CC BY
42
УДК 535.14
В. Н. Енин, В. Ф. Судаков РАСЧЕТ ОПТИЧЕСКОГО СМЕСИТЕЛЯ С КЛИНОВИДНЫМ ЗАЗОРОМ ПРИ НАРУШЕННОМ ПОЛНОМ ВНУТРЕННЕМ ОТРАЖЕНИИ
Рассмотрена двумерная задача о распространении поляризованной плоской волны из одной оптически однородной полубесконечной среды без потерь в другую такую же среду, отделенную от первой узким воздушным клином, обеспечивающим условие нарушенного полного внутреннего отражения для выходной плоской грани первой среды. Входная грань второй среды плоская. Найдены составляющие векторов как электрической, так и магнитной напряжен-ностей. Полученный результат позволяет рассчитать параметры воздушного клина, обеспечивающие требуемый вид интерференционной картины на выходе оптического смесителя лазерного гироскопа.
Ключевые слова: лазерный гироскоп, призма, оптический смеситель.
Пусть в кольцевом резонаторе лазера в качестве отражателей использованы призмы полного внутреннего отражения (ПВО). Через одну из них должен быть выведен полезный сигнал, который в случае лазерного гироскопа (ЛГ) представляет собой две встречные бегущие волны с небольшим углом между направлениями их распространения (что обеспечивает формирование бегущей интерференционной картины). Для преобразования большого угла между направлениями распространения встречных волн на выходе из призм ПВО в малый угол используется смесительная призма (т.е. специализированный интерферометр). Расположить призму резонатора и смесительную призму встык нельзя, так как условие ПВО будет нарушено, что внесет в резонатор большие радиационные потери. Поэтому обе призмы разносят на такое малое расстояние, чтобы имело место только просачивание энергии между ними без формирования лучевой картины. Этот вид распространения волн с точки зрения поля в резонаторе носит название нарушенного полного внутреннего отражения (НПВО). На рис. 1, a показано типичное взаимное расположение призм в условиях НПВО, при котором интерферирующие волны распространяются в одном направлении (интерференционная картина имеет характер стоячей волны). На рис. 1, б зазор между призмами имеет вид воздушного клина, что обеспечивает распространение интерферирующих волн под углом (интерференционная картина имеет характер бегущей волны).
Практический интерес представляет расчет параметров воздушного клина при заданных условиях входа в оптический смеситель (ОС).
а б
Рис. 1. Угловая призма резонатора, грань I которой расположена на малом удалении от грани II смесительной призмы:
а — грани параллельны, б — грани образуют малый угол
Перейдем к точной формулировке задачи. При заданном поле в среде перед воздушным зазором требуется найти отраженное от зазора поле (в целях определения его потери на НПВО) и поле в среде, прошедшее зазор (что необходимо для расчета интерференционной картины). Специфика решения волновой задачи для подобной оптической системы заключается в сшивании решений по обе стороны предельно узкого клина с коэффициентом преломления, меньшим, чем коэффициент преломления обрамляющих сред (резонаторной и смесительной призм). Точное решение задачи отсутствует. Приближенное решение, если и существует, то описано в малодоступных источниках, авторам неизвестных. Предлагаемый в настоящей работе метод решения физически нагляден и достаточно прост, что дает возможность теоретически проследить формирование отраженной от клина и прошедшей через него волн.
На рис. 2 показан клиновидный зазор между двумя диэлектрическими средами. Рассмотрим плоскую модель: перпендикулярно плоскости рисунка оптическая система бесконечна, со стороны резонатора (коэффициент преломления п1) под углом в1 к нормали плоскости I (грань резонатора) падает плоская волна с волновым вектором к1.
Будем считать волну ТЕ — поляризованной с единичным волновым вектором поляризации Н1 магнитной напряженности Н(1) (г). Точку входа О выберем в качестве центра местной ортогональной системы координат Оуг, связанной с гранью I. Геометрическими параметрами, определяющими положение грани II смесительной призмы, будем считать ОО' = а и угол а между гранями II и I. С гранью II удобно связать вторую местную систему координат
z'
Рис.2. Область клиновидного зазора между гранями резонатор-ной (I) и смесительной (II) призмы. Области с коэффициентами преломления п\, п2, п3 относятся к указанным призмам и зазору между ними
O'yV. Коэффициент n3 преломления материала ОС обычно равен или близок к ni. Коэффициент преломления воздушного зазора обозначим
т
n2. Примем, что n2 < n1 ~ n3 и — sin01 > 1, т.е. угол падения превы-
П2
шает угол ПВО. Таким образом, при малом а (соизмеримом с длиной волны Ао света в среде с коэффициентом преломления (n1)) требуется решить задачу о НПВО, сводящуюся к определению отраженного поля E^1' в среде с (n1) и прошедшего поля E(3) в среде с (n3).
