РАСЧЕТ ПОЛОСНО-ПРОПУСКАЮЩИХ ФИЛЬТРОВ С ФИКСИРОВАННЫМИ ЧАСТОТАМИ БЕСКОНЕЧНОГО ЗАТУХАНИЯ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Радиотехнические средства передачи, приема и обработки сигналов

УДК 621.372.54 Оригинальная статья

https://doi.org/10.32603/1993-8985-2022-25-4-23-40

Расчет полосно-пропускающих фильтров с фиксированными частотами бесконечного затухания

Е. Н. Червинский

АО "НПП "Пирамида", Санкт-Петербург, Россия нenchervinsky@simeta.ru

Аннотация

Введение. При расчете полосно-пропускающих фильтров (НПФ) с частотами бесконечного затухания методом преобразования частоты параметры прототипа - инверсного или квазиэллиптического фильтра нижних частот (ФНЧ) - пересчитываются по известным формулам в параметры ППФ. При выбранных частоте среза ФНЧ и добротности полосового фильтра произвольно можно выбрать только одну частоту бесконечного затухания (полюс затухания). Для подавления пары конкретных частот в полосе задерживания синтез ППФ необходимо начинать с фиксации частот максимального затухания и центральной частоты фильтра. Обратный переход к параметрам частотной характеристики низкочастотного прототипа осуществляется с применением формул преобразования частоты.

Цель работы. Разработка методики расчета ППФ с фиксированными полюсами затухания. Материалы и методы. В статье в качестве низкочастотных прототипов ППФ с полюсами затухания используются фильтры нечетного порядка с дополнительным конденсатором в поперечной ветви П-звена и индуктивностью в продольной ветви Т-звена.

Аппроксимация частотной характеристики низкочастотного прототипа (инверсный или квазиэллиптический ФНЧ) выполнена методами, основанными на решении систем нелинейных уравнений.

Результаты. Реализуемая передаточная функция (ПФ) ФНЧ п-го порядка с полюсами затухания записана в виде отношения произведения двучленов и многочлена степени п с вещественными коэффициентами. Приведены системы уравнений для расчета коэффициентов амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) ФНЧ с заданной частотой максимального подавления помехи для обоих типов фильтров.

Аналитические выражения для ПФ ФНЧ-прототипов порядков 3 и 5 записаны через емкости контуров ППФ, настроенных на центральную и подавляемые частоты, что дает возможность непосредственно рассчитать искомые емкости. Индуктивности ППФ определяются по формулам, выражающим зависимости центральной частоты ППФ от параметров контуров, с учетом соотношений, приведенных в статье. Приведен пример расчета квазиэллиптического ППФ десятого порядка.

Заключение. Представленная методика позволяет непосредственно определить параметры ППФ без промежуточного расчета и последующего преобразования параметров ФНЧ-прототипа. Приведенные аналитические выражения АЧХ П- и Т-образных ППФ шестого и десятого порядков дают возможность проверки выполненных расчетов и коррекции АЧХ с помощью индуктивностей при замене расчетных значений емкостей стандартными.

Ключевые слова: передаточная функция, инверсный фильтр, квазиэллиптический фильтр, преобразование частоты, полосно-пропускающий фильтр, полюс затухания

Для цитирования: Червинский Е. Н. Расчет полосно-пропускающих фильтров с фиксированными частотами бесконечного затухания // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2022. Т. 25, № 4. С. 23-40. doi: 10.32603/1993-8985-2021-25-4-23-40

Конфликт интересов. Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

Статья поступила в редакцию 15.06.2022; принята к публикации после рецензирования 22.08.2022; опубликована онлайн 28.09.2022

Radio Electronic Facilities for Signal Transmission, Reception and Processing

Original article

Calculation of Band-Pass Filters with Fixed Frequencies of Infinite Attenuation

Evgeniy N. Chervinskiy

JSC SPE "Piramida", St Petersburg, Russia Henchervinsky@simeta.ru

Abstract

Introduction. When calculating band-pass filters (BPF) with infinite attenuation frequencies using the frequency conversion method, the parameters of the prototype - an inverse or quasi-elliptic low-pass filter (LPF) - are recalculated into BPF parameters according to conventional formulas. Using the selected low-pass filter cutoff frequency and the Q-factor of the band-pass filter, one can select at their discretion only one infinite attenuation frequency (attenuation pole). In order to suppress a pair of concrete frequencies in the attenuation band, the synthesis of BPF should initially fix the frequencies of maximum attenuation and the central frequency of the filter. The reverse transition toward the frequency response parameters of a low-frequency prototype is carried out using frequency conversion formulas.

Aim. To develop of a method for calculating band-pass filters with fixed attenuation poles.

Materials and methods. Odd-order filters with an additional capacitor in the transverse branch of the П-link and an inductance in the longitudinal branch of the Т-link were used as low-frequency prototypes of the BPF with attenuation poles. Approximation of the frequency response of a low-frequency prototype (inverse or quasi-elliptical LPF) was performed by methods based on solving systems of nonlinear equations.

Results. A realizable transfer function (TF) of an n-th order LPF with attenuation poles was written as the ratio of the product of binomials and a polynomial of power n with real coefficients. Systems of equations were derived to determine amplitude-frequency response coefficients with a given frequency of maximum attenuation interference for both types of filters. Analytical expressions for the TF of the low frequency prototypes of 3th and 5th orders were recorded through the capacitances of the BPF circuits tuned to the central and suppressed frequencies, thus allowing the desired capacitances to be directly calculated. The BPF inductances were determined by formulas expressing the dependences of the BPF central frequency on the circuits parameters, taking into account the relationships given in the article. An example of calculating a 10th order quasi-elliptic BPF was provided. Conclusion. The proposed method can be used to determine the BPF parameters directly, without an intermediate calculation and subsequent transformation of the LPF prototype parameters. The given analytical expressions for the frequency response of the П- and Т-shaped BPFs of the 6th and 10th orders make it possible to verify the performed calculations and to correct the frequency response using inductances, when replacing the calculated capacitance values with their standard values.

Keywords: transfer function, inverse filter, quasi-elliptic filter, frequency conversion, band-pass filter, attenuation pole

For citation: Chervinskiy E. N. Calculation of Band-Pass Filters with Fixed Frequencies of Infinite Attenuation. Journal of the Russian Universities. Radioelectronics. 2022, vol. 25, no. 4, pp. 23-40. doi: 10.32603/1993-89852021-25-4-23-40

Conflict of interest. The author declares no conflicts of interest. Submitted 15.06.2022; accepted 22.08.2022; published online 28.09.2022

Введение. В статье рассмотрены вопросы синтеза инверсных и квазиэллиптических полос-но-пропускающих фильтров (ППФ). Под инверсным ППФ (ИППФ) понимается фильтр, амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) которого монотонно уменьшается в обе стороны от максимума на центральной частоте в полосе пропускания и имеет частоты бесконечного затухания (полюсы затухания) в полосах

24

задерживания. АЧХ квазиэллиптического ППФ (КППФ) равномерно приближает единичное значение в полосе пропускания и также имеет полюсы затухания в полосах задерживания. АЧХ обоих типов фильтров на границах полосы

пропускания имеют значение 1/л/2 и равны нулю на частотах бесконечного затухания.

Синтез ППФ осуществляется методом преобразования частоты [1-5] с использованием в

качестве прототипов фильтров нижних частот (ФНЧ). При преобразовании количество полюсов затухания удваивается. При необходимости подавления пары конкретных частот в полосах задерживания синтез ППФ необходимо начинать с фиксации частот максимального затухания и центральной частоты фильтра. Обратный переход к параметрам частотной характеристики низкочастотного прототипа осуществляется с применением формул преобразования частоты, а вид аппроксимации частотной характеристики (инверсный или квазиэллиптический ФНЧ) - методом решения систем нелинейных уравнений.

Цель настоящей статьи - разработка методики расчета полосно-пропускающих фильтров с фиксированными полюсами затухания.

Методы расчета полосно-пропускающих фильтров. Рассмотрим простейшие ФНЧ 3-го порядка с полюсами затухания, образованные Г-образными полузвеньями (рис. 1). На рис. 1, а приведена схема ФНЧ с емкостью Снч1 на входе в поперечной ветви и параллельным соединением индуктивности ¿НЧ2 и емкости Снчз в продольной. На рис. 1, б приведена схема с индуктивностью ¿НЧ1 в продольной ветви на входе и последовательным контуром с элементами ¿НЧ2, ^НЧ3 в поперечной ветви.

На рис. 1 Uвх и ивых - комплексные амплитуды входного и выходного напряжений; r и R -активные сопротивления; Ку - коэффициент

усиления усилителя. Отношение ивых /ивх , записанное в виде отношения полиномов от нормированной переменной sH = jraH = jю/юс (ш -текущая угловая частота, юс - угловая частота среза), есть передаточная функция (ПФ) фильтра

п-го порядка Н(п ^ ( 5н ), определяемого степенью

полинома знаменателя п. На частотах резонанса контуров обеспечиваются полюсы затухания, при этом значения АЧХ ФНЧ равны нулю.

