Расчет пространственной фильтрации воды к горизонтальной дрене конечной длины в однородном потоке Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Расчет пространственной фильтрации воды к горизонтальной дрене конечной длины в однородном потоке

Б.Х. Амшоков, Т.А. Сасиков, А.А. Анахаев, И.М. Абазов, М.Р. Тарчоков Кабардино-Балкарский государственный аграрный университет, Нальчик

Аннотация: При изучении задач фильтрации воды к одиночной горизонтальной несовершенной дрене конечной длины, в системе взаимодействующих горизонтальных несовершенных дрен, необходимо рассмотреть пространственные (трехмерные) задачи фильтрации. В отличие от плоских (двумерных) задач, пространственная фильтрация изучена менее подробно, поскольку получение строгих решений задач фильтрации затруднительно.

Ключевые слова: водопроводящие сооружения, фильтрация, эквипотенциали, дрена, скважина, напорный пласт, сток, напор, приток, водоем, водоток.

Для изучения фильтрации воды к одиночной горизонтальной несовершенной дрене конечной длины, а тем более к системе взаимодействующих горизонтальных несовершенных дрен конечной длины, необходимо рассмотреть пространственные (трехмерные) задачи фильтрации, которые в отличие от плоских (двумерных) изучены менее подробно, поскольку получение строгих решений пространственных задач фильтрации затруднительно.

В настоящее время имеются теоретические и экспериментальные работы, посвященные изучению фильтрации воды и нефти к горизонтальной дрене конечной длины (горизонтальной скважине). Наиболее строгие из существующих решений пространственных задач фильтрации к горизонтальной дрене конечной длины даны в работах [1-3].

Хотя эти решения получены преимущественно для более простых условий работы дрены в полуограниченном или неограниченном в плане однородном напорном пласте конечной мощности, в неограниченном по мощности пласте и т. д., все же они довольно сложны для практического использования.

Цель настоящей работы — получить решение для более общего случая работы дрены — двухстороннего несимметричного притока к дрене, а также

и

разработать более простые методы расчета пространственной фильтрации к горизонтальной дрене конечной длины.

Решение задачи находится методом суперпозиции линейных источников — стоков с постоянной по длине интенсивностью q с использованием для потенциала скорости фильтрации в неограниченном в плане пласте мощностью Т, вызванного точечным источником, расположенным в точке с координатами (0, 0, а), выражения [4].

я Г1 47 I п V ОО I (ппг\ ппг ппа п /1Л

(р=—!— I п--Ь2У г_ -,к п( — 1с о 5 — с о 5— + С, (1)

^ 2лТ г ^п-1 и \ т ; т т ' V'

где г = / х2 + у2; К0 — видоизмененная функция Бесселя второго рода нулевого порядка; С — произвольная постоянная.

В уравнении (1) удовлетворены граничные условия непроницаемости кровли и подошвы пласта. Потенциал Ф для линейного стока определится в результате интегрирования выражения (1) по длине стока я.

При решении задачи приняты следующие предпосылки и допущения:

1. Водонепроницаемые границы пласта горизонтальные, контуры питания и стока вертикальные.

2. Теоретический линейный сток с постоянной по длине интенсивностью q заменяется фильтром, имеющим форму ближайшей к скважине эквипотенциали в виде эллипсоида вращения. Такой способ для горизонтальных и наклонных скважин применяли П. Я. Полубаринова-Кочина, Г. А. Разумов и др., для вертикальных скважин — Н. К. Гиринский. Переход от этого фильтра-эквипотенциали к реальной трубчатой дрене с радиусом гд осуществляется приравниванием или объемов эллипсоида с малой полуосью Ь и цилиндра равной длины (Ь=1,215гд), или площадей их поверхностей (Ь=1,415гд). При более точном исключении теоретического линейного стока с постоянной по длине интенсивностью, которая достигается путем осреднения

потенциала (напора) по длине дрены, Ь=1,356 гд [5]. Последним выражением

М Инженерный вестник Дона, №5 (2024) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n5y2024/9187

рекомендуется пользоваться в расчетах.

3. Величина Ь пренебрежимо мала по сравнению с другими линейными размерами.

