Расчет распределения зарядов пластин при наличии внешнего несимметричного поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рис. 7. Пространственное распределение зарядов и профиль функции

В данной работе описан аналитический способ расчета распределения зарядов плоских круговых дисков и дисков в виде сферических сегментов, расположенных во внешнем электростатическом поле. Получены две группы взаимно сопряженных

полиномов, позволяющих сводить интегральное уравнение обратного проецирования в алгебраическое уравнение. Распределение потенциалов на поверхности пластины представляется в виде разложения по одной группе полиномов, тогда как сопряженная группа представляет распределения зарядов на поверхности электродов с теми же коэффициентами разложения. С помощью полученных полиномов решаются как прямая, так и обратная задача уравнения обратного проецирования. Важным моментом данной работы является то, что полученные полиномы позволяют представлять прямое и обратное решение в аналитическом виде.

В качестве подтверждения правильности работы алгоритма приведены решения модельных задач восстановления зарядов по распределению потенциалов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тарновский А.С. Об определении понятий «потенциал» и «потенциальное поле» // Электричество. - 2000. - № 1. - С. 63-64.

2. Шишигин С.Л. Построение двумерной картины электростатического поля // Электричество. - 2004. - № 3. - С. 53-58.

3. Миролюбов Н.Н., Костенко М.В., Левинштейн М.Л., Тиходе-ев Н.Н. Методы расчета электростатических полей. - М.: Высшая школа, 1963. - 415 с.

4. Исаев Ю.Н., Кулешова Е.О. Расчет распределения зарядов электрического поля на поверхности плоской системы электродов,

помещенной во внешнее электростатическое поле // Энергетика: экология, надежность, безопасность: Матер. XII Всеросс. на-учно-техн. конф. - Томск: Изд-во ТПУ, 2006. - С. 69-72.

5. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов А.А. Математические методы компьютерной томографии. - М.: Наука, 1985. - 160 с.

6. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректно поставленных задач. - М.: Наука, 1986. - 286 с.

Поступила 05.05.2008 г.

УДК 621.372.4:537.52

РАСЧЕТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАРЯДОВ ПЛАСТИН ПРИ НАЛИЧИИ ВНЕШНЕГО НЕСИММЕТРИЧНОГО ПОЛЯ

Е.О. Кулешова, Ю.Н. Исаев, О.В. Васильева, Д.А. Русол*

Томский политехнический университет E-mail: kuleshova@elti.tpu.ru *ОАО «НИПИ», г. Томск

Предлагается алгоритм расчета распределения зарядов по поверхности проводника неканонической формы при наличии произвольного внешнего поля. Алгоритм позволяет находить решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода в виде разложения по собственным функциям интегрального оператора Фредгольма, что существенно упрощает решение сложной некорректной задачи. Алгоритм включает синтез собственного базиса физической системы с учетом того, что эта система может находиться лишь в состояниях, формируемых линейной комбинацией ее собственных функций. В этом случае уравнения, описывающие состояние системы, упрощаются, и от интегральных уравнений можно перейти к системе алгебраических уравнений.

Расчет распределения зарядов на поверхности плоскости при отсутствии симметрии требует привлечения методов, учитывающих кроме радиальной зависимости еще и угловую (азимутальную) зависимость. Одним из возможных методов решения двумерного интегрального уравнения Фредгольма является метод, позволяющий находить решение в виде разложения по собственным функциям интегрального оператора Фредгольма.

При воздействии внешнего поля возникает перераспределение зарядов, результирующее поле является суперпозицией полей создаваемого заря-

дами на поверхности электродов и внешним источником. Этот факт выражается в виде интегрального уравнения Фредгольма первого рода [1, 2].

-и0(г0) + и0 = —!— [ ст(г) Жт, г = {х,у,г},

4п—о Ъ I т - то1

то = {ХрУ»2о}> г>го 6 Ъ (1)

Принятые обозначения соответствуют [1].

Перепишем уравнение (1) в цилиндрических координатах и учтем, что уравнение должно быть записано для поверхности электрода ¿=0 (2) из [1].

Основная идея использования собственных функций заключается в сведении двумерного интегрального уравнения к системе одномерных уравнений. Это возможно, если искать решения ы=(р,в) и и=(р,в) в виде суммы факторизованных слагаемых, азимутальная составляющая которых будет иметь экспоненциальный вид:

ы(р,в) = Х Сп,тК (р)ерт,

п,т

и (р,в) = Х А„тК (р)е1вт.

