CC BY
66
РЯХОВСКИИ Олег Анатольевич
доктор технических наук, профессор зав. кафедрой «Основы конструирования машин»
СОРОКИН Федор Дмитриевич
доктор технических наук, профессор кафедры «Прикладная механика»
МАРОХИН Антон Сергеевич
аспирант кафедры «Основы конструирования
машин» (МГТУ им. Н.Э. Баумана)
УДК 531.8
Расчет ресурса по критерию изнашивания резьбы планетарного роликовинтового механизма
О.А. Ряховский, Ф.Д. Сорокин, А.С. Марохин
Определен ресурс резьбы по критерию изнашивания в планетарном ро-ликовинтовом механизме, нагруженном осевой силой. По величинам сил и моментов трения выполнены расчеты на изнашивание резьбы и ресурса планетарного роликовинтового механизма.
Ключевые слова: роликовинтовой механизм, силы, моменты, трение, верчение, изнашивание.
The work is devoted to the life time estimation according to the wear criterion of the thread of the planetary roller screw mechanism, loaded with an axial force. The knowledge of friction forces and moments values allowed to perform calculations of the thread wear and the life time of the planetary roller screw mechanism (PRSM).
Keywords: rollerscrew mechanism, forces, moments, friction, spinning, wear.
В настоящее время в приводах машин для преобразования вращательного движения в поступательное и наоборот широкое распространение получили компактные планетарные роликовинтовые механизмы (ПРВМ). ПРВМ превосходят известные шариковинтовые передачи (ШВП) по предельной частоте вращения ходового винта (до 2 раз), по осевой грузоподъемности (при одинаковых габаритах до 3 раз), по долговечности (малые силы трения), по осевой жесткости (до 2 раз), а также по плавности перемещения гайки. ПРВМ допускают линейные скорости перемещения гайки до 3 м/с. Высокие параметры ПРВМ обеспечиваются за счет преобладания трения качения в сопряжениях витков резьбы ходового винта, роликов и гайки, а также за счет большого числа витков резьбы, передающих осевую силу.
ПРВМ (рис. 1) состоит из ходового винта 1, гайки 2, резьбовых роликов 3, на концах которых нарезаны зубчатые венцы 4, двух сепараторов 5, в которых размещены цилиндрические цапфы роликов. Сепараторы установлены по обоим концам гайки и свободно вращаются не касаясь гайки и винта. На обоих торцах гайки расположены кольца 6 с внутренними зубчатыми венцами, с которыми зацепляются зубчатые венцы 4 на роликах. При необходимости выбора боковых зазоров между витками резьбы винта, роликов и гайки, гайки выполняют составными из двух частей с возможностью их взаимного осевого перемещения.
Рассмотрим случай когда гайка 2 выполнена сплошной и предварительный натяг в сопряжениях витков резьбы роликов, ходового винта и гайки отсутствует (см. рис. 2).
Рис. 1. Планетарный роликовинтовой механизм
Рис. 2. Силы, действующие на винт, ролики и гайку
Трение скольжения в резьбе, имеющее место в обычной паре винт—гайка скольжения, заменено в основном трением качения роликов по винту и гайке.
Примем следующие допущения:
1) винт, ролики и гайка изготовлены точно. В действительности вследствие неизбежных при изготовлении ошибок шага резьбы ходового винта, роликов и гайки, толщин витков резьбы в осевых сечениях и диаметров винта, роликов и гайки первоначальный контакт витков резьбы носит случайный характер и распределение нагрузки по виткам резьбы вдоль образующей не будет равномерным. В этом случае при расчетах приближенно можно говорить о некотором среднем значении нагрузки на виток резьбы;
2) первоначальное касание резьбы винта роликов и гайки происходит на среднем диаметре резьбы;
3) динамические нагрузки в механизме отсутствуют;
4) деформация тела гайки при действии осевой силы ¥А пренебрежимо мала. Таким об-
разом, принимаем, что осевая сила и вращающий момент равномерно нагружают работающие участки резьбы.
