CC BY
80
УДК 539.3
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ НА ОСНОВЕ ЯУЯ-МЕТОДА
В.А. Сало, доцент, д.т.н., Военный институт ВВ МВД Украины
Аннотация. Предложен ЯУЯ-метод определения напряженно-деформированного состояния оболочек с отверстиями. Используемый метод основан на вариационном принципе Рейсснера, методе И.Н.Векуа, теории Я-функций, общих уравнениях трехмерной теории упругости и алгоритме двусторонней оценки точности приближенных решений смешанных вариационных задач. Эффективность метода показана на конкретном примере.
Ключевые слова: вариационный принцип, оболочка, концентрация напряжений.
Введение
Несмотря на накопленный в научной литературе огромный материал расчетов различных оболочек, большинство из существующих методов их исследований приводят к расчетным моделям, которые не всегда позволяют обосновать выбор конструктивных параметров оболочек с отверстиями. Очевидно, существенный прогресс в достижении конкретных и достоверных результатов решения в пространственной постановке краевых задач теории оболочек невозможен без использования основных соотношений трехмерной теории упругости и привлечения современных быстродействующих ПЭВМ. В этой связи актуальна потребность в создании достаточно универсальных и алгоритмически простых для численной реализации методов расчета ослабленных отверстиями оболочек произвольной толщины.
Анализ публикаций
Оценка прочности и жесткости упругих оболочек предполагает выполнение расчета их напряженно-деформированного состояния на основе решений соответствующих краевых задач теории упругости. К настоящему времени построено большое количество разнообразных и нередко противоречащих друг другу вариантов уточненных теорий оболочек, однако их обилие создает определенные затруднения в выборе и практическом применении конкретной модели оболочки. Для расчета оболочек средней толщины и оболочек толстостенных необходимо привлекать трехмерную теорию упругости или обобщенные теории оболочек, основанные на замене решения трехмерной задачи теории упругости регулярной
последовательностью решений двумерных задач. В монографии [1] автором даны классификация и обстоятельный анализ известных в научной литературе уточненных теорий оболочек, рассмотрено современное состояние проблемы определения концентрации напряжений в упругих оболочках с отверстиями, а также предложен разработанный, теоретически обоснованный и численно реализованный автором эффективный метод решения краевых задач определения напряженно-деформированного состояния статически нагруженных оболочек (в частности, пластин) с отверстиями. Метод основан на использовании смешанного вариационного принципа Рейсснера, метода И.Н. Векуа, теории Я-функций и общих уравнений пространственных задач математической теории упругости. Изложенный в монографии [1] метод можно использовать при выполнении расчетов упругих оболочек с одним или несколькими, периодическими или двоякопериоди-ческими системами отверстий.
Цель и постановка задачи
В приводах современных машин в качестве средства управления и улучшения динамических характеристик нередко применяются гидрообъемные передачи. Одним из основных элементов гидромотора является его корпус - толстостенное цилиндрическое тело с периодической системой соосно расположенных цилиндрических полостей. При работе машины масло, находящееся под давлением в полости отверстий, вызывает на их поверхности равномерно распределенную нагрузку интенсивности д. В гидрообъемных машинах давление масла достигает высоких значений, и фактор концентрации напряжений около отверстий может существенно влиять на несу-
щую способность конструкции, поэтому при проектировании гидромотора возникает потребность исследования его корпуса на прочность.
Покажем эффективность использования ЯУЯ-метода [1] в задаче расчета корпуса гидромотора. Введем цилиндрическую систему координат {г, ф, г}. Так как полости отверстий нагружены
силами, не изменяющимися вдоль оси корпуса и перпендикулярными к этой оси, то в этом случае часть корпуса, удаленная от торцов, подвергается плоской деформации, а перемещение всех точек деформированного тела происходит в плоскостях (г, ф) - в сечениях, перпендикулярных к оси г цилиндрического тела, то есть
8 г = 0; у „ = 0; Уф2 = 0: = 0; = 0.
(1)
Внешняя и внутренняя поверхность толстостенного цилиндра (корпуса гидромотора) свободны от внешних напряжений, а поверхности цилиндрических полостей (круговых отверстий радиуса К2) нагружены равномерно распределенным давлением интенсивности д. Таким образом, граничные условия исследуемой плоской задачи будут следующими:
ст = 0 стгф =0 на г0 и Г
ст = -д, Стт =0 на Г2.
(3)
Кроме того, на граничной поверхности, определяемой уравнением ф=у, должны выполняться условия периодичности
иф = 0 СТгф = 0.
(4)
Рассмотрим в полярной системе координат {г, ф} с внешним и внутренним круговыми контурами радиусов К и К1 упругую область, ослабленную периодической системой N круговых отверстий радиуса К2 (рис. 1).
