CC BY
20
УДК 624.075.23+624.042.8
КОПАНИЦА ДМИТРИЙ ГЕОРГИЕВИЧ, докт. техн. наук, профессор, kopanitsa@mail. ru
САВЧЕНКО ВИКТОР ИВАНОВИЧ, канд. техн. наук, доцент, svi2804mail. ru
ПЛЯСКИН АНДРЕЙ СЕРГЕЕВИЧ, аспирант, plyaskinandrei@mai. ru
УСТИНОВ АРТЕМ МИХАЙЛОВИЧ, магистрант, artemustinov@bk. ru
Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2
РАСЧЕТ ОДНОПРОЛЕТНОЙ ЖЕЛЕЗОБЕТОННОЙ РАМЫ НА СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ СТАТИЧЕСКОЙ И УДАРНОЙ НАГРУЗКИ*
В практике проектирования зданий с железобетонным каркасом, воспринимающих действие динамических нагрузок, возникает потребность в проведении практических расчетов на совместное действие статических эксплуатационных нагрузок и аварийных нагрузок ударного и взрывного характера.
Расчеты конструкций на ударно-волновое нагружение реализуются путем решения динамических уравнений, не учитывающих действие статических сил. Поэтому расчет конструкций железобетонной рамы на совместное действие статической и ударно-волновой нагрузки в полной трехмерной постановке представляет собой весьма сложную задачу, которая может быть выполнена путем совмещения двух последовательно выполненных решений. Сначала решается ударно-волновая задача с использованием расчетной программы РАНЕТ-3. Результаты этого решения принимаются в качестве начальных условий для проведения квазистатического расчета на совместное действие статических сил от эксплуатационной нагрузки и эквивалентной динамической нагрузки в среде APM Civil Engineering-11.
Ключевые слова: железобетон; математическая модель; ударно-волновое нагружение; собственные частоты; напряженно-деформированное состояние.
DMITRIIG. KOPANITSA, DSc, Professor, kopanitsa@mail. ru
VIKTOR I. SAVCHENKO, PhD, A/Professor, svi2804mail. ru
ANDREI S. PLYASKIN, Research Assistant, plyaskinandrei@mail. ru ARTEM M. USTINOV, Undergraduate Student, artemustinov@bk. ru
Tomsk State University of Architecture and Building, 2, Solyanaya Sq., 634003, Tomsk, Russia
* Исследование выполнено при финансовой поддержке работ по проекту Министерства образования и науки РФ.
© Д.Г. Копаница, В.И. Савченко, А.С. Пляскин, А.М. Устинов, 2013
STRUCTURAL ANALYSIS OF SINGLE-SPAN REINFORCED CONCRETE FRAME UNDER STATIC-AND-IMPACT LOAD EFFECT
In practical building design with reinforced concrete frames exposed to dynamic loads it is necessary to carry out a structural analysis for a combined effect of static and dynamic loads caused respectively by building servicing and emergency loads such as impacts or explosions. A structural analysis for wave-impact loading implies a solving dynamic equations which do not allow for static loads. Therefore, a 3D analysis implementation of a combined effect of static and dynamic loads is rather a complicated problem which can be solved by a combination of the two sequentially performed solutions. First, the problem of wave-impact loading should be defused using RANET-3 program. Results obtained are then used to set the initial conditions for quasi-static analysis of the combined effect of static and dynamic loads by means of APM Civil Engineering-11 program.
Keywords: reinforced concrete, mathematical model; wave-impact loading; eigen frequencies; stress and strain state.
Рассмотрим расчет модели однопролетной железобетонной рамы при одновременном действии вертикальной статической нагрузки на ригель и поперечного разрушающего удара на колонну. Модель выполнена из колонн 700x50x50 мм с одной консолью для установки ригеля 950x100x42 мм. В продольном направлении колонна армирована стержнями диаметром 4 мм класса Вр-I, в поперечном направлении - хомутами из отожжённой проволоки Вр-I диаметром 2 мм с шагом 30 мм. Оголовки колонн армированы 4 сетками из проволоки Вр-I диаметром 1 мм. Армирование ригеля в продольном направлении выполнено четырьмя стержнями диаметром 6 мм класса А-I, в поперечном направлении - хомутами диаметром 2 мм Вр-I.
