Расчет осесимметричных колебаний пьезокерамического цилиндра с тангенциальными поляризацией и возбуждением Текст научной статьи по специальности «Физика»

И.Н. Мощенко, Н.М. Товаровская, Н.Н. Харабаев, В.К. Яценко Расчет осесимметричных колебаний пьезокерамического цилиндра с тангенциальными поляризацией и возбуждением

При расчете вибраций пьезоактивных тел под действием электрического возбуждения приходится совместно решать уравнения электростатики, теории упругости и пьезоэффекта. И такие задачи значительно трудней задач обычной теории упругости. В работе предлагается новый метод расчета, позволяющий в некоторых случаев упростить задачу и провести вычисления до конца в аналитическом виде. Он заключается в приведении совместных уравнений электростатики, упругости и пьезоэффекта к уравнениям теории упругости с эффективной объемной силой, построении бесконечной цепочки вложенных уравнений, с объемной силой асимптотически убывающей до нуля, и поиском решений в виде суммы абсолютно сходящихся рядов. Предложенный метод проиллюстрирован на примере вычисления в двумерном приближении мод осевой симметрии вибраций пьезокерамического цилиндра с тангенциальной поляризацией и тангенциальным электрическим возбуждением. Ключевые слова: колебания, пьезокерамический цилиндр, теоретический анализ, совместные уравнения электростатики, упругости и пьезоэффекта, аналитическое решение, моды осевой симметрии, резонансные частоты

Для создания мощных ультразвуковых излучателей радиальных колебаний часто используют толстостенные пьезокерамические цилиндры, склеенные из секторов с тангенциальной поляризацией. Соседние сектора при этом имеют противоположную поляризацию и включаются в электрическую цепь также противофазно. На рис. 1 приведено поперечное сечение цилиндра, склеенного из четырех секторов. Стрелками внутри цилиндра показаны направления поляризации в секторах.

2

Рис. 1. Поперечное сечение цилиндра, склеенного из четырех секторов и схема его электрического включения. Стрелками внутри цилиндра показаны направления поляризации в секторах, полужирными линиями - электроды.

В реальных устройствах число секторов больше (обычно 12 - 24). В статье исследуется общий случай с (2 m) секторами и (2 m) электродами, при этом разность потенциалов на соседних электродах:

ф21 - ф2М = -Ф21+1 + ф21 = ио ссю^), 1=1.. ..т; (1)

где и0 - амплитуда напряжения, ш - частота, 1 - как обычно, время.

Экспериментально для таких систем наблюдаются в зависимости от геометрических размеров и частоты различные моды колебаний. В частности, для длинных цилиндров характерны моды, близкие к плоским, когда смещения практически перпендикулярны оси, а их амплитуда и фаза слабо изменяются в осевом направлении. Целью настоящей работы является теоретический анализ таких колебаний в двумерном приближении, то есть рассматривается идеализированный случай полностью плоских колебаний, для которых смещения иъ вдоль оси цилиндра отсутствуют, а остальные смещения иг и ие не изменяются в этом направлении. (В работе используется цилиндрическая система координат (г, 9, ъ), связанная с нашим объектом, с началом координат на оси и координатой ъ вдоль оси цилиндра.)

Задача решается в рамках линейной теории пьезоупругости, в предположении, что по упругим свойствам материал полностью изотропен, а по пьезоэлектрическим -поляризован в тангенциальном направлении и полностью изотропен в перпендикулярном. В соответствии с такой симметрией, упругие свойства описываются двумя коэффициентами Ламе ц и X, а пьезоэлектрические, в общем случае, пятерыми не равными нулю пьезомодулями. В цилиндрической системе координат это ег,г9= еъ,ъ9; е9>гг= е9,ъъ; е9,99 (в рассматриваемом плоском случае они сведутся к трем пьезомодулям ег,г9; е9>гг; е9,99).

