 15 21
Рис. 4. Переходные процессы для действующего значения напряжения при номинальной нагрузке Fig. 4. RMS voltage transients at the rated load
MM n Осях a-q jh— Метод CC —» ММиФК
/ I I
П 50 1ft) 150 i00 250 550 "" 600
m
Рис. 5. Внешняя характеристика генератора Fig. 5. External characteristic of the generator
Обобщая изложенное, можно сказать, что при использовании симметричных режимов работы МЭГ целесообразно использовать ММ метода СС и ММ в осях d, q, 0. Результат моделирования получается в действующих значениях фазных токов и напряжений.
Таким образом, моделирование методом СС позволяет получить результаты, удовлетворяющие по точности вычислений расчету в ФК, но с существенно меньшими вычислительными затратами. В то же время данный метод не имеет ограничений метода во вращающихся осях d, q, 0 при исследовании несимметричных режимов работы МЭГ. Ряд близких и смежных вопросов моделирования объектов различной природы рассмотрен в работах [6-20].
Заключение
На примере шестифазной магнитно-связанной электрической цепи в статье изложены основные этапы применения метода СС при расчете установившихся режимов многофазных цепей. Преобразование СС многофазных цепей диагонализирует матрицу полных сопротивлений, т. е. позволяет исключить магнитно-связанные контуры высоких порядков. В симметричной многофазной электрической цепи индуктируется только ЭДС прямой последовательности. В отличие от преобразования Парка -Горева метод СС позволяет исследовать как симметричные, так и несимметричные переходные режимы в СМ.
Список литературы
1. Сипайлов Г.А., Лоос А.В. Математическое моделирование электрических машин. М. : Высш. шк., 1980. 175 с.
2. Крон Т. Тензорный анализ сетей. М. : Советское радио, 1978. 720 с.
3. Данеев А.В., Данеев Р.А. Сизых В.Н. Моделирование многофазных синхронных машин в различных системах координат // Изв. Самар. науч. центра Рос. академии наук. 2020. Т. 22, № 4. С. 104-115.
4. Силин Л.Ф. Проектирование асинхронных двигателей. Красноярск : ИПЦ КГТУ, 2002. 236 с.
5. Особенности электромагнитного расчета генераторов с редкоземельными постоянными магнитами / И.И. Алексеев, Б.С. Зайчихин, М.Г. Клейман и др. // Электричество. 1985. № 11. С. 27-30.
6. Горев А.А. Переходные процессы синхронной машины. М.-Л. : Госэнергоиздат, 1950. 551 с.
7. Арешян Г.Л. Вопросы преобразования дифференциальных уравнений многофазных электрических машин // Изв. Академии наук СССР. Энергетика и транспорт. 1982. № 5. С. 52-62.
8. Осин И.Л., Шакарян Ю.Г. Электрические машины. М. : Высш. шк., 1990. 304 с.
9. Сизых В.Н., Мухопад А.Ю. Ассоциативный автомат адаптивного управления технологическими процессами на основе нейронных сетей // Науч. вестн. Новосиб. гос. техн. ун-та. 2014. № 1 (54). С. 34-45.
10. Сизых В.Н. Итерационно-релаксационный метод // Автоматика и телемеханика. 2005. № 6. С. 47-58.
11. Мухопад Ю.Ф., Пашков Н.Н., Сизых В.Н. Адаптивный подход к нейронному управлению одним классом абсолютно устойчивых систем // Фундаментальные исследования. 2011. № 8-1. С. 139-147.
12. К апостериорному моделированию нестационарных гиперболических систем / А.В. Данеев, В.А. Русанов, М.В. Русанов и др. // Изв. Самар. науч. центра Рос. академии наук. 2018. Т. 20. № 1 (81). С. 106-113.
13. Данеев А.В., Русанов В.А. Об одном классе сильных дифференциальных моделей над счетным множеством динамических процессов конечного характера // Изв. высш. учеб. заведений. Математика. 2000. № 2. С. 32-40.
14. Rusanov V.A., Antonova L.V., Daneev A.V. Inverse problem of nonlinear systems analysis: a behavioral approach // Advances in Differential Equations and Control Processes. 2012. Т. 10. № 2. Р. 69-88.
15. Данеев А.В., Русанов В.А., Шарпинский Д.Ю. Нестационарная реализация Калмана - Месаровича в конструкциях оператора Релея-Ритца // Кибернетика и системный анализ. 2007. № 1. С. 82-91.
16. Асинхронные двигатели общего назначения / Е.П. Бойко, Ю.В. Гаинцев, Ю.М. Ковалев и др. М. : Энергоиздат, 1980. 488 с.