Для общего случая — схемы двустороннего несимметричного притока к горизонтальной несовершенной трубчатой дрене (рис. 1) — решение задачи будет иметь вид:

Ф(х,у,г>

Г=СО т= 00 00

q

2ттТ

In4Т + ^ (InInr2)dr? + 2 ^ ^Х

Г=-00 Г= — ООП=1

X cos^eos^ и (=.) _ Ко (=L) dA + + С2 (2)

2

Здесь при параллельном расположении дрены относительно контуров питания и стока:

гг = д/ (2 Lr — 12 — хУ + (jj — у)2

г2 = д/(2Lr + 12 - х)2 + у)2

при расположении дрены параллельно контурам питания и стока:

Г = / [ 2 Lr _ / 2 _ (х _ ]) ] 2 + у2, г2 = / [ 2 Lr + / 2 _ (х _ ]) ] 2 + у 2,

S S

- - <71 <~ 2 1 2

где п — текущая координата на линейном стоке. Обозначения остальных величин ясны из предыдущего изложения и рис.1.

Выполняя граничные условия на контуре питания и стока и переходя по известному принципу от потенциалов к напорам, после преобразований получаем следующее выражение для понижения на стенке дрены в точке с координатами x=l2—b, y=0, z=a:

АНа =

д 2ттТ

" f flR.dv + IZ^cos^ilkJ^^dv

■ 9 9 \ '

(3)

М Инженерный вестник Дона, №5 (2024) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n5y2024/9187

Рис. 1. Схема двустороннего несимметричного притока к горизонтальной несовершенной трубчатой дрене

где

, 7Г77 2л1?

ch-r-— COS г

R* = In- L

, nri nb ch-£- — cos —

при расположении дрены параллельно контурам питания и стока;

, nb п(2 12 — л) eh-;— cos——т-—

р = in-L L

, nb TCYI

ch—j^-— cos~['

при расположении дрены перпендикулярно к контурам питания и стока;

= + (4)

и

Выполнив интегрирование в уравнении (3) и сделав некоторые преобразования, получим окончательную формулу для определения расхода Qд дрены длиной ^ < 0^:

бАН

Qr =

Кр + Г

где Яр — внешнее фильтрационное сопротивление; f — внутреннее фильтрационное сопротивление; в — угол наклона дрены к направлению потока воды.

При параллельном расположении дрены относительно сопротивление

о 71

контуров питания и стока при р = - сопротивление:

2 , 812,„ 2п12. 5 5 Н--—СОБ—

Кп/2=—1п +

2(1 — eos^ЕЬлarctg —, ns (6)

L 2L \l-cos2-^

+4

n¿

M

При расположении дрены перпендикулярно к контурам питания и стока при ¡3 = 0 сопротивление:

До = (— + 4")ln— + -созЩ -

и V4пТ n2Tj \п L 2 L )

( L nl2 s (2L . л12 s л12\ s j s

— [—-ta---llnl—sin---eos — I--Ln- (7)

\тт2Т a L 4ttTJ \tt L 2 2 J 2ттТ 2 v 7

Внутреннее фильтрационное сопротивление для обоих случаев расположения дрены будет:

при s>2T, 0<a<T, ¡2>T, lL>T

f = ±(Ln— + -Ln-Ц^); (8)

J 2n 2 nb 2 i-cos™J'

при s>2T и a=0

f = -L n —; (9)

J n nb' v J

при s<2T и 0<a<T

f = SF> (10)

где /7 = /(-^т,^) определяется по графику, приведенному на рис. 2; Ь0 определяется по формуле:

Ь0 =

2 Ыт

(11)

0,1 0,2 0,3 0,4 Ьо/Т

Рис. 2 График фильтрационного сопротивления Для схемы одностороннего притока к дрене в выражении (2) отбрасывается знак суммирования по к, а для и г2 принимается к = 0.

Окончательная формула для определения расхода дрены длиной б в этом случае будет:

(12)

_ Г5(Я1-Яд)

= ^1+Т ,

где

я

Яю =

5 , 116 12+б2 ,21 ^ з

= —1п ------агсЬа — -.

Л 52 пТ а 41

1ТГ/2 2?гТ

4г+5, /чг+5\

4ттТ

V 2 / \4 пТ) V 2 ) 2лТ 2

(13)

(14)

и

Сопротивление / определяется по формулам (8) — (10).

