4. Тотурбиев Б. Д. и др. Способ получения керамического заполните-ля//Патент России № 2129105. 1995. Бюл. № 20.
5. Тотурбиев Б.Д. Черкашин В.И., Мантуров З.А., Тотурбиев А.Б. Композиция для получения теплоизоляционного материала//Патенты России: №2531079. 2014. Бюл. № 29; патент №2531078. 2014. Бюл. № 29; патент №2530935. 2014. Бюл. № 29.
6. Чантурия В.А. Прогрессивные технологии комплексной переработки минерального сырья//М.: Изд. дом «Руда и металлы», 2008, с. 5-52;
7. Черкашин В.И., Тотурбиев Б.Д Глинистые сланцы - эффективное местное минеральное сырье для производства вяжущих//Труды Института геологии ДагНЦ РАН «Региональная геология и нефтегазоностность Кавказа», Научно -практическая конференция. Махачкала. 2012. С. 47-51.
УДК 624.011.1
МуселемовХ.М., Омаров А.О., Устарханов Т.О.
РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТРЕХСЛОЙНОЙ БАЛКИ С УЧЕТОМ КРАЕВЫХ ЭФФЕКТОВ
Muselemov Kh.M., Omarov A.O., Ustarkhanov T.O.
THE CALCULATION OF STRESS-STRAIN STATE OF THREE-LAYER BEAM TAKING INTO ACCOUNT EDGE EFFECTS
Работа посвящена расчету напряженно-деформированного состояния (НДС) трехслойной балки (ТБ) с учетом краевых эффектов.
В данной статье получена система дифференциальных уравнений равновесия трехслойной балки. Для решения этих уравнений необходимо знать 12 граничных условий, которые зависят от условий опирания и нагружения исследуемых трехслойных балок. Данная система уравнений решается с помощью пакета прикладных программ математического моделирования «Mаple 5.4». В результате решения данной системы получаем выражения для определения деформаций и напряжений всех компонент (несущих слоев и заполнителя) трехслойной балки в любой точке при заданных условиях крепления концов балки и нагружения.
Ключевые слова: граничные условия, трехслойная цилиндрическая оболочка, трехслойная балка, несущий слой.
The work is dedicated to the calculation of the stress-strain state (SSS) of the three-layer beam (TLB) subject to boundary effects.
127
In this paper, a system of differential equations of equilibrium of the three-layer beam. To solve these equations, it is necessary to know the 12 boundary conditions, co-which depend on support conditions and loading of sandwich beams under study. This system of equations is solved by the application package of mathematical modeling "Maple 5.4. " The solution of this system we obtain expressions for determining de-formations and stress all components (bearing layers and filler), a three-layer beam anywhere under specified conditions of fastening the ends of the beam and its loading.
Key words: boundary conditions, three-layered cylindrical shell, three-layer beam, the carrier layer.
Введение. В данной статье приводятся примеры расчета на ЭВМ напряженно-деформированного состояния трехслойной балки с помощью дифференциальных уравнений равновесия трехслойной цилиндрической оболочки, полученных в работе [1]. В качестве примера рассматривается НДС трехслойной балки.
Постановка задачи. Для расчета НДС ТБ общие уравнения равновесия трехслойной цилиндрической оболочки преобразуем в общие уравнения равновесия для трехслойных балок, приравняв R=œ. При этом полученные дифференциальные уравнения равновесия трехслойной балки показаны в таблице 1. В полученных уравнениях постоянные коэффициенты k^k36 приведены в работе [1].
u 1 , u 2 ; w i , w 2 ; Ui, U2 - перемещения несущих слоев в направлении осей X, Y и Z.