Для решения поставленной задачи необходимо найти совместное решение уравнений движения:

д°гг +1 °гг -°ее = р д \

дг г де г ' д12 ’ (2)

доге 1 доее 2 д 2ие

—- +--------------е + -&ге = Р—е,

дг г де г д^

здесь - компоненты тензора напряжения; р - плотность; и; - ¡-ая компонента вектора перемещения; И уравнений электростатики:

Г ШЁ = 0,

\ г (3)

\divD = 0,

Где компоненты Е; и Ц| векторов напряженности и индукции электростатического поля связаны соотношениями теории пьезоэффекта:

^ = ГГ0 Ёг + 4П eг,геSге,

Dе = ггоЁе + 4п ее,ггГгг + 4П eе,ееSее,

(4)

здесь 8 - диэлектрическая проницаемость, 80 - электрическая постоянная, 8; - компоненты тензора деформации, связанные с тензором напряжений обобщенным законом Гука:

агг = 2г +^0 + 4пе е,ггЁе ,

Оее = 2^Sее + ^ео + 4пе,ееЁе, (5)

°ге= 2^ге+ 4Пг,геЁг,

О’гг = о

где е 0 = ггг + гее - относительное изменение объема.

Отметим, что из принятых в работе допущений (иъ=0, иг= иг(г, 9) и ие= ие(г, 9)) следует двухмерность уравнений (2) и (3), равенство нулю ъ компонент векторов напряженности и индукции электростатического поля, а также ¡ъ компонент тензора деформации (1 - любое) и гъ и еъ компонент тензора напряжений.

Кроме граничных условий (1) для электрических переменных, решения уравнений (2 - 5) должны удовлетворять также следующим граничным условиям для упругих переменных:

г = г; г2, °гг = °. (6)

Из первого уравнения системы (3) вытекает потенциальность поля напряженности E =-gradp, где электрический потенциал должен удовлетворять граничным условиям (1). Так как соседние сектора исследуемого цилиндра противофазны и по поляризации и по электрическому подключению, то рассматриваемая задача полностью эквивалентна задаче с поляризацией секторов в одном направлении и их синфазном подключении. При этом разность потенциалов на соседних электродах:

ф21 - 92i-1 = Ф21+1 - ф21 = Uo cos(rot), i=1.. ,.Ш. (7)

Что ведет к следующим граничным условиям для электрического потенциала: в = +0;^0 = -mu0 cosat,

в = -0;p2m = +mu0 cosat, п .

в = — i;p = рі-1 + u0 cos at, m

(8)

г = 1...2т .

В работе рассматривается задача именно в такой, редуцированной постановке, с граничными условиями (8) для потенциала. При этом второе уравнение системы (3) решается в приближенном виде. Введем вектор А :

Аг = ^г^гв’

Ав = 4пв,гг8гг + 4пв,»е» + 4Жв,ввев

Тогда (3) можно записать

ЛуБ = ее0 ЛуЕ + й1\А = 0. (9)

Предположим, что для всех решений ЛуА « 0 (вернее й1\А << ее0й1\Ё). Тогда второе уравнение системы (3) можно приближенно заменить ЛуЕ = 0. (Ю)

Физически мы пренебрегли электрическим полем, создаваемы прямым пьезоэффектом по сравнению с электрическим полем внешних источников в конденсаторе. Подставляя Е = -^гайр в (9), получим уравнение для р:

Ар = 0; (11)

где А - оператор Лапласа.

Это уравнение имеет частное решение

р = mu0

в

-1 \cosat,

п

удовлетворяющее нашим граничным компоненты вектора напряженности:

Ег = 0, Er = 0, Ев = -cosat

nr

(12) условиям. Отсюда определим (12a)

Подставив (12a) в (5), получим обобщенный закон Гука в следующей форме

°rr = 2№rr + ^0 - 4Є

mun

в ,rr

-cosot,

Овв= 2№вв+&0 - 4e

mu0

в,вв

-cosat,

(14)

агв = 2^, сг„ = Лв0

re

r

r

Теперь если выразим sik через перемещение, подставим в (14), а (14) в уравнение движения (2), то получим уравнения движения в перемещениях

d2U F r E r r

p^-2- =—-—AU +-------------- -------grad (divU) + F, (15)

dt2 2(1 + a) 2(1 + a)(1 - 2a)

Здесь E и g - модуль Юнга и коэффициент Пуассона ( F ^ Fa )

(ц =---------, л =-------------------), а массовая сила имеет следующие компоненты:

2(1 + a) (1 - 2a)(1 + a)

j—, . mu0 ^

Fr = 4e®,&®2 COSat, Fe = 0

r

Для решения уравнения (15) воспользуемся методом Ламе. Представим U = V + W, где divW = °, rotV = °, т.е. U = grad-Ф + rot¥ (V = gradФ, W = rot¥). Отметим, что в двухмерном случае векторный потенциал сводится к скалярному Ф = (°,°, Ф) и компоненты вектора смещения следующим образом выражаются через оба скалярные потенциалы:

дФ 1 дФ

ur =----1------;

dr r дв

1 дФ дФ

r дв дr

Выразим так же массовую силу из (15) через соответствующий скалярный

r 4e mu r r

потенциал: F = p gradv, v =-000—- cosat. Подставим U и F в уравнение движения

p r

(15) и получим два скалярных уравнения для потенциалов Ф и Ф :

1 д 2Ф 1

АФ--г-^т = - — v; (17)

С дt ct

1 д2Ф

АФ = -Г ^д--^; (18)

с дt

ив=~—-—. (16)

где се и ct - продольная и поперечная скорости звука соответственно.