Узлы рамы и соединение опорной части колонн с основанием выполнены жесткими. Призменная прочность бетона опытных образцов на момент испытания составила 18,1 МПа, кубиковая - 21,3 МПа.
Алгоритм расчета включает в себя два этапа. Сначала решается задача разрушения колонны действием недеформируемого ударника. Для этого использован пакет программ РАНЕТ-3 [2], в котором реализуются методы, основанные на принципах механики сплошной среды для решения задач на ударно-волновое нагружение. По результатам расчета определены кинематические параметры и форма локального разрушения модели. При локальном разрушении действием удара выносится часть бетонного сечения и деформируются или разрушаются арматурные стержни, попавшие в зону действия нагрузки. Помимо локального разрушения происходит движение конструкции в целом. Расчетом на ударно-волновое нагружение определены скорости конечных элементов, находящихся вне зоны локального разрушения. Количество движения этих элементов определяется умножением их массы на скорость. В результате определяется картина распределения остаточного импульса по объему всей конструкции при действии нагрузки, вызвавшей локальное разрушение. Этот импульс в виде эквивалентной нагрузки в расчетной схеме прикладывается в зоне локального разрушения.
Результаты расчета на ударно-волновое нагружение в начальный момент времени показаны на рис. 1. Здесь изображены поля напряжений и соответствующая схема разрушения.
Рис. 1. Напряжения в модели от действия удара и схемы разрушения, полученные расчетом в среде РАНЕТ-3
Далее расчет проводится в среде APM Civil Engineering-Ii [5]. Расчетная схема рамы принята с учетом полученного локального разрушения колонны. На ригель в третях пролета действуют две сосредоточенные силы по 15,0 кН. В зоне разрушения приложена эквивалентная нагрузка от импульса, значение которого определено из разницы между импульсом ударника и вынесенного бетонного сечения.
Расчет выполнен методом конечных элементов. В основу реализации положен метод перемещений. Перемещения конечного элемента в произвольной точке описываются набором функций полиномами от координат точки. Подстановка в эти функции координат узловых точек конечного элемента позволяет записать перемещения u(x) произвольной точки элемента через неизвестные перемещения его узловых точек:
u(x) = ^ N ( x) и или u(x) = N(x)U,
(1)
где ^(х) - функция формы элемента; и(х) - вектор перемещения 7-го узла
элемента; Щх) - матрица функций форм элемента; и- вектор всех узловых перемещений элемента.
Связь напряжений с(х) с деформациями в(х) для линейного поведения материала описывается уравнением
а = Ds , (2)
где D - матрица упругости.
1=1
(5)
Выражение деформаций через узловые перемещения элемента
в = Би. (3)
Полная потенциальная энергия элемента определяется выражением
П(е) =1 jëTDëdУйТ pdУйТ ^, (4)
2 V V 5
где р и векторы объемных и поверхностных сил соответственно. Подставляя вектор деформации через узловые перемещения
П^ = (1иТ|(БN)ТВБШУ)ИрТШУ + |4ТШБ и,
V XV 5 /
выражение для потенциальной энергии запишем в виде
П(е = - г и, (6)
где Ке = |(БN)Т DБNdУ - матрица жесткости; /Т = | рТШУ +| qгNdS - век-
V V 5
тор приведенных перемещений.
Полная потенциальная энергия системы получается суммированием по всем ее элементам
П = Хе П(е). (7)
Минимизация функционала потенциальной энергии дает систему уравнений МКЭ
КИ = ^ (8)
где К - глобальная матрица жесткости и Б - вектор узловых сил, полученные путем суммирования соответствующих членов матриц жесткости К(е) и векторов f отдельных конечных элементов.
Для построения матриц жесткости и массы, а также геометрической матрицы элемента используются функции формы, позволяющие представить перемещения любой точки в элементе через перемещения его узлов. Расчетная модель рамы конструкции показана на рис. 2.