Основными внешними силовыми факторами, действующими на механизм, являются:
1) осевая сила ¥А, передаваемая с ходового винта на ролики и с роликов на гайку;
2) вращающий момент Мв на ходовом винте;
3) вращающий момент Мг на гайке.
При наличии ошибок изготовления вращение роликов относительно гайки будет неравномерным. Поэтому ролики могут незначительно смещаться относительно гайки вдоль оси. Для уменьшения неравномерности вращения роликов применено зубчатое зацепление роликов с гайкой (см. рис. 1).
На рисунке 3 показана схема сил, действующих на виток резьбы ролика со стороны резьбы ходового винта, без учета силы трения в сопряжениях витков резьбы (статическая задача).
Определим вращающий момент на винте
М в = Мпер + Мтр.
(1)
где Мпер — вращающий момент, перемещающий вдоль оси винта ролики, нагруженные осевой силой ¥А (см. рис. 2, 3),
2
Мпер = ^ = ¥А
где у — угол подъема винтовой линии на среднем диаметре резьбы винта.
Если с винта механизма передается осевая сила ¥а, то одна пара витков резьбы винта и роликов, роликов и гайки будет нагружена силой
а ¡к
(2)
где ¡ — число витков резьбы на ролике, передающих осевую силу (¡ зависит от шага резьбы и длины ролика); к — число роликов в механизме. При этом нормальная составляющая силы на площадке контакта витков резьбы винта и ролика описывается выражением (см. рис. 3)
Рис. 3. Составляющие силы, действующей на виток резьбы винта и ролика
F„
Fл
F' =---=-A-, (3)
N cos а cos у ¡к cos а cos у'
где а — половина угла профиля резьбы в сечении, нормальном к направлению витка резьбы; у — угол подъема резьбы на среднем диаметре.
Момент трения в резьбе складывается из трения резьбы винта о резьбу ролика Мтр.в.р и трения резьбы ролика о резьбу гайки М г:
Мтр = Мр.в.р + Мтр.р.г- (4)
Определим моменты трения и силы трения в резьбе работающего механизма. Рассмотрим два возможных случая работы механизма.
1. Винт закреплен от осевых перемещений и вращается в опорах качения. Гайка нагружена осевой силой и удерживается от вращения. Гайка вместе с роликами перемещается вдоль винта как единое целое. В этом случае (рис. 4) винт вращается от двигателя и силой трения в точке К вращает ролик. Для увеличения силы трения в зоне контакта резьбы винта и ролика угол профиля резьбы в сечении, нормальном к направлению витка резьбы, принят 2а = 90° (рис. 5). Ролик вращается вокруг своей оси
Рис. 4. План скоростей, действующих в точках контакта резьбы винта, ролика и гайки
с угловой скоростью шр и обкатывается по гайке с окружной скоростью, равной окружной скорости сепаратора Ус.
В точке К касания резьбы винта и ролика их окружные скорости равны:
где Ув =
Ш d„
V =¥
г в г р '
окружная скорость на среднем
в2
диаметре резьбы винта; шв — угловая скорость винта.
Из плана скоростей (см. рис. 4) следует
V Vв d в + d р
Vc =~2 =
откуда угловая скорость сепаратора V Ш d„
Шс = ^-Г
с ^ + dr,
2(d в + d р)
(5)
(6)
Если точка Ь является мгновенным центром вращения ролика, то угловая скорость ролика
К
ш„
Окружная скорость ролика, вращающегося вокруг своей оси с угловой скоростью шр, рассчитывается по формуле
dP VP dP
VP= = Т Т
(7)
При работе механизма ролик вращается и обкатывается по невращающейся гайке. Однако резьбовой ролик не должен вывинчиваться (ввинчиваться) по резьбе гайки. Это возможно только при условии равенства в точке Ь окружных скоростей резьбы ролика относительно резьбы неподвижной гайки VL и окружной скорости вращающегося при этом ролика:
V =V *
У Ь У Р 5
(8)
^ + d„
где согласно (5) VL = ^ = у = Шс 2
скорость переносного движения ролика.