п,т

где С„т и Лпт - коэффициенты разложения рядов ы=(р,в) и и=(р,в) соответственно, Дт(р) - радиальная составляющая.

Очевидно, что в этом случае можно использовать линейную независимость гармонических функций ев и записать выражения искомой и известной функций для каждой гармоники в виде:

Ы(р) = Xсп,К(р1 ит (р) = Xапрп‘р т = Ъ2’---

п п

И, если функции разложения являются собственными, то соотношения между коэффициентами имеют простой вид: сп=а„/Япт, т. е.

ыт(р)=х^гкптр ит(р)=Xа„к(р),

п п,т п

где Япт - собственные числа.

Таким образом, если найти коэффициенты разложения известной функции и(р) в собственном базисе системы, то легко определить коэффициенты разложения неизвестной функции Ыр) распределения зарядов. Предлагаемый алгоритм позволяет находить решение уравнения (1) в виде разложения по собственным функциям интегрального оператора Фредгольма. Такой подход позволяет свести решение интегрального уравнения к решению системы линейных алгебраических уравнений. Алгоритм позволяет учитывать особенности решения некорректной обратной задачи в виде оптимального селективного гашения высокочастотных компонент разложения.

Первый этап алгоритма заключается в поиске собственных функций и собственных чисел двумерного интегрального уравнения (1).

(ЩМр = ЯЧ р (2)

|р-р|

где Ч(р) - собственные функции, Я - собственные числа.

Второй этап алгоритма заключается в представлении искомого решения ы(р) и потенциала результирующего поля ир) в виде разложения в ряд по собственным функциям:

ы(р) = хс„Чп(р), и(р) = хап^п (р )■ (3)

п п

Третьим этапом определяются коэффициенты разложения ап обобщенного ряда Фурье известной функции ир). Представления функций ы(р) и

ир) в виде рядов (3) подставляются в интегральное уравнение (1), которое редуцируется в алгебраическое, в силу свойств собственных функций (2):

XапЧп(р) = ХЯпСпЧп (р)■

п п

В силу линейной независимости собственных функций получаем сп=а„/Я„. Таким образом, получаем искомое решение в виде разложения по собственным функциям

ы(р)=ХЯ ч (р)-

п Яп

Так как решаемая задача является некорректной и обратной, необходимо учитывать высокую чувствительность решения ы(р) к шумам в исходных данных и(р) [3-5]. Для этого пролонгируем коэффициенты разложения решения в комплексную плоскость, осуществляя слабый спектральный сдвиг

ы(р)=Хт^~'¥ п (р),

п Яп +15

где е - бесконечно малая величина, I - мнимая единица.

Четвертый этап алгоритма заключается в фильтрации полученного решения в силу неизбежного наличия шумов в найденных коэффициентах разложения. На этом этапе производится гашение высокочастотных составляющих на основе использования сглаживающего функционала А.Н. Тихонова [5].

Задача нахождения таких собственных функций Чп(р) сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода

Ч* (р)Як = /К(р,р )Чк (р ')С1 р ' (4)

здесь К(р,р) - ядро интегрального уравнения,

Як - собственные функции и собственные значения интегрального уравнения (4), соответственно,

Решение интегрального уравнения (4) будем искать в факторизованном виде:

Ч(р) = Я(р)0(в). (5)

Прежде всего определим вид азимутальной функции 0(в). Отметим, что функция 0(в) должна быть непрерывной и периодической функцией угла в с периодом 2п. Подставляя решение (5) в уравнение (4), получим

2п Я

Л К (р,в, р',в') Я(р)0(в)рёрёв = ЯЯ(р)0{в).

0 0

Произведем следующую замену переменных: %=в'=в, йС,=йв, в =С+ в, тогда

2п Я

//к (р, р\С)Я(р'Ш +в)рёрёс =

0 0

= ЯЯ(р)0(в). (6)

Из уравнения (6), в силу непрерывности, периодичности и единственности решения, следует, что 0(£+в)=0(£)0(в). Общее решение этого ура-

внения, имеющее период 2п, хорошо известно и имеет вид ехр(тв). Следовательно, функция 0(в) записывается следующим образом:

0(в) = ехр(/тв). (7)

Для определения радиальной матрицы перехода подставим выражение (7) в (6) и, после преобразований, получаем однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода:

Я 2п

/рёрЯ(р)/ йй, ехр(тОК(р,р\С) = ЯЯ(р). (8)

0 0

Введем обозначение:

2п

Кт(р,р) = / ёСехр(т£)К(р,р

0

Выражение (8) сводиться к:

Я

/рё рЯт(р)Кт (р, р') = ЯЯт (р). (9)

0

Для выражения (9) было рассчитано ядро при различных азимутальных составляющих т=0,1,2,... Пространственное изображение полученных собственных функций приведено на рис. 1.

