CC BY
51
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIII 1 982 №6
УДК 629.7.015.3
РАСЧЕТ ПОВЫШЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ ПРИ ГОРЕНИИ ПЛОСКОЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ СТРУИ ВОДОРОДА В СВЕРХЗВУКОВОМ СПУТНОМ ПОТОКЕ
О. М. Колесников
Изложен маршевый метод численного интегрирования параболизованных уравнений Навье —Стокса для исследования влияния тепловыделения на распределение давления при горении плоской сверхзвуковой струи водорода в сверхзвуковом спутном потоке. Показано, что предлагаемый метод достаточно эффективен и в том случае, если число М в струе в результате тепловыделения и смешения падает до единицы. Представленные примеры свидетельствуют о повышении давления вследствие воспламенения на 20—40%, что, в свою очередь, приводит к интенсификации горения. Расчет турбулентного горения проводился с учетом конечных скоростей химических реакций в квазиламинарном приближении.
С методическими целями были проведены расчеты инертной турбулентной недорасширенной струи воздуха, истеквющей в сверхзвуковой спутный поток. Получено хорошее совпадение с экспериментальными данными.
В настоящее время численные методы решения задачи о горении струи топлива в спутном потоке основываются главным образом на теории пограничного слоя (см., например, [1]). Однако во многих случаях смешение и горение происходят в условиях, когда в потоке поперечный градиент давления отличен от нуля, например, при истечении сверхзвуковой недорасширенной струи. Кроме того, даже при истечении расчетной струи топлива в спутный сверхзвуковой поток можно ожидать, что тепловыделение приведет к повышению давления и, как следствие, к интенсификации горения.
В работах [2, 3] для решения задачи о горении осесимметричных струй водорода привлекались так называемые „укороченные" или „параболизованные“ уравнения Навье — Стокса. Эта система уравнений включает в себя все члены, содержащиеся как в уравнениях пограничного слоя, так и в уравнениях Эйлера. При сверхзвуковых скоростях система параболизованных уравнений относится к смешанному гиперболическо-параболическому типу, поэтому постановка задачи Коши является корректной. В работах
4—«Ученые записки» № 6
49
\2, 3] эти уравнения решались с помощью метода характеристик, что приводит к известным трудностям, связанным с необходимостью разработки специальных алгоритмов для выделения возникающих скачков уплотнения. Кроме того, в рамках метода характеристик не просто производить перераспределение или сгущение узлов, без чего трудно обеспечить необходимую точность вычислений.
В последнее время для решения задачи об истечении вязких инертных недорасширенных струй широкое распространение получили методы сквозного счета [4—6]. Однако предложенным в этих работах методам присущи определенные недостатки, вызывающие сомнения в эффективности их распространения на задачи, связанные с горением водородных струй. Подробнее об этом будет сказано ниже,
Целью настоящей работы является разработка метода сквозного счета, пригодного для исследования повышения давления, вызванного воспламенением турбулентной плоской сверхзвуковой струи водорода во внешнем сверхзвуковом потоке. С методическими целями были также проведены расчеты инертных недорасширенных спутных струй, для которых имелись экспериментальные данные.
1. В безразмерной форме параболизованные уравнения Навье — Стокса имеют следующий вид:
уравнение неразрывности:
дри дру ____д
дх ду ’
уравнение сохранения количества движения в продольном направлении:
дои3 , дот др , 1 / ди
----Ь = — -г- + -гг- «м —
дх ду дх 1?е \ ду
уравнение сохранения количества движения в поперечном направлении:
дрт . др1>2 __ др . 4 1 д
дх
, др1>2 _________ др , 4 1 д ( ду \
ду ду 3 Яе ду Г ду )
уравнение сохранения энергии:
«2
д?“Т д?уТ (х~1)Мсо / др - др \ + (%— 1) (х2 / да
дх ду ср \ дх ду ) ср Не \ ду
+ -1---) + —У*,*1.
Ср Я е ду \ ду ) ср Ие ^ ду ) ду ср Ие ^
уравнение сохранения ¿-компонента:
дриУдруУ1 _ __1__д / дУ‘ \ У/1
дх ду 1?е ду \ " ду ) Ие
где = + р$ Ие; ¡а2=—--Ь рЕ ; Ргл, Ргт — числа Прандтля (ла-
РГл РГт
минарное и турбулентное); ¡а, а — коэффициенты ламинарной
и турбулентной вязкости; * — отношение ;удельных теплоемкостей в набегающем потоке;
К = \ср1йТ + А/0;
^.„-удельная теплота образования.