Поскольку винт и ролик вращаются в разных направлениях, в точке Ь контакта резьбы винта и ролика имеет место верчение с относительной угловой скоростью (см. рис. 5):
Шотн = Шв + Шр .
(9)
Рис. 5. Характер угловых скоростей в точке контакта витков резьбы винта и ролика
Разложим вектор угловой скорости шв на компоненты:
• вектор угловой скорости верчения винта
Шв.верч = ШвСО!3 У; (10)
• вектор угловой скорости качения
Шв.кач = Шв ^ПУ.
Пренебрежем в дальнейшем составляющей трения качения по сравнению с трением скольжения ввиду ее малости.
Принимая во внимание, что резьба треугольная разложим вектор шв.верч на компоненты.
Вектор угловой скорости верчения ходового винта вокруг оси, нормальной к плоскости, касательной к сопрягаемым поверхностям витков резьбы (соприкасающаяся плоскость),
Ш
в.верч
Ш
в.верч
со8а = шв со8 у со8а, (11)
где а — половина угла профиля треугольной резьбы в сечении, нормальном к направлению витка резьбы.
На рисунке 5 также видно, что вектор угловой скорости ролика Шр направлен навстречу вектору угловой скорости винта шв. Таким образом, компоненты вектора Шр можно, по аналогии с(10)и(11), записать в следующем виде:
в
р
р
• вектор угловой скорости верчения ролика
Ю р. верч = Ю рCOS у; (12)
• вектор угловой скорости качения ролика
Ю„
= юp sin у;
р.кач р
• вектор угловой скорости (12) верчения ролика с учетом треугольного профиля сечения резьбы и угла у подъема резьбы ходового винта:
Юр. верч = Юр.верч COS а = Юp COS У СО!3 а.
Тогда в точке касания резьбы ролика и ходового винта (см. рис. 5) имеет место относительное верчение вокруг оси нормальной к соприкасающейся плоскости
юотн = юр cos у cos а + юв cos у cos а: = (юр + юв)cos у cos а.
(13)
Резьба ролика на среднем диаметре контактирует с резьбой винта к точке К и с резьбой гайки в точке Ь (см. рис. 4).
В точке Ь имеет место только верчение ролика относительно гайки с угловой скоростью юотн (13). В точке К имеет место верчение ролика относительно винта с угловой скоростью юотн, а также скольжение резьбы винта по резьбе ролика со скоростью
* Vp
V =¥ -V =¥ —- = ¥ /2 (14)
отн.в.р в р в 2 в/ Ч-^'У
Выражение (14) было получено из рассмотрения плана скоростей в плоскости нормальной к оси вращения винта. С учетом угла подъема резьбы у на среднем диаметре получим
V *
V
отн.в.р
V
cosу 2cosу
(15)
2. Во втором случае ведущей является гайка. Гайка равномерно вращается внешним моментом и зафиксирована от осевых перемещений. Ролики при этом совершают планетарное движение. Винт не вращается и перемещается вдоль своей оси (рис. 6). При вращении гайки с угловой скоростью юг ролик увлекается силой трения, приложенной в точке начального контакта резьбы гайки и ролика, и вращается с уг-
Рис. 6. Характер скоростей, действующих в точках контакта гайки, ролика и винта
ловой скоростью юр. Ролик катится по винту и при этом ось ролика перемещается в окружном направлении со скоростью, равной скорости сепаратора. Точка К является мгновенным центром скоростей.