Рис. 2. Расчетная схема модели железобетонной рамы в среде пакета программ APM Civil Engineering-11
Армирование элементов рамы моделировалось стержнями, а бетонное тело - объемными элементами (солидами) в форме параллелепипеда с 24 степенями свободы. Для расчета конструкции заданы физико-механические свойства, соответствующие экспериментальной модели железобетонной рамы. Для моделирования жесткой заделки колонны в среде АРМ по всей поверхности соприкосновения колонны со стальным подколонником были запрещены перемещения граничных узлов модели.
Расчет конструкции на собственные частоты проведен с учетом распределенной матрицы масс и заключается в решении обобщенной задачи на собственные значения
(-ш2 • М+К)Д = 0, (9)
где ю - круговая собственная частота; М - матрица масс системы; К - матрица жесткости конструкции; Д - вектор собственной формы.
В результате расчета получены формы собственных колебаний рамы и соответствующие значения частот. Частота собственных колебаний по основному тону составила 41,9 Гц. Характерные формы с соответствующими собственными частотами колебаний при действии статической нагрузки показаны на рис. 3.
а б в
Рис. 3. Формы и соответствующие значения частоты собственных колебаний рамы при действии статической нагрузки:
а - первая форма - 41,9 Гц; б - вторая форма - 77,18 Гц; в - третья форма -200,02 Гц
На втором этапе расчета модели железобетонной рамы было внесено изменение в конструкцию модели в виде вынесенного сечения (рис. 4). Геометрические размеры вынесенного сечения бетонного тела были приняты по результатам расчетов и экспериментальных исследований [1, 4]. Из расчетной модели колонны были удалены объемные элементы, попавшие в зону локального разрушения от удара.
а б в
Рис. 4. Формы и соответствующие значения частоты собственных колебаний рамы при действии статической нагрузки с вынесенным сечением:
а - первая форма - 27,93 Гц; б - вторая форма - 56,23 Гц; в - третья форма -178,73 Гц
В результате расчета получены формы собственных колебаний рамы с вынесенным сечением и соответствующие значения частот. Частота собственных колебаний по основному тону составила 27,93 Гц. Характерные формы и соответствующие собственные частоты колебаний при действии статической нагрузки приведены на рис. 4.
Сопоставление результатов эксперимента с данными численного расчета показало следующее. При действии статической нагрузки разница значений частот собственных колебаний рамы составила 14,2 %. В процессе разрушения колонны от действия ударника расчетная частота собственных колебаний рамы получилась ниже экспериментальной на 1,5 %.
Рассмотрим результаты расчета на совместное действие статической и ударной нагрузки. На рис. 5 показана расчетная схема рамы с вынесенным бетоном в колонне. Остаточный импульс 5,825 кг м/с приложен к поверхности разрушения и к оголенному арматурному каркасу [3].
Диаграмма нагрузки во времени принята в виде первой четверти периода синусоиды. Продолжительность импульса принята из расчета на удар и составляет 0,05 с.
Основное уравнение, описывающее поведение модели:
М-Д + С-Д + К-Д=Р^) , (10)
где М - матрица масс системы, С - матрица демпфирования, К - матрица жесткости конструкции, Д - вектор узловых перемещений конструкции, Р(0 -вектор внешней нагрузки, зависящий от времени.
Для приближенного учета демпфирования матрица С представляется в виде линейной комбинации матриц М и К:
С = рд + Р2М, (11)
где коэффициенты р1 и р2 подбираются таким образом, чтобы при различных собственных частотах декременты колебаний были постоянны. Этим обеспечивается частотно-независимое демпфирование, характерное для железобетонных конструкций.
Рис. 5. Модель рамы с вынесенным сечением в среде пакета программ APM Civil Engi-neering-11
Согласно записи уравнения равновесия все силовые факторы изменяются по одному закону. При решении этой задачи используется метод разложения решения в ряд по собственным формам колебания конструкции:
д=Х ы (t), (12)
i=1
где - вектор i-й собственной формы; qt - обобщенное перемещение по i-й форме.
Используя такое представление, исходное матричное уравнение можно свести к n независимым уравнениям типа
qi +yqi +га2 qt = Ri(t ^ (13)
где - частота колебаний по i-й форме; у - коэффициент неупругого сопротивления, который в свою очередь можно представить
5
У=к , (14)
где 5 - коэффициент затухания, численно равный логарифму отношения амплитуд для двух моментов времени, отличающихся на период
5 = ln-4-.
