CC BY
26
УДК 621.521
РАСЧЕТ ПРОВОДИМОСТИ ПРОФИЛЬНОГО КАНАЛА СПИРАЛЬНОГО ВАКУУМНОГО НАСОСА ПРИ МОЛЕКУЛЯРНОМ РЕЖИМЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
А.В. БУРМИСТРОВ, М.Д. БРОНШТЕЙН, С.И. САЛИКЕЕВ, А.А. РАЙКОВ,
Р.Р. ЯКУПОВ
Казанский национальный исследовательский технологический университет
Аннотация: Показано, что характеристики спиральных насосов определяются обратными перетеканиями через два типа каналов: торцевой и радиальный. Режим течения в каналах в зависимости от уровня давления может быть молекулярным, переходным и вязкостным. С использованием метода Монте-Карло проведены расчеты коэффициентов проводимости радиального канала при изменении геометрических параметров в широком диапазоне. Путем обработки полученных значений построена новая аналитическая формула, позволяющая вычислять коэффициент проводимости, погрешность которой во всем указанном диапазоне не превосходит 2%.
Ключевые слова: безмасляный вакуум, проводимость, спиральный насос, молекулярный режим, щелевой канал, метод Монте-Карло, зазор, обратные перетекания.
Введение
В последние годы безмасляные средства откачки находят все более широкое применение в самых различных сферах промышленного производства и научных исследований, вытесняя вакуумные насосы с масляным уплотнением. Чистота вакуума особенно важна, например, при нанесении многослойных энергосберегающих покрытий на листовое стекло, получении эрозионно-стойких покрытий на лопатках турбин, производстве вакуумных коммутаторов и дугогасительных устройств, получении сверхчистых материалов и др.
В области среднего и низкого вакуума на замену пластинчато-роторным и золотниковым насосам приходят «сухие» спиральные насосы [1]. Характеристики насосов вакуумных спиральных (НВСп), выпускаемых ведущими производителями, по остаточному давлению и быстроте действия не уступают масляным аналогам, а по уровню шума и потребляемой мощности выглядят даже лучше. При этом исчезает целый спектр проблем, связанных с обратным потоком паров масла, выхлопом и утилизацией отработанного масла. Предельное остаточное давление НВСп достигает 1 Па и ниже, хотя добиться в безмасляном насосе степени сжатия уровня 105 очень сложно. Например, в самой известной безмасляной бесконтактной машине -двухроторном насосе типа Рутс, даже при молекулярном режиме течения газа в каналах, степень сжатия не превышает 50-60 [2]. В НВСп достичь такого предельного остаточного давления удается за счет очень малых зазоров и протяженных каналов между спиралями и большого количества последовательно соединенных полостей, отделяющих полости всасывания и нагнетания (рис. 1).
Несмотря на достигнутые параметры, конструкции НВСп непрерывно совершенствуются. Это, в свою очередь, возможно только на основе математической модели, позволяющей прогнозировать откачные параметры при варьировании величины зазоров, рода газа, профиля спиралей, частоты орбитального движения и т. д.
© А.В. Бурмистров, М.Д. Бронштейн, С.И. Саликеев, А.А Райков, Р.Р. Якупов Проблемы энергетики, 2013, № 9-10
Рис. 1. Геометрия спиралей НВСп
Основу математической модели НВСп составляют дифференциальные уравнения, описывающие изменение параметров газа в рабочем объеме [3]. Основную сложность при расчете составляет нахождение перетеканий газа через щелевые каналы, разделяющие полости в насосе. Причем режим течения в щелевых каналах может быть различным даже при одном давлении на входе. Так при работе насоса на остаточном давлении порядка 1 Па, в ближнем к входу насоса щелевом канале режим течения газа молекулярный. По мере продвижения газа к центру насоса и его сжатии, режим течения в щелях меняется через переходный до вязкостного.
Таким образом, модель процесса откачки НВСп базируется на методике расчета перетеканий газа через щелевые каналы в молекулярном, переходном и вязкостном режимах.
В спиральном насосе существует два вида каналов: торцевые - между торцом пера одной спирали и торцевым диском второй спирали, и радиальные - между боковыми поверхностями двух спиралей. Отметим, что торцевые зазоры в современных спиральных машинах фактически отсутствуют, благодаря размещению в канавке (рис.2), выполненной в торце пера спирали, специального уплотнителя, имеющего низкий коэффициент трения. Очевидно, что в таком случае перетекания между полостями происходят только через радиальный канал, и для расчета массового расхода между полостями необходим метод расчета проводимости канала, образованного профильными поверхностями спиралей (рис.1). Задача осложняется тем, что спирали могут образовываться различными базовыми кривыми, это: эвольвента, спираль Архимеда, логарифмическая спираль, дуги окружности с переменным радиусом кривизны и т.д. Известны машины, в которых спираль очерчивается участками различных кривых, плавно переходящими одна в другую.