Таблица 1 - Уравнения равновесия трехслойной балки
u 1 u 2 w 1 w 2
1 , д2 щ 1 ах2 21 , д2u2 К? + К • U1 3 дх2 К; д 3 + К6 S W1 дх дх д 3w2 + К ^2 К i 1 К8 дх дх X1
2 , а2 щ к9 л. 2 + к10щ1 дх , д2 u2 К11 + K12U2 К д 3 w1 + К Qw1 К13 - 3 1 К14 -дх 3 дх К д 3 W2 . К ^2 К15 _ 3 1 К16 - дх дх X2
3 д 3щ дщ 11 дх3 + Kl8 дх д\ ди2 k19 - 3 1 k20 - дх дх , д4w1 : ? д2w1 i ? k21 1 k22 ^2 + k33w1 ! д4w2 i ; д2w2 i ; k23 ^4 1 k24 ^2 + k34w2 Z1
4 j д3щ i j д и К25 - 3 1 К 26 - дх дх i / д3u2 i 1 ди2 К21 - 3 1 К28 - дх дх J д\ J д\ 1 J k29 - 4 1 k30 - 2 + k35W1 дх дх д 4w2 52w2 k,,-2 + k„-2 + 31 дх4 32 дх2 36 2 Z2
В результате получим систему дифференциальных уравнений в частных производных 12-го порядка. Решить их в этом виде довольно сложно.
Для решения данной системы уравнений преобразуем ее в однородные уравнения 1-го порядка. Для этого обозначим неизвестные перемещения и их производные через переменные а1...а12:
&и1 2 &а3 а1 = и1; а2 =-; а3 = и2; а4 =-=-; а5 = w1;
-; а8 =-; а9 = w2;
dw1 &а5
dw2
&а10 &а11 ; а11 =-; а12 =
(1)
После замены переменных система примет вид:
1. da1/dx=a2;
2. da2/dx=-g1a1 -^2а3-^3а8-^4а6-^5а12-^6а10;
3. da3/dx=a4;
4. da4/dx=-g7a1 ^8а3^9а8^10а6^11а12^12а10;
5. da5/dx=a6;
6. da6/dx=a7; (2)
7. da7/dx=a8;
8. da8/dx=-d1a2-d2a4-d3a7-d4a4-d5a5-d6a9;
9. da9/dx=a10;
10. da10/dx=a11;
11. da11/dx=a12;
12. da10/dx=d7a2+d8a4+d9a7+d10a4+d11a5+d12a9,
то есть, получим систему дифференциальных уравнений 1 -го порядка относительно переменных а1...а12 (табл. 2). Решение системы имеет вид:
а1=С1 в11х К11 + С2 в12х К12 + С3в13х К13 +.....+ С12 в112х К112
а2=С1 в11х К21 + С2 в12х К22 + С3в13х К23 +.....+ С12 в112х К212
а3=С1 е^ К31 + С2 1 К32 + С3е^ К33 +.....+ С12 ек12х К312 (3)
а12=С1 е^ К121 + С2 е^ Ки2 + С3ех& К2 +.....+ Сп е11^ К1212
>
Таблица 2 - Система дифференциальных уравнений равновесия
трехслойной балки
а1 а2 а3 а4 А5 а6 а7 а8 а9 а10 all a12
1 d/dx -1
2 d/dx g2 g4 g3 g6 g5
3 d/dx -1
4 d/dx g10 g9 g12 g11
5 d/dx -1
6 d/dx -1
7 d/dx -1
8 d1 d2 D5 d3 d/dx d6 d4
9 d/dx -1
10 d/dx -1
11 d/dx -1
12 -d7 -d8 -d11 -d9 -d12 -d10 d/dx
Характерные случаи при решении полинома:
1. Число 0;
Л=0 => Св0х =1 - эти составляющие дают постоянное решение.
2. Число действительное сопряженное;
h=±a => Ce±ax =1
- эти составляющие дают чисто затухающее решение.
3. Число мнимое сопряженное;
A==±bi => C1cos(bx); C2sin(bx)
- эти составляющие дают чисто гармоническое решение, незатухающее.
4. Число комплексное;
X=a±bi => C1eaxcos(bx); C2eaxsin(bx)
- эти составляющие дают гармоническое решение, затухающее.
