CC BY
21
УДК 539.3
О.Р. Кузнецов
РАСЧЕТ ПРЯМЫХ МНОГОСТРИНГЕРНЫХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК МЕТОДОМ БУБНОВА - ГАЛЕРКИНА С УЧЕТОМ ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ ПРИ КОНЕЧНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ
На основе метода В.З. Власова методом Бубнова-Галеркина получены разрешающие уравнения расчета прямых замкнутых призматических оболочек с учетом физической нелинейности при конечных перемещениях.
O.R. Kuznetsov
STRAIGHT CLOSED MULTISPAN PRISMATIC SHELLS CALCULATION BY BUBNOV - GALERKIN'S METHOD TAKING INTO CONSIDERATION THE GEOMETRICAL AND PHYSICAL NONLINEARITY
The straight closed prismatic shell is considered in this article. Geometrical and physical nonlinearity is used by the author. Bubnov-Galerkin’s method is used here. Resolving equations are recorded as a system of linear algebraic equations with variable factors.
Рассматриваются пространственные многострингерные прямые замкнутые призматические оболочки средней длины. Контур поперечного сечения имеет произвольное очертание, он образован отрезками прямых и предполагается жестким в своей плоскости. Оболочка находится под действием произвольных крутящих и изгибающих нагрузок (распределенных, сосредоточенных). Оболочка в продольном направлении усилена продольными элементами (стрингерами) с площадью поперечного сечения Fj (i - номер узла поперечного сечения). Продольные перемещения точек контура определяются продольными перемещениями её узлов. Под узлом понимается точка излома контура или точка расположения стрингера. Продольные элементы (стрингеры) воспринимают только нормальные напряжения.
На рис. 1, 2 изображены мостовая балка и фрагмент несущей строительной конструкции.
Рис. 1
Рис. 2
Распространение конструкций такого типа в реальной инженерной практике делает актуальным создание расчётных моделей, которые отражают в достаточной мере специфику рассматриваемых конструкций, являются универсальными и позволяют построить алгоритм решения.
Цель исследования. На основе метода Бубнова-Галеркина получить разрешающие уравнения расчёта прямых замкнутых призматических оболочек с учётом продольного дискретного силового набора при конечных перемещениях и физической нелинейности материала.
Данная работа является продолжением исследований, изложенных в [1, 2], в которых рассматривался расчёт оболочек указанного типа с учетом физической нелинейности.
Статико-геометрическая модель. В соответствии с методом В.З. Власова расчёта призматических оболочек средней длины компоненты вектора перемещений точек контура в продольном (в направлении оси г) и вдоль контура оболочки (в направлении оси э), задаются соответственно в виде
где фг(э), уИ(э), (/'=1,...,и; И=0,...,да) - задаваемые безразмерные аппроксимирующие функции; и(2), ¥н(г) - неизвестные безразмерные функции, подлежащие определению. Символ < > означает суммирование по соответствующему индексу. Геометрические размеры оболочки задаются безразмерными параметрами в соответствии с [1, 2].
Отличными от нуля компонентами деформации являются продольные деформации гг в направлении оси г и деформации сдвига срединной поверхности пластинок, составляющих оболочку. Зависимости между деформациями и перемещениями принимаются в виде
Отличными от нуля компонентами тензора напряжений являются аж(г,э) и аг(г,э). По толщине пластинок, составляющих оболочку, напряжения распределены равномерно.
Для записи зависимостей между напряжениями и деформациями используются соотношения деформационной теории пластичности. Соответственно используются гипотезы, положенные в её основу:
- деформации достаточно малы, нагружение простое или близкое к простому, рассматривается монотонное возрастание нагрузки;
- тело изотропно;
- относительное изменение объема является упругой деформацией, пропорциональной среднему давлению. Коэффициент пропорциональности тот же, что и в теории упругости;
- компоненты девиатора деформаций пропорциональны компонентам девиатора напряжений;
- интенсивность напряжений является функцией интенсивности деформаций г, не зависящей от типа напряженного состояния.
Относительным изменением объема пренебрегаем, получим
Для линеаризации нелинейных зависимостей используется метод последовательных нагружений [3]. Имеем для приращений величин следующие выражения:
и(г,э) = Биг(г)фг (э); V(г,э) = БУк(г)уъ(э); < г >, < И >,
(1)
(2)
аг = а2 = ЕФ(г, )г2, а12 = 11Е Ф(гг ^ (° = 11Е = Е/2(1 + у)) .