Предельный переход при я^-да (при котором также следует Ь=гд), выполненный в формуле (12), приводит к известным выражениям для бесконечно длинной горизонтальной дрене, расположенной параллельно прямолинейному контуру питания:

Чд=| 1г| Т1;^ 2 , (0<а<Г) ; (15)

Ч ( а = 0;Г). (16)

-+-¿71-

Т 71 7ГГД

Формулами (5) и (12) можно также пользоваться для расчета горизонтальных совершенных дрен конечной длины, положив в них / = 0. Сравнивая формулу (12) для пространственного потока с формулами (15) и (16) для плоского потока нетрудно заметить, что при я> 2Т выражения для внутреннего фильтрационного сопротивления / отличаются между собой только значением расчетного радиуса дрены. Это не столь существенное для практических расчетов отличие с увеличением р вероятно, будет еще

уменьшаться, так как при я^да, по-видимому, Ь^тд. Однако окончательное решение этого вопроса может быть получено только после специального изучения. Поэтому при длине дрены я>2Т значение f для такой дрены можно принимать таким же, как при я^да, заменив при этом гд на Ь. Это позволяет

¿ ¿2

при длине дрены я>2Т, а также при - = — > 1 исследование

пространственных задач фильтрации свести к исследованию плановых задач фильтрации, заменяя при помощи фильтрационного сопротивления f, взятого из плоского решения этой же задачи, несовершенную дрену напором Нд совершенной дреной напором Нл:

Ял = Яд+|Д/ . (17)

М Инженерный вестник Дона, №5 (2024) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n5y2024/9187

Формулой (17) можно воспользоваться при определении безнапорной пространственной фильтрации к дрене, осуществив по известному принципу переход от напорного потока к безнапорному (вводя в расчетные формулы среднюю мощность потока и внося некоторые уточнения в определение сопротивления £ аналогичные тем, которые рекомендуется при расчетах плоского безнапорного потока [6]). Для определения расхода дрены Qд в случае безнапорной пространственной фильтрации можно также использовать прием, основанный на делении безнапорного потока горизонтальной плоскостью, проходящей через дрену, на безнапорную и напорную зоны, применяя для безнапорной зоны решение задачи как для совершенной дрены, а для напорной — полученное для а=0 теоретическое решение.

Выполненные на пространственных моделях ЭГДА исследования безнапорной фильтрации к дрене конечной длины показали, что в первом случае расчетные расходы Qд по сравнению с опытными оказались заниженными в среднем на 10—15%, а во втором — на столько же завышенными.

При расположении горизонтальной дрены под горизонтальным дном водоема или водотока (рис. 3), согласно работе [7], решение задачи будет иметь вид:

к

с

-Б/2

2Ь

Б/2

К

и

Рис. 3. Схема расположении горизонтальной дрены под горизонтальным дном водоема или водотока

о

У

Ф(х,у,г) 2Т

где:

. (2п+1)я5 . (2п+1)яа

БШ-

2 Т

хх Лад

(271+1)717-

2 Т

) с1т] + С, (18)

Г = д/х2 + (77 — у)2. Выполнив некоторые преобразования, определим понижение на дрене в точке с координатами ,х= Ь, у = 0, 2 = а:

л/Ь2+т/2

тт тт _ гсо (2п+1)яа Г2

(2п + 1)7Г:

2Т

сСт. (19)

В уравнении (19) сделаем следующие преобразования:

(2п + 1)7Г

л/ь2+т/2

2Т

(17] = 2р3 К0

(2 п + 1)7Г

Л]ь2+Г]:

2 Т

(17]

С Ко

л/^Т

7у

Тогда можно записать:

^ — £п=0

Т \Г

. 2 (2п+1)тта Г2

2 Т

¡2зК0

(2 п + 1)7Г

л/Ь2+772

2Т

(i7] =

СОБ ■

(2 п + 1)па

71 = 0

| е-(п+|)г?

йг].

ттЬ

Это выражение преобразовываем к виду:

Л

^ = [ттъ-- йт] - Яе Гт

Т 1-е-7? '

7] та

оо е 2+ Т пЬ

т " ' г 1-е^"1" т

Выполняя интегрирование, находим:

пЬ

2¥ 1 + е~2Т

-— = 1п-— — 1п

Т

пЬ

1-е 2т

пЬ+2та

1 + е 2 Т

пЬ+2та

1-е 2 Т

4Т — пЬ г па\ 1п-;-+

пЬ

Таким образом, для дрены с я > 2Т запишем окончательную формулу для определения расхода Qд:

_ 2Я/С5(Я1-ЯД)

— 4 Т—пЬ , па. ■ (20)

Ш-^+ЫЦд-)

и

При расположении дрены на водоупоре (а=Т):

<2д = ^. (21)

Д

где:

1 4Т—7тИ

= 5>2 Т; (22)

* А П5 пЬ ' ' У '

/д = ^( 2 Т \n\-0,7 5 ) , 5<2 Т ; (23)

Формула (20) отличается от аналогичной формулы для расхода отрезка длиной я бесконечно длинной дрены, полученной В. В. Ведерниковым [8], только принятыми значениями расчетных радиусов дрен Ь и гд. Отсюда также следует вывод, что при длине дрены я > 2Т рассматриваемую пространственную задачу можно приближенно свести к плоской задаче, заменив в ней гд на Ь. Однако, как и в предыдущей задаче, очевидность такой прямой замены еще недостаточно обоснована.

