CC BY
33
СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ. ОСНОВАНИЯ И ФУНДАМЕНТЫ. ТЕХНОЛОГИЯ
И ОРГАНИЗАЦИЯ СТРОИТЕЛЬСТВА. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ. ИНЖЕНЕРНЫЕ ИЗЫСКАНИЯ И ОБСЛЕДОВАНИЕ ЗДАНИЙ
УДК 624.154 DOI: 10.22227/2305-5502.2020.1.2
Расчет надежности свай-стоек с учетом сил трения-сцепления на поверхности сваи
В.С. Уткин
Вологодский государственный университет (ВоГУ); г. Вологда, Россия
АННОТАЦИЯ
Введение. Работа свай-стоек в грунте основания фундамента и метод их расчета на надежность как меры эксплуатационной безопасности отдельного несущего элемента в свайном основании требуют уточнения и дальнейшего развития. Недостатком существующего расчета на надежность сваи-стойки по несущей способности грунта основания является неучет в ее работе грунта основания выше скального или малосжимаемого слоя грунта во всех случаях в соответствии с СП 24.13330.2011. Учет несущей способности этого слоя грунта в работе сваи-стойки на восприятие нагрузки (с учетом веса сваи) может повысить ее надежность по критерию несущей способности грунта основания в комплексе с работой грунта под нижним концом сваи.
Материалы и методы. Рассмотрены сваи-стойки из любых применяемых материалов, методы расчетов их надежности построены на основе теории возможностей в связи с ограниченностью по объему статистической информации о контролируемых параметрах в расчетной модели предельного состояния по несущей способности грунта основания. Результаты. Представлена расчетная формула для определения надежности значения безотказной работы сваи-стойки в грунте основания по несущей способности грунта. Расчет надежности сваи по несущей способности сваи (по прочности материала) приведен в ссылках на литературу. Указано на определение надежности сваи-стойки по обоим критериям работоспособности как последовательной механической системы в понятиях теории надежности. Выводы. Разработан метод расчета надежности свай-стоек по несущей способности грунта основания под нижним концом сваи и по ее длине для количественной оценки безопасности ее эксплуатации на стадии проектирования объекта со свайным основанием, созданы предпосылки для дальнейших исследований работы свай-стоек и разработки норм проектирования различных свай по материалу, работе, способам погружения в грунт и т.д.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: свая-стойка, эксплуатация, безопасность эксплуатации, работа сваи в грунте, расчет надежности
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ: Уткин В.С. Расчет надежности свай-стоек с учетом сил трения-сцепления на поверхности сваи // Строительство: наука и образование. 2020. Т. 10. Вып. 1. URL: http://nso-journal.ru. DOI: 10.22227/23055502.2020.1.2
Reliability analysis of an end-bearing pile with account
for friction forces on the pile surface e
Vladimir S. Utkin t|
Vologda State University (VSU); Vologda, Russian Federation ju^ ----" S
ABSTRACT M
Introduction. The behavior of end-bearing piles in the foundation soil and the methodology for their reliability analysis, 4
treated as operational safety measures applicable to a separate bearing element of a pile foundation, need clarification and .
further development. The weakness of the established reliability analysis methodology, focused on the bearing capacity of the 0
foundation soil, is its failure to take account of each case of the soil behavior above rock or low compressibility soils pursuant ■
to Construction rules and regulations 24.13330.2011. Taking account of the bearing capacity of this soil layer in respect of tf>
the load accommodation by an end-bearing pile (taking account of the pile weight) may improve its reliability by the criterion j of the bearing capacity in combination with the soil behavior below the bottom tip of a pile.
Nizhne-Suyanskiy Waterworks Facility had the mission to solve water household, energy and socio-economic problems. m
GO
© В.С. Уткин, 2020
1
Materials and methods. The author analyzed piles made of any applicable materials; their reliability analysis methods are based on the possibility theory due to the limited amount of statistical information on controllable parameters to be entered into the limit state design model to verify the bearing capacity of the foundation soil.