(3)
и( z, э) = Щ (г) Фг (эХ и( г э) = Бии (г) у И (э) ;
А02 = — и'ф, +^и'кМк; А012 = и-ф' +—и'кук ; < - > < к > , П1 П П
(4)
Аа2 = ЕА1( г, э) Аг2, Аа12 = 11ЕА2( г, э) Аг12; АN2 = 5Аа12, А£12 = 5Аа12, (6)
где ЕА1( г, э) = да2/ дг2, 11ЕА2( г, э) = да12/ дг12 - (7)
условные жесткости; иг, ик - приращения искомых обобщенных перемещений; А^, А£12 -усилия, возникающие в поперечных сечениях оболочки, приходящиеся на единицу длины контура, без учета стрингеров. Полагаем, что можно пренебречь изменением условных жесткостей вдоль оболочки, то есть считаем
дА1(г, э)/дг = 0, дА2(г, э)/дг = 0 . (8)
С учётом ортогональности аппроксимирующих функций используемое обозначение записывается в виде
Мк = V; (у 2 +х2 ). (9)
Влияние продольных элементов (стрингеров) учитывается следующим образом. Обозначим через Е= Е • Ej модуль упругости /-го стрингера, через Т}=Т}{£) продольное усилие в у-м стрингере. Имеем
Ту = Е}Ё} Аг2(/) = АNЮ'К;
АN* С/) = Е/ 5 э* Аг 2(7) = Е 5 Аа*(/); Аа*(/) = Е/*; А^О), (10)
Аг 2(/) = Аг 2 (z, /) = — Фг и) и\+\и'кМк ОX < к >, < - >,
П1 П
Ё = 8Ё}; эк = § Ж = Бэ* ; ^ = Ё}/5 = э/э* = БЁ/*; Ё* = э#.
Здесь А^ (/) Аа* (/), соответственно - погонное (отнесенное к единице длины контура) продольное усилие и безразмерное нормальное напряжение, которое получается в результате условного «размазывания» усилия Т по всему контуру поперечного сечения толщиной 5. Здесь Аг2(/) - значение продольной деформации /-го стрингера; фг(/), Мк(/) -значение соответствующих функций в /-м узле; 5 - характерная толщина контура; эк -длина контура; э* - безразмерная длина контура; безразмерный коэффициент э*
показывает, какую долю от площади поперечного сечения оболочки составляет площадь данного стрингера. Тогда продольное усилие, с учётом стрингеров, действующее в поперечном сечении оболочки, отнесенное к единице длины контура, можно записать в виде
т2 = т2 (г, э) = А№ (г, э) + М* (г, э) = А№ + А^, (11)
где
АN0(г, э) = Е5(э)Аг2 = Е5(э)Аа2;
А^(г, э) = XАN2(/); Аа2 ^А^О).
/=1 /=1
Таким образом, усилия в поперечных сечениях оболочки представляются в виде двух слагаемых: одно без учета стрингеров (АN^ Аа2); другое от действия стрингеров ( АN2, Аа*).
Напряженно-деформированное состояние оболочки полностью определяется приращениями обобщенных перемещений на текущем этапе нагружения
иг(и'(z), иИ(z), иИ(г) (г = ^.^ П И = т) (12)
и их накопленными на ж-м этапе нагружения значениями
и"(г), (и'(г))", V"(z), (V(г))". (13)
Вывод разрешающих уравнений. На этапе нагружения на основе принципа возможных перемещений Лагранжа имеем
5 АТ-5АЖ = 0,
где 5АТ - работа внешних сил, которая записывается в виде
Ч + Р ( г ) 5ит ) ^ + Б 2( “у
1 г=1
5АТ = Б2/((Л(г)бик + Р,(г)8и,)ак + Б2(Я>к + рбя,) |
г=0
0
где
Як (г) = § Р1( Z, э) У к (э) ^ Р (г) = § Р2( Z, э) фу (э) ^
Я*(г) = § р*( г) у к(э) ^ р (г) = § р*( г) фу(э) ^, (г = 0;1),
(14)
(15)
(16)
где р1(г,э), р2(г,э) - распределенная по поверхности оболочки нагрузка, действующая соответственно в направлении осей э и г; р*(г), р*(г), (г=0;1) - нагрузка, приложенная в торцах оболочки, отнесенная к единице длины контура, действующая соответственно в направлении осей э и г.
