CC BY
1332. Александров Э. Э., Афонин В. В. Введение в программирование в языке С. Саранск: Мордовский гос. университет им. Н. П. Огарева, 2009.
3. Джеффри Рихтер. CLR via C#. Программирование на платформе Microsoft. NET Framework 4.5 на языке C#. 4-е изд. СПб.: Питер, 2013.
РАСЧЕТ ОПЕРАЦИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МНОГОКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОТКАЗАМИ Денискин А. В.
Денискин Александр Владимирович /Ветзкт Aleksandr ¥1а&т1гоу1ск - студент, кафедра автоматизированных систем обработки информации и управления, Институт электроники и светотехники, Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева, г. Саранск
Аннотация: в данной статье рассматриваются системы массового обслуживания. Рассказывается принцип действия таких систем, обозначаются их основные параметры. Предоставляются алгоритмы нахождения параметров, и создаётся программа на языке С#, для решения этих алгоритмов.
Ключевые слова: моделирование систем, системы массового обслуживания, формулы Эрланга, С#.
Системы массового обслуживания (СМО) представляют собой системы специфического вида. Основой СМО является определенное число обслуживающих устройств — каналы обслуживания. Роль каналов в реальности могут выполнять приборы, операторы, продавцы, линии связи и пр.
Предназначение СМО состоит в обслуживании потока заявок (требований), представляющих последовательность событий, поступающих нерегулярно и в заранее неизвестные и случайные моменты времени. Обслуживание заявок также имеет непостоянный характер, происходит в случайные промежутки времени и зависит от многих и даже неизвестных причин. Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания обусловливает неравномерность загрузки СМО: на входе могут накапливаться необслуженные заявки (перегрузка СМО) либо заявок нет или их меньше, чем свободных каналов (недогрузка СМО). Эффективность функционирования СМО определяется ее пропускной способностью — относительным числом обслуженных заявок. По числу каналов п все СМО разделяются на одноканальные (п=1) и многоканальные (п > 1).
По числу мест для ожидания обслуживания различаются три класса СМО.
1. СМО с отказами (нулевое ожидание или явные потери). «Отказная» заявка вновь поступает в систему, чтобы ее обслужили.
2. СМО с ожиданием (неограниченное ожидание или очередь). При занятости всех каналов заявка поступает в очередь и, в конце концов, будет выполнена.
3. СМО смешанного типа (ограниченное ожидание). Имеется ограничение на длину очереди (сервис по обслуживанию автомобилей). Другой вид ограниченного ожидания — ограничение на время пребывания заявки в СМО.
Для обозначения различных систем обслуживания принята кодировка Кендалла: А|В|п|т. В этой записи символ А - код функции распределения случайной длины интервала между соседними требованиями входного потока; символ В - код функции распределения случайного времени обслуживания каким-либо прибором в системе; п - число обслуживающих приборов в системе; т - число мест в системе для ожидания. Если число мест для ожидания не ограничено (т = да), то кодировка Кендалла
записывается в виде А|В|п. Для кодировки СМО замкнутого типа употребляют еще пятый символ S, означающий число возможных источников требований, поступающих в СМО.
Например, система с отказами А|В|п будет иметь п состояний, граф которых представлен на рисунке 1.
Рис. 1. Граф состояний СМО
Найдём операционные характеристики многоканальной системы обслуживания. Входными параметрами являются число каналов п, интенсивность X потока заявок, интенсивность потока обслуживания д. Существует несколько основных операционных характеристик, рассчитываемых по формулам [1-3]:
1. Интенсивность нагрузки.
X
р = Ц
Интенсивность нагрузки показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
2. Вероятность занятости каналов.
Вероятность что все каналы свободны:
Ро = (1 + Р+—+■
V
Вероятность занятости k каналов:
Р/с
к\
■Ро
Эти формулы для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания [1,3]. 3. Вероятность отказа и обслуживания.
р" ~п\
РоЪс =
4.
Абсолютная пропускная способность.
А=Роьс* ^
Эта характеристика определяет интенсивность выходящего потока обслуженных заявок.
5. Среднее число занятых каналов.
П3 = р* РоЬс
Рассмотрим способ решения поставленной задачи на языке программирования высокого уровня C#. Добавим возможность ввода с клавиатуры входных параметров и взаимодействие с пользователем при помощи графического интерфейса.
^ П = int.Parse(textBox1.Text); double L = Double.Parse(textBox2.Text); double U = Double.Parse(textBox3.Text); double p = L / ^ double p0=0; for (Ш i = 0; i <= п; ++i) p0 += Math.Pow(p, i) / Factorial(i);
p0 = 1 / p0;
List<double> P=new List<double>(); for (int i = 1; i <= n; ++i)
P. Add(p0 *Math.Pow(p, i) / Factorial(i)); double Potk = P[n-1]; double Pobc = 1 - Potk; double a = Pobc * L; double b = p*Pobc;
textBox4.Text = "Интенсивность нагрузки: " + p + "^цВероятность простоя системы: "+p0+"\r\nВероятность занятости количества каналов: "; for (int i = 1; i <= n; ++i)
textBox4.Text += "\г\пЗанят(ы) " + i + " канал(а): " + P[i - 1] + "; "; textBox4.Text+= "\r\nВероятность отказа: " + Potk + "\r\nВероятность обслуживания: " + Pobc + "^^Абсолютная пропускная способность: " + a + "\r\nСреднее число занятых каналов: " + b;
Функция Factorial:
public static double Factorial(double n)
{
double res = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
res *= i;
}
return res;
}
Результаты выполнения программы при разных значениях входных параметров представлены на рис. 2 - 3.
Рис. 2. Расчет операционных характеристик СМО со значениями входных параметров
п = 5, X = 0,5, ^ = 0,3
^ Система массового обслуживания - □ X
г= Интенсивность нагрузки: 7,5 Вероятность простая систепы: 0.00105421985088501 Вероятность занятости количества каналов:
|7 1 Занят(ы) 1 канал(а) 0.00790664918163754: Занят(ы)2конел(а) 0.0296499344311408: 3анят(ы)3 канал(а): 0.074124836077852: Занят(ы)4 канал(а) 0,138984067645972: Занят(ы)5 канал(а) 0.208476101468959: Занят(ы)6 канал(а): 0.260595126836198: Занят(ы)7 канал(а) 0.279209064467355: Вероятность отказа: 0.279209064467355 Вероятность обслуживания: 0.720790035532645 Абсолютная пропускная способность: 1,08118644)329897 Среднее число занятых каналов: 5,40593201649484
Л=
I
I
Расчёт
Рис. 3. Расчет операционных характеристик СМО со значениями входных параметров
п = 7, X = 1,5, ц = 0,2
Представленная программа позволяет анализировать систему массового обслуживания, следить за оптимальной работой системы и определять необходимое количество каналов обслуживания, что является главной задачей при проектировании таких систем.
Список литературы
1. Афонин В. В., Мурюмин С. М., Федосин С. А. Основы анализа систем массового обслуживания. Саранск, 2003.
2. Афонин В. В., Федосин С. А. Моделирование систем. Саранск, 2001.
3. Афонин В. В., Никулин В. В. Методы моделирования и оптимизации с примерами на языке С/С++ и МА^АВ. Саранск, 2015. Ч. I. Методы моделирования.