Results. The author presents the design formula to identify the parameters ensuring reliable failure-free behavior of an end-bearing pile in the foundation soil and in respect of the soil bearing capacity. The pile reliability analysis performed in respect of its bearing capacity (and focused on the strength of the pile material) is provided in the references section. The author uses two performance criteria to analyze the reliability of an end-bearing pile, given that an end-bearing pile is analyzed as a consistent mechanical system in terms of the reliability theory.
Conclusions. The author has developed a methodology used to analyze the reliability of end-bearing piles. It is focused on the bearing capacity of the foundation soil below the bottom tip of a pile and along its length with a view to the quantitative assessment of its safe performance at the stage of design of a facility that has a piled footing; the groundwork has been laid for further research into the behavior of end-bearing piles and for the development of design regulations applicable to various types of piles that may differ in material, behavior, sinking techniques, etc.
KEYWORDS: end-bearing pile, performance, performance safety, pile behavior, reliability analysis
FOR CITATION: Utkin V.S. Reliability analysis of an end-bearing pile with account for friction forces on the pile surface. Stroitel'stvo: nauka i obrazovanie [Construction: Science and Education]. 2020; 10(1):2. URL: http://nso-journal.ru. DOI: 10.22227/2305-5502.2020.1.2 (rus.).
in
П
ВВЕДЕНИЕ
В соответствии с требованиями межгосударственного стандарта ГОСТ 27751-2014 «Надежность строительных конструкций и оснований», вступившего в силу с 01.07.2015 г., необходимы расчеты надежности как меры эксплуатационной безопасности несущих элементов и зданий и сооружений в целом как механических систем. Развитие и внедрение методов расчета надежности в строительной практике началось в начале прошлого века. Так, в 1926 г. М. Май-ер опубликовал статью [1], в которой использовались методы теории вероятностей при оценке значений параметров, вводимых в расчеты конструкций. Большая роль во внедрении статистических методов расчета конструкций принадлежит Н.С. Стрелецкому [2]. А.Р. Ржаницин в труде [3] писал, что теория надежности строительных конструкций выделилась в самостоятельную дисциплину. Огромная работа в развитии этой теории проведена В.В Болотиным [4], Г. Шлете [5], В.Д. Райзером [6] и другими учеными. Однако до решения проблемы внедрения методов расчета надежности в практику проектирования и оценки безопасности проектируемых и существующих конструкций еще далеко. Профессор В.А. Клевцов в своей статье [7] писал, что в настоящее время «надежность лишь декларируется, но количественного выражения не обретает». Необходимо разработать методики для расчетов надежности различных несущих элементов. Данная тема стала целью исследования.
В стандарте ГОСТ 27751-2014, строительных нормах и правилах РФ отмечается, что вероятностно-статистические методы рекомендуется применять для оценки риска разрушения и надежности строительных конструкций, но при наличии достаточных данных об изменчивости параметров в математических моделях предельных состояний. На практике исследований параметров несущих элементов конструкций информация о случайных
величинах в математических моделях предельных состояний, как правило, ограничена, и применение вероятностно-статистических методов расчета надежности стандартом не рекомендуется. В связи с этим расчет надежности свай-стоек по критерию несущей способности грунта основания в работе [8] был выполнен на основе математического аппарата теории возможностей. Приведенный в указанном труде метод расчета надежности свай-стоек основан на представлении работы висячей сваи в грунте основания применительно к существующим нормам СП 24.13330.2011 «Свайные основания».
В исследованиях [9-16], опубликованных в последнее время, приведены иные представления и описание работы свай в грунтах оснований, которые еще не вошли в существующие нормативные документы. Для такого описания работы свай требуется разработать новые методы расчета надежности и их включение в нормативную литературу, чему и будет способствовать данная статья. Предварительно на рис. 1 показана расчетная схема работы
Рис. 1. Расчетные схемы работы висячей сваи и сваи-стойки в грунте основания по СП 24.13330.2011
висячеи сваи и сваи-стоики в грунте основания по СП 24.13330.2011.