Расчетная модель оболочки задается следующим выражением
5АЖ = Б1 §§(А^А5г2 + А£12А5г12) ёгёэ
(17)
где А^ задается выражениями (10), (11).
Развернем выражение (17) с учетом (5), (6). Получим
5АЖ = Е 5 Б1
1
- Е 5 Б1 §
1
—А (г) 5и1 (г) +
V—1
-1! б* (г) + — о* (г)
1_—1 —1
1_—1
а; (г ) - СУ (г)
5иу(г)+
^ б* (г) + - о* (г )
1_—1
—1
(18)
5ик (г) I
где
А(г) = §Аа2 • фу5аэ = — и'(~*)+—иИ(< А1фуМИ > *);
—1
—1
—1
С (г) = §Аа12 •ф^<* = 11
Бк (г) = § Аа2 • Мк5аэ = —и'(< А1фгМк > *) + "1 иИ (< А1МИМк > *);
—2
1
—иИ~И + иК
.—1
0к (г) = §Аа12 • Ук5аэ = 11 — иИ~кИ + игак I.
.—1
(19)
Подставим (15), (18) в (14). Получим статические граничные условия (20) и уравнения равновесия (21)
1 *
А ( г ) - —Р*
Е5 1
5 иу(г)|0 =0;
1 1 *
—Б* (г ) + О* (г ) -—Я* —1 Е5
5и*(г )|0=0-
(20)
0
1
§
— а; (г) - С, (г) + —2 Р (г)
1_—1
Е
5 и (г) ёг = 0;
§
-1- Б* (г) + — О* (1)+—2 Я* (г)
1_—1
—1 Е у = 1,..., п; к = 0,..., да.
5ик (г) ёг = 0;
(21)
В соответствии с методом Бубнова-Галеркина представим искомые приращения обобщенных перемещений иг(г), иА(г), (/=!,..., п, А=0,..., да) в виде разложения
иг (г) = иГ'Хг а (г), ик (г) = иДХ А А (г) (а = 1,..., ^ А = 1,..., е) .
и (z, э) = БиаХа (г ) ф/(э) , и( z, э) = БиА Х АА (г) У А (э),
(22)
(23)
где ига, ид - неизвестные постоянные, подлежащие определению; Хга(г), ХАд(г) -аппроксимирующие (задаваемые) функции.
Функции Хга(г), ХАд(э) должны образовывать ортонормированный базис Гильбертова пространства. Каждая из этих функций должна удовлетворять геометрическим и статическим граничным условиям. Поэтому соотношения (20) удовлетворяются автоматически. Далее имеем
5иу (г) = 5ив •Хур (г), 5ик (г) = 5ик Хк5 (г). (24)
Разрешающие уравнения в форме метода Бубнова-Галеркина можно получить следующим образом. Подставим в уравнения равновесия (21) выражения (22) и (24) соответственно для обобщенных перемещений и их вариаций. Полагая вариации 5иа и
5и5 произвольными, получим уравнения равновесия в виде (25)
1
— А (г) - С, (г) + —2 Рг (г)
—1 Е
1 Б* (г) + - О* (г) + —2 Я* (г)
Хур ёг = 0; р = 1,., э; у = 1,.,
п;
1_—1
—1
Е
(25)
Xк5ёг = 0; 5 = 1,., е; к = 0,..., да.
Выражения (25) можно получить другим способом. Полагая в выражении (21) вариации для обобщенных перемещений 5иу, 5ик произвольными, получим уравнения равновесия в виде системы линейных дифференциальных уравнений (26) с переменными коэффициентами, относительно неизвестных (12)
А(г)-С(г)+—-Р(г) =0; у = и.п;
1 —1
1 - Б* (г) + - О'* (г) + —- Я* (г ) = 0; к = 0,., да.
е <
(26)
—1 Е
Тогда выражения (25) по форме совпадают с определением слабой сходимости операторов (26) в Гильбертовом пространстве функций Хга(г), ХАд(г). Физически выражения (25) означают равенство нулю работы всех внешних и внутренних сил на возможных перемещениях, определяемых выбранным базисом Гильбертова пространства.
Интегрируя выражения (25) с учетом вида выражений (19), получим систему линейных алгебраических уравнений пэ + (да + 1)-е порядка относительно неизвестных коэффициентов иа, ид. Имеем
Г . 1 -I
Г1 ■ ■ I
—2Ауав - 11БуаР
V П 1
а 11
и - —
САр-т“г( р‘.+ л*..)