Диаметры гайки, винта и роликов должны быть подобраны так, чтобы окружные скорости гайки и ролика в точке Ь касания резьб были равны (см. рис. 6):
V =V + V •
г г г р 1 г с '
■г 4р ^ йв + йр
Ю — = Юру + Юс -2-
(16)
2
2
ю =
й„ + й
р
й г йр \
Ю ~2 - юрТ
(17)
В этом случае в точке К контакта витка резьбы винта и ролика имеет место только трение верчения с угловой скоростью юр.
В точке Ь окружные скорости точек контакта резьбы ролика и гайки равны по абсолютному значению и направлению (только в этом случае вращающийся ролик не будет вывинчиваться из резьбы гайки), а угловые скорости ролика и гайки различны и относительная угловая скорость верчения составит (рис. 7)
Юотн = ЮР
Юг
(18)
Окружная скорость скольжения в точке Ь
Рис. 7. Характер угловых скоростей в точке контакта витков резьбы ролика и гайки
ККЬ -К = Шг
^ + 2d„
- Шр^, (19)
где шс — угловая скорость сепаратора (17).
По аналогии с выражением (11), при выводе которого пренебрегли составляющей вектора угловой скорости качения (см. рис. 7), запишем
Шр. верч = Шр с0!3 а с0!3 Y,
(20)
где шр — угловая скорость ролика; у — угол подъема резьбы на среднем диаметре (см. рис. 7); а — половина угла профиля резьбы в сечении, нормальном к направлению витка резьбы.
Формула (19) была получена из рассмотрения плана скоростей в плоскости нормальной к оси вращения гайки и роликов. С учетом наличия угла подъема резьбы у на среднем диаметре получим
V *
=Ш
V
V,
с08 у с08 у с08 у
d в + 2dр d в + d р
2с08 у
(21)
Ш
2с08 у
Таким образом:
1) если ведущим является винт, вращающийся с угловой скоростью шв при невращаю-щейся гайке, совершающей линейное перемещение вместе с роликами вдоль оси (см. рис. 4), в точке Ь контакта ролика и гайки имеет место верчение ролика относительно гайки с угловой скоростью Шр.
В точке контакта К резьбы винта и ролика имеет место трение верчения с угловой скоростью
Ш
= (шр + Шв)с08 у с08 а
(22)
и трение скольжения со скоростью
-
-
V *
V V
отн. в.р в
cos у 2cos у'
(23)
2) если ведущей является гайка, вращающаяся с угловой скоростью юг при невращаю-щемся винте, совершающим линейное перемещение вдоль оси (см. рис. 6), в точке Кконтак-та резьбы ролика и винта имеет место верчение ролика относительно винта с угловой скоростью юр = 2^р /йр. С учетом того, что резьба треугольная с углом подъема резьбы у на среднем диаметре, относительная угловая скорость составит
Ю*отн.р.г = (Юр - Юг)^у cosа.
(24)
В точке контакта Ь окружные скорости точек контакта резьбы ролика и гайки должны быть равны (в этом случае вращающийся ролик не вывинчивается из резьбы гайки).
В точке Ь относительная угловая скорость верчения
2Vр 2К
Юотн = Юр
■Ю =■
(25)
относительная окружная скорость скольжения резьбы гайки по резьбе ролика
V
V
К-к
отн. г.р
cosу cosу
= Юг
й в + 2й р
2cos у
(26)
■ Ю„
2cos у
При контакте двух тел, поверхности которых имеют положительную Гауссову кривизну, контур площадки контакта ограничен эллипсом с полуосями а и Ь.
При действии нормальной силы FN (см. рис. 3) величина максимального давления составит [1]
Р 0
3 F¡
N
2 паЬ'
(27)
В работе [1] определены размеры полуосей эллипса контура площадки контакта двух геликоидальных стальных поверхностей.
Рассмотрим случай, когда при работе ПРВМ вращается винт, а гайка с роликами перемещается вдоль оси винта без вращения. В точке
Ь (см. рис. 4) имеет место верчение с относительной угловой скоростью (13).