Полное поле в среде с коэффициентом преломления (n1) состоит из падающей плоской волны с волновым вектором k1 и отраженной волны
¿X1' (r) = Е^1" + Er (r) ejk1
H(y1) (r) = n1Cos 01 (е^1^ - Er (r) ejk1; (1)
HZ1' (r) = n1sin 01 (е^1^ + Er (r) ejk1^ .
В данном приближении отраженная волна не предполагается плоской, она имеет комплексную амплитуду ER (r), зависящую от координат. Вектор выбирается удовлетворяющим условию зеркального отражения:
k1 X = k1 X , k1z = — k1z.
Введем в рассмотрение вектор Максвелла
и (y,z)
P (y,z) =
(2)
v (y,z) .
Его значение может изменяться на границах раздела плоскостей I и II. В среде с коэффициентом преломления n
E^ (y, 0) = uoejk1 sin;
HX1} (y, 0) = Voejk1 sin;
Я« (y, 0) = woejk1 sinв1У;
wo = u0n1 sin 0b Из уравнений (1) и (3) нетрудно получить,что
uo = E1 + Er (y, 0); Vo = П1 cos 01 (E1 - Er (y, 0)) . В среде с коэффициентом преломления n2 имеем
Ef (y,z) = u (y,z) ejk2 sin02y;
Hy2) (y, z) = v (y, z) ejk2 sin; (5a)
HZ2) (y,z) = w (y,z) ejk2 sin,
где
(у, г)= и (у, г) п2соэ #2. (5б)
В формулах (5а), по аналогии с классической задачей об отражении на границе раздела двух диэлектриков введены формальные параметры:
k2sin #2 = kisin k2cos #2 = jk2W ( —1 sin ) — 1;
2 ) (6) —2
k2 = — ki. —i
—i
Поскольку sin #2 = — sin (по условию ПВО), то #2 истинным
—2
углом не является. Однако коэффициенты k2 sin #2, k2 cos #2, k2 можно применить.
Для среды с коэффициентом преломления — 3 запишем поле в координатах y', z':
E<3) (y', z') = E3) (y', z') = u (y', z') ej(k3sin03y,+k3cos*3*');
(y', z') = v (y', z') ej(k3sin03y'+k3cos03z,); (7)
H¡3) (y',z') = w (y',z') ej(k3sin03y'+k3cos03z,).
Составляющие поля в каждой из трех граничных сред удовлетворяют системе уравнений Максвелла. Это обстоятельство позволяет получить уравнения для составляющих поляризационного вектора в каждой среде и "сшить" соответствующие решения на границах раздела сред. На границе I составляющие поляризационного вектора соответствуют тангенциальным компонентам электричекой и магнитной напряженностей и поэтому должны быть непрерывны, т.е. по обе стороны границы их значения должны быть равны при любом y:
u (y, 0) = Uo; v (y, 0) = vo. (8)
На границе II должны быть непрерывны тангенциальные копонен-ты E' (r) , Hy (r). Параметрические уравнения границы можно записать как
y = y' cos а, z = а — y' sin а. (9)
Выражения (5), (7), (8) позволяют записать условие непрерывности тангенциальных (к границе II) компонент поля в следующем виде:
EX2) (y' cos а, а — y' sin а) = E{]) (y', 0);
H(2) (y' cos а, а — y' sin а) cos а— y (10)
— H"Z2) (y' cos а, а — y' sin а) sin а = H^3) (y', 0);
y = y' cos а; z = а — y' sin а.
Известно [1], что в высокочастотном приближении электромагнитное поле (решение уравнеий Максвелла) в неоднородной среде допускает использование лучевой конгруэнции. Несмотря на то, что при этом понятие луча обобщается, сохраняется важное свойство: локально в точке пересечения луча с границей раздела можно ввести фре-нелевские коэффициенты отражения и преломления. Выделим произвольный обобщенный луч в лучевой конгруэнции координатой у его пересечения с границей I, т.е. введем у как параметр конгруэнции. Разные лучи в среде с коэффициентом преломления п2 имеют различный ход к(у), зависящий от параметра луча:
к (У) = а - У ^ а (11)
Отметим, что составляющие поляризационного вектора в среде с коэффициентом преломления п2 изменяются от и0, ^о на границе I до значений и (у, к (у)), V (у, к (у)) на границе II. Связь между значениями поляризационого вектора для каждого луча на входе и выходе среды с коэффициентом преломления п2 определяется матрицей перехода: _
и (у,к (у)) v (у,к (у))
Uo mu mi2
. vo _ _ m,2i m-22
(12)
где элементы матрицы следующие:
Шц = Ш22 = cos в, m-12 =
ш21 = —jn2 cos 02 sin в, в = n2 cos 02h (y).