17. Вольдек А.И., Попов В.В. Электрические машины. Машины переменного тока. СПб. : Питер, 2007. 320 с.
18. Беспалов В.Я., Котеленец Н.Ф. Электрические машины. М. : Академия, 2010. 320 с.
19. Копылов И. П. Электрические машины. М. : Высш. шк.; Логос. 2006. 680 с.
20. Тер-Газарян Г.Н. Несимметричные режимы синхронных машин. М. : Энергия, 1969. 214 с.
References
1. Sipailov G.A., Loos A.V. Matematicheskoe modelirovanie elektricheskikh mashin [Mathematical modeling of electrical machines]. Moscow: Vysshaya shkola Publ., 1980.175 p.
2. Kron T. Tenzornyi analiz setei [Tensor analysis of networks]. Moscow: Sovetskoe radio Publ., 1978.720 p.
3. Daneev A.V., Daneev R.A. Sizykh V.N. Modelirovanie mnogofaznykh sinkhronnykh mashin v razlichnykh sistemakh koordinat [Simulation of multiphase synchronous machines in different coordinate systems]. Izvestiya Samarskogo nauchnogo tsentra Rossiiskoi Akademii nauk [The Bulletin of the Samara scientific center of the Russian Academy of Sciences], 2020. Vol. 22, No. 4. Pp. 104-115.
4. Silin L.F. Proektirovanie asinkhronnykh dvigatelei [Design of asynchronous motors]. Krasnoyarsk: IPTs KSTU Publ., 2002. 236 p.
5. Alekseev I.I., Zaichikhin B.S., Kleiman M.G., Starovoitova N.P. Osobennosti elektromagnitnogo rascheta generatorov s redkozemel'nymi postoyannymi magnitami [Features of electromagnetic calculation of generators with rare-earth permanent magnets]. Elektrichestvo [Electricity], 1985, No. 11. P. 27-30.
6. Gorev A.A. Perekhodnye protsessy sinkhronnoi mashiny [Transient processes of a synchronous machine]. Moscow: Gosenergoizdat Publ., 1950. 551 p.
7. Areshyan G.L. Voprosy preobrazovaniya differentsial'nykh uravnenii mnogofaznykh elektricheskikh mashin [Questions of transformation of differential equations of multiphase electrical machines]. Izvestiya AN SSSR. Energetika i transport, 1982. No. 5. Pp. 52-62.
8. Osin I.L., Shakaryan Yu.G. Elektricheskie mashiny [Electric cars]. Moscow: Higher school, 1990. 304 p.
9. Sizykh V.N., Mukhopad A.Yu. Assotsiativnyi avtomat adaptivnogo upravleniya tekhnologicheskimi protsessami na os-nove neironnykh setei [Associative automaton of adaptive control of technological processes based on neural networks]. Nauch-nyi vestnik Novosibirskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta [The science bulletin of Novosibirsk State Technical University], 2014. No. 1 (54). Pp. 34-45.
10. Sizykh V.N. Iteratsionno-relaksatsionnyi metod [An iterative-relaxation method]. Avtomatika i telemekhanika [Automation and telemechanics], 2005. No. 6. Pp. 47-58.
11. Mukhopad Yu.F., Pashkov N.N., Sizykh V.N. Adaptivnyi podkhod k neironnomu upravleniyu odnim klassom absolyutno ustoichivykh sistem [An adaptive approach to neural control for one class of absolutely stable systems]. Fundamental'nye issle-dovaniya [Fundamental research], 2011. No. 8-1. Pp. 139-147.
12. Daneev A.V., Rusanov V.A., Rusanov M.V., Sizykh V.N. K aposteriornomu modelirovaniyu nestatsionarnykh giperboli-cheskikh sistem [Towards a posteriori modeling of nonstationary hyperbolic systems]. Izvestiya Samarskogo nauchnogo tsentra Rossiiskoi akademii nauk [The Bulletin of the Samara scientific center of the Russian Academy of Sciences], 2018. Vol. 20. No. 1 (81). Pp. 106-113.
13. Daneev A.V., Rusanov V.A. Ob odnom klasse sil'nykh differentsial'nykh modelei nad schetnym mnozhestvom dinamich-eskikh protsessov konechnogo kharaktera [On a class of strong differential models over a countable set of dynamic processes of a finite nature]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenii. Mathematika [Proceedings of universities. Mathematics], 2000. No. 2. Pp. 32-40.
14. Rusanov V.A., Antonova L.V., Daneev A.V. Inverse problem of nonlinear systems analysis: a behavioral approach. Advances in Differential Equations and Control Processes, 2012. Vol. 10. No. 2. Pp. 69-88.