Компоненты скорости и, V, плотность р, температура Т, коэффициенты ламинарной вязкости р., удельной теплоемкости ср отнесены к соответствующим значениям для невозмущенного потока; давление р — к скоростному напору а скорость образования
¿-го компонента W‘ обезразмеривалась делением на комплекс *JLl (где Loo — характерная длина). Предполагается, что числа Шмидта (ламинарное и турбулентное) равны единице.
Одной из основных проблем, возникающих при любых попытках численного моделирования турбулентного горения, является определение скоростей химических реакций. К сожалению, несмотря на исключительные усилия, предпринятые для ее решения, каких-либо ощутимых успехов к настоящему времени все еще не достигнуто. Поэтому здесь турбулентное горение рассматривается в рамках известного квазшшминарного приближения, т. е. предполагается, что осредненная скорость любой химической реакции равняется скорости, вычисленной по средним значениям температуры и концентрации. При этом принимается, что кинетика горения водорода в воздухе определяется тринадцатью реакциями:
1) Н + 02 = 0Н + 0;
2) 0 + Н2 = 0Н + Н;
3) 0Н + Н2 = Н20 + Н;
4) 20Н = Н, О + О;
5) Н2 + М = 2Н + М;
6) H20 + M = H + 0H + М;
7) ОН + М = 0 + Н+М;
8) 0„ + М = 20+М;
9) Н» + 0, = 20Н;
10) Н + 02 + М = Н02 + М:
11) 20Н + М = На08 + М;
12) НО, + Н, = Н2 02 + Н;
13) Н02 + Н2 О = Н2 О, + ОН,
где М — любой из девяти компонентов, участвующих в этих реакциях: О,, Но, N2, Н20, ОН, О, Н, Н02, Н202. Константы скоростей
были взяты из работы [1], где по этому вопросу приведена необ-
ходимая библиография.
Для описания коэффициента турбулентной вязкости г используется известная модель Прандтля [7]
в = 0,014 М (1)
для расстояний, меньших длины потенциального ядра, и
е = 0,037 Ь2\ие — ис\ (2)
для расстояний, больших длины ядра потенциального потока.
Здесь Ьх—ширина зоны смешения, измеренная между точками, в которых концентрация N2 составляет 0,1 и 0,9 от величины концентрации во внешнем потоке. Ширина Ь% измеряется между плоскостью симметрии струи и точкой, в которой скорость равна половине суммы скоростей в плоскости симметрии ис и в набегающем потоке ие.
В последнее время для расчета коэффициента турбулентной вязкости широкое распространение получили более универсальные, но значительно более сложные и требующие дополнительной информации о потоке в начальном сечении двухпараметрические
модели турбулентности. Однако неясно, насколько эти модели в своем нынешнем виде пригодны для описания химически-нерав-новесных сверхзвуковых течений, тем более, что во многих случаях и без горения они еще не дают надежных результатов. Здесь модель Прандтля выбрана главным образом из соображений простоты. Никаких попыток корректировки эмпирических констант, входящих в написанные выше соотношения и полученных для инертных струй, не делалось.
Граничные условия для решения исходной системы уравнений в плоскости симметрии записываются в следующем виде:
да дТ др дУ‘ л
--- = V =------= =------=- 0.
ду ду ду ду
Условия на внешней границе получаются из предположения, что она находится в невязкой области, где выполняются условия „простой“ волны, т. е. параметры потока сохраняются постоянными вдоль характеристики. Такой подход позволяет в отличие от работ [4—6], где условия ставились в невозмущенном потоке, существенно уменьшить по мере продвижения вниз по потоку растяжение расчетной сетки и тем самым увеличить точность вычислений. Внешняя граница области интегрирования здесь располагается вблизи вязкой границы струи и нет никакой необходимости следить за тем, чтобы головной скачок всегда находился внутри области интегрирования.
Для перехода к прямоугольной области интегрирования вводится новая независимая переменная т) = у/$, где 5 —расстояние от плоскости симметрии до внешней границы области интегрирования. Тогда условия на внешней границе ставятся при т|=1.
При любом численном исследовании вязких течений необходимо удовлетворить требованию, чтобы схемная вязкость была значительно меньше физической. Поэтому для решения такого рода задач желательно привлекать разностные схемы повышенного порядка точности. Схемы первого порядка, используемые, например, в работах [5, 6], обладают большой схемной вязкостью. Конечно, схемную вязкость можно всегда уменьшить увеличением числа расчетных узлов, однако такой путь малопригоден из-за ограниченности памяти и быстродействия вычислительных машин.