Можно показать (для схемы рис. 1, а см. доказательство в [6]), что Г-образные полузвенья реализуют ПФ вида

2

h l3p( ъ )=к

-а1

4 + b2 sh + vh + b0

при условии

bj/ aj > 1,

(1)

(2)

где К, щ, ¿>2, Ъу, ¿0 - вещественные положительные числа.

При переходе к П- и Т-образным звеньям третьего порядка добавлением конденсатора в поперечной ветви параллельно нагрузке Я в схеме рис. 1, а и дополнительной индуктивности в продольной ветви перед резистором Я в схеме рис. 1, б выполнение условия (2) при реализации ПФ (1) не требуется. С учетом снятия ограничения в дальнейшем в качестве ФНЧ-прототипов при реализации полосовых фильтров с полюсами затухания в полосах задерживания используются фильтры нечетного порядка п с дополнительным конденсатором СнЧ(п+р) в

поперечной ветви (рис. 2) и индуктивностью ^^нК^+р) в продольной ветви (рис. 3), где

р = ( п -1)/ 2 - число полюсов затухания.

ПФ фильтров по схеме на рис. 2 для п = 3, 5, 7, 9 приведены в [6].

Для перехода к ППФ с центральной частотой ^0 =®с заменим переменную [2]:

^ б ( 4+У ,

а б

Рис. 1. Схемы ФНЧ 3-го порядка с Г-образными полузвеньями с емкостью на входе (а) и индуктивностью на входе (б) Fig. 1. The circuits of the 3rd order low-pass filter with Г-shaped half-links with input capacitance (a) and input inductance (б)

^НЧ2

ЬНЧ5

0-

U,

C

iXW^ÎD-

с

НЧ3

C

НЧ6

НЧ1 -

0-

C

НЧ4

C

НЧ7

^НЧ(п+ p )

R

Kу

j—0

UBbIX —0

Рис. 2. Схема ФНЧ и-го порядка с p полюсами затухания с емкостью в поперечной ветви на входе Fig. 2. The circuit of the LPF of the и-th order with p attenuation poles with capacitance at the input transverse branch

вых

I—0

Рис. 3. Схема ФНЧ и-го порядка с p полюсами затухания с индуктивностью в продольной ветви на входе Fig. 3. The circuit of the LPF of the и-th order with p attenuation poles with inductance at the input longitudinal branch

где Q - добротность ППФ (величина, равная отношению га0 к полосе пропускания ППФ на

уровне АЧХ 1/\/2); 5 н = у ю^ - преобразованная мнимая часть нормированной комплексной частоты, причем ю^ =ю'/юо - угловая частота частотной оси ППФ, нормированная относительно центральной частоты ш0. Значения переменной ю^, соответствующие значению нормированной частоты юн, могут быть определены из уравнения — (юн/Q)ю^ -1 = 0:

центральная частота ППФ ю0. В соответствии с приведенным уравнением ю^ фкс1 = юфкс1/ ю0 и юн фкс2 =Юфкс^/ ю0 можно рассматривать

как нижнюю и верхнюю нормированные частоты максимального затухания ППФ, соответствующие нормированной частоте максимального затухания ФНЧ-прототипа

га

н фкс0

1 12 ' 2 1

1 — ган фкс1 „ ган фкс2 — 1 „

Q = ; Q. (3)

га

н фкс1

га н фкс2

ган1, 2

ган > 0.

После умножения левой и правой частей последнего равенства на Ю0 среднее геометрическое частот ю1 2 = ю^1 2Ю0 дает центральную частоту ППФ при любых значениях ю = юнШ0 : д/ю1ю2 = ю0. Разность частот ю2 — ю1 = о>0/^. Например, при Q = 10 частота среза ФНЧ юс = юо преобразуется в частоты среза ППФ ю>1 = 0.95125ю0, ю2 = 1.05125ю0, откуда Q = ю0/(ю2 — ю1) = 1/0.1.

Обозначим подлежащие подавлению фиксированные частоты в полосе задерживания как юфкс1 и юфкс2, их среднее геометрическое -

Зададимся величиной Q и выберем порядок ППФ, в 2 раза превышающий порядок соответствующего ему ФНЧ. При проектировании инверсных ФНЧ Чебышева и эллиптических ФНЧ табличным методом [2, 7-9] разработчик ограничен дискретностью задания неравномерности передачи в полосе пропускания и минимального затухания в полосе задерживания. Полученные характеристики при пересчете на характеристики ППФ, и в частности, частоты бесконечного затухания, в общем случае отличаются от требуемых. При синтезе фильтров методом, основанным на решении системы нелинейных уравнений [10, 11], характеристики инверсного и квазиэлип-тического ФНЧ-прототипов (ИФНЧ и КФНЧ) при выбранных значении добротности Q и порядке ППФ 2п могут быть определены с требуемой точностью.

r

Реализуемую ПФ ФНЧ п-го порядка (п = 3, 5, ...) ср полюсами затухания запишем как отношение произведения двучленов и многочлена степени п:

г( п )

HLP p ( 5н )-

= K

(^ + a1 )(sH + a2 )-(sH + °(n-1)/2 )

4' + Ьп-< 1 + • + + Ь0

где все коэффициенты суть вещественные положительные числа. АЧХ ФНЧ п-го порядка есть модуль ПФ

(п-1)/2

H

LPp К )-

П (®н - al)

l -1

DP p К)

где

Dffp К ) =

LP p

ш + Е (-1УЬп-2 j<~22

(n-1)/ н

■ Е ' j-1

'(n-1)/ н

Е

. j-0

Е (-1)Ч-1-нj <-1-н2

0.5

Характеристика H-p. (шн) обращается в

ноль в точках

-н яо = ® Яо/ ®0 Ко -g-я круговая частота бесконечного затухания ФНЧ). Примем и>нфкс0 = \/а~.

В зависимости от значений коэффициентов К, а1 и Ь^ Н-р р (юн) является равноволновой

АЧХ ИФНЧ

К n)

HSp К )

или КФНЧ

Н-р р (юн). Синтез АЧХ по заданному значению частоты максимального подавления помехи в полосе задерживания юн фксо для ИФНЧ и

КФНЧ может быть выполнен решением систем уравнений, связывающих между собой параметры АЧХ в особых точках.

Параметром, подлежащим определению, помимо коэффициентов реализуемой ПФ и ко-

ординат характерных точек АЧХ ИФНЧ, является минимальное затухание в полосе задерживания 5. В соответствии с (4) коэффициент _ 2

а1 = ®н фкс0. Система 2п + 2 уравнений ИФНЧ при нечетном п имеет вид

' _ _ (п-1)/2

(К/Ьо) П а1 = 1;

I=1

Н () = 1 - Н {рр (ъ);

(4)

H -Л (1)- 1/VH; H sp )-H^p (rH);

(5)

H (n) (,-H LP p

al -

(-ma^ 1 /я—max n 1®н h h - 0;

,r„;

— _ j max—

Шн hmax - khr Гн ;

к!

5 = -2018 Н^р (* ),

к, я = 1, 2, •.., (п -1)/2, где Н-^рр(юткХ) - локальные максимумы АЧХ в полосе задерживания с абсциссами шнТ; > 1 - граница отрезка [0, Тн ] нормированной частотной оси, на которой АЧХ ИФНЧ спадает до уровня Я-^р (^Н^ ); < 1 - граница отрезка [ 0, ], определяемая из условия

Н^р &) = 1-Н^р (!н); ^, кГХ - нормированные на Тн координаты нулей и максимумов АЧХ ИФНЧ в полосе задерживания, не зависящие от значений минимального затухания 5 (см. [11]). В табл. 1 приведены числовые значения коэффициентов ^ и кНах для п = 3,

5, определяющие соотношения между координатами особых точек ИФНЧ.

Решением системы уравнений (5) являются

2п + 2 параметров АЧХ Н-р'р (юн): К, 02,

Табл. 1. Соотношения между координатами особых точек ИФНЧ Tab. 1. Relationships between the coordinates of singular points of an inverse low-pass filter

д

n k1r0 -Шн10/гн 7 max —max /— k1r - Шн1 /гн k2r0 -Шн20/гн 7 max —max /— k2r - Шн2 /гн

3 1.1547005384 2.0 - -

5 1.0514622242 1.2360679775 1.7013016167 3.2360679775

а1, Ьп—Ь Ъп—2, Ъ0, ^ ^Г, ютаХ, ютах, З. Поскольку сомножители в числителе (4) симметричны, порядковый номер нуля АЧХ g не обязательно равен номеру коэффициента I. При этом не исключено, что ка_ _2 _

кие-либо из коэффициентов а1 = юн g < а^ (см.

пример 1). Разность гн — представляет нормированную ширину переходной области АЧХ ИФНЧ при найденном значении 5.

АЧХ КФНЧ имеет большую крутизну при переходе от полосы пропускания к полосе задерживания по сравнению с АЧХ ИФНЧ того же порядка при равных 5. При выбранном значении неравномерности АЧХ КФНЧ 5 может быть определено минимальное затухание 5 (или, наоборот, при выбранном значении другого параметра). В общем случае система 3п +1 уравнений КФНЧ для определения 3п +1 неизвестных параметров

K, Щ, а3, аа(п—1)/2, ^'П—1, Ъп—2, Ъ0,

ш

н2 шн4'

ш

ш> шн3, шн5, •••> шнд, ""н 'н' ^max _

ш.