Рис. 1. Исследуемая периодическая область О
Пусть 002 = а. Расчет упругой области сводится
из соображений симметрии к исследованию периодического участка О (0 <ф<у, где
у = п/N ). Разобьем границу области О на элементы Г (I = 0,2), которые зададим функциями Ю (Ю |Г. = 0):
11 I
=П К ]; •■= К2 (г'-
= К-(г2 -2га008ф + а2)-1.
Нормальные стп и касательные стт напряжения на границе Г2 связаны с радиальными стг, окружными стф и касательными стгф напряжениями следующими зависимостями:
ст = /12 СТ+2/1/2 стгф+Л2 ^ф;
= /1 /2 (Стф-Стг) + (( -/2)
(5)
где направляющие косинусы / и /2 нормали п к контуру Г2 определяются выражениями
К2 5Ю2 , К2 дю2 (6)
Л =—--/2 =---— . (6)
2 дг
Введем обозначения
г. = 008; = 8Ш
2 г дф
( + 1)пф
=.(п2 +1)+]+1; Фг =•
ю0 ю.
Ф =-
ф 1 + ю2
ю0 ю150
; Ф =-
> гф 0 .
Ю0Ю1о0 +Ю2
(7)
стф= /2СТг - 2/1/2ст^ + /12СТф. (8)
Представим удовлетворяющие условиям (3) и (4) радиальное иг, окружное иф перемещения и
напряжения в виде (Рк - полиномы Лежандра)
ю0ю. + ®2
« «2 « п2
«г = ЕЕ «гш ркс«ф = ЕЕ г
к=0 ^=0 к =0 ^=0
=Фг Г-ЯЧ + /22 ЕЕ Е ст,ЛС 1 +
V к=0)=0 ;
«1 «2
+Ю0Ю1Ю2 ЕЁсп»ркС;
к=0 j=0
СТФ = Фф I - /22 Ч + /12 ЕЕ ° тРкС| + ^ (9)
V к=0 j=0
«1 «2
+®2 ЕЕ%трС ;
к=0 j=0
Г «1 «2 /1 /2 Фгф| Ч + Е Е СТтРкС | +
V к=0 j=0 «1 «2
+Ю0Ю1Ю2 Е Е^фт^г
к=0 j=0
После подстановки структур (9) в вариационное уравнение Рейсснера задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений
ст = сту/ч • В табл. 1 для характерных точек исследуемой области О представлены найденные при различных значениях межцентрового расстояния а и радиуса Я2 кругового отверстия безразмерные приведенные напряжения ст .
Таблица 1 Значения приведенного напряжения
а, мм 45 49.5
Я2, мм 11.5 13.75 11.5 13.75
<5 А 1.875 3.007 1.061 1.963
ст в 1.288 0.542 1.371 2.265
ст шах 2.784 5.867 3.070 6.637
ст с 2.322 3.727 2.436 6.637
ст Б 1.584 3.312 3.118 9.750
Выводы
стгфт и стт , по значениям которых определяются перемещения, напряжения, а также нормальное напряжение сту (8) на границе Г2.
Численная реализация задачи
Численная реализация задачи выполнена для изотропного (Е = 196,2 ГПа; v = 0,3) корпуса гидромотора с параметрами: а = 46,5 мм ; Я = 65 мм ; Я1 = 28 мм ; Я2 = 13,75 мм .
В
0,
С
Из полученных результатов следует, что напряженное состояние корпуса гидромотора существенно зависит от размеров концентратора и от его расположения в исследуемой области. Так, при изменении величины радиуса Я2 от 11.5 мм до 13.75 мм максимальное напряжение стшах, которое возникает на контуре Г2 отверстия при у = 65°^ 85°, увеличивается почти в два раза, а уровень напряжений ст при этом уменьшается в точке В (у = 0) и увеличивается в точке С (у = 180°). При увеличении межцентрового расстояния а и соответственно уменьшении перемычки СБ (рис. 2) окрестность точки Б становится не менее напряженной, чем контур Г2 отверстия. Полученные результаты в виде установленных зависимостей напряженного состояния корпуса гидромотора от размеров отверстий и от их расположения в расчетной области, использованы при проектировании гидромотора.
Литература
1. Сало В .А. Краевые задачи статики оболочек с отверстиями. - Харьков, 2003. - 216 с.
Рис. 2. Распределение напряжения ст на контуре отверстия Г2
Рецензент: В.Г. Солодов, профессор, д.т.н., ХНАДУ.
относительно постоянных «гш , «фт , стгт , стфт
На рис. 2 штриховыми линиями показано (числа возле графиков соответствуют значениям радиуса Я2 ) распределение приведенного напряжения
Статья поступила в редакцию 4 марта 2005 г.
