Научная статья на тему 'Расчет напряженно-деформированного состояния трехслойной балки с учетом краевых эффектов'

Расчет напряженно-деформированного состояния трехслойной балки с учетом краевых эффектов Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
91
14
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ / BOUNDARY CONDITIONS / ТРЕХСЛОЙНАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА / THREE-LAYERED CYLINDRICAL SHELL / ТРЕХСЛОЙНАЯ БАЛКА / THREE-LAYER BEAM / НЕСУЩИЙ СЛОЙ / CARRIER LAYER

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Муселемов Хайрулла Магомедмурадович, Омаров Ариф Омарович, Устарханов Тагир Османович

Работа посвящена расчету напряженно-деформированного состояния (НДС) трехслойной балки (ТБ) с учетом краевых эффектов. В данной статье получена система дифференциальных уравнений равновесия трехслойной балки. Для решения этих уравнений необходимо знать 12 граничных условий, которые зависят от условий опирания и нагружения исследуемых трехслойных балок. Данная система уравнений решается с помощью пакета прикладных программ математического моделирования «Mаple 5.4». В результате решения данной системы получаем выражения для определения деформаций и напряжений всех компонент (несущих слоев и заполнителя) трехслойной балки в любой точке при заданных условиях крепления концов балки и нагружения.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Муселемов Хайрулла Магомедмурадович, Омаров Ариф Омарович, Устарханов Тагир Османович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

THE CALCULATION OF STRESS-STRAIN STATE OF THREE-LAYER BEAM TAKING INTO ACCOUNT EDGE EFFECTS

The work is dedicated to the calculation of the stress-strain state (SSS) of the three-layer beam (TLB) subject to boundary effects. In this paper, a system of differential equations of equilibrium of the three-layer beam. To solve these equations, it is necessary to know the 12 boundary conditions, co-which depend on support conditions and loading of sandwich beams under study. This system of equations is solved by the application package of mathematical modeling ”Maple 5.4.” The solution of this system we obtain expressions for determining de-formations and stress all components (bearing layers and filler), a three-layer beam anywhere under specified conditions of fastening the ends of the beam and its loading.

Текст научной работы на тему «Расчет напряженно-деформированного состояния трехслойной балки с учетом краевых эффектов»

4. Тотурбиев Б. Д. и др. Способ получения керамического заполните-ля//Патент России № 2129105. 1995. Бюл. № 20.

5. Тотурбиев Б.Д. Черкашин В.И., Мантуров З.А., Тотурбиев А.Б. Композиция для получения теплоизоляционного материала//Патенты России: №2531079. 2014. Бюл. № 29; патент №2531078. 2014. Бюл. № 29; патент №2530935. 2014. Бюл. № 29.

6. Чантурия В.А. Прогрессивные технологии комплексной переработки минерального сырья//М.: Изд. дом «Руда и металлы», 2008, с. 5-52;

7. Черкашин В.И., Тотурбиев Б.Д Глинистые сланцы - эффективное местное минеральное сырье для производства вяжущих//Труды Института геологии ДагНЦ РАН «Региональная геология и нефтегазоностность Кавказа», Научно -практическая конференция. Махачкала. 2012. С. 47-51.

УДК 624.011.1

МуселемовХ.М., Омаров А.О., Устарханов Т.О.

РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТРЕХСЛОЙНОЙ БАЛКИ С УЧЕТОМ КРАЕВЫХ ЭФФЕКТОВ

Muselemov Kh.M., Omarov A.O., Ustarkhanov T.O.

THE CALCULATION OF STRESS-STRAIN STATE OF THREE-LAYER BEAM TAKING INTO ACCOUNT EDGE EFFECTS

Работа посвящена расчету напряженно-деформированного состояния (НДС) трехслойной балки (ТБ) с учетом краевых эффектов.

В данной статье получена система дифференциальных уравнений равновесия трехслойной балки. Для решения этих уравнений необходимо знать 12 граничных условий, которые зависят от условий опирания и нагружения исследуемых трехслойных балок. Данная система уравнений решается с помощью пакета прикладных программ математического моделирования «Mаple 5.4». В результате решения данной системы получаем выражения для определения деформаций и напряжений всех компонент (несущих слоев и заполнителя) трехслойной балки в любой точке при заданных условиях крепления концов балки и нагружения.

Ключевые слова: граничные условия, трехслойная цилиндрическая оболочка, трехслойная балка, несущий слой.

The work is dedicated to the calculation of the stress-strain state (SSS) of the three-layer beam (TLB) subject to boundary effects.