йн

ш max, ш m2ax, •••, 03 max, 5 при нечетном п и заданных значениях (или а) и 55 имеет вид

20 lg

HLpp (шн) = 2-

^ __ (п-1)/2 ^

2Ъ0 - к п аз i=i

__ (п-1)/2 ^

к П ч

i=1

= 5;

(6)

H L^ (1) = 1^2;

LP p '

3)

LP p

(fj(n)

l03н ) = HLP p ('W,

h = 1, 2, ..., (n -1)/2;

^ (ш H ,)]/<

?(п)

LP p

5юHi = 0, i = 2, 3,

n;

H (п) te HLP p

/-ma^\ I /rs—max

V3 JJ/®iA =0;

5=-20igH L^ (3),

где юш, шн^ - координаты минимального

^LPp (шш )

и максимального НТ-^р p (ощ )

Н(п)

• " -------------------- ^Р р

значений функции Н^^р (юн) соответственно

на отрезке [0, с1н ]; ¿°н - нормированная длина отрезка, на котором АЧХ КФНЧ равномерно приближает единичное значение в полосе пропускания. Общее количество частот экстремумов АЧХ в полосе пропускания юнг-, \ = 2, 3, ..., п, подлежащих определению, равно п — 1; [ 7н, сю) -

бесконечный полуинтервал, где АЧХ КФНЧ имеет равномерные пульсации в полосе задерживания; со ^к* - абсциссы локальных максимумов

функции Н^р)р (юн) в полосе задерживания,

причем к = 1, 2, ..., (п — 1)/2; 5 - минимальное

затухание в полосе задерживания, 5 - неравномерность АЧХ в полосе пропускания.

Пример 1. Рассчитаем параметры АЧХ ФНЧ-прототипа ППФ 10-го порядка с частотами максимального подавления в полосах задерживания

юфкс1 = 09 •105 рад/^ юфкс2 =11105 рад/с

и добротностью Q = 10. Центральная частота ППФ ю0 ^юфкс1юфкс2 = 99 498.74371 рад/с;

тогда шн фкс1

= 0.904534,

ш

н фкс2

= 1.105542.

Нормированная частота максимального затухания ФНЧ (3) юн фкс0 = 0.201008Q = 2.01008.

Коэффициент в первом сомножителе числителя реализуемой АЧХ ФНЧ

а1 =юн фкс0 = 4.040404.

При расчете АЧХ ИФНЧ система уравнений (5) имеет решение при записи третьей снизу строки в виде >/а2 = кГ0гн; = к20V где

л/аТ = юн фкс0.

При расчете АЧХ КФНЧ примем значение неравномерности АЧХ в полосе пропускания = 0.1 дБ. Выборочные элементы решений систем уравнений (5), (6) приведены в табл. 2. Из нее следует, что

юн1 =Та2 =>/1543 = 1.242-

: <ш

шн1 =>/а2 = >/1.842 =1.357 <шн фкс_ =2.010.

н фкс0 н фкс0

= 2.010;

Табл. 2. Элементы решений систем уравнений (5), (6) Tab. 2. Elements of solving equations systems (5), (6)

АЧХ K a2 b4 b3 b2 b1 b0 ён r 'н гн ён 5

HLP p К ) 0.605 1.543 3.850 7.227 9.009 6.519 3.775 0.920 1.181 0.261 19.833

HLP p к) 0.054 1.842 1.569 2.371 1.958 1.177 0.397 0.918 1.309 0.391 40.317

и Hi

1.00 0.75 0.50 0.25

Puc. 4. AHX HOOT #Lpp h KOOT i7Lp)p Fig. 4. Amplitude-frequency responses of the inverse LPF and the quasi-elliptic LPF Lp)p

АЧХ ИфНЧ н[р> р (Шн ) и КфНЧ Н™ р К )

представлены на рис. 4.

На рис. 5 (П-образная схема) и рис. 6 (Т-образная схема) представлены схемы ППФ, полученные преобразованием схем ФНЧ п-го порядка, приведенных на рис. 2 и 3 соответственно. При преобразовании емкости Снч заменены параллельными колебательными контурами с

элементами Спр/ = бСНЧг, Ц1 рг = 1 (юО0СНЧг). а индуктивности ¿нч£ - последовательными контурами с элементами = QLнчk,

С'пск = 1/(®об%Ч£ ), Ь к = 1 2 п + А на-

й (5)

строенными на частоту га0, равную частоте среза прототипа юс. Количество элементов ППФ (включая резисторы г и Я), полученного преобразованием ФНЧ нечетного порядка п с р полюсами затухания, не имеющего ограничений на условия реализации ПФ, составляет 2 (п + р +1).

Параллельное соединение последовательного и параллельного контуров в продольных ветвях П-образной схемы (рис. 5) может быть заменено эквивалентным ему последовательным соединением двух параллельных контуров, настроенных на требуемые частоты подавления в полосах задерживания ППФ [1, 12] (рис. 7). Последовательное соединение последовательного и параллельного контуров в поперечных ветвях Т-образной схемы (рис. 6) заменяется параллельным соединением последовательных контуров, также настроенных на частоты подавления ППФ (рис. 8). Элементы контуров в поперечных ветвях схемы на рис. 5 и в продольных ветвях схемы на рис. 6 перенесены в эквивалентные схемы без изменений.

Применение схем с контурами, настроенными на требуемые частоты подавления, удобно для точной настройки контуров с помощью индуктивностей при замене расчетных значений емкостей на стандартные.

2' 4 6' (n +1)'

Рис. 5. П-образная схема ППФ с контурами, настроенными на частоту ю0 Fig. 5. П-shaped circuit of a band-pass filter with oscillatory circuits, tuned at frequency ю0

н

Рис. 6. Т-образная схема ППФ с контурами, настроенными на частоту ш0 Fig. 6. Т-shaped circuit of a band-pass filter with oscillatory circuits, tuned at frequency ш0

0-[

и вх 0-

^пр2 ^пр3 ^пр5 ¿дрб

Спр2 Спр3

2

C

прб

4

ку

-0

U вых —0

6

(и+1)

Рис. 7. П-образная схема ППФ с параллельными контурами, настроенными на различные частоты Fig. 7. П-shaped circuit of a band-pass filter with parallel oscillatory circuits, tuned at different frequencies

U

'пс1

0-

Спс1 1

U

Спс4 3

L

ипс(и+p-2

ьпс2 '

ипс3 L

'пс5

ьпс6

Спс2 1-1 1-•-1 C C ^пс3 ^пс5 1-•-1 C ^псб 1—•—1 с пс(и+ p-1)

\—0

U вы —0

2 4 (и-1)

Рис. 8. Т-образная схема ППФ с последовательными контурами, настроенными на различные частоты Fig. 8. Т-shaped circuit of a band-pass filter with serial oscillatory circuits, tuned at different frequencies

В [1, 12-14] приведены формулы пересчета элементов ФНЧ, изображенных на рис. 2 и 3, в элементы ППФ с последовательно включенными параллельными контурами (рис. 7) и параллельно включенными последовательными контурами (рис. 8) соответственно. Поставим задачу непосредственного расчета параметров Пи Т-образных ППФ, минуя промежуточный расчет элементов ФНЧ-прототипов.

Сравним схемы на рис. 5 и 7. Условием эквивалентной замены является равенство комплексных сопротивлений Z ' (ую) цепей

между узлами у', (у + 2)' (рис. 5) и

Zj{у+2)(Ую) - между узлами у, (у + 2)

(рис. 7). Комплексные сопротивления записываются в виде отношения полиномов от переменной 5 = ую. Для узлов у' = у = 1 имеем:

„ / ч ^пс2Спо2-^прЗ^3 +

^'у(5)=-^-—;

D

13

Z13 (s ) =

ипр2ипр3 (^ир2 + ^ир3 ) ^ + (^пр2 + ^пр3 ) 5

D13 :

r

5

п

L

L

r

где

А'3' = Апс2Спс2 Aтр3Спр3s + + (■Апс2Спс2 + ^пр3Сир3 + ^пр3Сис2 ) 5 2 + 1;

Аз = Ар2Спр2 Тпр3Спр35 4 + + (Ар2Спр2 + Апр3Спр3 ) 5 2 +1.

Приравняв 2уу (5) и 2^ (5) и решив систему четырех уравнений относительно элементов схемы, изображенной на рис. 7, получим:

^пр2(3)

¿Пр3 а/о^-Р + (а- 2^Пс2СПс2)

С

пр2(3)

2^1 а2 - в а^/а2 - в + (а2 - в)

т'

Апр3

_7а2-Р + (а- 2с2СПс2)_

где а = ¿пс 2Спс 2 + А пр3Спр 3 + А пр3Спс 2;

в = 4Агс2Сш2АЛр3СПр3; в симв°ле "+ " математический знак "-" относится к элементам lnp2, спр2; знак + — к элементам Lпpз,

С

пр3.