Рассчитать проводимость каналов практически любой геометрии можно с использованием численных методов, например метода пробной частицы Монте-Карло в молекулярном режиме [4, 5] или метода контрольного объема в вязкостном [6, 7].
И
/
/ /
\ \ \
Рис. 2. Торцевой зазор в НВСп
Поскольку решение дифференциальных уравнений, описывающих поведение давления и температуры в объемах НВСп, ведется методом последовательных приближений, то прибегать к численным методам расчета проводимости щелевых каналов на каждом шаге практически нереально. Поэтому в работах, посвященных моделированию работы НВСп, предпринимаются попытки использования выражений, основанных на известной формуле Кнудсена или формуле для плоской прямоугольной щели, что, безусловно, вносит погрешность в расчет [8, 9].
Вместе с тем, в работе [10] показано, что проводимость канала, имеющего минимальный зазор, каковым и является радиальный канал в НВСп, определяется участком в окрестности минимального зазора, а расширяющаяся часть канала практически не влияет на его проводимость. Таким образом, для расчета проводимости профильного канала НВСп достаточно определить кривизну канала в месте минимального зазора и иметь формулу для расчета проводимости каналов, образованных двумя окружностей (рис.3).
Л"а/-у¿3/7 7
Рис. 3. Типы щелевых каналов
Геометрия канала 2 характерна для радиального канала между спиралями на протяжении почти всего периода его существования, а канал, образованный выпуклыми поверхностями 1, может образовываться только в месте взаимодействия концевых участков спиралей, и такой канал существует кратковременно (рис. 4).
Уравнения для щелевых каналов, образованных цилиндрическими стенками, в вязкостном режиме представлены в работе [11]. В настоящей работе исследуется проводимость каналов 7, 2 применительно к НВСп при молекулярном режиме течения.
Канал 1
Рис. 4. Каналы в НВСп
Для расчета проводимости канала переменного сечения в молекулярном режиме течения газа используется известная формула
и = С гвх к = С Гз Кз,
(1)
где С - средняя тепловая скорость движения молекул; К - вероятность прохождения молекул через щелевой канал; К3 - коэффициент проводимости, приведенный к
минимальному зазору; Гвх = 5вх • Ь - площадь поперечного сечения входа канала;
Гз = 5 • Ь - площадь поперечного сечения канала в месте минимального зазора 8.
При неизменной глубине канала Ь приведенный коэффициент проводимости и вероятность перехода молекул через канал связаны соотношением
Кз = К • 5вх / 5 . (2)
В работе [12] путем аппроксимации результатов расчета методом Монте-Карло (ММК) получены формулы для расчета коэффициентов проводимости двух типов каналов, образованных цилиндрическими стенками (рис. 3). Для канала 1 расчеты проводились в интервале Л2/Л1 = 0,05 -^1, 5/Л = 0,0003 0,3, т. е. охвачен весь диапазон возможных для НВСп геометрических соотношений канала типа 1. Выражение выглядит следующим образом:
К = ехр
3 27 4 807 0,7884 + 0,4443х + -— + -Ч— +
+0,2238arctg(8,95Л2 / Щ)
где х = 1п
(
— + —
ч Л2 Л1
(3)
(4)
Отклонение расчета по выражению (3) от расчета ММК не превышает 1% во всем рассмотренном диапазоне, причем средняя погрешность не выше 0,2%.
Для канала 2 путем обработки зависимостей К3 = /(5/Л2) и К3 = /(Л2/Л1), рассчитанных с помощью расчета ММК при изменении Л2 / Л от 0,05 до 0,75, получена следующая формула:
К33 = К3ехр
- ехР [2 У ]
0,057у + 0,0304^У-+0,0067у0Дбх
(5)
где у = Л2/| Щ\.
В формулах (3) - (5) знак радиуса Я1 выбирается с учетом направления кривизны стенки: если стенка радиуса Л обращена выпуклой стороной к каналу (канал 1), то берется положительный знак, если вогнутой (канал 2), то отрицательный.
В работе [12] указывается, что точность уравнения (5) такая же, как у (3) при дополнительном ограничении 5 /Л < 0,03 и 5 < 0,03 |- Л2). При невыполнении последнего неравенства точность формулы (5) начинает постепенно падать, а при 5 < 0,05 Ц | - Л2 ) ощутимую роль начинает играть длина канала (то есть расстояние
между входным и выходным сечениями). Представленная формула подтверждена экспериментально и с успехом использована для расчета проводимостей каналов в двухроторных насосах типа Рутс.