Уравнения (17), (18) вместе с граничными условиями (6) описывают плоские моды колебаний исследуемого пьезокерамического цилиндра, в частности и осесимметричные колебания. В последнем случае задача становиться одномерной, отсутствует угловая зависимость, и вектор смещений имеет только одну радиальную компоненту, которая

дФ

может быть выражена через один скалярный потенциал иг =-----------------------, удовлетворяющий

дr

1 д ( д "]

уравнению (17). Лапласиан в этом случае сводится к А =------------------1 r— I и уравнение (17)

r дr ^ дr )

переходит в

1 д( дФ I 4ев,00 mu° cosat = 1 дФ ( )

r дr ^ дr j p cf 2r cf 2 дt2 Будем искать решение (19) в виде Ф = Ф х cos at, тогда это уравнение переходит в

1 д ( дФ, ^ А5 2

I--= -к Ф:, (2°)

r дr ^ дr ) r где k = a , А = 4e0,00 mu° . где к = —, А5 =------:-------.

ci p c

Для приведения уравнения (20) к уравнению Гельмгольца сделаем вложенную цепочку замен переменных

1дгíг # (ф1 - гА5 ) = -к2ф19 ф2 = Ф: - гЛ,, Ф1 = Ф2 + гЛ,, г дг V дг )

1 д Г д

г дг I дг

г — Ф 2 1 + к2 гЛ5 =-к 2Ф 2

1д

г дг

Г д Г

V дг V

г2 л

^ к Л5 з

Ф2 + ^г3

2 32

= -к 2Ф Ф 3 = Ф 2 +

к2Л

2>^3 ^2 1 ~2

))

1 д г дг

Г я Г /Ил

V дг V

Л к Л5 5

Ф3 —г

3252

= -к2Ф3, Ф4 = Ф3 -

к4 Л.

5 „5

))

3’ 4 3 3252

1А

г дг

Г

V дг V

Ф, -(-1Г-

к

2(и-2)

3252...(2(и - 2) +1)2

_2(и-2)+1

))

ф = ф , -(-1)“-1-

к 2("-!)Л,

„2(п-2 )+1

3252...(2(и - 2) +1)2 И так далее, вплоть до п ^ да. Отметим, что в этой цепочке

Вп = (-1)

Вп = Вп-1

п-1

к

2(п - 2)

3252...(2(п - 2)+1)2

к2г2

,2(п - 2 )+1

(21)

(2(п - 2)+1)2'

При этом для любых к и г можно найти Ы1, такое, что при п > Ы1, выполняется к 2г 2

(( - 2)+ 1)2 < ^ т е' В В-1 и в прЗДеле Вп ^ 0, при п ^ “•

1 д Г дф Л 2

При этом мы перейдем к уравнению-------------1 г---— I = к Фш, т.е. к уравнению Гельмгольца,

г дг V дг )

его частное решение

Фш= Б • Зо(кг) + ОКо(кг), (22)

где J0 - функция Бесселя первого рода нулевого порядка, Ы0 - функция Бесселя второго рода нулевого порядка, Б и G - константы.

Обращая цепочку замен (21), определим Ф1 Ф = Ф + В

^и-1 ^п^^п’

СО

Ф1 = Ф2 + В2 = Ф3 + В2 + В3 = Ф4 + В2 + В3 + В4 = Фда + I В, = Фда + S, (23)

1=2

где

со

* = I В, (24)

1=2

и члены ряда В, определены в (21). Отметим, что в соответствии со свойствами В,, указанными ниже (21), ряд * мажорируется геометрической прогрессией, а значит, сходится абсолютно. Более того, его можно почленно дифференцировать

5

5

і’= 2 В, ■ (25)

і=2

' _ к2(п_2 А (_ і

где В = (_1)п 1 2 2 , ,-------------Т—--------Т—Тг( 2Для этого ряда также нетрудно

п 3252...((п_ 3) +1)2 ((_ 2) +1)

показать, что и он сходится абсолютно и его можно почленно дифференцировать

п Ц

і' = 2 Вп , (26)

п

п=2

и” Г і\п_і к2(п_2)А52(п_2) 2(п_з)+1

где Вп = (_1) ———-г-р-----ч Ч2, ,------г—тг ' г и ряд также сходится абсолютно.