127

In this paper, a system of differential equations of equilibrium of the three-layer beam. To solve these equations, it is necessary to know the 12 boundary conditions, co-which depend on support conditions and loading of sandwich beams under study. This system of equations is solved by the application package of mathematical modeling "Maple 5.4. " The solution of this system we obtain expressions for determining de-formations and stress all components (bearing layers and filler), a three-layer beam anywhere under specified conditions of fastening the ends of the beam and its loading.

Key words: boundary conditions, three-layered cylindrical shell, three-layer beam, the carrier layer.

Введение. В данной статье приводятся примеры расчета на ЭВМ напряженно-деформированного состояния трехслойной балки с помощью дифференциальных уравнений равновесия трехслойной цилиндрической оболочки, полученных в работе [1]. В качестве примера рассматривается НДС трехслойной балки.

Постановка задачи. Для расчета НДС ТБ общие уравнения равновесия трехслойной цилиндрической оболочки преобразуем в общие уравнения равновесия для трехслойных балок, приравняв R=œ. При этом полученные дифференциальные уравнения равновесия трехслойной балки показаны в таблице 1. В полученных уравнениях постоянные коэффициенты k^k36 приведены в работе [1].

u 1 , u 2 ; w i , w 2 ; Ui, U2 - перемещения несущих слоев в направлении осей X, Y и Z.

Таблица 1 - Уравнения равновесия трехслойной балки

u 1 u 2 w 1 w 2

1 , д2 щ 1 ах2 21 , д2u2 К? + К • U1 3 дх2 К; д 3 + К6 S W1 дх дх д 3w2 + К ^2 К i 1 К8 дх дх X1

2 , а2 щ к9 л. 2 + к10щ1 дх , д2 u2 К11 + K12U2 К д 3 w1 + К Qw1 К13 - 3 1 К14 -дх 3 дх К д 3 W2 . К ^2 К15 _ 3 1 К16 - дх дх X2

3 д 3щ дщ 11 дх3 + Kl8 дх д\ ди2 k19 - 3 1 k20 - дх дх , д4w1 : ? д2w1 i ? k21 1 k22 ^2 + k33w1 ! д4w2 i ; д2w2 i ; k23 ^4 1 k24 ^2 + k34w2 Z1

4 j д3щ i j д и К25 - 3 1 К 26 - дх дх i / д3u2 i 1 ди2 К21 - 3 1 К28 - дх дх J д\ J д\ 1 J k29 - 4 1 k30 - 2 + k35W1 дх дх д 4w2 52w2 k,,-2 + k„-2 + 31 дх4 32 дх2 36 2 Z2

В результате получим систему дифференциальных уравнений в частных производных 12-го порядка. Решить их в этом виде довольно сложно.

Для решения данной системы уравнений преобразуем ее в однородные уравнения 1-го порядка. Для этого обозначим неизвестные перемещения и их производные через переменные а1...а12:

&и1 2 &а3 а1 = и1; а2 =-; а3 = и2; а4 =-=-; а5 = w1;

-; а8 =-; а9 = w2;

dw1 &а5

dw2

&а10 &а11 ; а11 =-; а12 =

(1)

После замены переменных система примет вид:

1. da1/dx=a2;

2. da2/dx=-g1a1 -^2а3-^3а8-^4а6-^5а12-^6а10;

3. da3/dx=a4;

4. da4/dx=-g7a1 ^8а3^9а8^10а6^11а12^12а10;

5. da5/dx=a6;

6. da6/dx=a7; (2)

7. da7/dx=a8;

8. da8/dx=-d1a2-d2a4-d3a7-d4a4-d5a5-d6a9;

9. da9/dx=a10;

10. da10/dx=a11;

11. da11/dx=a12;

12. da10/dx=d7a2+d8a4+d9a7+d10a4+d11a5+d12a9,

то есть, получим систему дифференциальных уравнений 1 -го порядка относительно переменных а1...а12 (табл. 2). Решение системы имеет вид:

а1=С1 в11х К11 + С2 в12х К12 + С3в13х К13 +.....+ С12 в112х К112

а2=С1 в11х К21 + С2 в12х К22 + С3в13х К23 +.....+ С12 в112х К212

а3=С1 е^ К31 + С2 1 К32 + С3е^ К33 +.....+ С12 ек12х К312 (3)