J
n2 cos #2
sin в,
(13)
Вид матрицы перехода совпадает с полученным в работе [2], так как условия прохождения каждого луча из среды с п в среду с п2 через границу раздела не отличаются от аналогичных условий в случае падения плоской волны на слоисто-неоднородную среду. Отличием является то, что в силу уравнений (6) имеем чисто мнимое значение
в = (у),
Y =
sin^ - 1
^2
. Это учтено в ПВО на входной поверх-
ности клина. Переход к составляющим поляризационного вектора в среде с коэффициентом преломления осуществляется с помощью граничных условий (10). Используя выражения (5а), (7) и (10), полу-
чаем связь между векторами
u u3
и
v v3
на границе II (9):
u (y, z) ejk2 sin02y = us (y', 0) ejk3 sin03y', [v (y, z) cos a - w (y, z) sin a] ejk2 sin02y = V3 (y', 0) ejk3 sin03y'
Подставляя уравнение (5б) и аналогичное ему равенство v3(y', z') = = n3 cos #3u3 (y', z') в выражение (13), получаем:
n2 sin #2 sin a cos a u
10 v
Пз sin 03 1
e
j(k3 sin вз-k2 sin 02 cos a)y'
(15)
Здесь u = u (y, h (y)); v = v (y, h (y)); y определяется через y' уравнением границы (9).
u
Из уравнения (15) найдем поляризационный вектор ставим его в выражение (12):
и под-
Uo _ mii mi2 X
. Vo . _ m2i m22
х
1
n3 cos #3 + n2 sin #2 sin a
cos a
e
j(k,33 sin вз-k2 sin 02 cos a)y'
(16)
Основными искомыми величинами являются амплитуды отраженной (Ед) и прошедшей (и3 (у', z/)) волн. Их можно найти из уравнения (16), если выразить составляющие м0,^0 поляризационного вектора с помощью соотношений (4) через амплитуды падающей и отраженной волн Е1,
1 1 Ei
. Pi -Pi Er
mu mi2 m2i m22
1
P3
ej^3U3, (17)
где
pi = n1 cos #1, p3 =
n3 cos #3 + n2 sin #2 sin a
cos a
= (k3 sin #3 — k2 sin #2 cos a) y'. Векторное уравнение (17) может быть разрешено относительно
Er,u3 следующим образом:
(mii + mi2) Pi - (m2i + m22) P3„ Er = 7-;-Ñ-~-;-Ñ— Ei;
u3 =
(mii + mi2) pi + (m2i + m22) P3' 2piej
(mii + mi2) Pi + (m2i + m22) P3'
(18)
v
Перейдем к анализу полученных формул. Отметим, что
k3 sin = k2 sin (#2 — a), k3 > k2.
Отсюда следует, что параметры n3 sin #3,n3 cos #3 вещественные. Таким образом, p1 ,p3 и функция вещественны. Из выражений (13) следует, что ш11 = ш22 — вещественные, а ш12,ш21 — чисто мнимые.
Введем вещественные величины gp = p1 — p3, Ep = p1 + p3,
P1P3
s+ =--+ n2Y, s_ =--n2Y.
n2Y n2Y
Преобразуем уравнение (18) к следующему виду:
(¿p — js+) + (¿p + js+) e-2k2Yh
R (Ep — js-) + (Ep + js-) e-2k2Yh Ь (19)
_ 4p1e-k2Yhe-j^3 V ;
U3 = [(Ep — js-) + (Ep + js-) e-2k2Yh] (1 + e-2k2Yh) 1.
Эти выражения могут быть заменены приближенными, если принять, что e-2k2^ 1. Реальные значения k2 = —2n2, n1 sin a, a со-
c
ответствуют такому допущению. Сохраняя слагаемые порядка e-2k2Yh, получаем
"1 + /+ Js+ — Ep + e-2fe27h
_ V — js+ ep — js-
E = (¿p - jg+) R (Ep - Js-)
Ei; (20a)
из = ^---(20б)
Ер -
В уравнении (20а) отброшенные слагаемые имеют порядок е-3к27^. Поэтому и в уравнении (20б), по сравнению с выражениями (1) можно пренебречь слагаемым порядка е-2к21Н.