Из расчетной схемы на рис. 1 видно, что силы трения-сцепления на боковой поверхности висячей сваи увеличиваются от верхнего конца сваи к нижнему. Такая работа сваи наблюдается при движении («срыве») сваи в грунте и обоснована ростом сил давления д(х) на боковую поверхность сваи к ее нижнему концу. В условиях отсутствия «срыва» сваи-стойки, опирающейся в скальный грунт по рис. 1, силы трения на поверхности сваи не возникает и по СП 24.13330.2011 не предусмотрены в расчетах свай-стоек.
Учет работы грунта основания в сваях-стойках при расчете надежности по критерию несущей способности грунта основания и снижение отрицательных сил трения / (х) представляют практический интерес, так как выявляется резерв несущей способности грунта основания, более достоверно определяется надежность работы сваи по этому критерию работоспособности и возможен экономический эффект при устройстве свайного основания.
Известно [17], что надежность сваи, свайного основания и фундамента прежде всего обеспечивают надежность сооружения в целом. Поэтому проектирование надежных конструкций по их безопасности эксплуатации начинается с обеспечения надежности работы свай основания фундамента, что свидетельствует об актуальности и своевременности обсуждения проблемы расчета надежности свай-стоек по первой группе предельных состояний.
МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ
Для разработки метода расчета надежности сваи-стойки с учетом работы грунта, расположенного выше скального или малосжимаемого, предварительно рассмотрим работу сваи-стойки в грунте
основания. В отличие от существующего представления работы сваи-стойки, на практике могут реа-лизовываться [8-13] различные варианты работы сваи-стойки в грунте основания после ее забивки (погружения в грунт) до скального или малосжи-маемого грунта, представленных на рис. 2 после их нагружения различной по значению силой Е.
Вариант по рис. 2, а соответствует малой нагрузке Ех, большой длине сваи или при глубоком залегании скального грунта. Вариант по схеме 2, Ь нагружен силой Е > Е1, но меньше предельной нагрузки по схеме (рис. 2, с) при полном использовании несущей способности грунта основания. Расчет надежности сваи производится по математической модели предельного состояния вида Е < Ыа в общем случае с учетом изменчивости Е и Ыа. Из условия равновесия сил по схеме 1, Ь имеем
гЬ ,Н
F = Огр А + ы\ f (x)dx — ы I (x)dx. (1)
•<0 Ь
Отрицательные силы трения-сцепления возникают вследствие деформаций материала сваи от силы СтгрА. При защите сваи в нижнем конце от воздействия силы /отр(х), например, при изоляции нижней части сваи от грунта основания на участке длинной (Н-И), формула (1) представится в виде:
(И
¥ = огрА + и^ / (х)йх.
(2)
В дальнейшем будем рассматривать расчет надежности сваи по варианту (2) ее работы.
Выражение предельной нагрузки Ыа на сваю-стойку можно представить при Срр = Егр по аналогии с формулой (1) в виде:
С А 1
N = Д.
г А 1 еН
А + и|0 /(х^х- и1/отр(хМх, (3')
и и
V
а Ь с ш
а
Рис. 2. Варианты работы сваи-стойки в грунте основания: Е — расчетная нагрузка; — предельная нагрузка . по несущей способности грунта основания; /отр(х) — отрицательные силы трения-сцепления; ,Кгр — расчетное сопро- 3 тивление скального грунта )
Л П
Nd = Rгр А + и [ 1 f (х)йх. 0
(3'')
В выражении (2) имеем сгр — напряжение в скальном или малосжимаемом грунте основания под нижним концом сваи, которое можно определить по результатам испытаний грунта или по испытаниям пробной сваи; и — периметр поперечного сечения сваи; А — площадь поперечного сечения сваи; h — высота слоя грунта, на длине которого действуют силы трения-сцепления / (х) на поверхности сваи при напряжении сф; И1 — при напряжении сф = RIр. Силу трения-сцепления / (х) с учетом непрерывности функций е(х) и д(х) в дальнейшем будем представлять, согласно трудам [8, 13], формулой:
f (х) = е( х)д( х)ф,
(4)
где д(х) — боковое давление грунта на поверхность сваи. По работе [18] д(х) = у^0х, где у — объемный
вес грунта, ^о =
Цо
Например, для глин и су-
1 -Цо
глинков = 0,10...0,15; ф — безразмерный коэффициент.