а12=С1 е^ К121 + С2 е^ Ки2 + С3ех& К2 +.....+ Сп е11^ К1212

>

Таблица 2 - Система дифференциальных уравнений равновесия

трехслойной балки

а1 а2 а3 а4 А5 а6 а7 а8 а9 а10 all a12

1 d/dx -1

2 d/dx g2 g4 g3 g6 g5

3 d/dx -1

4 d/dx g10 g9 g12 g11

5 d/dx -1

6 d/dx -1

7 d/dx -1

8 d1 d2 D5 d3 d/dx d6 d4

9 d/dx -1

10 d/dx -1

11 d/dx -1

12 -d7 -d8 -d11 -d9 -d12 -d10 d/dx

Характерные случаи при решении полинома:

1. Число 0;

Л=0 => Св0х =1 - эти составляющие дают постоянное решение.

2. Число действительное сопряженное;

h=±a => Ce±ax =1

- эти составляющие дают чисто затухающее решение.

3. Число мнимое сопряженное;

A==±bi => C1cos(bx); C2sin(bx)

- эти составляющие дают чисто гармоническое решение, незатухающее.

4. Число комплексное;

X=a±bi => C1eaxcos(bx); C2eaxsin(bx)

- эти составляющие дают гармоническое решение, затухающее.

Данная система уравнений решается с помощью пакета прикладных программ математического моделирования «Мар1е 5.4».

В качестве примера рассматривалась ТБ, защемленная по кромкам, симметричной и несимметричной структуры, нагруженная равномерно распределенной нагрузкой.

Симметричная ТБ (рис. 1). 11=12=0,100см; с=3,800см; 1=40см. Материал несущих слоев - стеклопластик, заполнитель - АМг2-Н.

Несимметричная ТБ (рис. 2). 1:1=0,085см; 12=0,050см; с=3,865; 1=40см; Материал несущих слоев - углепластик, заполнитель - АМг2-Н

ъ

я

Ту „у,, „у,, „У, „ „ Ж, „ л

0

XI_у__V_Щ_Щ_V.

X

X

X = -

2

/=40см

2

Рисунок 1 - Балка симметричного сечения с защемленными кромками при действии равномерно распределенной нагрузки

при действии равномерно распределенной нагрузки

Результаты эксперимента и их обсуждение. Результаты примера расчета трехслойных балок сравнивались с результатами экспериментальных исследований приведенных в статье [2] и показаны в таблицах 3 и 4.

Таблица 3 - Теоретические и экспериментальные значения напряжений и перемещений в несущих слоях для трехслойной балки, защемленной с обеих сторон, при нагружении равномерно распределенной нагрузкой (11=12=0,100 см)

Нагрузка q кгс/см № датчика 1 2 3 4 5 6

№ слоя 2 1 2 1 2 1

q=0,5 Напряжения (кгс/см2, ате2ор = а"г2 + ара2ст)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

раст °ра 2,74 2,74 1,19 1,19 2,51 2,51

—_ изг а 6,11 -6,11 25,56 -25,56 32,93 -32,93

ат2ор 8,857 -3,37 26,75 -24,37 35,44 -30,42

^_эксп а 8,259 -3,33 24,61 -22,49 32,625 -28,63

Расхождение (%)

8 7,5 7,1 8 7,71 7,9 5,88

Перемещения (мм)

0,035 0,03 0,10 0,09 0,16 0,15

лл>эксп 0,031 0,27 0,09 0,08 0,15 0,14

q=1,5 Нап зяжения (кгс/см2)

раст 8,23 8,23 3,57 3,57 7,53 7,53

^изг а 18,34 -18,34 74,68 -76,68 98,78 -98,78

ат2ор 26,57 -10,11 79,95 -67,19 104,91 -91,25

эксп а 24,64 -9,371 75,686 -71,35 96,60 -84,46

Расхождение в %

8 7,2 7,4 6,6 7,1 7,7 6,9

Перемещения (мм)

^еор уу1, а 0,15 0,13 0,51 0,46 0,56 0,49

,.,эксп 0,14 0,12 0,47 0,43 0,53 0,45

q=2,5 Нап зяжения (кгс/см2)

раст °ра 13,74 13,74 5,96 5,96 12,57 12,57

^изг а1. а 30,63 -30,63 128,05 -128,05 164,96 -164,96

ат2ор 43,37 -16,88 134,05 -122,09 177,54 -152,39

эксп а 40,07 -15,71 124,36 -113,26 164,22 -140,50

Расхождение в %

8 7,6 6,9 6,8 7,2 7,5 7,8

Перемещения (мм)