В настоящей работе численная процедура решения уравнения сохранения массы, количества движения и энергии основывалась на квазилинеаризации с помощью метода Ньютона и последующем неявном численном интегрировании. Для аппроксимации конвективных членов использовались центральные разности. В итоге схема имела в поперечном направлении второй порядок точности, а в продольном — первый. Схема устойчива, если выполняется известное ограничение на сеточное число Рейнольдса, которое можно записать в виде:
рг/Ду
Это ограничение в большинстве рассмотренных примеров оказалось не обременительным, так как V относительно невелико. Тем не менее оно привело к необходимости сохранить внепоряд-ковый вязкий член в уравнении сохранения количеств движения в поперечном направлении.
Разностные уравнения сохранения массы, количества движения и энергии решались совместно с помощью матричной прогонки. В связи с этим необходимо отметить, что в работе [4], где исследовались нерасчетные вязкие струи, эти уравнения расцеплялись и решались поочередно независимо друг от друга с помощью скалярной прогонки. Однако эта процедура расцепления, по-видимому, явилась причиной появления неустойчивости и, как следствие, тех мер, которые были предприняты в работе [4] для получения устойчивого счета: в качестве одного из внешних граничных условий использовалось равенство нулю поперечного градиента давления и, кроме того, производилось линейное сглаживание ступенчатого распределения давления в начальном сечении.
В настоящей работе отцеплялись только уравнения сохранения концентраций, которые решались с помощью скалярной прогонки. При решении этих уравнений необходимо исключить возможность появления отрицательных концентраций, что иначе вызывает разрушение решения. Наиболее известный способ (см., например, работу [8]), приводящий к положительности схемы, заключается в представлении источникового члена в виде:
I
где и — положительные величины, которые вычисляются на предыдущем слое, а У1— на текущем.
Используемая разностная схема — полностью неявная и, следовательно, никаких ограничений на шаг в продольном направлении не делалось. Однако внешние граничные условия в свободном потоке формулировались, исходя из допущения, что вдоль характеристики, выпущенной из последнего узла назад, плотность, температура и компоненты скорости сохранялись постоянными. Поэтому в настоящих расчетах шаг в продольном направлении ограничивался условием, чтобы эта характеристика проходила между последними двумя узлами на предыдущем слое.
2. С методическими целями вначале были проведены расчеты истечения недорасширенной сверхзвуковой турбулентной струи воздуха в спутный сверхзвуковой поток. Числа М струи и потока соответственно равны 1,98 и 4,19. В экспериментах, описанных в работе [9], струя выдувалась вдоль стенки, которая в расчетах заменялась плоскостью симметрии. В поперечном направлении использовались 100 узлов, сгущавшихся в окрестности кромки сопла.
Из рис. 1, на котором представлено распределение давления
В ПЛОСКОСТИ Симметрии при ДВуХ Степенях НераСЧеТНОСТИ (уРу/^оо =
— 1,31 и 2,5, что соответствует рис. 1, а и б), видно, что получено достаточно хорошее соответствие расчетов с экспериментальными данными. Все линейные размеры были отнесены к высоте щели. Для небольшой степени нерасчетности (см. рис. 1, а) давление в расчетах становится равным давлению в невозмущенном потоке несколько раньше (х = 7), чем это обнаружено в экспериментах.
На основе метода характеристик в работе [9] также решались параболизованные уравнения Навье—Стокса. Полученное в настоящей работе лучшее соответствие расчетов с экспериментальными данными объясняется главным образом, учетом пограничного слоя на наружной поверхности сопла. Реальные профили скорости и температуры имеют вблизи кромки сопла соответственно провал и пик. К сожалению, экспериментальные данные по распределению и, V, р, Т вблизи среза сопла отсутствовали, поэтому расчеты проводились с различными исходными профилями.
Из рис. 1, а видно, что уменьшение в начальном сечении минимальной скорости Ншт до величины 0,4 Иоо (что соответствует М ~ 1) приводит к перерасширению струи и, как следствие, большему падению давления. Таким образом, учет пограничного слоя на кромках сопла важен не только для правильного описания вязкого слоя смешения, но и для определения поля давления.