4+1 (15)
Задача решается исходя из нулевых начальных условий в виде интеграла Дюамеля. Для большинства нагрузок вклад в решение различных форм колебаний уменьшается с ростом номера частоты /.
Результаты расчета получены в виде изополей напряженного состояния конструкций рамы (рис. 6) и соответствующей картины перемещений (рис. 7).
Рис. 6. Изополя напряжений модели рамы
Рис. 7. Изополя перемещений модели рамы
Полученные результаты расчетов показали удовлетворительное совпадение с данными экспериментов по значениям частот собственных колебаний рамы. Схема разрушения колонны и общие деформации рамы от совместного действия статической нагрузки и удара также согласуются с результатами проведенного эксперимента [4]. Совпадение результатов дает основание сделать вывод о том, что рассмотренный алгоритм может быть использован при расчете конструкции рамы на совместное действие статической и ударной нагрузки.
Библиографический список
1. Пляскин, А.С. Экспериментальные исследования железобетонной рамы при ударном нагружении / А.С. Пляскин // Труды VI Международной конференции студентов и молодых ученых. - Томск : Изд-во ТПУ. - 2009. - С. 813-815.
2. Расчет адиабатических нестационарных течений в трехмерной постановке (РАНЕТ-3). Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2010611042 // Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам РФ. - 2010.
3. Расчет остаточного поперечного импульса в железобетонной колонне при ударно-волновом нагружении ее боковой поверхности / Н.Н. Белов, Н.Т. Югов, Д.Г. Копаница, С.Л. Капарулин, А.С. Пляскин // Вестник ТГАСУ. - 2012. - № 4. - С. 179-190.
4. Копаница, Д.Г. Экспериментальные исследования моделей железобетонных колонн при ударном воздействии / Д.Г. Копаница, А.С. Пляскин // Вестник ТГАСУ. - 2011. - № 4. -С. 91-96.
5. Программа APM Structured3D для расчета и проектирования конструкций на прочность, устойчивость и динамические воздействия. Сертификат соответствия № POCC RU.Cn15.ro0524 // Федеральное агентство по техническому регулированию и метрологии.
REFERENCES
1. Plyaskin, A.S. Eksperimental'nye issledovaniya zhelezobetonnoi ramy pri udamom nagruzhe-nii [Experimental study of reinforced concrete frame under impact loading]. TPU Publishing House. 2009. Proc. 4th Int. Conf of Young Researchers. Pp. 813-815. (rus)
2. Certificate N 2010611042 of State Registration of IBM Programs 'Raschet adiabaticheskikh nestatsionarnykh techenii v trekhmernoi postanovke (RANET-3)'. Federal'naya sluzhba po in-tellektual'noi sobstvennosti, patentam i tovarnym znakam RF. 2010. (rus)
3. Belov, N.N., Yugov, N.T., Kopanitsa, D.G., Kaparulin S.L., Plyaskin, A.S. Raschet ostato-chnogo poperechnogo impul'sa v zhelezobetonnoy kolonne pri udarno-volnovom nagruzhenii ee bokovoy poverkhnosti [Residual transverse pulse design in reinforced concrete column under its lateral wave-impact loading]. Vestnik of Tomsk State University of Architecture and Building. 2012. No. 4. Pp. 179-190. (rus)
4. Kopanitsa, D.G., Plyaskin, A.S. Eksperimental'nye issledovaniya modelei zhelezobetonnykh kolonn pri udarnom vozdeistvii [Experimental study of reinforced concrete columns under impact loading]. Vestnik of Tomsk State University of Architecture and Building. 2011. No. 4. Pp. 91-96. (rus)
5. Conformance Certificate N POCC RU.SP15.N00524 'Programma APM Structured3D dlya rascheta i proektirovaniya konstruktsii na prochnost', ustoichivost' i dinamicheskie vozdeistvi-ya'. Federal'noe agentstvo po tekhnicheskomu regulirovaniyu i metrologii. (rus)
