CC BY
27
УДК 536.71
Расчет паровой ветви линии насыщения перфторпропана в пакете mathcad
Рыков С.В., канд. физ.-мат. наук Камоцкий В.И.,
д-р техн. наук Рыков В.А. rikov.zav.kaf@irbt-itmo.ru Университет ИТМО Институт холода и биотехнологий 921002, Санкт-Петербург, ул. Ломоносова, 9
На основе уравнения Клапейрона-Клаузиуса и масштабной теории критических явлений разработано уравнение, описывающее паровую ветвь кривой сосуществования. На основе предложенного уравнения рассчитаны свойства перфторпропана в диапазоне температур от тройной точки до критической. Для оценки точности расчета по представленному уравнению приведены отклонения от экспериментальных данных и таблица с рассчитанными значениями температуры, плотности, «кажущейся» теплоты парообразования и давления на жидкостной ветви линии фазового равновесия. Полученное уравнение может найти применение при расчете циклов холодильной и криогенной техники, для оценки экономической и экологической эффективности новых холодильных агентов и сверхкритических флюидов. Отдельное внимание уделено достоинствам расчета плотности на жидкостной ветви линии фазового равновесия в пакете MathCAD. В статье приведены все необходимые данные для практического использования полученного уравнения.
Ключевые слова: линия фазового равновесия, пар, плотность, сверхкритический флюид, критические индексы.
Calculation of a steam branch of a line of saturation r218 in mathcad
Rykov S.V., Kamotskii V.I., Rykov V.A. rikov.zav.kaf@irbt-itmo.ru
University ITMO Institute of Refrigeration and Biotechnologies 191002, Russia, St. Petersburg, Lomonosov str., 9
On the basis of Clausius-Clapeyron equation and the scale theory of critical phenomenas the equation featuring a steam branch of a curve of coexistence is developed. On the basis of the offered equation properties R218 in a gamut of temperatures from a threefold point to the critical are calculated. For an estimate of calculation accuracy on the presented equation diversions from experimental data and the table with the calculated values of temperature, densities, "apparent" warmth of steam formation and pressure on a liquid branch of a line of phase equilibrium are given. The gained equation can find application at calculation of cycles of refrigerating and cryogenic technics, for an estimate of economic and ecological efficiency of new refrigerating agents and supercritical fluids. The separate attention is given advantages of calculation of density on a liquid branch of a line of phase equilibrium in package MathCAD. In article all necessary data for practical use of the gained equation is cited.
Key words: line of phase equilibrium, steam, density, supercritical fluid, critical coefficients.
В современной пищевой, фармацевтической и косметической и других отраслях промышленности все большее применение находят технологии, основанные на использовании свойств сверхкритических флюидов (СКФ)[1]. Обусловлено это тем, что СКФ-технологии являются инновационными, превосходя по многим параметрам традиционные технологии. Уникальные свойства СКФ, особенно в области параметров состояния,
охватывающих область сильно развитых флуктуаций плотности [2], дают возможность обеспечить экологическую чистоту и существенно повысить экономичности показатели производства при использовании СКФ-технологий. Причем на основе СКФ-технологий в настоящее время реализуются процессы, осуществить которые в промышленных масштабах было затруднительно или практически невозможно. Для более интенсивного использования СКФ-технологий необходимо, наряду с другими проблемами, решить проблему расчета теплофизических свойств сверхкритических флюидов в широкой области параметров состояния, включая область сильно развитых флуктуаций плотности.
Важное значение для расчета характеристик СКФ, а, следовательно и оборудования, используемого при реализации СКФ-технологий, являются свойства СКФ на линии фазового равновесия. Рассмотрим метод, позволяющий рассчитать паровую ветвь линии насыщения от тройной точки до критической, с учетом требований масштабной теории критических явлений.
В основу метода положим уравнение Клапейрона-Клаузиуса, которое запишем в следующем виде:
- Т (}р8
Р =—Г
с!Т
(1)
где р - плотность на паровой ветви линии фазового равновесия; р8 - давление на линии упругости; Т - абсолютная температура; г * - «кажущаяся» теплота парообразования.