В выражении (9) введем обозначение

Рис. 2. Пространственное распределение, изолинии и профили потенциальной функции и(ху) по осям: 1) х; 2) у

Рис. 3. Пространственное распределение, изолинии и профили 50(х,0), s0(0у) распределения зарядов 50(х,у)

Рис. 4. Пространственное распределение, изолинии и профили распределения зарядов Б(хгу) по осям: 1) х; 2) у

и(х,0), и(0, ^)

Рис. 5. Пространственное распределение, изолинии и профили потенциальной функции и(хгу) по осям: 1) х; 2) у

Тт (р, р') = К (р, р')р ёр. Они имеют N соответствующих линейно независи-

т мых собственных векторов, удовлетворяющих

Тт = кт р Ар, у = 0... N, Ар = N, р - ъес~ условию [6]:

ТтЧт (р) = ЯтЧт (р),

Матрицы Т не симметричны и имеют N различных собственных значений Ят, у=0,1,2,...,Ж где Ym(P)=[Чom(P),Чlm(P),Ч2m(P),...ЧNm(P)]

Для определения коэффициентов разложения необходимо использовать собственные функции ФДг) транспонированной матрицы [ Тт]Т

(Тт)ТФт (р) = ЯтФт (р),

где Ф"(р)=[ Фот(р), Ф/Чр), Ф2и(р),... Ф/(р)]Т.

Известно [6], что собственные векторы матриц Тт и [Тт]Т, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны и для них справедливы условия:

Я

/рё рф т

■т(Р)^7 (Р) = Ntf, j = 0,1,2,..., N,

где 6 у ^ У, Щт - условия нормировки.

Продемонстрируем работу алгоритма на нескольких азимутальных зависимостях и покажем совпадение результатов расчета по выше описанному алгоритму с непосредственным вычислением интеграла Фредгольма (1).

Определим распределение зарядов при произвольном несимметричном распределении потенциала. Представим модельное распределение потенциала в виде ряда по радиальным и азимутальным компонентам:

и(р,в) = 0,1-0,2р2 -0,5р2совв + 0,5роо$2в.

Рассматривать данное распределение потенциала будем как сумму трех составляющих при различных значениях азимутального индекса т. В нашем случае т=0,1,2.

При т=0 составляющая распределения потенциала имеет вид ио(р)=0,1-0,2р2, при т=1 и1(р,в)=-0,5р2ео8в, при т=2 и2(р,в)=-0,5рсо82в.

Модельное распределение потенциала и(р,в), являющееся суммой всех выше перечисленных составляющих, представлено на рис. 2.

Для полиномов соответствующей степени р к, к= 0,1,2,... при различных азимутальных составляющих определяем матрицы коэффициентов разложения функции и(р,в), используя (3).

Для т=0 и к=0 составляющая распределения потенциала ио(р)=0,1=]СЛп°Фп°(р). Умножим правую и левую часть равенства на Ч0(р):

Я Я

/ рё рЧ к (р)и 0=х а / рё рЧк (р)ф: (р).

0 п 0

Учитывая условия ортогональности, получаем:

]рё рЧ Кр)и 0=х а: ^т.

0 п

Отсюда определяем коэффициенты Лп, используя выражение

А: ^ 1Р'1Н / и (Р) Чп (Р) РёР.

Используя (3), определяем коэффициенты разложения распределения зарядов

С 0 = А

я0 '

Распределение зарядов определим как

Ы0(р) = ХФ °(р) С °.

п=0

Определение коэффициентов С является обратной некорректной задачей, поэтому необходимо осуществлять регуляризацию решения с помощью сглаживающего функционала А.Н. Тихонова.

Аналогично определяем коэффициенты разложения ы(р, в) при т=0 для полинома второй степени ио(р)=-0,2р2.

Результирующее распределение зарядов для нулевой азимутальной составляющей изображено на рис. 3.

Аналогично были рассмотрены составляющие распределения потенциала при т=1 и т=2.

На рис. 4 представлено пространственное распределение зарядов, соответствующее модельному распределению потенциала.

