CC BY
32
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
УДК 62-251-762.89:532.5.013.12
РАСЧЕТ ОСЕВОЙ СИЛЫ ПРИ ТЕЧЕНИИ В ТОРЦЕВЫХ ЩЕЛЯХ ТУРБОМАШИН
© 2013 г. Д.А. Жуйков, А.А. Кишкин, А.А. Зуев
Сибирский государственный аэрокосмический университет им. М.Ф. Решетнева, г. Красноярск
Siberian State Aerospace University, named after M.F. Reshetnev, Krasnoyarsk
На основе дифференциальных уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости в граничных условиях торцевой щели получена система дифференциальных уравнений течения для численного интегрирования, которая позволяет оценить осевую силу, действующую на диск турбомашины. Проведен сравнительный анализ теоретических и экспериментальных данных.
Ключевые слова: уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости; торцевая щель; боковая пазуха; осевая сила; вращающийся диск; закон твердого тела; КПД.
On the basis of differential equations of motion of a viscous incompressible fluid in the boundary conditions of the end gaps, was obtained the system of differential equations offlow for numerical integration, which allows to estimate the axial force acting on the drive of turbomachine. A comparative analysis of theoretical and experimental data is given in this article.
Keywords: equations of motion of a viscous incompressible fluid; end gap, lateral sinus; axial force; a rotating disk; the law of a solid body; efficiency.
При проектировании турбомашин, таких как центробежные насосы, центробежные нагнетатели, тур-бодетандеры и турбины, необходимо проводить моделирование течения в основной проточной части и течений во вспомогательных трактах, расчет которых играет немаловажную роль. Эта роль определяется тем, что большая часть потерь турбомашины вызвана вязким течением с трением о вращающиеся поверхности вспомогательных гидравлических трактов, а также наличием утечек через полости вращения и щелевые уплотнения.
Существующие методики расчета течения между неподвижной и подвижной поверхностью вращения основываются на эмпирических или полуэмпирических методиках расчета с узкой областью применения, что не позволяет разработать достоверную математическую модель всей турбомашины в целом в широком диапазоне изменения режимных и конструктивных параметров, которая позволит проводить поиск и анализ оптимальной конструкции с высокими энергетическими характеристиками.
В большинстве турбомашин наибольшее влияние на потоки во вспомогательных гидравлических трактах оказывают боковые полости между рабочими колесами и корпусом, так называемые торцевые щели, зазор z1 и z2 (рис. 1), поэтому рассмотрим наиболее подробно течение вязкой несжимаемой жидкости в этих элементах.
Основными расчетными параметрами при исследовании и расчете течения в торцевой щели турбома-шины являются:
-градиент давлений жидкости во всех элементах тракта;
-гидравлические потери в элементах тракта, в том числе потери на трение жидкости о вращающиеся поверхности;
-осевые силы, действующие на поверхности рабочего диска.
Ь„
Рис. 1. Закрытое рабочее колесо
Рассмотрим расчетную схему (рис. 2) торцевой щели. В качестве исходных используем уравнения стационарного движения вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрических координатах. Сделаем необходимые допущения: течение в торцевой щели осесим-метрично, следовательно, производные д/да = 0; в осевом направлении (в направлении г) течения нет, дP
т. е. = 0; — = 0 . Необходимо отметить, что члены
7 дг
с д/дг равны нулю только в ядре потока (рис. 2).
Рис. 2. Расчетная схема торцевой щели
Учитывая сделанные допущения, получим систему дифференциальных уравнений течения несжимаемой жидкости в граничных условиях торцевой щели:
dvR u dR R
du
_ 1 dp + 1 dz p dR p dz
1 dr
R
< vR — + — _---
Л R dR R p dz
(1)
dU VU - + -
dR R
z, _ —
L0a .
(2)
(Vrv_—щ ^
R dR R
1 dp
z, _---z, —
1 p dR 1
P
где и, VR - окружная и радиальная составляющие скорости в ядре потока.
Уравнение неразрывности системы (1) интегрируется как уравнение с разделяющимися переменными, и в результате получаем выражение для определения константы среднерасходной скорости
VrR _ const _ Vr0Ro _ Cr ,
(3)
где константа ^ определяется начальными условиями, VR0 = у/(2 я Ro 7) .
Перепишем систему (2) с учетом (3) и и = юяR :
d Юя
dR
_ 2%
' _ zn™
<
PV
2ю
R
(4)
dp 2 D PV2
— _рюЯR+—2 2 32
dR л^^г-оъг
dvR + YK _ 0
dR R '
Перейдя к полным дифференциалам, проинтегрируем первые два уравнения из системы (1) по зазору г в пределах от 0 до и интегрирование по трем участкам (рис. 2): толщина погранслоя на диске 5д, ядро
потока, толщина погранслоя на стенке 5ст. В обозначениях переходим к параметрам потока в ядре:
4л2zf R
Система (4) совместно с выражениями для напряжений трения в окружном и радиальном направлении представляет собой определенную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя неизвестными: ш - угловой скорости; р - статическим давлением. Необходимо отметить, что выражение для напряжения трения выбрано для случая вращения жидкости по закону «твердого тела», т.е. на шаге интегрирования этот закон выполняется, хотя на интегральной длине этого не происходит.
При определении напряжений трения в окружном и радиальном направлении (т0а, ) как функций от и и R система уравнений (4) приводится к виду, позволяющему вести численное интегрирование. Определим напряжения трения, сделав предварительные замечания: рассматривается турбулентный режим Reffl > 3 -105, что соответствует степенному закону
профиля скорости в пограничном слое и = у7 . Так как интегрирование по г в выражении (1) в строгом смысле ведется по трем участкам, то напряжения трения зависят от двух слагаемых толщин потерь импульса, соответствующих диску и неподвижной стенке.