В соответствии с требованиями масштабной теории выберем выражение для «кажущейся» теплоты парообразования в соответствии с рекомендациями [3-5]:
^^ —
Рс
■|Р
р+А
а^ + €¡1 т + ¿/2 Ы + 1
|1—ос
7
7=4
к;
(2)
Давление на линии упругости в диапазоне температур от тройной точки до критической, как показано в [6-8], описывается зависимостью:
Г 7 Л
Рэ = Рс ехР
{ „ л
V
2-а
+ а^х + т + аз т
|2-а+Д
7=4
щх
(3)
На основе (3) найдем выражений для производной ар / йТ:
Ф.У = Р5 ¿Т Т
а0 х
|1—ос
(Т \ — т-2
Рс + —ехр
Т
1с
t
X
а^— 2-а а2 т - 2-а + Д а2 т
|1-а+А
+
С1:Х
7=4
(4)
Здесь рс - критическое давление; рс - критическая плотность; т = /-1; t = T|Tc -приведенная температура; Тс - критическая температура; а - критический индекс изо-хорной теплоемкости; [3 - критический индекс кривой сосуществования; А - неасимпо-тический критический индекс; а,, с!ч - постоянные коэффициенты; кг, е N.
г
с
Задача вычисления коэффициентов уравнения паровой ветви линии фазового равновесия, интерпретация статистического сравнения с экспериментальными данными, графического анализа полученных результатов и расчета таблиц решена в математическом пакете MathCAD. Коэффициенты уравнения были найдены с помощью метода сингулярного разложения. Для нахождения сингулярных чисел матрицы плана на основе экспериментальной информации о поведении вещества на паровой ветви линии фазового равновесия были использованы встроенная в пакет MathCAD функция svd2 и программа, написанная авторами. После сравнения результатов, полученных обеими методами, авторы выбрали набор коэффициентов ^ уравнения (2), полученный вторым способом. Достоинством математического пакета MathCAD, несомненно, является то, что в нем удобно и наглядно реализована не только процедура линейной оптимизации функции, но и возможно решение задачи нелинейной оптимизации, например, по критическим индексам аи(3.
Наглядность реализации и удобство программирования численных методов в пакете MathCAD позволяют успешно использовать его в учебном процессе при изучении разделов дисциплин, посвященных решению уравнений и систем уравнений, линейной и нелинейной оптимизации, дифференцированию и интегрированию. При использовании для этих целей других математических пакетов и алгоритмических языков, таких как, например, Фортран или Matlab, приходится уделять много времени на изучение особенностей ввода и вывода информации, особенностей программирования. Значительную часть аудиторных занятий приходится тратить на отладку кода программы. В случае пакета MathCAD для начала решения научных, практических и учебных задач достаточно провести несколько установочных часов посвященных основам работы. Также использование MathCAD в учебном процессе позволяет основное внимание уделять особенностям работы математических методов, а не языков программирования.
Основным недостатком пакета MathCAD является достаточно медленная работа с большими объемами информации. Например, поиск решения системы линейных алгебраических уравнений из нескольких тысяч уравнений с большим количеством неизвестных, к которому часто сводится задача поиска оптимума функции, может занимать несколько минут. Для решения таких задач удобнее использовать языки Фортран и Matlab. Использование пакета MathCAD для проверки результатов, полученных в Фортран или Matlab, позволяет контролировать согласованность формул и отсутствие ошибок в них при оставлении отчета [9].
В результате обработки экспериментальных и табличных данных о плотности р~ [10-12] были выбраны следующие значения параметров паровой ветви линии насыщения (1), (2): Тс =345,03 К; рс =26,7886 бар; рс=628 кг/м3; а = 0,11; р=325; Л=0,5; к4 = 2; к5= 3; к6= 5; к7=1; = 16,25316816030627; с12 =7,643688088526538;
аъ =6,9422345515772586; ¿/4 = 1,273615933106107: аъ = 1,273615933106107; б/6 =-0,1337812059188208; ¿/7 =-0,11754540426216975.
Коэффициенты линии упругости (3) были выбраны в соответствии с рекомендациями [13]: ¿4=2; ¿5=3; ¿6=5; ¿?=7; а0=10,2; ^=7,925892495526347; а2 =58,21776118636697; а3 =-32,79619921853542; а4 =-33,41974070636767; а5 =-15.80383754946752; а6 =0,2827064631835001; а7 = 1,0400011352850764.