Резонансные частоты параллельных контуров:

1 V2

ю02 пр -

ю03пр

\/^пР2Спр2 ^а а2 - в

1 - V2

а2 - в

С учетом того, что

Агс2Спс2 - Аф3Спр3 - ®02,

получим:

ю02(03) пр -_ ю0 2Спр3

Спс2 + 2 Спр3 +

д/Спс2 (Спс 2 + 4 Спр3 )

откуда следует, что контур с элементами Апр2, Спр2 (см. рис. 7) настроен на верхнюю частоту, а контур с элементами Апр3, Спр3 - на нижнюю частоту бесконечного затухания. По-

скольку нижние индексы элементов 2 и 3 входят в выражение для 2^ (5) симметрично, частоты настройки контуров в продольной ветви можно поменять местами.

Аналогичные расчеты выполняются при замене цепей между узлами 3', 5' (см. рис. 5) последовательным соединением параллельных контуров между узлами 3, 5 (рис. 7), и т. д.

Индуктивности и емкости в ближайших поперечных ветвях ППФ записываются как

Арг = Арг, Спрг = Спрг, г = 1 4, 7, ••• .

При сравнении комплексных сопротивлений цепей 21' 2'( 5) между узлами 1', 2' схемы на рис. 6 и 2ю (5) между узлами 1, 2 схемы на рис. 8 получим соотношения

Аю2(3)

ад/а2 - в + (а2 - в)

С

С' о С' о

;2(3)

д/а 2 - в + (а- 2Апр3спр3) Vo^-p+(а- 2Ап р3сп р3)

2^/а2-в

Т' С' а- Т' С'

"ч ^ ТТ*Л "Т" "ч ^ ТТЛ

в = 4ATс2С]Tс2 ТГр3САр3; знак в символе

"+" относится к элементам А^, Спс2, знак "+" - к элементам Апс3, Спс3.

Резонансные частоты последовательных контуров:

1

где а - ¿пс2Спс2 ^ Апр3Спр3 ^ Апр3Спс2

ю02 пс -

ю03пс -

4^2.^2. ^-у/а2 - в

1 - У2

л/АсЗСпсЗ д/а+д/а2 - в

Замечание относительно изменения резонансных частот параллельных контуров П-образной схемы ППФ справедливо и для частот настройки последовательных контуров Т-образной схемы.

Перемножив Апр2 и С^ Апр3 и С^ нетрудно убедиться, что

1

1

д/Ар2Спр3 д/Ар3Спр2

- ®0,

что позволяет выразить элементы продольных ветвей схемы на рис. 5 через элементы схемы на рис. 7 с угловой частотой Ю0 в качестве параметра, и в конечном итоге - элементы ФНЧ-прототипа через искомые элементы ППФ с различной настройкой контуров.

Для Т-образной схемы с последовательными контурами имеем аналогичные соотношения:

1

1

•\/Апс2Спс3 "\/Апс3Спс2

= ®0 .

Связи между элементами П-образных ППФ с одинаковой и различной настройками контуров (с включением элементов ФНЧ-прототипа) в обозначениях на рис. 5 и 7 имеют вид

Апрг = Апрг; СпрI = QCнчг = Спрг, г = 1 4, • • •;

Апс к = бАнч к =

Спр к + Спр( к +1) ®2 [Спр к - Спр(к+1)]2

C' =

^пс к

[ Спр к Спр( к+1)/ Спр к + Спр( к+1)

к = 2, 5, ...,

А = Спр(j-1) + Спрj ; Апр j 2 ;

ю0 спр( j-1)спр j

, Спр( j-1)спр j спр j = QCH4j = с-+C—' j = 3, б, . .

пр( j-1) + j

Соотношения для Т-образных схем (см. рис. б и 8):

Ап с к = Апс к; ^Лс к = ]/ (®2 б^НЧк )= Спс к >

к = 1, 4, ...;

АЛс/ = бАНЧ/ = 11®2 [СпсI + Спс(1 +1) ]}; Сп с l = Спс l + Спс(1+1), 1 = 2 5

Апр i

[ Спс(г -1) Спс i]

р ®2 [Спс(г-1) + Спсi]Спс(г-1)Спсг [Спс(г-1) + Спс i /Спс( г-1)Сп

Спр i = б^ИЧ =

[СпсО-1) Спс i]

i = 3, б, ... .

В табл. 3 приведены ПФ ФНЧ-прототипов ППФ с различной настройкой параллельных

контуров нЬп)С (5н) (схема на рис. 2, п = 3, 5)

ь,р Спр

и последовательных контуров Н^с ()

(схема на рис. 3, п = 3, 5), выраженные через емкости Спр и Спс соответствующих ППФ.

Индекс "р" указывает на наличие у ФНЧ полюсов затухания.

В табл. 4 приведены АЧХ синтезируемых ППФ порядков 2п с р полюсами затухания: с

(о )

параллельными контурами Н^^р р (юн ),

2п = 6, 10; 2 р = 2, 4 соответственно (схемы на

рис. 7) и последовательными контурами

(о )

НвРпс р (®н ), 2п = 6, 2р = 2 (схемы на рис. 8),

выраженные через индуктивности и емкости. Схемы фильтров дуальны (двойственны) в том смысле, что их АЧХ могут быть получены одна из другой с помощью следующих взаимных подстановок: Ьщ, (-о- Спс (, СПр( ° Ь„с г-, г = 1,

2, ..., п + р. Замена г и Л в знаменателе осуществляется по правилу: г о 1 г, Л о 1/Л; в

числителе: 1/г о Л (ср. нВрпр р (юн ) и

' ВРпр

НвРпс р (юн) в табл. 4). Сходство в записи

объясняется заменой реактивных сопротивлений их дуальными эквивалентами - проводи-мостями при расчете ПФ и АЧХ обоих типов фильтров.

Полная запись необходима для обеспечения коррекции АЧХ с помощью индуктивностей после замены расчетных значений емкостей стандартными.

Пример 2. Рассчитаем элементы КППФ 10-го порядка с параллельными контурами с параметрами АЧХ, рассчитанными в примере 1. Приравняв коэффициенты Н^с (5н) и

Нър* р () при одинаковых степенях переменной 5н, получим систему из 8 уравнений при 10 неизвестных: Ку, Спр1, Спр2, Спр3,

Спр4, Спр5, Спр6, Спр7, г,Л.

Табл. 3. Передаточные функции ФНЧ-прототипов ППФ с различными частотами настройки контуров Tab. 3. Transfer functions of low-pass filters - prototypes of band-pass filters with different contour tuning frequencies

n - 3, схема на рис. 2

A3) ( „ \_ KуСпр2Спр3 Q 'b,p спр I'M- (3) Q

Юо r Nb,p С

пр

2 , (Спр2 Спр3) 2

Спр 2Спр 3

IЛ

(3)

b.PCпl

где

Nb,pСпр - Спр1Спр2 (^пр3 + ^пр4) +(Спр1 + Спр2)Спр3Спр4; Л(3) - '3 + Г (Спр1Спр2 + Спр1Спр3 + Спр2Спр3 ) + R(Спр2Спр3 + Спр2Спр4 + Спр3Спр4)

b,p Сп

(3)

Юо rR NypC^

)rR (Спр1 + Спр4 ) (Спр 2 - Спр3 ) + Спр2 + Спр3 Ю rR ^ Спр

еЧ+(r+r)(Спр2-ССпр3) ^

Юо rR Nb,p С

-q3

n - 3, схема на рис. 3

(3)

b,pC„

K уЮ0 RCпс1Cпс4 ^

('н)- (3)-Q

Nb,p CПc

'н2 + (Спс2 Спс3) Q2

Спс2Спс3

/Л

(3)

b,pCп1

где

,(3)

Nb,pCпc - Спс1 + Спс2 + Спс3 + Спс4

.(3) 3 , гСпс1 (Спс 2 + Спс3 + Спс4 )+ R (Спс1 + Спс2 + Спс3 ) Спс4 ^ 2 .

Ль^спс - 'н + Юо-(3-Q'H +

Nb,p Cпc

г2 ( . (Спс2 - Спс3) п г-,3 Q 'н + Юо (r + R)Спс1--Спс4е

(Спс1 + Спс4 )(Спс2 Спс3 ) л^г Спс2 + Спс3 г

-7-г--1- Юг, rRC„„^ -7-г-С

С С N (3)

0 (3) ^пс4

Nb,pCпc

С С N (3)

Спс2Спс3 Nb,pСп

n - 5, схема на рис. 2

H(5) ( K у Спр 2Спр3Спр5Спр 6 Q

b,pСпр ^ „ „,,(5) ^

Ю0 r Nb,pc,

пр

.2 , (Спр2 Спр3) Q2

Спр 2Спр 3

.2 , (СпР5 СпР6) Q2

С С

пр5 пр6

' Л

(5)

b,p Сп

где

лЬ5)с - +

b,p Спр н

Nb,p Спр -[Спр1Спр2 (^Пр3 + ^Пр4 ) + (Спр1 + Спр2 ) Спр3Спр4 ](^пр5^пр6 + ^Пр5^пр7 + ^пр6^пр7 ) + + (Спр1Спр2 + Спр1Спр3 + Спр2^пр3 )^пр5^пр6^'пр7;

Спр 1Спр 2Спр 3 (Спр5 + Спр 6 ) + (Спр1Спр2 + Спр1Спр3 + Спр2Спр3 )(Спр4Спр5 + Спр4Спр6 + Спр5Спр6 )

