CC BY
68
УДК 624.04
РАСЧЕТ ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ НА ОСНОВЕ РАЗЛИЧНЫХ МОДЕЛЕЙ
ГРУНТА
Д. О. Донскова
Донской государственный технический университет (г. Ростов-на-Дону, Российская Федерация)
Проведено сравнение результатов расчета грунтового основания согласно моделям Винклера и Пастернака. В пакете программ MATLAB и ANSYS осуществлен расчет длинной прямоугольной равномерно нагруженной пластины, опирающейся всей своей поверхностью на упругое основание и шарнирно опертой по краям. По результатам расчетов построены графики прогибов и изгибающих моментов. Установлено сходство результатов, полученных в программной системе ANSYS, с моделью расчета грунтового основания, предложенной Винклером.
Ключевые слова: упругое основание, прямоугольная пластина, модель Винклера, линейная осадка, модель Пастернака, коэффициент постели.
CALCULATION OF A SLAB ON AN ELASTIC FOUNDATION BASED ON VARIOUS
GROUND MODELS
D. O. Donskova
Don State Technical University (Rostov-on-Don, Russian Federation)
The article compares the results of calculation of a ground foundation according to the Winkler model and the Pasternak model. The calculation is made for a long rectangular slab, uniformly loaded, resting its entire surface on an elastic base and pivotally supported at the edges in the Matlab and the ANSYS software. Based on the results, graphs of deflections and bending moments are constructed. The similarity of the results obtained in the ANSYS with the model for calculating the ground foundation proposed by Winkler is established.
Keywords: Elastic base, rectangular slab, Winkler model, linear settlemnt, Pasternak model, coefficient of subgrade resistance.
Введение. Для решения задачи изгиба балки и плиты на упругом основании необходимо ввести предположение о зависимости между реактивным отпором и осадкой поверхности
основания w (х). Эта зависимость характеризует расчетную схему или модель основания.
Учеными и инженерами в разное время предложено несколько моделей упругого основания. Наиболее простой и широко применяемой на практике является модель, предложенная немецким ученым Е. Винклером [1]. В этой модели зависимость между реактивным отпором основания и осадкой его поверхности предполагается линейной и в задачах расчета балок на упругом основании записывается в следующем виде:
р = kw. (1)
В модели Пастернака реакции упругого основания по длине балки постоянны и определяются аналогично винклеровскому расчету. В рассматриваемом случае функция осадки не должна претерпевать разрыва у концов балки, как это предопределяется гипотезой коэффициента постели.
Работа упругого основания за пределами балки описывается однородным дифференциальным уравнением [2]:
2Ш" + кы — ц = 0.
Формулы для определения параметров к и I при известной толщине грунтового массива имеют вид [3]:
Е08
к =
Н(1-У20у
(3)
t =
Е0ЗН
■ (4)
Для задачи плоской деформации упругого основания постоянные Е0 и у0 определяются по
формулам: Е0 = —т-рт, = ——, где Егр и V™ — соответственно модуль деформации и
коэффициент Пуассона материала основания, 8 — ширина пластины, Н — высота упругого основания.
Целью работы является сравнение результатов расчета на основе различных моделей грунта.
Рис. 1. Расчетная схема длинной прямоугольной пластины, равномерно нагруженной, опирающейся всей своей поверхностью на упругое основание и жестко опертой по краям
Постановка и методика решения задачи. Рассматривается длинная прямоугольная пластина, нагруженная равномерно распределенной нагрузкой, опирающаяся всей своей поверхностью на упругое основание и шарнирно неподвижно опертая по краям (рис. 1). Вырезав из пластины элементарную балку-полосу, ее можно рассматривать как балку на упругом основании. При этом полагают, что балка-полоса уложена на постель из материала, способного сопротивляться как силам, действующим вниз, так и силам, действующим вверх.
Дифференциальное уравнение четвертого порядка, описывающее изгиб балки-полосы на Винклеровом основании, имеет вид:
й4ю
= ц — км,
Б
йх4
(5)
где Б =
ЕН3
цилиндрическая жесткость, Л — толщина пластины.
12(1-У2)
При использовании модели Пастернака дифференциальное уравнение принимает вид: Изгибающий момент связан с прогибом формулой:
(6)
(7)
На левом конце балки отсутствует вертикальное смещение ^(0)=0 и изгибающий момент ^"(0)=0. Аналогично на правом конце w(/)=0 и ^"(/)=0.
Для аппроксимации четвертой производной конечно-разностной формулой в дифференциальном уравнении необходимо воспользоваться выражением [4]:
1Уг л Щ-2 - + - 4+ wi+2
=-^-. (8)
Из этой формулы видно, что для аппроксимации четвертой производной используется пятиточечный шаблон.
Вторая производная прогиба аппроксимируется следующей формулой:
™и(хд =
- 2+ Ю1-1 Ах2 .