Данная система уравнений решается с помощью пакета прикладных программ математического моделирования «Мар1е 5.4».
В качестве примера рассматривалась ТБ, защемленная по кромкам, симметричной и несимметричной структуры, нагруженная равномерно распределенной нагрузкой.
Симметричная ТБ (рис. 1). 11=12=0,100см; с=3,800см; 1=40см. Материал несущих слоев - стеклопластик, заполнитель - АМг2-Н.
Несимметричная ТБ (рис. 2). 1:1=0,085см; 12=0,050см; с=3,865; 1=40см; Материал несущих слоев - углепластик, заполнитель - АМг2-Н
ъ
я
Ту „у,, „у,, „У, „ „ Ж, „ л
0
XI_у__V_Щ_Щ_V.
X
X
X = -
2
/=40см
2
Рисунок 1 - Балка симметричного сечения с защемленными кромками при действии равномерно распределенной нагрузки
при действии равномерно распределенной нагрузки
Результаты эксперимента и их обсуждение. Результаты примера расчета трехслойных балок сравнивались с результатами экспериментальных исследований приведенных в статье [2] и показаны в таблицах 3 и 4.
Таблица 3 - Теоретические и экспериментальные значения напряжений и перемещений в несущих слоях для трехслойной балки, защемленной с обеих сторон, при нагружении равномерно распределенной нагрузкой (11=12=0,100 см)
Нагрузка q кгс/см № датчика 1 2 3 4 5 6
№ слоя 2 1 2 1 2 1
q=0,5 Напряжения (кгс/см2, ате2ор = а"г2 + ара2ст)
раст °ра 2,74 2,74 1,19 1,19 2,51 2,51
—_ изг а 6,11 -6,11 25,56 -25,56 32,93 -32,93
ат2ор 8,857 -3,37 26,75 -24,37 35,44 -30,42
^_эксп а 8,259 -3,33 24,61 -22,49 32,625 -28,63
Расхождение (%)
8 7,5 7,1 8 7,71 7,9 5,88
Перемещения (мм)
0,035 0,03 0,10 0,09 0,16 0,15
лл>эксп 0,031 0,27 0,09 0,08 0,15 0,14
q=1,5 Нап зяжения (кгс/см2)
раст 8,23 8,23 3,57 3,57 7,53 7,53
^изг а 18,34 -18,34 74,68 -76,68 98,78 -98,78
ат2ор 26,57 -10,11 79,95 -67,19 104,91 -91,25
эксп а 24,64 -9,371 75,686 -71,35 96,60 -84,46
Расхождение в %
8 7,2 7,4 6,6 7,1 7,7 6,9
Перемещения (мм)
^еор уу1, а 0,15 0,13 0,51 0,46 0,56 0,49
,.,эксп 0,14 0,12 0,47 0,43 0,53 0,45
q=2,5 Нап зяжения (кгс/см2)
раст °ра 13,74 13,74 5,96 5,96 12,57 12,57
^изг а1. а 30,63 -30,63 128,05 -128,05 164,96 -164,96
ат2ор 43,37 -16,88 134,05 -122,09 177,54 -152,39
эксп а 40,07 -15,71 124,36 -113,26 164,22 -140,50
Расхождение в %
8 7,6 6,9 6,8 7,2 7,5 7,8
Перемещения (мм)
^еор уу1, а 0,22 0,21 0,82 0,74 0,89 0,82
,.,эксп 0,20 0,19 0,76 0,69 0,82 0,75
Таблица 4 - Теоретические и экспериментальные значения напряжений и перемещений в несущих слоях для трехслойной балки, защемленной с обеих сторон, при нагружении равномерно распределенной нагрузкой (1:1=0,085см, _12=0,050см)_
Нагруз- № датчика 1 2 3 4 5 6
ка q кгс/см № слоя 2 1 2 1 2 1
Напряжения (кгс/см2, ате2ор = а™ + ара2ст )
раст 0,368 0,216 1,464 0,861 1,927 1,133
^изг а1, а 11,113 -16,79 28,36 -42,33 34,77 -51,87
ате2ор 11,48 -16,58 29,82 -41,46 36,69 -50,96
q=0,5 ^_эксп а1. а 10,23 -14,92 26,62 -39,10 32,56 -44,33
Расхождение (
5 11,2 10,0 10,7 11,1 11,2 11,3
Перемещения (мм)