Для НВСп отношения радиусов кривизны в точке контакта (в месте минимального зазора) и отношение 5 / Л2 для канала 2 отличаются от использованных
при получении аппроксимации (5). Для НВСп, как правило, Л2 /Л > 0,8, а для «больших» насосов отношение Л2 /Л может достигать 0,97. Таким образом, применительно к профильному каналу НВСп выражение (5) нуждается в проверке. С этой целью с использованием ММК проведены расчеты коэффициентов проводимости канала 2. При этом отношение Л2/^1, по сравнению с [12], изменялось в более
широких пределах: от 0,08 до 0,96.
Расчет ММК проводился при следующих традиционных допущениях: 1. Режим течения в канале молекулярный (Кп>1), соответственно молекулы сталкиваются только со стенками и не сталкиваются друг с другом.
2. Поток газа через канал стационарный.
3. Отражение молекул от стенок канала происходит по закону косинусов.
4. Коэффициент аккомодации равен единице.
5. Температура газа за время прохождения молекул через канал не меняется.
6. Поглощение и выделение молекул на стенках отсутствуют.
На входе в канал с помощью датчика случайных чисел задавалось равномерное распределение молекул по поверхности входа, что соответствует присоединению канала к большому объему. Часть полученных с помощью ММК результатов сведена в таблицу. Там же представлены значения коэффициента проводимости, рассчитанные по формуле (5). Видно, что с увеличением А2/А и уменьшением 5/Я\ погрешность аппроксимации (5) растет и при А /А ~ 0,9 может превышать 5%, а при А /А ~ 0,95 может превосходить 15%. Поэтому для расчета проводимости профильных каналов НВСп выражение (5) использовать не рекомендуется.
Путем обработки полученных с помощью ММК значений построена новая аналитическая формула, позволяющая вычислять коэффициент Клаузинга, которая представлена в виде
(-0,0137+0,0204у - 0,0072у2) х2 +
К3 = ехр
(
\
1-у
(-
+(0,3327 - 0,2108у - 0,2017у2 + 0,0787у3) х -+(-1,0864 - 3,411у + 10,0278у3 + 4,0714у4)
(6)
где х = 6 + 1п [5 / А1].
Сопоставление расчета по формуле (6) с данными, полученными ММК, также представлено в таблице. Выражение (6) позволяет существенно расширить диапазон геометрических соотношений: А2/А (0,08 - 0,96) и 5/А (0,0003 - 0,2). При этом погрешность предлагаемой формулы во всем указанном диапазоне не превосходит 2% , в то время как среднеквадратичная относительная погрешность и средняя относительная погрешность формулы меньше 1 %.
Таблица
а2/ А 5 / А Расчет ММК Расчет по ф-ле (5) Откл.(5) от ММК Расчет по ф-ле (6) Откл. (6) от ММК
0,0833 0,0003 0,1166 0,1163 -0,24% 0,1151 -1,29%
0,1667 0,0003 0,0855 0,0848 -0,82% 0,0868 1,49%
0,2500 0,0003 0,0692 0,0688 -0,55% 0,0692 0,07%
0,3333 0,0003 0,0574 0,0581 1,13% 0,0576 0,26%
0,4522 0,0003 0,0467 0,0468 0,29% 0,0463 -0,95%
0,5000 0,0003 0,0429 0,0431 0,45% 0,0426 -0,54%
0,6667 0,0003 0,0314 0,0315 0,25% 0,0313 -0,30%
0,7500 0,0003 0,0259 0,0261 1,06% 0,0257 -0,63%
0,8333 0,0003 0,0203 0,0207 2,10% 0,0199 -2,02%
0,9167 0,0003 0,0137 0,0147 7,47% 0,0136 -0,51%
0,9333 0,0003 0,0121 0,0133 9,67% 0,0121 0,22%
0,9500 0,0003 0,0103 0,0117 13,87% 0,0105 1,51%
0,9667 0,0003 0,0083 0,0099 19,28% 0,0083 -0,51%
0,0833 0,0010 0,1766 0,1750 -0,86% 0,1748 -0,98%
0,1667 0,0010 0,1303 0,1290 -0,97% 0,1328 1,94%
Продолжение таблицы
0,2500 0,0010 0,1073 0,1052 -2,03% 0,1066 -0,68%
0,3333 0,0010 0,0895 0,0890 -0,58% 0,0891 -0,41%