(9)
Подставляя конечно-разностную аппроксимацию (8) и (9) в уравнение (6) для выбранных узлов х = г Ах 0 = 1, 2, 3, ... , п-3, п-2, п-1), получим систему линейных алгебраических уравнений:
Б Б Б
w-1 - 4w0 + - 4М2 + w3 2ю1 + w0
Ах4
Шо - + <УМ2 - +
Ах4
w1 - + 6w3 - 4^4 +
2г-
Ах2
+ к1ш1 = ц(х1)
Ах2
- 2г-
+ к^2 = + к]^з = ц(хз)
Б
Ах4 Ах2
- 4^п-4 + Ьмп-3 - 4\Мп-2 + Юп-1 _ \Мп-2 - 2\МП-3 + \Мп-4
I = 1 / = 2 I = 3
2г-
Б Б
Ах4 Ах2
™п-4 - 4]^П-3 + 6мп-2 - 4лмп-1 + Wn Юп-1 - 2^п-2 + ™П-3
+ к™п-з = ц(хп-з) 1 = п-3
Ах4
--2г-
Ах4 21 Ах2
ып-з - 4wn-2 + вюп-1 - 4ып + ып+1 - 2^п-1 + ™п-2
— 21-
+ kwn-2 = ц(хп-2) I = п-2
Ах2
+ kwn-1 = ц(хп-1) I = п- 1
Граничные условия аппроксимируются следующим образом:
(10)
Для модели Винклера в полученной системе уравнений достаточно положить t = 0. Расчет производим в пакете МАТЬАВ. Число интервалов N=400.
Результаты. Расчет выполнялся при к = 100—-, грунт — суглинок с модулем упругости
Е = 90МПа и коэффициентом Пуассона у=0,35. Этому значению к соответствует значение ^1,44
Н
м и значение t = 8,0247—- .
см3
Полученные в результате расчета в ПК МATLAB графики прогибов и изгибающих моментов в прямоугольной пластине, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой, опирающейся всей своей поверхностью на упругое основание, по модели Винклера и модели Пастернака приведены на рис. 2-3.
V.
х10
-4
-1
-2
-с -3
3;
-4
-5
-6
-модель Пастернака -модель Винклера
О 0.5 1 1.5
2.5
3.5
X, м
Рис. 2. Графики прогибов для пластины, полученные в ПК Matlab
Рис. 3. Графики моментов для пластины, полученные в ПК Matlab
Максимальный прогиб по Винклеру составил 5,6610-4 м, по Пастернаку — 5,21 • 10-4 м. Отличие составляет 7,95 %. Максимальный изгибающий момент по Винклеру равен 4,94• 10-4 м, по Пастернаку — 4,24 • 10-4 м. Расхождение составляет 14,17 %.
Для контроля выполнялся расчет в ПК ANSYS в двумерной постановке. Грунт моделировался четырехугольными конечными элементами Plane 182, а плита — балочными КЭ Beam3 [5]. Результаты расчета представлены на рис. 4-5.
NODAL SOLUTION
STEP=1 SUB =1 TIME=1
UY (AVG)
RSYS=0
DMX =.597E-03 SMN =-.597E-03 SMX =.261E—04
Y
-.597E-03 -.458E-Q3 -.32QE-Q3 -.1S2E-03 '-.431E-Q4
-.527E-03 -.38ЭЕ-03 -.251E-03 -.112E-03 .261E-Q4
ANSY
r1s
ЛЖ 2 0 2 015 14:44:14
Рис. 4. Изополя вертикальных перемещений пластины, полученные в ПК ANSYS
Рис. 5. Изополя изгибающих моментов в пластине, полученные в ПК ANSYS
Выводы. Из представленных графиков и изополей видно, что результаты расчета грунтового основания по модели Винклера ближе по значениям к результатам, полученным в ПК ANSYS. Отличие между Винклеровским расчетом и ПК ANSYS составило 5 % по максимальным прогибам и 6 % по изгибающим моментам. Однако, нельзя утверждать, что модель Винклера всегда целесообразно использовать для получения достоверных результатов. Выбор метода расчета должен учитывать характер приложенной нагрузки и характеристики грунта основания. Главное преимущество винклеровской гипотезы в ее простоте. Недостаток же состоит в том, что
она не учитывает тот факт, что поверхность грунта претерпевает осадку не только непосредственно в том месте, где на него оказывается давление, но и в непосредственной близости [6, 7].
Библиографический список
1. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности / Г. С. Варданян, В. И. Андреев, Н. М. Атаров, А. А. Горшков: Под ред. Г. С. Варданяна. — Москва : Издательство АСВ, 1995. — 572 с.
2. Пастернак, П. Л. Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели / П. Л. Пастернак. — Москва : Госстройиздат, 1954. — 56 с.
3. Власов, В. З. Балки, плиты и оболочки на упругом основании / В. З. Власов, Н. Н. Леонтьев. — Москва : Физматгиз, 1960. — 491 с.
4. Турчак, Л. И. Основы численных методов / Л. И. Турчак, П. В. Плотников. —Москва : Физмалит, 2003. — 304 с.
5. Stolarski, T. Engineering analysis with ANSYS software / T. Stolarski, Y. Nakasone, S. Yoshimoto. — Butterworth-Heinemann, 2018. — 552 p.
6. Горбунов-Посадов, М. И. Расчет конструкций на упругом основании. / М. И. Горбунов-Посадов, Т. А. Маликова. — Москва : Стройиздат, 1973. — 628 с.
7. Колясина, С. А. Исследование влияния вариантов расчета грунтового основания и методов расчета коэффициентов постели на напряженно-деформированное состояние здания / С. А. Колясина, П. И. Егоров // Ученые заметки ТОГУ. — 2014. — Т. 5, №. 2. — С. 21-34.
Об авторах:
Донскова Дарья Олеговна, студент кафедры «Промышленное и гражданское строительство» Донского государственного технического университета (344003, РФ, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1), Dara.359@yandex.ru
Author:
Donskova, Darya O., Student, Department of Industrial and Civil Engineering, Don State Technical University (1, Gagarin sq., Rostov-on-Don, RF, 344003), Dara.359@yandex.ru