Как видно из рис. 1 ,а, к большему перерасширению струи приводит и уменьшение турбулентного числа Прандтля от 1 до 0,5. Распределение давления в поперечном направлении представлено на рис. 2 (рис. 2, а и б соответствует степеням нерасчетности 2,5 и 7), Во внешнем потоке происходит формирование ударной волны, которая по мере продвижения вниз по потоку достигает внешней границы области интегрирования и затем уходит за ее
Рис. 2
Рис. 3
пределы. На рис. 2, б хорошо видно также образование слабого висячего скачка уплотнения.
Необходимо отметить, что в декартовой системе координат замена полных уравнений Навье —Стокса параболизованными в случае большой степени нерасчетности становится несправедливой. В работе [10] была предложена связанная со струей система координат, в которой это приближение остается в силе.
3. Рассмотрим истечение из щели шириной в 1 см плоской струи водорода в сверхзвуковой спутный поток воздуха с числом М, равным 2. Струя выдувается со статической температурой и статическим давлением, совпадающими с аналогичными параметрами внешнего потока и равными соответстенно 1500 К и 105 Па. Скорость струи в четыре раза больше скорости набегающего потока. Пограничным слоем на стенках пренебрегается и вместо его учета в нескольких узлах равномерной расчетной сетки, состоящей в поперечном направлении из 50 узлов, производится линейное сглаживание между параметрами струи и потока.
Несмотря на то, что в начальном сечении давление поперек потока постоянно, перестроение заданного таким образом профиля продольного компонента скорости в реальный будет происходить с некоторым повышением давления, даже при отсутствии горения. Это объясняется увеличением толщины вытеснения. Ниже по потоку давление возвращается к своему первоначальному уровню.
На рис. 3, а в нескольких сечениях представлено приращение давления, обусловленное тепловыделением (х, у отнесены к полу-высоте щели). Время индукции здесь мало, повышение давления вследствие воспламенения в слое смешения начинается практически сразу. После того как характеристики достигают границ области
интегрирования, повышение давления наблюдается во всем сечении. Существенное увеличение давления (на 40 %) в плоскости симметрии в сечении л = 3,1 объясняется отражением волн сжатия от этой плоскости.
На рис. 3, б в двух сечениях (х=1,2 и 11) представлены распределения концентраций Н2, 02 и Н20. Воспламенение происходит в той точке зоны смешения, где имеются наиболее благоприятные условия с точки зрения концентрации исходных реагентов (температура в начальном сечении постоянна). Последующее горение приводит к тому, что в этой точке резко возрастают температура и концентрация паров воды, а концентрация кислорода и водорода падает. Формирование фронта пламени заканчивается в этом примере на двух-трех калибрах от среза сопла, на что указывают два обстоятельства: температура достигает своего максимального значения (около 3000 К, см. рис. 3, в), а водород и кислород уже разделены довольно узкой зоной горения, под которой обычно и понимается фронт пламени.
Для оценки эффективности горения с точки зрения повышения давления необходимо знать величину полноты сгорания, т. е. отношение сгоревшего водорода к его начальному расходу. Согласно проделанным расчетам эта величина равна 0,18 при х=15. Как оказалось, определение полноты сгорания с приемлемой точностью сопряжено с рядом трудностей. Например, методические расчеты без горения показали, что расход водорода через поперечное сечение на рассматриваемом отрезке длины (х ^ 20) оставался постоянным с точностью до 1%, если в ближайшем узле, примыкающем к внешней границе, концентрация водорода не превышает 10-5. Появляющаяся ошибка связана с диффузией компонентов через внешнюю границу, на которой химический состав фиксировался из условий в набегающем потоке. Поэтому в процессе счета необходимо следить за тем, чтобы эта граница была достаточно удалена от слоя смешения.
Следующий пример относится к горению горячей сверхзвуковой струи водорода (Г = 1500 К) в относительно холодном, с точки зрения воспламенения водорода, спутном потоке воздуха (Т = 600 К). Струя выдувается из щели шириной в 1 см, и ее скорость в пять раз больше скорости набегающего потока, число М которого равно 2. Статическое давление струи равно 2-105Па и совпадает со статическим давлением набегающего потока. Внешняя поверхность сопла наклонена под углом 5° относительно плоскости симметрии, поэтому распространение струи вниз по потоку будет происходить с понижением давления, по крайней мере при отсутствии горения.
На рис. 4, а представлено распределение статического давления в плоскости симметрии как при горение (сплошная кривая), так и при его отсутствии (пунктирная кривая). В последнем случае скорости химических реакций просто полагались равными нулю.