Как следует из рис. 1, на котором представлены отклонения значений р , рассчитанных по уравнению (1) от данных [10-12] и рис. 2 с графиком паровой ветви кривой сосуществования перфторпропана, уравнение (3) передает экспериментальные р"-Г5-данные в с удовлетворительной точностью.
Результаты расчета плотности р , «кажущейся» теплоты парообразования и давления рв по уравнениям (1), (2) и (3) представлены в табл. 1.
Рассмотренная в работе система уравнений (1)-(4) может быть использована для расчета теплофизических характеристик СКФ не только на линии насыщения [14-18], но и при разработке новых моделей как линии фазового равновесия [19-28], так и масштабных [24-39] и широкодиапазонных [40-47] уравнений состояния. Эти уравнения используются для расчета равновесных свойств СКФ и технически важных веществ, нашедших применение в низкотемпературных технологиях [48-56].
5р~, %
15 10 5 0 -5
150 200 250 300 Т, К
О 1 □ 2 Д3 х 4
о
*ххх хх О б Х ч, Й гЛП X X X х X . ОХП п
*хх ° хх х X о О О X Xх ххххххх хх - д
Рис. 1. Относительные отклонения плотности Я218 на паровой ветви линии фазового равновесия, рассчитанных по уравнению (1), от данных: 1 - [10]; 2 - [11]; 3, 4 - [12].
330 310 290 270 250 230 210 190 170 150
•
А г
о □ 2
Д 3 х 4
5 • 6
100
200
300
400
500 600 р , кг/м
0
Рис. 2. Паровая ветвь линии фазового равновесия хладона Я218: 1 - [10]; 2 - [11]; 3, 4 - [12]; 5 - расчет по уравнению (1); 6 - критическая точка.
Таблица 1
Т, K р , кг/м3 г*, кДж/кг Рз, Бар
125 0,00034 140,5332 1,838с-5
130 0,00086 139,0618 4,8929e-5
135 0,00201 137,5852 1,1975e-4
140 0,0044 136,1029 2,7208e-4
145 0,00903 134,6146 5,787^-4
150 0,01749 133,1199 1,1606e-3
155 0,03218 131,6184 2,208^-3
160 0,05656 130,1097 4,007e-3
165 0,09539 128,5931 6,9682e-3
170 0,155 127,0683 0,0117
175 0,24355 125,5347 0,0188
180 0,3712 123,9916 0,0295
185 0,55033 122,4384 0,0449
190 0,79564 120,8743 0,0665
195 1,1243 119,2987 0,0961
200 1,55595 117,7107 0,136
205 2,11279 116,1094 0,1886
210 2,81962 114,4937 0,2567
215 3,70392 112,8625 0,3434
220 4,79594 111,2148 0,4523
225 6,12887 109,549 0,5872
230 7,73904 107,8638 0,7522
235 9,66624 106,1575 0,9517
240 11,95407 104,4282 1,1905
245 14,65038 102,6738 1,4736
250 17,80778 100,8921 1,8062
255 21,48433 99,0802 2,1941
260 25,7442 97,2351 2,643
265 30,65872 95,3533 3,159
270 36,30755 93,4306 3,7483
275 42,78037 91,4621 4,4176
280 50,17927 89,442 5,1734
285 58,6221 87,3632 6,0228
290 68,24765 85,2171 6,9728
295 79,22325 82,9931 8,0307
300 91,75676 80,6775 9,2042
305 106,11563 78,2527 10,501
310 122,65825 75,6949 11,9297
315 141,88841 72,9709 13,4993
320 164,55558 70,0321 15,2203
325 191,85743 66,8021 17,1052
330 225,90469 63,149 19,17
335 271,02693 58,8053 21,4372
340 339,09833 53,0396 23,9434
345 570,08584 37,1516 26,7702
345,03 628 33,8095 26,7886
Список литературы
1. Алиев А.М., Раджабов Г.К., Степанов Г.В. Компонентный состав экстракта шиш-коягод можжевельника продолговатого, полученного экстракцией сверхкритическим диоксидом углерода // Сверхкритические флюиды: Теория и практика. 2012. Т. 7. № 3. С. 20-29.