При а = 0 клин вырождается в плоскопараллельную пластину толщиной а, тогда имеем
Рз = Р1, к = а; ¿р + Ер + — • 4р1^27
— js+ ep — js- (p1 + jn2Y)
В этом случае
er p1 — jn2Y
Ei Pi + Jn2Y
1 _ -J • 4Pin2Y e-2fc27h (Pi + Jn2Y)2
В используемом приближении эта формула соответствует известному выражению для коэффициента отражения от плоскопараллельной пластины [3].
2
Выделим в уравнениях (1) отраженное поле:
E e-jkl(yni sin 01 —zni cos 0l).
"(Ep - js—)Eie '
H(i) _ n cos л E(i). (21)
HRy - -nl COS л1ЕДж. V y
H» - ni sin fliERX.
Роль клина свелась к изменению коэффициента отражения по сравнению со случаем отражения от плоскопараллельной пластины. Если учесть малое возмущение порядка e—2k2Yh (19), то можно ожидать появления дополнительной неоднородной волны того же порядка малости. Учет столь малого возмущения нецелесообразен, так как очень высоки требования к точности экспериментальной проверки.
Из уравнений (20а) следует, что коэффициенты отражения (как амплитудный, так и фазовый) зависят от знака а, т.е. рзличны для волн встречного направления распространения. В замкнутом резонаторе это обстоятельство не приведет к изменению разности собственных частот, но вызовет их согласованное смещение и одинаковые потери на возмущенных частотах.
Прошедшая волна в соответствии с уравнениями (7) и (20а) описывается следующими выражениями:
Z7>(3) _ _4pi_771 c—k2Y(a—y' sin a) jki(y' cos a sin 0i+z' cos 0з)
E "(Ep - js—)Eie 6 .
) - n cos ЛзрЗ). (22)
HZ3) - -пз sin Л3ЕХ3), где cos Л3 — комплексная величина, определяемая формулой
cos #3 = \/1 — sin2 #3 = 1/1 —
П2 .
-Sin I
Пз
- 2
(#2 — a) =
— \j 1 — [sin Л1 cos а — jY sin а]2
При малых а это выражение можно упростить:
jY sin а
cos л3 ~ cos л1 +---—.
cos л1
В результате уравнения (22) преобразуются к следующему виду:
— k2'ia
(EP - js—)_
E(з) = 4pie fc27a Ee-k24z'n^obr-у') sinaejki(v'cosasin01+*' cos01)
тт(з) ( a . • sin a\ p(3) (23)
) = nW cos#1 + jY-— EX')>
y \ cos #1 / x
H¡3) = — (ni sin #1 — jn2Y sin a) ).
Проекции векторов s, f определяются из уравнений (23):
' ^ -1 ' = n1
sy 1, sz n2 cos 01 ' fy = sin sin a, f = cos
При a = 0 (плоскопараллельная пластина) затухание в пространстве не изменяется, так как в уравнениях (23) a = 0; волновой фронт прошедшей волны в этом случае распространяется в том же направлении, что и фронт падающей волны. В общем случае a = 0 — прошедшая волна неоднородна.
На основе полученных результатов не составляет труда определить радиационные потери или параметры смесителя при фиксированных потерях. Например, угол воздушного клина приближенно оценивается в 7 угл. мин, если потери равны 0,1 %.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Б а с с Ф. Г., Ф у к с И. М. Рассеяние волн на статистически неровной поверхности. - М.: Наука, 1972. - 424 с.
2. Б о р н М., В о л ь ф Э. Основы оптики. - М.: Наука, 1970. - 856 с.
3. A i г y P h i l G. B. Magazine, 2, 20, 1833 p.
Статья поступила в редакцию 15.04.2008
Виталий Николаевич Енин родился в 1939 г., окончил в 1962 г. МВТУ им. Н.Э. Баумана. Д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой "Теоретические основы электротехники" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 90 научных работ и 95 изобретений в области лазерной гироскопии.
V.N. Enin (b. 1939) graduated from the Bauman Moscow Higher Technical School in 1962. D. Sc (Eng.), professor, Head of Department of Theoretical Bases of Electrotechnic Engineering of the Bauman Moscow State Technical University. Author of more than 90 publications and 95 inventions patents in the field of laser gyro technology.
Владимир Федорович Судаков родился в 1937 г., окончил в 1966 г. МГУ им. М.В. Ломоносова. Д-р. техн. наук, профессор кафедры "Теоретические основы электротехники" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 150 научных работ в области лазерной техники.
V.F. Sudackov (b. 1937) graduated from the Lomonosov State University in 1966. D. Sc (Eng.), professor of Theoretical Bases of Electronic Department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of more than 150 publications in the laser gyro thechnology.