Таблица № 1

Значения сопоставительного коэффициента кс

ъ 5 Т

т 0.5 1.0 2.0 5.0 10.0

0.01 1.00 1.01 1.04 1.01 1.01

0.05 1.00 1.01 1.05 1.03 1.00

0.10 1.00 1.00 1.04 1.02 1.01

0.20 1.00 1.03 1.025 0.94 0.97

В таблице для случая а = 0 и определенных значении ^ и ^ приведены

значения сопоставительного коэффициента кс представляющего собой отклонение величины f вычисленной по формуле (22) или (23), от этой же величины f, полученной из более точного, но сравнительно сложного решения [2, 9, 10].

Выводы

Как видно из таблицы, рекомендуемые для расчетов приближенные формулы дают вполне приемлемые результаты.

М Инженерный вестник Дона, №5 (2024) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n5y2024/9187

Литература

1. Борисов Ю.П., Пилатовский В.П., Табаков В.П. Разработка нефтяных месторождений горизонтальными и многозабойными скважинами. М: Недра, 1964. 154 с.

2. Разумов Г.А. В кн.: Труды лаборатории инженерной гидрогеологии», 4. М.: Госстройиздат, 1962. 147c.

3. Kordas B. Arc. "Gidrotechnik", 8, 3, Warsaw, 1961. pp. 324-328.

4. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. М.: Гостоптехиздат, 1949. 628c.

5. Веригин Н. Н. Методы определения фильтрационных свойств горных пород. М.: Госстройиздат, 1962. 181 c.

6. Шестаков В.М. Теоретические основы оценки подпора, водопонижения и дренажа. Изд-во МГУ, 1965. 233c.

7. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Гостехиздат, 1952. 676c.

8. Ведерников В. В. Теория фильтрации и ее применение в области ирригации и дренажа. М.—Л.: Госстройиздат, 1939. 251c.

9. Бандурин М.А. Проблемы оценки остаточного ресурса длительно эксплуатируемых водопроводящих сооружений // Инженерный вестник Дона, 2012, №3. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2012/891/.

10. Zhou Y., Wang Y., Gold A.J., August P.V. Modeling watershed rainfallrunoff relations using impervious surface-area data with high spatial resolution // Hydrogeology Journal. 2010. Т. 18. № 6. С. 1413-1423.

References

1. Borisov Ju.P., PilatovskijV.P., Tabakov V.P. [Development of oil fields by horizontal and multihole wells]. M: Nedra, 1964. 154 p.

2. Razumov G.A. V kn.: Trudy laboratorii inzhenernoj gidrogeologii» 4. M.: Gosstrojizdat, 1962. 147p.

М Инженерный вестник Дона, №5 (2024) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n5y2024/9187

3. Kordas B. Arc. "Gidrotechnik", 8, 3, Warsaw, 1961. pp. 324-328.

4. Masket M. [The flow of homogeneous liquids in a porous medium]. M.: Gostoptehizdat, 1949. 628p.

5. Verigin N. N. [Methods for determining the filtration properties of rocks]. M.: Gosstrojizdat, 1962. 181p.

6. Shestakov V.M. [Theoretical foundations for the assessment of backwater, water supply and drainage]. Izd-vo MGU, 1965. 233p.

7. Polubarinova-Kochina P.Ja. [Theory of groundwater movement]. M.: Gostehizdat, 1952. 676p.

8. Vedernikov V. V. [Filtration theory and its application in the field of irrigation and drainage]. M. L.: Gosstrojizdat, 1939. 251p.

9. Bandurin M.A. Inzhenernyj vestnik Dona, 2012, №3. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2012/891/.

10. Zhou Y., Wang Y., Gold A.J., August P.V. Hydrogeology Journal. 2010. T. 18. № 6. pp. 1413-1423.

Дата поступления: 16.03.2024 Дата публикации: 22.04.2024