Суммарное напряжение трения в окружном направлении находится по формуле
z0a _ Zn™ г
0 a
0a'
где окружные напряжения трения определяются классическими выражениями, как и в плоском турбулентном пограничном слое [1, с. 454]:
z0Ta _ 0,012 56рю2R
2 d2 | 5*
-0,25
z0a_ 0,012 56р(юд —Юя ) 2 R2
(юд — Юя ) R
—0,25
z
+
z
z
v
R
р
z
V
где юя - угловая скорость вращения ядра потока в торцевой щели; юд - угловая скорость вращения
диска; ост - суммарная толщина потери импульса на
стенке, которая определяется из соотношения окружного [2] и расходного [3, с. 593] количеств движения по толщине пограничного слоя; од - суммарная
толщина потери импульса на диске, которая определяется из соотношения окружного [4] и расходного [3, с. 593] количеств движения по толщине пограничного слоя.
Как показала расчетная характеристика изменения осевой силы в зависимости от расхода рабочей жидкости и величины нормального зазора (рис. 4), небольшие отклонения величины нормального зазора приводят к значительным отклонениям величины осевой силы, что может привести к нерасчетному режиму работы вплоть до отказа турбомашины.
При проектировании турбомашин на рабочих телах, свойства которых сильно колеблются в зависимости от температуры, необходимо учитывать распределение тепловых потоков и диссипацию энергии в зазоре.
Рис. 3. Распределение статического давления по радиусу торцевой щели с нормальным зазором = 2 мм при варьировании угловой скорости вращения диска и расхода рабочей жидкости в сравнении
с эмпирическими данными ©, X, Д
Поскольку радиальная составляющая напряжения трения формируется как окружным, так и расходным (радиальным) течением, выражение для радиального напряжения имеет вид
т__\-~Д -I- -.ст д _ ст
т0R -T0R(a)- 0R(a) TQR(p) TQR(p) .
Радиальные напряжения от окружного движения связаны с окружными напряжениями, согласно [1], таким образом:
T0R(a) - 8
дд ст и0а; т0R(a) - 8дТ0а,
где е ст, ед - тангенсы углов скоса донной линии тока
на стенке и на диске соответственно суть величины постоянные и определяются по выражениям [2]. Радиальное напряжение трения в расходной составляющей определяется классическими выражениями, как и в плоском турбулентном пограничном слое [1, с. 454].
Результаты численного интегрирования (рис. 3) хорошо согласуются с экспериментальными проливами, проведенными на специально спроектированной экспериментальной установке, конструктивные и режимные параметры которой имели широкий диапазон изменения.
Для учета локальных параметров распределения температуры и теплового потока необходимо дополнить систему дифференциальных уравнений движения уравнением энергии, которое рассмотрено в работе [5].
A, Н
2724
2708
2692
2676
^zj = 2,5 мм
zj = 0,5 мм \ X
\ / zj = 1,5 мм
\
200
400
600 Vx106, м3/с
Рис. 4. Расчетная характеристика изменения осевой силы в зависимости от расхода рабочей жидкости и величины нормального зазора
Таким образом, характер распределения давления по радиусу щели имеет первостепенное значение при вычислении интегральной величины осевой силы, которая определяет ресурс работы турбомашины, а вязкое трение рабочей жидкости о поверхность диска создает момент сопротивления, который снижает КПД турбомашины в целом.
Работа выполнена в рамках конкурсов ФЦП и ККФН.
Литература
1. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М., 1962. 512 с.
2. Кишкин А.А., Зуев А.А., Черненко Е.В., Смирнов П.Н. Вращение жидкости над неподвижным основанием по закону твёрдого тела // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2011. № 1. С. 126.
3. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., 1969. 744 с.
4. Смирнов П.Н., Кишкин А.А., Жуйков Д.А., Пшенко С.И. Момент сопротивления диска, вращающегося в потоке, закрученном по закону твердого тела // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2012. № 2. 36 с.
5. Зуев А.А., Кишкин А.А., Жуйков Д.А., Толстопятов М.И. Вращение жидкости над неподвижным основанием по закону твёрдого тела // Вестн. СибГАУ. 2011. №7(40). С. 63.
Поступила в редакцию 22 июня 2012 г.
Жуйков Дмитрий Александрович - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Двигатели летательных аппаратов», Сибирский государственный аэрокосмический университет им. ак. М.Ф. Решетнева. E-mail: [email protected]
Кишкин Александр Анатольевич - д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой «Холодильная, криогенная техника и кондеционирование», Сибирский государственный аэрокосмический университет им. ак. М.Ф. Решетнева. E-mail: [email protected]
Зуев Александр Александрович - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Двигатели летательных аппаратов», Сибирский государственный аэрокосмический университет им. ак. М.Ф. Решетнева. E-mail: [email protected]
Zhuykov Dmitry Alexandrovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Aircraft Engines», Siberian State Aerospace University M. F. Reshetnev. E-mail: [email protected]
Kishkin Alexander .Anatolievich - Doctor of Technical Sciences, professor, head of department «Redrigeration, Cryogenic Engineering and Air Conditioning», Siberian State Aerospace University M. F. Reshetnev. E-mail: [email protected]
Zuev Alexandr Alexandrovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Aircraft Engines», Siberian State Aerospace University M. F. Reshetnev. E-mail:[email protected]