2. Анисимов М.А. Холодная и переохлажденная вода как необычный сверхкритический флюид // Сверхкритические флюиды: Теория и практика. 2012. Т. 7. № 2. С. 19-37.
3. Кудрявцева И.В., Рыков В.А., Рыков С.В., Селина Е.Г., Курова Л.В. Метод расчета плотности и теплоты парообразования двуокиси углерода // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия: Процессы и аппараты пищевых производств. 2013. № 1.
4. Кудрявцева И.В., Рыков А.В., Рыков В.А. Новое уравнение для «кажущейся» теплоты парообразования // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия: Процессы и аппараты пищевых производств. 2013. № 4. С. 30.
5. Кудрявцева И.В., Камоцкий В.И., Рыков С.В., Рыков В.А. Расчет линии фазового равновесия диоксида углерода // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия: Процессы и аппараты пищевых производств. 2013. № 4. С. 31.
6. Рыков С.В., Кудрявцева И.В., Демина Л.Ю. Единое уравнение состояния R717, учитывающее особенности критической области // Вестник Международной академии холода. 2009. № 4. С. 29-32.
7. Рыков С.В., Кудрявцева И.В., Рыков А.В., Курова Л.В. Метод построения фундаментального уравнения состояния, учитывающего особенности критической области // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия: Холодильная техника и кондиционирование. 2013. № 1. С. 5.
8. Кудрявцева И.В., Рыков А.В., Рыков В.А. Метод расчета равновесных свойств сверхкритических флюидов, используемых в СКФ-технологиях // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия: Процессы и аппараты пищевых производств. 2013. № 2. С. 29.
9. Буткарев А. Г., Рыков В. А., Рыков С. А. Эффективное использование редактора MS Word для оформления документов большого объема // Пособие для самостоятельной работы /; Федеральное агентство по образованию, Санкт-Петербургский гос. ун-т низкотемпературных и пищевых технологий. Санкт-Петербург, 2007.
10. Fang F., Ioffe J. Thermodynamic properties of perfluoropropane // J. Chem. Eng. Data. 1966. Vol. 11. № 3. P. 376-379.
11. Brown I.A. Physical properties of perfluoropropane // J. Chem. Eng. Data. 1963. Vol. 8. № 11. P. 106-108.
12. Рябушева Т.И. Исследование изохорной теплоемкости холодильных агентов: Дис. ... канд. техн. наук. Л., 1979. 189 с.
13. Рыков С.В., Самолетов В.А., Рыков В.А. Линия насыщения аммиака // Вестник Международной академии холода. 2008. № 4. С. 20-21.
14. Рыков С.В., Рябова Т.В. Расчет линии фазового равновесия аммиака в пакете MathCad // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия: Холодильная техника и кондиционирование. 2013. № 2. С. 8.
15. Рыков А.В., Кудрявцева И.В., Рыков С.В. Уравнение линии насыщения, удовлетворяющее модифицированному правилу криволинейного диаметра // Научный
журнал НИУ ИТМО. Серия: Холодильная техника и кондиционирование. 2013. № 2. С. 9.
16. Устюжанин Е.Е., Шишаков В.В., Абдулагатов И.М., Рыков В.А., Попов П.В. Давление насыщения технически важных веществ: модели и расчеты для критической области // Вестник Московского энергетического института. 2012. № 2. С. 34-43.
17.Рыков А.В., Кудрявцева И.В., Рыков С.В. Уравнения линии насыщения и упругости хладона R218 // Вестник Международной академии холода. 2013. № 4. С. 5457.
18. Ustyuzhanin E. E., Shishakov V. V., Abdulagatov I. M., Popov P. V., Rykov V. A., Frenkel M. L. Scaling Models of Thermodynamic Properties on the Coexistence Curve: Problems and Some Solutions // Russian Journal of Physical Chemistry B. 2012. Vol. 6. N 8. P. 912-931.
19. Рыков В.А. Масштабное уравнение состояния, верно воспроизводящее метаста-бильную область // Инженерно-физический журнал. 1985. Т. 49. № 3. С. 506.