Таким образом, пятно контакта резьбы винта и ролика в форме эллипса вращается вокруг оси О (рис. 8) с угловой скоростью (13).
На рисунке 8 видно, что характер изменения давления по площадке контакта описывается эллипсоидом с максимальным значением в точке О.
Рассмотрим характер изменения давления р(х) в плоскости, нормальной к плоскости эллипса контакта и проходящей через ось ОХ, и окружной скорости У(х) вращающегося эллипса. Задачей является оценка интенсивности изнашивания и ресурса ПРВМ по критерию износостойкости.
В нашей задаче окружная скорость V = хюотн растет линейно с увеличением х, а давление р падает от р0 до 0. Значит, на оси X есть область, в которой произведение Ур будет максимальным. Найдем область на оси ОХ (см. рис. 8), в которой мощность трения максимальна.
Запишем выражение мощности работы сил трения на элементарном кольце шириной йх (см. рис. 8) и единичной длины
Рис. 8. Форма пятна контакта геликоидальных поверхностей, характер распределения давления по пятну контакта и окружных скоростей при вращении эллипса
р
г
*
N = fVpdx = /Шотн хр 0-^1- ^(х, (28)
где / — коэффициент трения скольжения; V —
окружная скорость точки с искомой координа-
«_> *
той х,
тл_
V ШоТНХ ;
(29)
pdx — нормальная сила на элементарной площадке шириной (х и единичной длины
х
Р(х) = ро, 1 - -г при у = 0.
(30)
Здесь а — большая полуось эллипса.
Найдем координату х*, в которой мощность работы силы трения максимальна:
йЖ х
=/шотнр о^1- агх(х )=0
(31)
Отсюда
( / 1 х2. ( 2 х4 2
(х V а (х
1 х4 -1
= 2(х2 - ху) 2(2х 2 а2
4х3
а 4х 3
■аг)=0; а2
(32)
2х
а
х4 1 (х2 - ху)2
=о.
а
Поскольку д/х2 -х4 /а2 ^0, 4х 3
2х--= 0; 2ха2 = 4х3; а2 = 2х2;
имеем
* а
42
(33)
Таким образом найдена координата х* в области пятна контакта, в которой мощность силы трения и интенсивность изнашивания максимальны.
Интенсивность изнашивания I зависит от конкретных условий работы механизма и является функцией времени Она безразмерна и также зависит от силы сжатия трущихся поверхностей, скорости скольжения, твердости материала, волнистости и шероховатости контакти-
рующих поверхностей, вида смазочного материала, температуры, наличия вибраций (переменность толщины смазочного слоя и величины нормальной силы), погрешностей формы контактирующих поверхностей (отклонение от теоретического профиля контактирующей поверхности) и других факторов;
(Щ) = 1 (к (I(Г) = V а'
I =
(34)
где к — линейное изнашивание трущихся поверхностей; I — путь трения; V— — скорость
а
скольжения.
Рассмотрим параметр скорости изнашивания. С учетом (34) запишем
(к т(1 л/ у = —= I— = IV.
Л Л
Из (35) имеем
, (к * = VI •
(35)
(36)
Отсюда определим время работы (ресурс) деталей, трущихся с постоянной скоростью скольжения V™:
[к ]
1 1 [к ] / ^=^ /(к;
П ' ти ' П
т =
V I
[к],
где т — предельное время работы механизма, определяемое его работоспособностью по изнашиванию; [к] — допустимое изнашивание, определяемое работоспособностью конкретного механизма. Так, в ПРВМ изнашивание рабочих участков резьбы винта, роликов и гайки приводит к потере точности перемещения гайки по винту, появлению динамических нагрузок в реверсивных ПРВМ и др.
Литература
1. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Машиностроение. 2006. № 1.
2. Планетарные роликовинтовые механизмы. Конструкции, методы расчетов. Блинов Д.С. Под ред. проф. Ряховского О.А. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2006. 222 с.
Статья поступила в редакцию 02.03.2012
1