Критерием правильности расчетов является непосредственное вычисление интеграла (2). В качестве подынтегральной функции ы(р',в) подставляем полученное распределение зарядов. В результате получаем распределение потенциала, представленное на рис. 5, которое совпадает с модельным распределением потенциала, рис. 6. Данный пример наглядно демонстрирует эффективность работы алгоритма. Переход от интегральных уравнений к системе алгебраических уравнений существенно упрощает решение и требует меньших временных затрат.

Рис. 6. Профили потенциальной модельной функции U(x,y) и восстановленного распределения потенциала соответственно по осям: 1,2) х; 3,4) y

Описанный алгоритм, позволяет синтезировать оптимальный базис разложения, являющийся наилучшим для интегрального уравнения томографии обратного проецирования - двумерного уравнения Фредгольма. Полученные собственные функции являются наилучшим, по сравнению с любым другим, разложением в смысле минимизации размер-

ности пространства разложения. При синтезе оптимального базиса были учтены особенности решения некорректных обратных задач. Преимущество алгоритма заключается в том, что сначала вычисляются коэффициенты разложения известной функции и(р,в), а затем найденные коэффициенты делятся на соответствующие собственные чи-

сла. В результате получаются коэффициенты разложения искомой функции распределение зарядов ы(р,в). При необходимости получить единичное распределение зарядов ы(р,в)=1 достаточно представить разложение потенциальной функции и(р,в) в виде суммы собственных функций с единичными коэффициентами разложения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Исаев Ю.Н., Кулешова Е.О., Васильева О.В., Русол Д.А. Расчет распределения зарядов пластин при наличии внешнего несимметричного поля // Известия Томского политехнического университета. - 2008. - Т. 312. - № 4. - С. 70-75.

2. Миролюбов Н.Н., Костенко М.В., Левинштейн М.Л., Тиходе-ев Н.Н. Методы расчета электростатических полей. - М.: Высшая школа, 1963. - 415 с.

3. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов А.А. Математические методы компьютерной томографии. - М.: Наука, 1985. - 160 с.

4. Преображенский Н.Г., Пикалов В.В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы. - Новосибирск: Наука, 1982. - 238 с.

5. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректно поставленных задач. - М.: Наука, 1986. - 286 с.

6. Баринов В.А., Совалов С.А. Режимы энергосистем: методы анализа и управления. - М.: Энергоатомиздат, 1990. - 440 с.

Поступила 05.05.2008 г.

УДК 621.311.001

ЗАКОНОМЕРНОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ СПЕКТРОВ И СТРУКТУР СОБСТВЕННЫХ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

С.В. Шиловский

Институт автоматизации энергетических систем, г. Новосибирск E-mail: shi@iaes.ru

Предлагается решение системы дифференциальных уравнений электромеханических движений в виде гармонической функции. Рассматриваются вопросы определения закономерностей формирования спектров и структур собственных электромеханических колебаний. Исследуются оценки гармонического состава электромеханических колебаний. Обосновывается применение частот собственных колебаний в качестве показателей для оценки удаленности режима от предельного по устойчивости.

Введение

Анализ условий обеспечения статической и динамической устойчивости, электромеханических переходных процессов при научных исследованиях, в практике проектирования и эксплуатации имеет своей целью найти упрощенное с точки зрения устойчивости описание энергообъединения, обнаружить некоторые достаточно простые свойства объединенной электроэнергетической системы. В основе таких упрощенных представлений всегда лежит некоторое отображение системы в рассматриваемой области ее функционирования [1].

Объективный анализ устойчивости объединения целесообразно проводить с помощью процедур исследования, основанных на численной оценке ее системных свойств. В основе этих процедур предлагается учитывать реакцию системы на возмущения. Тогда объединение в своем движении должно проявлять свои динамические свойства [2-6].

В основе электромеханических переходных процессов энергообъединений лежат свободные колебательные движения синхронных машин.

Свободное движение, совершаемое под действием только внутренних сил, комплексно отражает и проявляет динамические свойства системы. Выявить их можно на основе исследования линеаризованных математических моделей. Качественно рассмотрение динамических свойств энергосистем базируется на предельно простой математической модели. Она ориентирована на описание процессов в системах, составленных из большого количества дискретных, упруго связанных между собой колеблющихся сосредоточенных элементов, в которых распределена вся инерционная масса системы. В качестве последних выступают синхронные машины [1].

В основу анализа устойчивости естественно положить изучение реакции системы на возмущения в виде гармонических колебаний с частотами, соответствующими собственным частотам электромеханической системы, а динамические свойства целесообразно исследовать для представительного набора собственных частот, оценивая гармонический состав электромеханических колебаний и используя частоты собственных колебаний для числовых оценок удаленности режима от предельного.