ПА = —2 ар .
=-е др'Р;
1 г —1
Ок а5 +
-Ц-( е* ...+Е1*...) I < +
11—г у
+
11Г
—1
пк
лк Д5
+-^(с;...+«к...) |ид = -—Е- дя*5,
те У Е
< / >; <а>; < к >; <Д> (Р = 1:
э:
У = 1,.,п; к = 0,...,да; 5 = 1,., е).
Коэффициенты при неизвестных и правая часть имеют вид 1
А ар = § К *) Хг"аХур ;
0 1 ~
Б ар =§Ьу' ХгаХур ^;
0
С;др = I ~ук хк дХур;
0
1 ~
Ок а 5 = § ак х/ах к 5;
0
ЯккД5 = §~кк Хк АХк5 ;
Еукдр = §(< А1фуМк > *)Хкд Хур ^ ;
0
Е1;др = § (< А1фМк > *) хкд хур;
Ека5 = § (<А1 ф,мк > ^Хг"а Хк5 ;
0
Е1ка5 = 1 (< А1ф,м'к > *)Х /а Хк5 ^;
С;Д5 = § (< А1МкМк > *) Х кД Х к5 ;
АЯ* 5 =§Я*(г) х к 5(г) ;
0
ДРур = § Р(г) хур(г) ;
С1кд5=§ (< АхЫкЫк > * +
+ < А1М*М; > *) Х кд Х*5 .
Коэффициенты, входящие в выражения (28), имеют вид
~ =< А1фуфг >, ~ =< А2ф > ■ >, ~ук =< А2Укф ; >;
~к(г) =<А2Укф >, ^~к(г) =<А2УкУк >; а\* = ^ ^СОа;С/), < 7 >; st(/') = /л;
< А1фуМк > * =< А1фуМк > +^СО А1 СО фу О)м; (/X < /' >;
< АММ* > * =< АММ* > + st (/ А1(/ м; (/М* иX < / >;
<
А1фуМк > * =< А1фуМк > + ^О) А1 С/)фу СОМк(/X < 7 >.
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
Анализ полученных выражений показывает, что:
- учёт стрингеров осуществляется коэффициентами (30)-(32), помеченными «*»;
- учёт геометрической нелинейности - коэффициентами ¥, Р1, Е, Е1, С, С1 через коэффициенты (30)-(32), в состав которых входит комплекс (9) Мк(г, э). В записи уравнений равновесия (27) для наглядности на месте индексов у этих коэффициентов поставлены точки. Если в выражениях для коэффициентов (30)-(32) и для приращений деформаций (5) положить Мк=0, то получим решение геометрически линейной задачи;
- анализ выражения (9) для М^г, э) и выражений для коэффициентов (30)-(32) показывает, что вкладом в напряженно-деформированное состояние оболочки коэффициента (31) можно пренебречь. Поэтому в выражениях (27) следует положить коэффициенты С=С1=0.
- учёт физической нелинейности осуществляется коэффициентами А1(г,э), А2(г,э), входящими в выражения (29)-(32). Если положить А1=А2=1, то получим физически линейную задачу;
- если положить равными нулю коэффициенты F=F1=E=E1=G=C1=0, а величины Ai=A2=1, то получим линейную задачу.
Заключение. Получены разрешающие уравнения расчёта прямых замкнутых многострингерных призматических оболочек с учётом физической и геометрической нелинейности в форме метода Бубнова-Галеркина.
Представление этих уравнений в виде системы линейных алгебраических уравнений позволяет получить численно устойчивый алгоритм расчёта оболочек рассматриваемого типа.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кузнецов О.Р. Применение метода Бубнова-Галеркина к расчету прямых замкнутых призматических оболочек с учетом физической нелинейности / О.Р. Кузнецов // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2003. С. 17-25.
2. Кузнецов О.Р. Сходимость метода Бубнова - Галеркина при расчете прямой призматической оболочки с учетом физической нелинейности / О.Р. Кузнецов, Н.В. Губарева // Механика деформируемых сред: межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 15. С. 58-65.
3. Петров В. В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек / В.В. Петров. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. 119 с.
Кузнецов Олег Рафаэльевич -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Механика деформируемого твердого тела» Саратовского государственного технического университета