ю0 r n£ сп

(Спр2Спр3 + Спр2Спр4 + Спр3Спр4 )(Спр5Спр6 + Спр5Спр7 + Спр6Спр7 ) + (Спр2 + Спр3 ) Спр5Спр6Спр7

Ю0 r Nb,p Сп

Спр1Спр2 (Спр3 + Спр4 + Спр7) +(Спр1 + Спр2)Спр3 (Спр4 + Спр7)

N(5)

b,pCn

(Спр1 + Спр4 )(Спр5Спр6 + Спр5Спр7 + Спр6Спр7 )+ Спр5Спр6Спр7

n(5) ^b,pCn

(Спр5 Спр 6) + (Спр2 - Спр3) +

(Спр2Спр3 + Спр2Спр4 + Спр3Спр4 )(Спр5 + Спр6 )+(Спр2 + Спр3 ) Спр5Спр6

ю2 rR Nb^p с,

Q2

' [(Спр1 + Спр4 ) (Спр5 + Спр 6 )+ Спр5Спр6 ] (Спр2 Спр3 ) +(Спр1Спр2 + Спр1Спр3 + Спр2Спр3 )(Спр5 Спр6 )

Ю0 R ^ Спр

[Спр2Спр3 +(Спр2 + Спр3 ) (Спр4 + Спр7 )](Спр5 - Спр6 ) +(Спр5Спр6 + Спр5Спр7 + Спр6Спр7 )(Спр2 - Спр3 ) I 3 2

" ГQ 'н '

°q r Nbb

(5)

p Сп

+

Окончание табл. 3 E^mg of the tab. 3

)rR (Спр 1 + Спр4 + Спр7 )(Спр2 Спр3 ) (Спр5 Спрб ) +(Спр2 + Спр3 )(Спр5 Спрб )

(Спр5 + Спр б ) (Спр 2 Спр3 )

ю0 rR м£ г

ю2 rR м2 сПр

Q4„ . (Г + R) (Спр2 ~ Спр3 ) (Спр5 ~ Спрб ) Q5 (5)

ю0 rR Mb^

и = 5, схема на рис. 3

где

Н

(5)

b,p сп

К уЮ0 RCпс1Cпс4Cпс7 ^

(^) = —-(5-Q

Mb,p СпС

S2 + (Сп02 - Спс3 ) Q2

Спс2Спс3

^ + (Спс5 - Спсб ) q2

Спс5Спсб

/А

(5)

b,pCm

Mb,pCпc = (Спс1 + Спс2 + Спс3)(Спс4 + Спс5 + Спсб + Спс7)+ Спс4 (Спс5 + Спсб + Спс7);

(Спс2 + Спс3 ) Спс4 +(Спс2 + Спс3 + Спс4 )(Спс5 + Спсб + Спс7 )

^i! спс = ^ + ю0

с

U(5)

p-b,pC„

, п(Спс1 + Спс2 + Спс3 )(Спс4 + Спс5 + Спсб ) + Спс4 (Спс5 + Спсб ) п +R (5 спс7

Mb,p Cпc

Q4

Спс1Спс4 +(Спс1 + Спс4)(Спс5 + Спсб + Спс7)\2 (Спс1 + Спс2 + Спс3 )(Спс4 + Спс7) + Спс4Спс7

\спс2 спс3] +

C C ||(5) Cпс2Cпс3^b,pCП1

C C м(5) пс5 псб H-b pсп

¡г п \2 2 Dr. (Спс2 + Спс3 ) Спс4 +(Спс2 + Спс3 + Спс4 )(Спс5 + Спсб ) п \спс5 - Спс б f + ю0 rRCпс 1-~-с

+ ю0 гСпс1

Ц(5)

b,p Cпc

(C - C )2 C Спс5 + Спсб + Спс7 + (с - с ) ^пс2 ^пс3^ пс4 (5) \ пс5 ^псб,/

Спс2Спс3 Mb,pCпc

пс 7

Q^-

2 (Спс2 + Спс3 )(Спс4 + Спс7 )+ Спс4Спс7

C C и(5)

пс5 псб H"b,pсп

+R

Спс1 + Спс2 + Спс3 с (C - с )2 + Спс1Спс4 +(Спс1 + Спс4 )(Спс5 + Спсб ) (с - с )2 пс4 \ пс5 ^псб^ + (5) \ пс2 1-'пс3^

с с И (5)

пс 5 пс б Н^^с^

с с и (5)

спс2спс3 Mb,pсп,

спс7 I ^ +

, I спс1спс4 + спс1спс7 + спс4спс7 in Г \2 !Г Г

+ J-~-\спс2 - спс 3 f \спс5 - спсб) + ю0 тспс1

с с с с и (5) пс2 пс3 пс5 псб H-b,pCПc

(спс2 + спс3 )(спс5 - спсб )

" с с и(5)

пс5 псб H"b,pсш

(спс2 спс3 ) (спс5 + спсб )

с с И(5)

L-пс2L-пс3^lb,pCПc

n п I ^>4 . ,, ( . D)^ (спс2 - спс3) (спс5 - спсб) ^ п г-,5 пс4 пс 7 fQ sн + r + ^спс1-(5-спс4спс7б

I спс2спс3спс5спсб ^p^

+

Табл. 4. АЧХ ППФ с различными частотами настройки контуров, выраженные через индуктивности и емкости Tab. 4. Frequency responses of bandpass filters with circuits tuned at different frequencies, denoted through inductances and capacitances

2и = б, схема на рис. 7

где

пр4 :

Н

БГпр p

( юн ) =

^З^пр p = Спр1Спр2 (Спр3 + Спр4) + (Спр1 + Спр2)Спр3Спр4;

К у спр2спр3

(6) ' ю0 r иБPпр p

1

ю0 Апр2спр2

ю0 Апр3спр3

6 4 2 / 5 3

юн-Гпр4юн +Гпр2юн-Гпр0 ) + (Гпр5юн-Гпр3юн +Гпр1юн )

2 (6) ^^P^ p

Спр 2Спр 3 + Спр 2Спр 4 + Спр3Спр4 Спр1Спр3 + Спр1Спр4 + Спр3Спр4 Спр1Спр2 + Спр1Спр4 + Спр2Спр4

пр 1

-ьпр2

Спр1Спр2 + Спр1Спр3 + Спр2Спр3 , Спр2 + Спр3 I.

пр3

пр4

rR

1

Продолжение табл. 4 Continuation of the tab. 4

пР2 4,,(6)

ro0NBPnp p

1 (Спр3 + Спр4 Спр2 + Спр4 Спр2 + Спр3 Спр1 + Спр4 Спр1 + Спр3 Спр1 + Спр2 Апp2 + Апp3

-Апр1Апр2

-пр1-пр3

Г

-Апр1Апр4 Апр2-Апр3 Апр2-Апр4 -Апр3Апр4 rRLпp2Lпp3

прО

-пр1 + -пр2 + -пр3 + -пр4

Ю6

'пр 1-пр 2Lnp 3-пр 4 NBPnp

пр3

3 (6) ®0NBPnp p

пр5

~R

r (Спр1Спр2 + Спр1Спр3 + Спр2Спр3 ) + R (Спр2Спр3 + Спр2Спр4 + Спр3Спр4 )

Ю0 rR NBPnp p

Спр2 +Спр3 Спр1 +Спр3 Спр1 + Спр2

-пр1

-пр2

Спр1 +Спр2 1 1 r

L

пр3

Спр3 +Спр4 Спр2 + Спр4 Спр2 +Спр3 1

-пр2

-пр3

-пр4

1

Г]Р1 ,,5n(6)

ro0NBPnp p

( -пр1 + -пр2 + -пр3 -пр2 + -пр3 + -пр4 1

RLnp1Lnp2Lnp3

rLnp2Lnp3Lnp4

2n - 6, схема на рис. 8

и Hi

(6)

ВРпс p

(Юн ):

f RLno2Цпс3 „

K у-(6)-Ю

Ю0^Рпс p

j_

Ю0 -пс 2Спс 2

Ю0 -пс3Спс3

где

пс4 0 (6)

ro0NBPno p

^/(юн - Гпс4 Юн + Гпс2 Ю° - Гпс0 ) + (гпс5 Юн - Гпс3 ^з + Гпс1Юн )

^Рпс p - АгеАге2 (-пс3 + -пс4 ) + (-пс1 + Цпс2 ) Аге3Аге4; -пс2-пс3 + -пс2-пс4 + -пс3-пс4 , -пс 1-пс3 + -пс Ас4 + Цю3-пс4 , -^пс!-^пс2 + -^пс1-^пс4 + -^пс2-^пс4

Спс 1 Спс2

С

пс 3

, -пс 1-пс 2 + -пс1-пс3 + -пс2-пс3 .„nil . г \ +-С- у-^пс 2 + -пс3 /

-т _ 1 I -пс3 + -пс4 , -пс2 + -пс4 , -пс2 + -пс3 , -^nd + -пс4 , -^nol + -пс3 , -пс1 + -пс2 , ,.рСпс2 + Спс3 Г пс2 - 4 (6) I _ " + " " + " " " " " +rR

ю0№РПс p V Спс1Спс2 Спс1Спс3 Спс1Спс4 Спс2Спс3 Спс2Спс4 Спс3Спс4

Спс 1 + Спс2 + Спс3 + Спс4 .