20. Рыков В.А. Масштабное уравнение состояния, верно воспроизводящее метаста-бильную область // Инженерно-физический журнал. 1985. Т. 49. № 3. С. 506.
21. Рыков В.А. Масштабное уравнение состояния в р-Г переменных с учетом неасимптотических членов // Журнал физической химии. 1985. Т. 59. № 8. С. 2069.
22. Rykov V.A., Varfolomeeva G.B. Method of determining a structural form of the free energy satisfying the requirements of the scaling hypothesis // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 1985. T. 48. № 3. C. 341-345.
23. Рыков В.А. Метод расчета р-Г-параметров границы устойчивости однородного состояния вещества // Журнал физической химии. 1985. Т. 59. № 8. С. 2070.
24. Устюжанин Е.Е., Абдулагатов И.М., Попов П.В., Шишаков В.В., Рыков В.А. Скейлинговые модели для описания термодинамических свойств на пограничной кривой: характеристики и критерии // Ультразвук и термодинамические свойства вещества. 2008. № 34-35. С. 159-171.
25. Устюжанин Е.Е., Шишаков В.В., Абдулагатов И.М., Попов П.В., Рыков В.А., Френкель М.Л. Скейлинговые модели для описания термодинамических свойств на линии насыщения: проблемы и некоторые решения // Сверхкритические флюиды: Теория и практика. 2012. Т. 7. № 3. С. 30-55.
26. Кудрявцева И.В., Рыков А.В., Рыков В.А. Модифицированное уравнение линии насыщения, удовлетворяющее требованиям масштабной теории // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия: Холодильная техника и кондиционирование. 2013. № 2. С. 3.
27. Рыков В.А. Термодинамические свойства R23 на линии насыщения в диапазоне температур от 180 до 298 К // Вестник Международной академии холода. 2000. № 4.
28. Ustyuzhanin E.E., Shishakov V.V., Abdulagatov I.M., Popov P.V., Rykov V.A., Frenkel M.L. Scaling Models of Thermodynamic Properties on the Coexistence Curve: Problems and Some Solutions// Russian Journal of Physical Chemistry B, 2012, Vol. 6, No. 8, P. 912-931.
29. Рыков С.В., Кудрявцева И.В., Рыков В.А. Асимметричное масштабное уравнение состояния аргона в переменных плотность-температура // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия: Холодильная техника и кондиционирование. 2008. № 2. С. 6-11.
30. Лысенков В.Ф., Попов П.В., Рыков В.А. Параметрические масштабные уравнения состояния для асимптотической окрестности критической точки. Обзоры по теп-лофизическим свойствам веществ // ТФЦ - М.: ИВТАН. 1992. № 1 (93). С.3-80.
31. Рыков С.В. Выбор структуры масштабных функций асимметричного уравнения состояния // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия: Холодильная техника и кондиционирование. 2009. № 2. С. 1-6.
32. Кудрявцева И.В., Рыков А.В., Рыков С.В. Анализ структуры непараметрического уравнения состояния скейлингового вида // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия: Холодильная техника и кондиционирование. 2013. № 2. С. 2.
33. Рыков В.А. Масштабное уравнение состояния в физических переменных // Теплофизика высоких температур. 1986. Т. 25. № 2. С. 345.
34. Кудрявцева И.В., Рыков А.В., Рыков В.А. Непараметрическое уравнение состояния скейлингового вида и метод псевдокритических точек // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия: Холодильная техника и кондиционирование. 2013. № 2. С. 4.
35. Рыков В.А Уравнение состояния в критической области, построенное в рамках метода нескольких «псевдоспинодальных» кривых // Журнал физической химии. 1985. Т. 59. № 10. С. 2605.
36. Кудрявцева И.В., Рыков А.В., Рыков С.В. Описание метастабильной области непараметрическими уравнениями состояния скейлингового вида // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия: Холодильная техника и кондиционирование. 2013. № 2. С. 6.
37. Кудрявцева И.В., Рыков С.В., Рыков В.А. Описание метастабильной области в рамках параметрического представления масштабной теории // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия: Холодильная техника и кондиционирование. 2013. № 2. С. 5.
