CC BY
104
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том IV 19 7 3 №4
УДК 533.6.011.5:629.76.015.3
РАСЧЕТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ ПРИ ОБТЕКАНИИ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЫ СВЕРХЗВУКОВОЙ СВОБОДНО РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ СТРУЕЙ ГАЗА
В. А. }Кохов
Проведены расчетные исследования силового воздействия осесимметричной струи идеального газа, истекающей в вакуум через сверхзвуковое сопло, на плоскую пластину, которая наклонена под малым углом к оси струи. Приведено сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными. Предложена методика приближенного расчета распределения давления по пластине.
1. Известно, что увеличение скорости газа при истечении в вакуум вблизи выходного сечения сопла двигателя происходит, весьма интенсивно. Поверхность, расположенную даже сравнительно близко от оси струи, будет обтекать поток с большой сверхзвуковой скоростью. Так как при истечении в вакуум линии тока за срезом сопла значительно отклоняются от осевого направления (см., например, [1]), то углы атаки в набегающем потоке велики. В этом случае течение за ударной волной, возникающей перед обтекаемой поверхностью, будет смешанным, содержащим дозвуковые и сверхзвуковые зоны, и пространственным. Теоретическое решение подобной задачи до сих пор не получено даже для случая обтекания струей тела простейшей формы, например плоской пластины. Поэтому для проведения качественного анализа и установления некоторых основных зависимостей естественно воспользоваться приближенным методом расчета.
Попытки создать расчетную схему решения задачи об обтекании пластины сделаны в работах [2] и [3]. Однако ограниченность приведенных в них данных не позволяет получить каких-либо выводов о влиянии основных параметров. В работе [4] анализируется случай истечения струи с малой степенью нерасчетности, предложенный в ней метод не пригоден для решения рассматриваемой задачи. Численное исследование плоского случая взаимодействия струи с пластиной проведено в работе [5].
2. В настоящей статье сделаны допущения о том, что взаимодействие струи с пластиной происходит в соответствии с моделью Ньютона, течение в струе изэнтропическое, газ идеальный и совер-
шенный. Согласно гипотезе Ньютона давление на пластине определяется по формуле [6]
Рал = * Мн ТС (Мн) эт2 а, (1)
где рш — давление, отнесенное к давлению торможения в невозмущенном потоке.
На фиг. 1 декартова система координат ХУ2 связана с пластиной, которая совпадает с плоскостью ХОУ. Начало координат О — точка пересечения вертикали, проведенной через центр среза сопла В, и пластины. Длина ОВ = І. Ось х цилиндрической системы координат х, г, с центром в точке В направлена вдоль оси струи, а—угол между касательной к невозмущенной линии тока и ее проекцией на плоскость ХОУ; ^ — угол между осями ОХ и Вх.
Связь между прямоугольными координатами точки на поверхности пластины ХОУ и цилиндрическими координатами той же точки определяются соотношениями (см. фиг. 1)
В выражениях (1) и (2) х — отношение удельных теплоемкостей, 6—угол наклона вектора скорости к оси х в рассматриваемой
точке пластины, тс(Мн) = [1+(х—1)Мн/2] Х_1 ; смысл остальных обозначений очевиден из фиг. 1, индексом „н“ отмечены параметры невозмущенного потока, индекс а в последующих соотношениях обозначает параметры на срезе сопла. Линейные величины отнесены к радиусу среза сопла га.
Параметры потока, набегающего на пластину, определялись из решения задачи о расширении в вакууме осесимметричной свёрх-
х = Х сое г = [К2 (X эт ^ + £)2]1/2; ф =± агсі§ [УІ(Х віп у + І)];
(2)
х
звуковой струи [1]. Численные расчеты проводились методом характеристик.
Пример распределения давления по пластине показан на фиг. 2. Приведенный профиль давлений типичен для
¥
X
О 2 Ц В X
Фиг. 1
Фиг. 2
рассматриваемой задачи. Наличие критической точки, давление в которой достигает максимальной величины, обусловлено тем, что функция ЬА„=Мк(х) в набегающем на пластину потоке при удалении от среза сопла имеет минимум, в то время как угол атаки а непрерывно уменьшается.
Рассмотрим влияние основных параметров на коэффициент
давления ср\
с„ = 2 (1 — 1 /х/е2) sin2 а,
(3)
где К = Мн в1п а и при малых а переходит в известный гиперзвуко-вой параметр подобия Мна.