Спс2Спс3

Пс0 Ю6 С С С С N(6) Ю0 Спс1Спс2Спс3Спс4 NBPi

пс p

Гпс5 -

r (-пс2-пс3 + -пс2-пс4 + -пс3--пс4 )+ R (-пс1--пс2 + -пс1--пс3 + -пс2--пс3 ) .

Ю0^Рпс p

Гпс3 Ю3,,(6)

Ю0ИвРпс p

r| -пс2 + -пс3 + -пс1 + -пс3 + -пс1 + -пс2 |+ | -пс3 + -пс4 |-пс2 + -пс4 |-пс2 + -пс3

С„.

Гпс1 -

С

С

С

С

С

R Спс 1 + Спс2 + Спс3 + r Спс2 + Спс3 + Спс4

5 (6) I " С С С ю0^РПс p V ^пс!^пс2^пс3

Спс 2Спс 3Спс 4

2n -10, схема на рис. 7

H

(10) BPnp p

( Юн

K С С С С

Л у 1-'пр2^-'пр3^-'пр5^-'пр6

Ю r и(ш) '

Ю0 r NBPnp p

0 1

Юн —о-

Ю0 -пр2Спр2

0 1

юн —о-

Ю0 -пр3Спр3

0 1

Юн —о-

Ю0 -пр5Спр5

0 1

юн —о-

Ю0 -пр 6 Спр 6

]l(rolHQ 0 Епр8 Юн + Епр6 Юн0 Епр4 Юн +Епр2ю0 -Епр0 ) +(Епр9юн -Епр7юн +Епр5юноЕпр3юн +Епр1Юн)

где

NBp]p p -[Спр1Спр2 (Спр3 + Спр4 ) + (Спр1 + Спр2 )Спр3Спр4 ](Спр5Спр6 + Спр5Спр7 + Спр6Спр7 ) + + (Спр1Спр2 + Спр1Спр3 + Спр2Спр3 ) Спр5Спр6Спр7;

IС + С

J]p8 m0N(1Q) С + С

Спр 2 +С,

С + С

-ТТЛ 1 ~ '1

С + С \

пр6 ^1-пр7 1-пр5 ^1-пр7 1-пр5 ^ 1-пр6

-пр1

С + С 1

тт^ ~ V—'ттй

пр2

С С С +

пр5 пр6 пр7 т

-пр5

пр6

пр7

С С С +

пр1 пр2 пр3

-пр3

IС С + С С + С С

Wp2^np3 ^^np2Wp4 ^Wp3Wp4

пр1

1

1

Продолжение табл. 4 Continuation of the tab. 4

С С + С С + С С С С + С С + С С ^пр1^пр3 т^пр1^пр4 т^пр3^пр4 ^пр1^пр2 т^пр1^пр4 т^пр2^пр4

-пр2

-пр3

(Спр5Спр6 + Спр5Спр7 + Спр6Спр7 ) +

С С + С С + С С С С + С С + С С С С + С С + С С

пр5 пр6 пр5 пр7 пр6 пр7 пр4 пр6 пр4 пр7 пр6 пр7 пр4 пр5 пр4 пр7 пр5 пр7

Цпр4

пр5

пр6

С С + С С + С С

^пр4^пр5 т^пр4^пр6 т^пр5^пр6

-пр7

(Спр1Спр2 + Спр1Спр3 + Спр2Спр3 )

(Спр2Спр3 + Спр2Спр4 + Спр3Спр4)(Спр5 + Спр6) + (Спр2 + Спр3)Спр5Спр6 .

]rR ^Вр^п р

Епр6 -

т4и(10) ю0^ВРпр p

Спр2 + Спр3 , Спр1 + Спр3 , Спр 1 + Спр2

ьпр1

ьпр2

Апр3

С С С С С С

^пр6^пр7 ^пр5^пр7 ^пр5^пр6

ьпр5

Апр6

ьпр7

Спр 2Спр 3 + Спр 2Спр 4 + Спр3Спр4 Спр1Спр3 + Спр1Спр4 + Спр3Спр4 Спр1Спр2 + Спр1Спр4 + Спр2Спр4

пр1

С С + С С + С С

^пр1^пр2 ^^пр1^пр3 ^^пр2^пр3

пр2

пр3

L

пр4

С + С С + С С + С

^пр6 ^^пр7 ^пр5^^пр7 ^пр5^^пр6

Спр3 + Сп

-пр 5 ^пр 6 -пр 7

^пр3 + Спр4 Спр2 + Спр4 Спр2 + Спр3 Спр1 + Спр4 Спр1 + Спр3 Спр1 + Спр2 |^ ^ ^ \ ,

— j +~~J j + _j j j j j j 1(Спр5Спр6 + Спр5Спр7 + Спр6Спр7) +

-ьпр^х^пр2 -ьпр1х^пр3 пр1 пр4 ^р2 пр3 -ьпр^пр4 -ьпр3^'пр4 )

'С + С С + С С + С

пр4 пр7 пр4 пр6 пр4 пр5

-пр5-пр6

Апр5Апр7 -пр6-пр7

(Спр1Спр2 + Спр1Спр3 + Спр2Спр3 ) +

-пр1 + -пр2 + -пр3 -пр1—пр2—пр3

С С С

пр5 пр6 пр7

-пр5 + -пр6 + -пр7 -пр5—пр6—пр7

Спр1Спр2Спр3

) rR Р-ВРпр

Е =_L_

пР4 (10)

Спр3 +

пр3 пр4 пр2 пр4

Спр 2 + Сп

ю0Р-ВРпр p

пр2

Спр2 + Спр3

L

'пр3

(Спр5

+С,

пР6 )"

С + С С + С С + С

пр5 пр6 пр4 пр6 пр4 пр5

пр4

пр5

пр6

(Спр2

+ С,

пр3 )■

-пр2 + -пр3 с с + ^пр5 + -пр6 с с

Спр5Спр6 + j j Спр2Спр3

-пр2—пр3

-пр5-пр6

'пр1

Спр1 + Спр3 -пр2

С + С \ пр1 пр2

'пр3

Спр 6 + Спр7

Спр5 + Спр7

Апр4А]

'пр5

Апр4А1

пр 6

Спр5 + Спр6 Спр4 + Спр7 ---1--

Апр4Апр7 Апр5Апр6

С + С

Апр5Апр7

+ С пр1 пр 4

С

Апр2 Апр3

С \ пр4 ^^пр5

Апр6Апр7

+ С

пр 6 пр 7

^пр5

Спр2Спр3 Спр1Спр3 Спр1Спр2 ^пр5 + Апр6 + ^пр7 Спр3 + Спр4 Спр2 + С1

^пр1

^пр2

пр3

пр 4

С + С пр 5 пр 7

С + С А пр 5 пр 6

-^прб

^пр7

-Апр5Апр6Апр7 ^ Апр1Апр2 Апр1Апр3

j + j + j (С С С С С С \ ^пр1 ^^пр3 ^пр6^пр7 ^пр^пр7 ^пр^пр6

-Апр1Апр2Апр3

пр5

L

^пр1 + Апр2 + ^пр3 + С С + С С + С С + ^пр5 + ^пр6 + Апр7

(Спр5Спр6 + Спр5Спр7 + Спр6Спр7 )

-^пр 1Апр 2Апр 3Апр 4

-^пр 4Апр 5Апр 6Lпр 7

пр 6 пр 7

+ Ст1СтЗ +

(Спр1Спр2 + Спр1Спр3 + Спр 2Спр 3 )

ю0 rR ^В11>пр p

-пр2 + -пр3 Спр5 С > пр 6 , ^пр5 + ^пр6

-пр2-пр3 ч -пр6 -пр5 ^ —пр5—пр6

С + С \ пр4 пр2 пр4

Апр2

Lпр3

Lпр2 + Lпр3 + ^ЛрЛ Lпр2 Lпр3Lпр4

(Спр5 + Спр6) + пр^-l р l-Лр_(Спр2 + Спр3)

Епр2 -

т8и(10) м0^ВРпр p

-пр4—пр5—пр6

Спр2 + Спр3 Спр 1 + Спр3 Спр1 +Спр2 |-^пр4 + Lпр>5 + Lпр6 + Цтр7

пр1

-—пр2

-—пр3

-пр 4 ^пр 5-пр 6-пр 7

-пр1 + -пр2 + -пр3 + -пр4

^пр 1-пр 2-пр 3-пр 4

Спр6 + Спр7 , Спр5 + Спр7 , Спр5 + Спр6

-—пр5

-пр6

Спр3 + Спр4 Спр2 + Спр4 Спр 1 + Спр4 + -^пр6 + -^пр7 -^пр1 + Lпр2 + -^пр3

-пр1-пр2 -пр1-пр3 -пр2-пр3 ) -пр5—пр6—пр7

-пр1-пр2 -пр3

-—пр7

' С,

пр7

С

пр6

С

пр5

-пр5-пр6 -пр5-пр7 -пр6-пр7

(-пр2 + -пр3 )(-пр4 + -пр5 + -р6 )+ -пр4 (-пр5 + А1р6

(10)

ю0 rRLпр2Lпр3Lпр4Lпр5Lпр6 ^^Р]