^еор уу1, а 0,22 0,21 0,82 0,74 0,89 0,82

,.,эксп 0,20 0,19 0,76 0,69 0,82 0,75

Таблица 4 - Теоретические и экспериментальные значения напряжений и перемещений в несущих слоях для трехслойной балки, защемленной с обеих сторон, при нагружении равномерно распределенной нагрузкой (1:1=0,085см, _12=0,050см)_

Нагруз- № датчика 1 2 3 4 5 6

ка q кгс/см № слоя 2 1 2 1 2 1

Напряжения (кгс/см2, ате2ор = а™ + ара2ст )

раст 0,368 0,216 1,464 0,861 1,927 1,133

^изг а1, а 11,113 -16,79 28,36 -42,33 34,77 -51,87

ате2ор 11,48 -16,58 29,82 -41,46 36,69 -50,96

q=0,5 ^_эксп а1. а 10,23 -14,92 26,62 -39,10 32,56 -44,33

Расхождение (

5 11,2 10,0 10,7 11,1 11,2 11,3

Перемещения (мм)

лл>теоР 0,022 0,015 0,077 0,072 0,093 0,090

лл>эксп 0,02 0,015 0,074 0,07 0,09 0,087

Напряжения (кгс/см2)

раст 1,103 0,649 4,392 2,583 5,78 3,40

изг аи, а 33,34 -50,39 85,08 -126,98 104,3 -155,6

ате2ор 35,44 -48,25 89,47 -123,39 110,08 -152,20

q=1,5 эксп а1. а 31,47 -42,86 79,18 -111,69 97,98 -135,17

Расхождение (

5 11,2 11,1 11,5 9,5 10,9 11,1

Перемещения (мм)

лл>теоР 0,10 0,08 0,25 0,24 0,33 0,323

,.,эксп 0,09 0,07 0,24 0,23 0,31 0,304

Напряжения (кгс/см2)

раст 1,842 1,048 7,33 4,31 9,65 5,68

изг аи, а 55,68 -84,15 142,08 -211,07 171,18 -249,17

ате2ор 57,522 -83,06 149,41 -206,76 180,83 -244,49

q=2,5 эксп а1. а 50,75 -73,34 133,58 -182,74 159,22 -216,43

Расхождение (

5 11,7 11,7 10,6 11,9 11,9 11,4

Перемещения (мм)

лл>теоР 0,20 0,13 0,55 0,51 0,59 0,57

,.,эксп 0,18 0,12 0,51 0,475 0,56 0,54

римечание: Нагружение со стороны толстого слоя

Вывод.

1. Следует отметить, что данные расчёты проведены на основе представления расчётной модели здания в виде одномассового консольного стержня с

133

периодом собственных колебаний до усиления Т=0,6 с. Продолжительность сейсмического воздействия, представленного в виде стационарного случайного процесса, принята равной 10 сек. Коэффициенты у и ^ приняты, равными 1, а вероятность безотказности системы оценена по теории выбросов.

2. Найдено решение системы дифференциальных уравнений для трехслойной балки, симметричной и несимметричной структуры при различных условиях опирания концов и нагружения.

3. Вид решения дифференциальных уравнений свидетельствует, что выражение для искомых функций ^1,2; И1,2) содержит несколько быстро затухающих составляющих. Эти составляющие описывают краевые эффекты, связанные с интенсивным сдвигом в трехслойной конструкции, сжатием заполнителя, которые в значительной мере определяют напряженно -деформированное состояние трехслойного пакета в зонах, имеющих большой показатель изменяемости. Подобное решение для трехслойной цилиндрической оболочки и балки получено впервые.

4. Результаты теоретических расчетов показывают наличие сближения несущих слоев в зонах опирания для несимметричной трехслойной балки, защемленной по кромкам при действии равномерно распределенной нагрузки. Для симметричной балки наибольшее сближение слоев наблюдается в середине пролета.

5. Сравнение данных теоретических исследований с экспериментальными показали что, разность напряжений несущих слоев не превышает 12%, а разность в перемещениях не превышает 8%.

Библиографический список:

1. Устарханов О.М., Батдалов М.М., Муселемов Х.М.. Расчет трехслойных конструкций с дискретным заполнителем - Махачкала 2014.-160с.

2. Устарханов О.М., Кобелев В.Н., Булгаков А.И., Кулиева Ш.С. Экспериментальные исследования трехслойных балок для оценки влияния краевых эффектов на напряженно-деформированное состояние//Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. - 2005, приложение №1, с.75-78.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.