эе=1,15 '> ва =0і L ‘Si у ■=o
- I / Ma=s
! критическая точна ^T~
1JS\
f,5
5 ІО /і-
; Ma = 2і ва-0
Рассматриваемое течение характерно тем, что комплекс (Cp/sin2 акр) в критической точке слабо зависит от Ма и ба при L^-5, изменяясь не более чем на 5—6% во всем исследованном диапазоне Ма и Ьа. Как видно из фиг. 3, величина ср/sin2 а изменяется не более чем на 6—7% на расстоянии до четырех радиусов сопла от критической точки при Ма>2 и L 5. Так как абсолютная величина давления на пластине при удалении от критической точки убывает довольно быстро (см. фиг. 2), то при расчете суммарных аэродинамических сил при указанных ограничениях можно, по-видимому, полагать величину cpjsin2 а постоянной вдоль пластины, равной (cp/sin2 а)кр и не зависимой от Ма и 0а. Пропорциональность ср и sin2 а свидетельствует о применимости закона подобия для гиперзвуковых течений в случае обтекания плоской пластины неравномерным гиперзвуковым потоком, в частности осесимметричной струей газа.
Расчеты показали, что изменение расстояния от пластины до оси струи L приводит к неодинаковому изменению давления на пластине вблизи от среза сопла и вдали от него (фиг. 4). Если с увеличением L при Л'<5 давление понижается, то при ^>9 возрастает. Такой эффект можно объяснить тем, что вблизи среза сопла градиент числа М вдоль нормали к оси струи существенно больше, чем вдали от него [I]. Это значит, что число М в потоке, набегающем на пластину, с возрастанием L увеличивается вблизи от среза сопла и остается практически постоянным в дальних
областях струи. Угол атаки также возрастает с увеличением L: а = arctg L/x |у=о- Однако увеличение а вблизи среза сопла не может компенсировать падение скоростного напора оW2 в набегающем потоке, поскольку а -* тг/2, в то время как ptt?2 -»0. Вследствие: этого давление на пластине вблизи среза падает с возрастанием L. Вдали от сопла, где Mss const и pU?2^ const, преобладающим оказывается влияние угла атаки, и давление на пластине с увеличением L растет.
Фиг. 4
На фиг. 4 приведены результаты экспериментов. Изложенная методика расчета дает качественно правильные результаты в следующем диапазоне изменения параметров: Ма = 2, /. = 2 ч-8Т
7 = — 15°ч-7с, 6й = 0-ь11°. Что касается количественной стороны, то при Ь = 2 экспериментальное значение давления в критической точке превышает рассчитанное по формуле Ньютона примерно на 25—30%, а при 1^ 6 — на 6% (х=1,4, Ма = 2, 0а = О, 7 = 0). Поскольку применение трудоемкого численного расчета поля струи в сочетании с методом Ньютона не обеспечивает желаемой точности, возникает необходимость в построении более простой методики решения данной задачи.
3. В ее основу также положена гипотеза Ньютона, однако распределение параметров в струе вычисляется с помощью аналитических аппроксимаций, наиболее пригодные из которых, как показал анализ, описаны в работах |7] и |8]. Согласно первой из них, поле плотности в струе дается формулой
Рн/Рд — (с°8 Ь)к, (4)
где & = х(х—1)Мв, рн и рв — плотность соответственно в искомой точке поля и на срезе сопла. Для определения полярного расстояния /?, углов 0 и а в настоящей статье сделано допущение о том, что линии тока в струе прямолинейны и исходят из полюса 01
2—Ученые записки № 4
17
(см. фиг. 4), лежащего в точке пересечения предельной линии тока, соответствующей максимальной скорости газа, с осью сопла. Такое допущение вытекает из рассмотрения картины линий тока вблизи среза сопла, полученной численными расчетами [1]. Тогда
, /? = (х* + г»)1'2; |
х = X cos т +'ctg 0*,; , ' (5)
sin а = cos Y (L— ctg Scotg 7)//?, ]
где 8оо — угол наклона предельной линии тока, определяется из соотношения Прандтля — Майера; г находится с помощью второго из выражений (2). Определяя из равенства (4) величину е(Мн) = = рн Ро (индекс „0“ относится к изэнтропически заторможенному невозмущенному потоку) и связанные с нею величины тс(Мн) и Мн, получим с учетом последнего из равенств (5)
Рпл = 5(MH)~lE(M,i \(L - Ctg 000 tg f) COS T]2. (6)