0,4522 0,0010 0,0723 0,0719 -0,62% 0,0720 -0,39%
0,5000 0,0010 0,0663 0,0660 -0,39% 0,0665 0,25%
0,6667 0,0010 0,0491 0,0482 -1,90% 0,0489 -0,33%
0,7500 0,0010 0,0400 0,0399 -0,37% 0,0402 0,28%
0,8333 0,0010 0,0313 0,0315 0,70% 0,0310 -0,87%
0,9167 0,0010 0,0212 0,0223 5,14% 0,0212 0,11%
0,9333 0,0010 0,0189 0,0201 6,62% 0,0189 0,31%
0,9500 0,0010 0,0163 0,0178 9,26% 0,0163 0,43%
0,9667 0,0010 0,0131 0,0150 14,04% 0,0129 -1,61%
0,0833 0,0050 0,3060 0,3042 -0,60% 0,3047 -0,44%
0,1667 0,0050 0,2325 0,2301 -1,03% 0,2346 0,89%
0,2500 0,0050 0,1905 0,1899 -0,30% 0,1905 0,02%
0,3333 0,0050 0,1609 0,1619 0,59% 0,1608 -0,03%
0,4522 0,0050 0,1320 0,1314 -0,44% 0,1314 -0,47%
0,5000 0,0050 0,1209 0,1209 0,02% 0,1217 0,63%
0,6667 0,0050 0,0883 0,0882 -0,13% 0,0902 2,07%
0,7500 0,0050 0,0741 0,0729 -1,63% 0,0739 -0,25%
0,8333 0,0050 0,0574 0,0575 0,11% 0,0569 -0,81%
0,9167 0,0050 0,0389 0,0405 4,06% 0,0385 -1,19%
0,9333 0,0050 0,0342 0,0366 7,01% 0,0342 -0,13%
0,0833 0,0100 0,3760 0,3773 0,36% 0,3789 0,79%
0,1667 0,0100 0,2891 0,2898 0,24% 0,2937 1,60%
0,2500 0,0100 0,2418 0,2410 -0,31% 0,2399 -0,75%
0,3333 0,0100 0,2075 0,2065 -0,51% 0,2036 -1,88%
0,4522 0,0100 0,1693 0,1684 -0,52% 0,1673 -1,17%
0,5000 0,0100 0,1539 0,1551 0,77% 0,1552 0,82%
0,6667 0,0100 0,1140 0,1134 -0,49% 0,1155 1,28%
0,7500 0,0100 0,0943 0,0938 -0,58% 0,0947 0,38%
0,8333 0,0100 0,0728 0,0739 1,48% 0,0728 -0,12%
0,0833 0,0167 0,4341 0,4337 -0,08% 0,4414 1,69%
0,1667 0,0167 0,3418 0,3405 -0,39% 0,3440 0,64%
0,2500 0,0167 0,2839 0,2850 0,40% 0,2823 -0,56%
0,3333 0,0167 0,2456 0,2452 -0,16% 0,2406 -2,06%
0,4522 0,0167 0,1990 0,2009 0,92% 0,1986 -0,23%
0,5000 0,0167 0,1814 0,1853 2,14% 0,1845 1,70%
0,6667 0,0167 0,1350 0,1359 0,68% 0,1377 2,03%
0,7500 0,0167 0,1114 0,1124 0,97% 0,1129 1,43%
0,8333 0,0167 0,0858 0,0887 3,31% 0,0866 0,92%
Таким образом, выражение (6) рекомендуется для расчета проводимости профильных каналов спиральных вакуумных насосов при молекулярном режиме течения газа.
Статья подготовлена на кафедре «Вакуумная техника электрофизических установок» КНИТУ при финансовой поддержке проекта «Создание © Проблемы энергетики, 2013, № 9-10
высокотехнологичного производства безмаслянных спиральных вакуумных насосов для индустрии наносистем и наноматериалов» открытого публичного конкурса по отбору организаций на право получения субсидий на реализацию комплексных проектов по созданию высокотехнологичного производства, согласно постановления Правительства Российской Федерации от 9 апреля 2010 года N 218 «О мерах государственной поддержки развития кооперации российских высших учебных заведений и организаций, реализующих комплексные проекты по созданию высокотехнологичного производства».
Summary
Pumping by oil-free scroll vacuum pump is considered. Backward leakage through two types of channels -radial and face channels -determines characteristics of scroll pumps. Flow regime may be molecular, transient or viscous depending on pressure value. Calculation of radial channel conductance coefficients was carried out with the help of Monte Carlo trial particle method when geometrical parameters were varied in a wide range. A new analytical formula for conductance coefficient calculation was obtained by processing of the obtained values. Its error in the whole range does not exceed 2 %.