Перестроение профиля продольной компоненты скорости, обус> ловленное скачкообразным увеличением е при переходе в расчетах от соотношения (1) к соотношению (2), сопровождается слабым повышением давления (л: =10).
Энергичное смешение водородной струи со спутным более холодным потоком приводит к уменьшению температуры в тех точках, где для воспламенения уже имеются благоприятные условия с точки зрения химического состава. Воспламенение по сравнению с предыдущим случаем значительно задерживается (хх; 15),
и в струе успевает накопиться кислород, концентрация которого в плоскости симметрии увеличивается до 8% (см. рис. 4, а, штрих-пунктирная кривая /). После начала воспламенения давление увеличивается на 30%, а накопившийся в горячем ядре кислород быстро выгорает. Тем не менее теплоотвод из-за турбулентного смешения настолько велик, что выделяющегося тепла хватает на увеличение температуры в струе только на 300 К (см. рис. 4,6). После выгорания кислорода дальнейшее горение поддерживается его диффузией из внешнего потока, давление падает и затем стабилизируется на уровне р/роо = 0,78. Как показали расчеты, при х = 300 полнота сгорания равна 0,7.
Распределение числа М представлено на рис. 4, б в тех же сечениях, что и на предыдущем графике. Как видно из этого рисунка, повышение температуры после начала воспламенения приводит к падению числа М до 1, однако после выгорания кислорода тепловыделение уменьшается и смешение приводит к росту числа М. Вследствие смешения уменьшается как скорость струи, так и местная скорость звука; последнее происходит быстрее, что и приводит к некоторому увеличению числа М. Таким образом, предложенный метод решения параболизованных уравнений Навье— Стокса остается эффективным и в том случае, когда число М в струе приближается к единице. При дозвуковых скоростях постановка задачи Коши для параболизованных уравнений становится некорректной.
С целью выяснения обратного влияния повышения давления на скорость сгорания горючей смеси были проведены расчеты этого примера в приближении пограничного слоя. Для этого
уравнение сохранения импульса в поперечном направлении заменялось на уравнение др/ду = 0, а распределение давления в продольном направлении задавалось, исходя из уже имеющихся данных, полученных без горения (пунктирная кривая на рис. 4, а). На рис. 4, а штрихпунктирной линией 2 показано найденное в результате этих расчетов распределение концентрации кислорода в плоскости симметрии.
Как видно из этого рисунка, воспламенение затягивается, и длина, на которой происходит выгорание накопившегося кислорода, увеличивается на 30% по сравнению с результатами, полученными, исходя из решения параболизованных уравнений Навье— Стокса. Таким образом, воспламенение приводит не только к повышению давления, но это повышение в свою очередь заметно интенсифицирует процессы горения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Баев В. К., Г о л о в и ч е в В. И., Ясаков В. А. Двумерные турбулентные течения реагирующих газов. „Наука“, Сибирское отделение, Новосибирск, 1976.
2. Jenkins R. V. Mixing and combustion of an underexpanded H2 jet in supersonic flow. AIAA Paper N 76—610, 1976.
3. Ferri A. Selected paper on advanced design of air Vehicles. AGARDograth N 226, London, 1977.
4. Б о н д a p e в E. H., Горина A. H. Решение задачи о сверхзвуковой ламинарной нерасчетной струе в спутном потоке разностным методом. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1968, № 4.
5. Иванов М. Я., К рай к о А. Н. К численному решению задачи о нерасчетном истечении сверхзвуковой струи вязкого газа в спутный сверхзвуковой поток. Сб. „Численные методы механики сплошной среды“, т. 6, № 2, 1975.
6. К о п ч е н о в В. И. Метод численного решения задачи о распространении сверхзвуковой недорасширенной турбулентной струи в спутном сверхзвуковом потоке. „Ученые записки ЦАГИ“, т. XI, № 4, 1980.
7. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., „Наука“,
8. Загускин В. Л. Численные методы плохо обусловленных задач. Изд. Ростовского университета, 1976.
9. Issa R. 1., Lockwood F. G. A hybrid marching integration procedure for the prediction of two-dimensional supersonic boundary layers. .Journal of Fluids Engineering“, N 3, 1977.
10. Борисов H. Ф., Сыровой В. А. Об уравнениях вязких сверхзвуковых струй с большой степенью нерасчетности. „Изв. АН СССР, МЖГ', 1977, № 2.
Рукопись поступила 2JVI 1981 г.