п 3252...(2(п _ 3) +1)2 ((_ 2)+1)

Таким образом, потенциал Фі выражается через известный потенциал Фш (22) и бесконечный абсолютно сходящийся ряд (24)

Ф1 =Ф»+ і (27)

Это дает возможность определить потенциал Ф поля перемещений иг, а по нему -сами перемещения, деформации и напряжения. Последние при этом будут выражаться через производные от Ф1 и абсолютно сходящиеся ряды (25) и (26):

дФ дФ1

иг =------= —1 cosюt , (28)

дг дг

дальше мы везде множитель осб О опускаем, т.е. везде ниже приводятся амплитуды колебаний соответствующих величин. дФ

и = -г^ + і',

дг

ди д2 Ф

ег = — = ^-=^ + іл

52

'гг дг "дг2

и^ = 1 ГдФ г = 2

(29)

V дг

^г0 = 0,

агг = 2цегг + Л(егг + £00) + 4ж0ггЕ0,

^г0 = 0.

Уравнения (28 - 29) определяют решение нашей задачи с точностью до двух неизвестных констант (22)

Для их определения воспользуемся граничными условиями (6). Подставив (29), (22) в (6) и выразив производные от функций Бесселя нулевого порядка через функции Бесселя первого порядка, получим два уравнения

/и • & + /12 ■ & = ^,

/21 • & + /22 ^ ^,

где введены коэффициенты 2^к/1(кг1)

(30)

_(2ц + Х)к2 J о(кг1) = /п

2^'к7Уі(*г‘) _ ( + 2))2#„(кг,) =

г1

2^к/,(кгг) _(2^ + д)2 Jо (кг,) = /2|:

г2

г1

- (м + Л)2Ы„(кгг) = /п,

Г2

-(2м+лу-л*- = 4, г г

Ае^ти-{2м+Х)'-л- = а2,

Г2 Г2

здесь 3} и Ы} - функции Бесселя первого порядка, первого и второго рода соответственно. Решения этих уравнений определяет неизвестные коэффициенты Б и О

А

А

(31)

где

А =

Г /11 12

V /21 /22 у

31 /12

32 /22

/11 31

/21 <32

Найденные соотношения (31) вместе с (29), (22) и (12а) полностью описывают осесимметричные плоские колебания исследуемого пьезокерамического цилиндра. Хотя в эти соотношения входят бесконечные ряды, однако проведенные исследования показали, что они достаточно быстро сходятся. Для каждого конкретного случая по (31) можно численно рассчитать значения коэффициентов Б и О с любой заданной степенью точности. Используя эти коэффициенты и обрывая ряды (погрешность вычислений при этом контролируется по остаточным членам), по (29), (22) и (12а) определяются поля амплитуд смещений, деформаций и напряжений, как в численном, так и аналитическом виде.

Отметим, что для найденного осесимметричного решения 8гг = 8гг (г), 800 = 800 (г), = 0, если мы подставим эти выражения в уравнение для

вектора А , то получим Аг = 0, А0 = А0 (г), А. = 0 .

т'. л- 1 1 д(гАг) 1 дА0 ЗА.

В этом случае ш\А =---------1—— =-----— +---- = 0, т.е. ранее постулированное

гг г 30 д.

уравнение (10) выполняется в данном случае точно, а не приближено.

Полученные результаты дают возможность так же вычислять резонансные частоты осесимметричных плоских колебаний для конкретных случаев. Уравнение для резонансных частот получается из условия равенства нулю определителя А:

/11 ' /22 - /12 ' /21 - 0 •

(32)

Это уравнение опять же решается численно, с возможностью контроля погрешности вычислений. Отметим, что в уравнение для нахождения резонансных частот не входят пьезомодули, полученное уравнение эквивалентно уравнению тангенциальных колебаний не пьезоактивных цилиндров. Другими словами, работе показано, что в первом (без диссипативном) приближении для определения резонансных частот исследуемого пьезокерамического цилиндра можно использовать имеющиеся в литературе данные по тангенциальным колебаниям не пьезоактивных цилиндров.

В

О