Найдем координату критической точки Хкр. В силу симметрии течения относительно плоскости У = 0 давление в критической точке будет зависеть только от одной координаты X. Вычисляя производную dpnJdX и приравнивая ее нулю, получим уравнение для определения Хкр:
kr(r — x tg if) (1 — кг*-1) — 2х(х + г tg т) [2 — (х + 1) гн_11 ~ 0- (7)
Согласно [8] уравнение линии Мн = const можно представить в виде
(R/Rt,)2 = exp [— w2 (1 — cos О)2], (8)
где /?„ —полярное расстояние до линии Мн = const, измеренное вдоль оси струи. В уравнении (8) параметр
ш = {тг1 2 [ 1 —'С/=-/Л(Ср)тах]}-1«
Выражая коэффициент тяги сопла в вакууме cf и максимальный коэффициент ТЯГИ Срт^ через ЧИСЛО Крокко Ан = WjWm ах [91, получим
Рпл = № (1 - А[(L - ctg 00, tg Т) cos Т]2. ’ (9)
Уравнение линии Лн=const принимает вид
-L (—^— R г _ in_^_(1 ~А°'\ = о
“ \ Лн - ? R J -R2 (Лн - 8) \ ! _ А* I ’
где Р = (Ад/Л* + A;i. Ли) (х- — I)1/2/2х; Лв и Л# — соответственно числа Крокко в выходном и критическом сечениях сопла. Применяя для определения Хкр ту же процедуру, какая была описана выше, получим следующее уравнение
1 Лн — jc Лн — fi
о Л * л2\ '-(rcos-f-xsiin)- (X cos 1 +г sin-0
[ ,} ' — (х cos 1 + г sin i)/R2 = 0. (10)
Пример расчета по формулам (6) и (9) представлен на фиг. 5. Различие расчетных и экспериментальных значений давления в критической точке составляет 5—7% при изменении расстояния от пластины до оси сопла от 2 до 10 радиусов его выходного сечения (х = 1,4; Ма = 2; 6а--=0; т = 0). Координаты критической точки определяются по уравнениям (7) и (10) с погрешностью 4—16%. С удалением от критической точки отличие расчетных значений давления от экспериментальных доходит до 200% при X^ 10. Это объясняется возрастанием толщины сжатого слоя между ударной
Фиг. 5
волной и пластиной при отходе от критической точки, что не учитывается в предложенной теории, а также отличием действительного поля струи от теоретического из-за влияния пограничного слоя на стенках сопла. Однако вследствие быстрого падения давления в окрестности критической точки оценка суммарных аэродинамических сил дает погрешность приблизительно такую же, как при расчете давления в критической точке.
Лучшее, чем при расчете поля струи точным методом, совпадение результатов приближенного расчета и эксперимента объясняется тем, что методы [7] и [8] дают заниженные значения чисел Мн, а следовательно, завышенные значения скоростного напора и давления на пластине. Указанная особенность аппроксимаций [7] и [8] в некоторой степени компенсирует ошибку, возникающую из-за пренебрежения толщиной ударного слоя перед пластиной.
Простота полученных выражений и удовлетворительное совпадение расчетных и экспериментальных результатов позволяют, по-видимому, использовать предложенную методику для быстрых инженерных расчетов.
ЛИТЕРАТУРА
[. Жохов В. А., Хомутский А. А. Атлас сверхзвуковых течений свободно расширяющегося идеального газа, истекающего из осесимметричного сопла. Труды ЦАГИ, вып. 1224, 1970.
2. Р i е s i k Е. Т., К о р р a n g R. R., S i ш к i n D. J. Rocket-exhaust impingement on a flat plate at high vacuum A1AA Paper, No 66-46.
3. Melton H. R., Shaw L. W., Sieker W. D., White D. J. Simulation of non-continuum free jet plume impingement. A1AA Paper,
No 68-237.
4. P у д о в Ю. М., У с к о в В. Н. Определение параметров сверхзвуковой газовой струи, действующей на наклонную плоскую преграду. ИФЖ, т. XII, № 5, 1967.
5. Б у ков шин В. Г., Ill е с то в а Н. П. Падение плоской сверхзвуковой струи на плоскость под произвольным углом. Изв. АН СССР,
МЖГ, № 4, 1967.
6. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М., Физматгиз, 1959.
7. Roberts L. The action of a hypersonic jet on a dust layer. IAS Paper, No 50, 1963.
8. Hill J. A. F., Draper J. S. Analytical approximation for the flow from a nozzle into a vacuum. Journ. Spacecraft and Rockets, No 10, 1966.
9. Основы газовой динамики. Под ред Г. Эммонса. Пер. с англ.
М., Изд. иностр. лит., 1963.
Рукопись поступила 30jIII 1972 г■