Keywords: Oil-free vacuum; conductance; scroll pump; molecular regime; slot channel; Monte Carlo trial particle method; clearance; backward leakage.
Литература
1. Бурмистров А.В. Некоторые аспекты выбора средств получения безмасляного среднего вакуума / А.В. Бурмистров, С.И. Саликеев, А.А. Райков // Материалы VI Российской студенческой научно-технической конференции «Вакуумная техника и технология», Казань, 2013. С.37-45.
2. Бурмистров А.В., Беляев Л.А. Концепция объемно-скоростной откачки. Метод расчета двухроторных вакуумных насосов // Вакуумная техника и технология. 2002. Т. 12, № 2. С.85-90.
3. Саликеев, С.И. Единый подход к расчету откачных характеристик бесконтактных безмасляных вакуумных насосов / С.И. Саликеев, А.В. Бурмистров, А.А. Райков // Компрессорная техника и пневматика. 2013. № 4. С.37-42.
4. Бурмистров А.В., Ушко А.В. Проводимость радиальных каналов двухроторных вакуумных насосов в молекулярном режиме // Вакуумная техника и технология. 2003. Т. 13, № 2. C. 83-87.
5. Строгова. Т. С. Области применения методов анализа молекулярных потоков / Т. С. Строгова, С. Б. Нестеров, Ю. К. Васильев // Материалы XI научно-технической конференции «Вакуумная наука и техника». М.. МИЭМ, 2004. С. 47-51.
6. Sharipov, F. Rarefied gas flow through a long rectangular channel / F. Sharipov // J. Vac. Sci. Technol. 1999. A17(5). Р.3062-3068.
7. Бурмистров А.В. Методы расчета проводимости криволинейных каналов в вязкостном режиме течения газа / А. В. Бурмистров, А. А. Райков, С. И. Саликеев // Вестник Казанского технологического университета. 2012. Т15. №11. C.140-142.
8. Su, Y. Theoretical study on the pumping mechanism of a dry scroll vacuum pump / Y. Su, T. Sawada, J. Takemotob, S. Haga // Vacuum. 1996. vol. 47. pp. 815 - 818.
9. Moore, E. J. Analysis of a Two Wrap Meso Scale Scroll Pump / E. J. Moore, E. P Muntz, F. Erye, N. Myung, O. Orient, K. Shcheglov, D. Wiberg // Rarefied Gas Dynamics: 23rd International Symposium edited by A. D. Ketsdever and E. P. Muntz. 2003. pp. 1033-1040.
10. Бурмистров А.В., Шарафиев Л.З., Бронштейн М.Д., Саликеев С.И., Караблинов Д.Г. Расчет проводимости профильных каналов роторных бесконтактных вакуумных насосов // Вакуумная техника и технология. 2006. Т. 16, № 1. C. 45-54.
11. Саликеев С.И., Бурмистров А.В., Бронштейн М.Д. Исследование протечек газа через щелевые каналы в вязкостном режиме // Компрессорная техника и пневматика. 2005. № 7. С. 19-23.
12. Бурмистров А.В., Караблинов Д.Г., Бронштейн М.Д. Уравнения для расчета проводимости различных видов щелевых каналов в молекулярном режиме течения // Вакуумная техника и технология. 2004. Т. 14, № 1. C. 9-13.
Поступила в редакцию 22 августа 2013 г.
Бурмистров Алексей Васильевич - д-р техн. наук, профессор кафедры «Вакуумная техника электрофизических установок» Казанского национального исследовательского технологического университета, декан механического факультета. Тел: 8(843)2318907. Факс: 8(843)2318907. E-mail: burm@kstu.ru.
Бронштейн Михаил Давидович - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Вакуумная техника электрофизических установок» Казанского национального исследовательского технологического университета. Тел: 8(843)2314375. E-mail: bronmich@gmail.
Саликеев Сергей Иванович - канд. техн. наук, доцент кафедры «Вакуумная техника электрофизических установок» Казанского национального исследовательского технологического университета. Тел.(843)2314270. E-mail: salikeev_s@mail.ru.
Райков Алексей Александрович - ассистент кафедры «Вакуумная техника электрофизических установок» Казанского национального исследовательского технологического университета. Тел:.8(843)2314270. E-mail: ors@hitv.ru.
Якупов Руслан Равилевич - ассистент кафедры "Холодильная техника и технологии" Казанского национального исследовательского технологического университета. Тел: 8(843)2314250. E-mail: yakupov.ruslan@gmail.com.