38. Рыков А.В., Кудрявцева И.В., Рыков С.В. Непараметрическое масштабное уравнение состояния, не содержащее дифференциальных биномов // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия: Холодильная техника и кондиционирование. 2013. № 2. С. 7.
39. Рыков А.В., Кудрявцев Д.А., Рыков В.А. Метод расчета параметров масштабной функции свободной энергии // Научно-технический вестник Поволжья. 2013. № 5. С. 50-53.
40. Рыков В.А. О гипотезе «псевдоспинодальной» кривой // Журнал физической химии. 1986. Т. 60. № 3.
41. Рыков А.В., Кудрявцева И.В., Рыков В.А. К вопросу описания термодинамической поверхности, включая критическую область, уравнениями состояния в физических переменных // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия: Холодильная техника и кондиционирование. 2013. № 1. С. 4.
42. Кудрявцева И.В., Рыков С.В., Рыков В.А. Непараметрическое уравнение состояния скейлингового вида и расчет равновесных свойств сверхкритических флюидов // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия: Процессы и аппараты пищевых производств. 2013. № 3. С. 28.
43. Рыков С.В. Выбор структуры масштабных функций асимметричного уравнения состояния // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия: Холодильная техника и кондиционирование. 2009. № 2. С. 1-6.
44. Кудрявцева И.В., Рыков А.В., Рыков С.В. Анализ структуры непараметрического уравнения состояния скейлингового вида // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия: Холодильная техника и кондиционирование. 2013. № 2. С. 2
45. Рыков А.В., Кудрявцева И.В., Рыков В.А. Асимметричное масштабное уравнение состояния хладона Я23 // Вестник Международной академии холода. 2012. № 4. С. 26-28.
46. Рыков С.В., Багаутдинова А.Ш., Кудрявцева И.В., Рыков В.А. Ассиметричное масштабное уравнение состояния // Вестник Международной академии холода. 2008. № 3. С. 30-32.
47. Кудрявцева И.В., Рыков А.В., Рыков В.А., Рыков С.В. Единое неаналитическое уравнение состояния перфторпропана, удовлетворяющее масштабной теории критических явлений // Вестник Международной академии холода. 2013. № 3. С. 2226.
48. Носков А.Н., Петухов В.В. Изменение параметров состояния пара хладагента в элементарном рабочем процессе маслозаполненного холодильного винтового компрессора // Холодильная техника и кондиционирование. 2007. № 1. С. 10-14.
49. Докукин В.Н., Емельянов А.Л., Носков А.Н. Результаты испытаний маслозапол-ненного винтового компрессора малой производительности в высокотемпературных режимах // Вестник Международной академии холода. 2009. № 1. С. 6-8.
50. Носков А.Н., Петухов В.В., Чернов Н.П. Результаты испытаний маслозаполненно-го винтового компрессора малой производительности // Холодильная техника и кондиционирование. 2007. № 1. С. 15-18.
51. Носков А.Н., Зимков А.А. Расчет процесса сжатия маслозаполненного холодильного винтового компрессора // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия: Холодильная техника и кондиционирование. 2013. № 1. С. 3.
52. Носков А.Н., Зимков А.А. Расчет процесса всасывания маслозаполненного холодильного винтового компрессора // Холодильная техника и кондиционирование. 2012. № 1. С. 2.
53. Бараненко А.В., Кириллов В.В., Сивачев А.Е. О выборе хладоносителя для систем косвенного охлаждения // Вестник Международной академии холода. 2010. № 2. С. 22-24.
54. Ховалыг Д., Бараненко А.В. Методы расчета градиента давления двухфазного потока при течении в малых каналах // Вестник Международной академии холода. 2012. № 1. С. 3-10.
55. Бараненко А.В., Кириллов В.В. Разработка хладоносителей на основе электролитных водно-пропиленгликолевых растворов // Холодильная техника и кондиционирование. 2007. № 3. С. 38-41.
56. Цветков О.Б. Исследования теплофизических свойств холодильных агентов в санкт-петербургском государственном университете низкотемпературных и пищевых технологий // Вестник Международной академии холода. 2011. № 1. С. 8-9.