15. Daneev A.V., Rusanov V.A., Sharpinskii D.Yu. Nestatsionarnaya realizatsiya Kalmana - Mesarovicha v konstruktsiyakh operatora Releya-Rittsa [Non-stationary realization of Kalman-Mesarovich in the constructions of the Rayleigh-Ritz operator]. Kibernetika i sistemnyi analiz [Cybernetics and system analysis], 2007. No. 1. Pp. 82-91.
16. E.P. Boiko, Yu.V. Gaintsev, Yu.M. Kovalyov et al. Asinkhronnye dvigateli obshchego naznacheniya [Asynchronous motors of general purpose]. In Petrov V.M. and Kravchik A.E. (eds) Moscow: Energoizdat Publ., 1980. 488 p.
17. Vol'dek A.I., Popov V.V. Elektricheskie mashiny. Mashiny peremennogo toka [Electric cars. AC machines]. St. Petersburg: Piter Publ., 2007. 320 p.
18. Bespalov V.Ya., Kotelenets N.F. Elektricheskie mashiny [Electric cars]. Moscow: Academy Publishing center, 2010. 320 p.
19. Kopylov I.P. Elektricheskie mashiny [Electric machines]. Moscow: Vysshaya shkola; Logos Publ. 2006. 680 p.
20. Ter-Gazaryan G.N. Nesimmetrichnye rezhimy sinkhronnykh mashin [Asymmetrical modes of synchronous machines]. Moscow: Energiya Publ., 1969. 214 p.
Информация об авторах
Данеев Алексей Васильевич - профессор кафедры информационных систем и защиты информации, Иркутский государственный университет путей сообщения, e-mail: daneev@mail.ru
Данеев Роман Алексеевич - доцент кафедры информационно-правовых дисциплин, Восточно-Сибирский институт МВД России, e-mail: romasun@mail.ru Сизых Виктор Николаевич - профессор кафедры автоматизации производственных процессов, Иркутский государственный университет путей сообщения, e-mail: si-zykh_vn@mail.ru
DOI 10.26731/1813-9108.2021.2(70).24-30
Information about the authors
Aleksei V. Daneev - Professor of the Subdepartment of Information Systems and Information Security, Irkutsk State Transport University, e-mail: daneev@mail.ru Roman A. Daneev - Associate Professor of the Subdepartment of Information technologies, East-Siberian Institute of the Ministry of Internal Affairs of Russia, e-mail: ro-masun@mail.ru
Viktor N. Sizykh - Professor of the Subdepartment of Automation of Production Processes, Irkutsk State Transport University, e-mail: sizykh_vn@mail.ru
УДК 621.833.65
Суперпозиция вращений в механизмах
И. П. Попов И
Курганский государственный университет, г. Курган, Российская Федерация И ip.popow@yandex.ru
Резюме
Предпосылкой рассмотрения суперпозиции вращений в механизмах является принцип суммирования прямолинейных равномерных движений. Цель работы - установить, как в подобной ситуации обстоит дело при сложении вращательных синхронных или кратных движений. Задачи исследования состоят в аналитическом описании и построении годографов комбинированных вращательных механических движений. Практический аспект темы определяется тем, что во многих механизмах, таких как мультиинертный осциллятор, планетарные передачи, приводы фрез в машинах для очистки труб больших диаметров и т. п. реализуется суммирование вращательных движений, и форма годографа является полезной информацией при проектировании подобных устройств. Установлено, что подобно тому, как результатом сложения двух равномерных прямолинейных движений является также равномерное прямолинейное движение, результатом сложения двух равномерных однонаправленных круговых движений является также равномерное круговое движение. Годографом при сложении двух равномерных противоположно направленных круговых движений будет эллипс. В частном случае эллипс может вырождаться в отрезок прямой линии. Определены характеристики эллиптического годографа, в том числе большая и малая полуоси, корни характеристического уравнения, эксцентриситет, фокусы, угол наклона осей. Решена обратная задача - определение скоростей вращения по виду годографа. При сложении двух несинхронных вращений возможны годографы в виде улитки, имеющей сходство с улиткой Паскаля. Полученные результаты могут быть использованы при проектировании механизмов, реализующих сложные вращательные движения.
Ключевые слова
координаты, вращательные движения, вектор, годограф, эллипс, улитка Паскаля Для цитирования
Попов И. П. Суперпозиция вращений в механизмах / И. П. Попов // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2021. - № 2 (70). - С. 24-30. - DOI: 10.26731/1813-9108.2021.2(70).24-30
Информация о статье
поступила в редакцию: 17.03.2021, поступила после рецензирования: 20.03.2021, принята к публикации: 11.04.2021
Superposition of rotations in mechanisms