лл>теоР 0,022 0,015 0,077 0,072 0,093 0,090
лл>эксп 0,02 0,015 0,074 0,07 0,09 0,087
Напряжения (кгс/см2)
раст 1,103 0,649 4,392 2,583 5,78 3,40
изг аи, а 33,34 -50,39 85,08 -126,98 104,3 -155,6
ате2ор 35,44 -48,25 89,47 -123,39 110,08 -152,20
q=1,5 эксп а1. а 31,47 -42,86 79,18 -111,69 97,98 -135,17
Расхождение (
5 11,2 11,1 11,5 9,5 10,9 11,1
Перемещения (мм)
лл>теоР 0,10 0,08 0,25 0,24 0,33 0,323
,.,эксп 0,09 0,07 0,24 0,23 0,31 0,304
Напряжения (кгс/см2)
раст 1,842 1,048 7,33 4,31 9,65 5,68
изг аи, а 55,68 -84,15 142,08 -211,07 171,18 -249,17
ате2ор 57,522 -83,06 149,41 -206,76 180,83 -244,49
q=2,5 эксп а1. а 50,75 -73,34 133,58 -182,74 159,22 -216,43
Расхождение (
5 11,7 11,7 10,6 11,9 11,9 11,4
Перемещения (мм)
лл>теоР 0,20 0,13 0,55 0,51 0,59 0,57
,.,эксп 0,18 0,12 0,51 0,475 0,56 0,54
римечание: Нагружение со стороны толстого слоя
Вывод.
1. Следует отметить, что данные расчёты проведены на основе представления расчётной модели здания в виде одномассового консольного стержня с
133
периодом собственных колебаний до усиления Т=0,6 с. Продолжительность сейсмического воздействия, представленного в виде стационарного случайного процесса, принята равной 10 сек. Коэффициенты у и ^ приняты, равными 1, а вероятность безотказности системы оценена по теории выбросов.
2. Найдено решение системы дифференциальных уравнений для трехслойной балки, симметричной и несимметричной структуры при различных условиях опирания концов и нагружения.
3. Вид решения дифференциальных уравнений свидетельствует, что выражение для искомых функций ^1,2; И1,2) содержит несколько быстро затухающих составляющих. Эти составляющие описывают краевые эффекты, связанные с интенсивным сдвигом в трехслойной конструкции, сжатием заполнителя, которые в значительной мере определяют напряженно -деформированное состояние трехслойного пакета в зонах, имеющих большой показатель изменяемости. Подобное решение для трехслойной цилиндрической оболочки и балки получено впервые.
4. Результаты теоретических расчетов показывают наличие сближения несущих слоев в зонах опирания для несимметричной трехслойной балки, защемленной по кромкам при действии равномерно распределенной нагрузки. Для симметричной балки наибольшее сближение слоев наблюдается в середине пролета.
5. Сравнение данных теоретических исследований с экспериментальными показали что, разность напряжений несущих слоев не превышает 12%, а разность в перемещениях не превышает 8%.
Библиографический список:
1. Устарханов О.М., Батдалов М.М., Муселемов Х.М.. Расчет трехслойных конструкций с дискретным заполнителем - Махачкала 2014.-160с.
2. Устарханов О.М., Кобелев В.Н., Булгаков А.И., Кулиева Ш.С. Экспериментальные исследования трехслойных балок для оценки влияния краевых эффектов на напряженно-деформированное состояние//Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. - 2005, приложение №1, с.75-78.