+

p

+

+

p

+

+

1

+

Окончание табл. 4 Ending of the tab. 4

Епр0 -

(-пр1 + -пр2 + -пр3 )(-пр4 + -пр5 + -пр6 + -пр7 ) + -пр4 (-пр5 + -пр6 + -пр7 )

Ю- - - - - - - NN10 '

ш0 -^пр1^пр2^пр3^пр4^пр5^пр6^пр7 H-BPnp p

Епр9 - [(Спр1Спр2 + Спр1Спр3 + Спр2Спр3 )(Спр4Спр5 + Спр4Спр6 + Спр5Спр6) + Спр1Спр2Спр3 (Спр5 + Спр6)]/[Ю0 ^^^^^ p ] " + [(Спр2Спр3 + Спр2Спр4 + Спр3Спр4)(Спр5Спр6 + Спр5Спр7 + Спр6Спр7) + (Спр2 + Спр3)Спр5Спр6Спр7]]|^Ю0 r NBPnp p

Епр7

)R fN3EjPQr)p

Спр2 +Спр3 + Спр1 + Спр3 + Спр 1 + Спр2 I С С +С С +С С \ + + - + - НСпр4Спр5 + Спр4Спр6 + cnp5cnp6j +

пр1

пр2

С С С С С С

пр2 пр3 пр1 пр3 пр1 пр2

пр1

пр2

пр3

(Спр5 + Спр 6 ) +

пр3

С +С С +С С +С

^пр5т^пр6 + ^пр4т^пр6 + пр4 пр5

пр4

Лр5

пр6

Ю0 r NBP)р p

<(Спр1Спр2 + Спр1Спр3 + Спр 2Спр 3 )+ -'г ^ Спр1Спр2Спр3

Спр3 +Спр4 + Спр2 +Спр4 + Спр2 +Спр3 |,с С + С С + С С ) + - - ^пр5^пр6 ^пр5^пр7 ^пр6^пр7 J

-

пр2

-

пр3

-

пр4

С С + С С + С С С С + С С + С С С С +С С +С С

^пр4^пр6 ~ ^пр4^пр7 ~ ^пр6^пр7 + ^пр4^пр5 ~ Wp4^np7 ~ ^пр5^пр7 + ^пр4^пр5 ~ ^пр4^пр6 ~ ^пр5^пр6 1(С

-

Епр5 - 5

-пр6

Спр 6 + Спр7 Спр5 + Спр7 Спр5 + Спр 6

-

пр5

пр6

пр7

Спр2Спр3 +"

Апр2 + Апр3

-пр2 -пр3

пр7

С С С

пр5 пр6 пр7

+ С

пр3

R fN3EsPQ))p

Спр2 + Спр3 + Спр 1 + Спр3 + Спр 1 + Спр2

пр1

пр2

'пр3

С +С С +С С +С

^пр5т^пр6 + ^пр4т^пр6 + ^пр4 пр5

пр4

'пр5

пр 6

Спр2Спр3 + Спр1Спр3 + Спр1Спр2 I Апр5 + Апр6 +

пр1

пр2

пр3

-Tпp5-Tпp6

Спр3 +Спр4 Спр2 +Спр4 Спр1 +Спр4 \/r r \

+—----+ _--- (Спр5 + Спр6) +

-Tпp1-Tпp2

-Tпp1-Tпp3

-пр2 -пр3

, -пр1 + -пр2 + -пр3 С С + -пр4 + -пр5 + -пр6 с С + С С + С С Т _ _ _ '-пр^пр6 ^ J J J ^ Пр1 Пр2 ^пр^пр^ ^пр^п

-пр 1-пр 2-пр 3

-пр 4-пр 5-пр 6

пр1 пр3 пр2 пр3

Ю0 r NNIE1PQ))p p -пр2 + -пр3

Спр3 + Спр4 + Спр2 + Спр4 + Спр2 + Спр3

-

пр2

-

пр3

-

пр4

пр 6

-

"пр7 + ^ пр5

'пр5

-

"пр7 + ^ пр5

пр 6

пр 6

-

пр7

-пр2 -пр3

Спр6Спр7 , Спр5Спр7 , Спр5Спр6 1 Апр2 + Апр3 + Апр4 in r r r r г \

+ - + - I + : : : (Спр5Спр6 + Спр5Спр7 + Спр6Спр7) +

-

Пр5

-

пр6

-

-пр5 + -пр6 + -пр7

-Tпp5-Tпp6 -пр7

Спр 2Спр 3 +

пр7 пр4

-пр 2-пр 3-пр 4

-пр 5-пр 6

^пр7 + ^ пр4

-пр 5-пр 7

^пр6 + ^пр4 "

^пр5

-пр 6-пр 7

(Спр2 +Спр3 )

Епр3 -"

0 R fN3EjPQ))p

Спр2 +Спр3 + Спр 1 +Спр3 + Спр1 +Спр2 1 Апр4 + Апр5 + Апр6 + Спр5 +Спр6 -пр1 -пр2 -пр3 ) -пр 4 ^пр 5-пр 6 -Tпp1-Tпp2-Tпp3

-пр1 + -пр2 + -пр3 | Спр5 + Спр6 Спр4 + Спр6 Спр4 +Спр5

^пр 1-пр 2-пр 3 1

^пр 4

-пр5

пр 6

С,

пр 3

С

пр 2

Спр1 | Апр5 + Апр6

-Tпp1-Tпp2 -Tпp1-Tпp3 -Tпp2-Tпp3 I -Tпp5-Tпp6

ю7 r NB1P>np p

Спр3 + Спр4 , Спр2 +Спр4 , Спр2 +Спр3 1Апр5 + Апр6 + Апр7 , Апр2 + Апр3 + Апр4

пр2

-пр3

-пр4

■Tпp5■Tпp6■Tпp7 -пр 2-пр 3-пр 4

Спр 6 + Спр 7 Спр5 +Спр7 Спр5 + Спр 6

-пр5

^прб

-пр7

Спр2 +Спр3

Апр2 + А

пр3

Епр1 -

(-пр1 + -пр2 + -пр3 )(-пр4 + -пр5 + -

^пр 5-пр 6 ^пр 7 Lпp2Lпp3 'пр5

С

пр 7

С

пр 6

С

пр5

'пр 6 ) + -пр4

^Lпp5Lпp6 -Tпp5-Tпp7 Lпp6Lпp7 у (-пр5 + -пр6 )

Ю0 R-np 1-пр 2-пр 3-пр 4-пр5-пр 6 NBPnp p

(10)

(-пр2 + -пр3 ) -пр4 +(-пр2 + -пр3 + -пр4 )(-пр5 + -пр6 + -пр7 )

rLпp2Lпp3Lпp4Lпp5Lпp6Lпp7 NBPnp p

(10)

+

Р

X

Приняв

r - R - 200 Ом,

получим

К у = 2.011513 и значения емкостей (см. табл. 5,

емкости, результаты расчета). Для проверки решения рассчитаем

Ку = Ккэ^кэа2.кэ = 2.011513.

у

у0 кэ

R

Значения индуктивностей (табл. 5) получим из известных формул Томсона с учетом соотношений

( ^пр2Спр3 ) -( ^пр3Спр2 ) -\-0-5_/т п \-0.5 _ ) =( ^пр6спр5 ) = ю0.

( ^пр5Спр6

Перейдем к стандартным значениям емкостей и скорректируем значения индуктивностей. Результаты представлены в табл. 5.

АЧХ КППФ со стандартными значениями емкостей и скорректированными значениями индуктивностей представлена на рис. 9. Для

Табл. 5. Параметры элементов КППФ, полученные в примере 2

Tab. 5. Parameters of quasi-elliptic bandpass filter elements obtained in the example 2

Емкость, нФ Индуктивность, мкГн

Обозначение Результата: расчета Стандартное значение Обозначение Результаты расчета Скорректированное значение

Спр1 421.5 430 ^пр1 239.6 234.9

Спр2 533.8 510 ^пр2 162.5 172.4

Спр3 611.3 620 ^пр3 189.2 186.0

C пр4 869.4 910 ^пр4 116.2 111.0

Спр5 174.1 180 ^пр5 474.6 459.1

C ^прб 212.8 220 -^прб 580.2 561.2

Спр7 553.1 560 ^пр7 182.6 180.4

и

(10) ВРпр p

1.0 0.8

0.6 0.4

0.2

0

0.8-105 0.9-105 1.0•Ю5 1.1 105 ю, рад/с Рис. 9. АЧХ КППФ 10-го порядка со стандартными значениями емкостей

Fig. 9. Amplitude-frequency response of a 10th order quasi-elliptical band-pass filter with standard capacitance values

перехода от нормированных частот юн к ненормированным ю необходимо числитель и знаменатель функции #врЛр р (Юн ) умножить на ю0° .

В приведенном примере пятый параллельный контур с элементами ¿пр5, Спр5 настроен

на частоту Юфкс2 = \Ц 1пр5Спр5 = 1.1 -Ю5 рад/с, шестой контур с элементами ¿пр6, Спрб - на

частоту юфкс1 = 'Д/Апр6Спр6 = 0 9 -105 ра^/с. В соответствии с замечанием, сделанным ранее, элементы и резонансные частоты контуров могут быть изменены на противоположные. Это не противоречит условию [15], что в обоих случаях частотная зависимость сопротивления двухполюсника между узлами 3, 5 (схема на рис. 7)

235 (ю)=

_ (¿пр5 + ^пр6 ) ю - ¿пр5^пр6 (Спр5 + Спр6 )ю

D

'35

где

^35 = ^пр5Спр5 ^пр6Спр6Ю

— (^пр5Спр5 + ^пр6Спр6 ) ю +1,

имеет вид, представленный на рис. 10, где по оси ординат отложены значения сопротивления

двухполюсника при первом (Zз5 ст1) и втором (^35ст2) вариантах настройки контуров со стандартными значениями емкостей Спр5, Спр6 и скорректированными значениями ин-

^35ст2

J

0.7 -105 'а9_105 ^ГТ105 ю, р

-1•10'

Рис. 10. Частотная зависимость сопротивления двухполюсника Z35 (схема на рис. 7) при двух вариантах настройки контуров

Fig. 10. Frequency dependence of the resistance of a two-terminal network Z35 (diagram Fig. 7) with two options for setting the circuits

0

дуктивностей ¿пр5, ¿прб (табл. 5).

Заключение. Как следует из формулы для определения частот бесконечного затухания ППФ, при выбранных значениях частоты среза ФНЧ-прототипа и добротности полосового фильтра произвольно можно выбрать только одну частоту бесконечного затухания. Представленная методика позволяет за счет применения метода, основанного на решении систем нелинейных уравнений, непосредственно рассчитать параметры ППФ с требуемыми частотами бесконечного затухания. При переходе к П-образной схеме ППФ емкости Снч, г = 1, 4, 7, ... в поперечных ветвях ФНЧ преобразуются в параллельные контуры с параметрами ¿пр {,

Спр I, а каждый параллельный контур ¿нчк , Снч(к+1), к = 2, 5, 8, ... продольной ветви - в два последовательно включенных параллельных контура с параметрами ¿пр к, Спр к и

¿пр(к +1), Спр(к +1), настр°енных на подавляемые частоты. С помощью подстановок:

СНЧг ^ Спр г/ 2;

LH4k ^

Спр k + Спр( k +1)

®0 Q [Спр k - Спр(k+1)]

СНЧ( k +1)

Спр k Спр( k +1)

Q [ Спр k + Спр( k+1)]

ПФ ФНЧ преобразуется к виду, позволяющему непосредственно рассчитать параметры ППФ без предварительного расчета и последующего преобразования параметров ФНЧ. При переходе к ППФ от Т-образной схемы ФНЧ индуктивности Ьнч1 , I = 1, 4, 7, ... в продольных ветвях заменяются последовательными контурами с элементами Ьпс1, Спс/, а последовательные контуры Ьнчт,

Снч(т+1), т = 2, 5, 8, ... в поперечных ветвях

заменяются двумя параллельно включенными последовательными контурами с элементами

¿п ст, Спст и ¿пс(т+1), Спс(т+1). Для расчета элементов Т-образного ППФ использованы подстановки:

¿НЧ1 I 1 (ю2 вСпс I);

1

L

НЧт

СНЧ( m+1) ^

®0 Q[Спст + Спс(т+1)] [Спст + Спс(т+1) ] СпстСпс(т+1) Q [Спс т - Спс(т+1) ]

>

Список литературы

1. Попов П. А. Расчет частотных электрических фильтров. М.-Л.: Энергия, 1966. 216 с.

2. Джонсон Д., Джонсон Дж., Мур Г. Справочник по активным фильтрам. М.: Энергоатомиздаг, 1983. 128 с.

3. Thede L. Practical analog and digital filter design. Norwood: Artech House, Inc., 2004. 267 p.

4. Hercules G. Dimopoulos Analog electronic filters. Theory, design and synthesis. Dordrecht: Springer, 2012. 498 p.

5. Paarmann L. D. Design and analysis of analog filters: A signal processing perspective. Dordrecht: Springer, 2014. 456 p.

6. Червинский Е. Н. Реализация электрических фильтров лестничной структуры // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2013. № 3. С. 24-37.

7. Zverev A. I. Handbook of filter synthesis. New York: John Willey and Sons, Inc., 1967. 576 p.

8. Зааль Р. Справочник по расчету фильтров / пер. с нем.; под ред. Н. Н. Слепова. М.: Радио и связь, 1983. 752 с.

9. Справочник по расчету и проектированию ARC-схем / С. А. Букашкин, В. П. Власов,

Б. Ф. Змий, А. И. Калякин, С. Г. Крутчинский, Е. И. Куфлевский, А. А. Ланнэ, В. В. Масленников, А. М. Меньшиков, П. Г. Михалев, В. А. Петраков, А. П. Сироткин, Г. Н. Славский, В. П. Стыцько; под ред. А. А. Ланнэ. М.: Радио и связь, 1984. 368 с.

10. Матханов П. Н. Основы синтеза линейных электрических цепей. М.: Высш. шк., 1978. 208 с.

11. Червинский Е. Н. Расчет передаточных функций фильтров с равноволновыми на отрезке и бесконечном полуинтервале амплитудно-частотными характеристиками // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2014. № 4. С. 13-28.

12. Херреро Д., Уиллонер Г. Синтез фильтров / пер. с англ. под ред. И. С. Гоноровского. М.: Сов. радио, 1971. 232 с.

13. Van Valkenburg M. E. Analog filter design / CBS College Publishing. Fort Worth, 1982. 608 p.

14. Winder S. Analog and digital filter design. 2-nd ed. New York: Elsevier Science, 2002. 450 p.

15. Босый Н. Д. Электрические фильтры. Киев: Гос. изд-во техн. лит., 1957. 516 с.

Информация об авторе

Червинский Евгений Наумович - доктор технических наук (2008), старший научный сотрудник (1985) АО "НПП "Пирамида" (Санкт-Петербург). Автор 88 научных работ. Сфера научных интересов - системы точного времени.

Адрес: АО "НПП "Пирамида", ул. Орджоникидзе, д. 42, Санкт-Петербург, 196143, Россия E-mail: enchervinsky@simeta.ru

References

1. Popov P. A. Raschet chastotnykh elektricheskikh fil'trov [Calculation of Frequency Electric Filters]. Moscow, Energia, 1966, 216 p. (In Russ.)

2. Jonson D., Jonson J., Moore H. A Handbook of Active Filters. New Jersy, Prentice-Hall, Inc., Eng-lewood Cliffs, 1980, 128 p.

3. Thede L. Practical Analog and Digital Filter Design. Artech House, Inc., 2004, 267 p.

4. Hercules G. Dimopoulos Analog Electronic Filters. Theory, Design and Synthesis. Springer, 2012, 498 p.

5. Paarmann L. D. Design and Analysis of Analog Filters: A Signal Processing Perspective. Dordrecht, Springer, 2014, 456 p.

6. Chervinskiy E. N. Realization of Electrical Ladder-Structure Filters. J. of the Russian Universities. Radioelectronics. 2013, no. 3, pp. 24-37. (In Russ.)

7. Zverev A. I. Handbook of filter synthesis. John Willey and Sons, Inc., N. Y., London, Sydney, 1967, 576 p.

8. Saal R. Handbuch Zum Filterenwuef. AEG - Te-lefunken, Berlin, 1979, 663 p.

9. Bukashkin S. A., Vlasov V. P., Zmii B. F., Kal-yakin A. I., Krutchinskii S. G., Kuflevskii E. I.,

Lanne A. A., Maslennikov V. V, Men'shikov A. M., Mikhalev P .G., Petrakov V. A., Sirotkin A. P., Slav-skii G. N., Styts'ko V P. Spravochnikpo raschetu i proek-tirovaniyu ARC-skhem [Handbook of Calculation and Design of ARC-Circuits]. Ed. by A. A. Lanne. Moscow, Radio & communication, 1984, 368 p. (In Russ.)

10. Matkhanov P. N. Osnovy sinteza lineinykh el-ektricheskikh tsepei [Basic of Linear Electrical Circuits Synthesis]. Moscow, Vysshaya shkola, 1978, 208 p. (In Russ.)

11. Chervinskiy E. N. Computation of Transfer Functions of Filters with Equiwave at the Section and Infinite Half-Interval Amplitude-Frequency Characteristics. J. of the Russian Universities. Radioelectronics. 2014, no. 4, pp. 13-28. (In Russ.)

12. Herrero J., Willoner G. Synthesis of Filters. Frenytice-Hall, inc., Englewood Cliff N. J., 1966, 232 p.

13. Valkenburg M. E. Analog Filter Design. CBS College Publishing, 1982, 608 p.

14. Winder S. Analog and Digital Filter Design. 2-nd ed. New York, Elsevier Science, 2002, 450 p.

15. Bosyi N. D. Elektricheskie fil'try [Electrical filters]. Kiev, State publishing house of technical literature, 1957, 516 p. (In Russ.)

Information about the author

Evgeniy N. Chervinskiy, Dr Sci. (Eng.) (2008), Senior Scientist (1985) in JSC "NPP "Piramida" (Saint Petersburg). The author of 88 scientific publications. Area of expertise: precision time systems. Address: JSC "NPP "Piramida", 42, Ordzhonikidze St., St Petersburg 196143, Russia E-mail: enchervinsky@simeta.ru