Деформацию материала сваи е(х) при сжатии можно измерить с использованием тензометрирова-ния. Безразмерный коэффициент ф определяется по результатам испытаний пробной сваи нагрузкой Е при сжатии по схеме рис. 2, Ь. Для этого пробная свая с тензорезисторами погружается в грунт до скального (малосжимаемого) грунта, снимаются показания в виде омических сопротивлений тензоре-зисторов [12] для вычисления значений
=--—, и по ним строят эпюру е(х) вдоль
Цло
сваи. Функцию е(х) аппроксимируют графиком изменения е(х) по длине сваи.
Такие испытания были проведены в Китае [10]. С целью уменьшения трудоемкости этих работ предлагается [8, 13] описывать е(х) линейной функ-
Н — х
цией вида е(х) = етах —;—, как показано на рис. 3,
F
Н
при известном значении етах =
АЕС
-, где Ес — мо-
дуль упругости материала сваи.
Значение И (см. рис. 3) можно найти по результатам измерения е(х) при испытаниях пробной сваи в заданном (известном) сечении х1 из условия
( ) - Н - х:
е( х!) = £тах , . Отсюда имеем:
Н
Рис. 3. Линейное представление изменения е(х) по длине сваи при нагрузке Е
где Н\ > И, так как N > Е или по аналогии с формулой (2) в виде:
Н = -
^тах х1
-е( х)
(5)
Безразмерный коэффициент ф определяется по результатам испытаний пробной сваи. Он зависит от вида сваи, способа ее погружения в грунт, от вида грунта основания. Из условия равновесия сил в пробной свае в грунте основания под нагрузкой Е при известном И, по расчетной схеме (рис. 3) и по расчетной формуле (1) или (2) с учетом (4) можно найти значение ф для конкретной сваи, как будет показано ниже на примере, по средним значениям И, Ес, у, сгр. Значение Ес зависит от материала сваи. Для бетонов различного класса Ес можно найти в СП 63.13330.2012. Для краткости описания нахождения зависимости ф от других параметров рассмотрим формулу (2) с учетом (4), где известны значения Е, сгр, А, у, И, Ес, х1. В результате получим
Н_х
(у^х^х. После инте-
F = о гр А + и
Г («
грирования получим
Н
F =
бОгр А + иетах У^офН2 6
Отсюда при средних значениях параметров в формуле Е найдем значение ф.
6(F -егр А)
Ф =
и£тах 7^0 Н2
(6)
Г
Значение сгп зависит от Е, А, Етах = , ^ и у.
гр АЕС
Значение у находится по результатам испытаний грунта основания [18].
Рассмотрим порядок значения ф. Пусть известны значения: Е = Ы06 Н; у = 20-103 Н/м3; А = 0,09 м2; и = 1,2 м; = 0,1; И = 6 м; крупный песок сгр = 5-106 Па;
1 • 106
Ес = 30^09 Па; £тах =........= 0,37•Ю-3.
Тогда: ф =
0,09 • 30 109
6(1 106 - 5 106 • 0,09) 1,2• 0,37 10-3 • 20103 • 0,1 •б2
= 1 105.
При етах > епр, где епр — предельное значение деформации материала сваи. Например, для металлических свай епр = 0,002, для бетонных свай епр = = 0,0015.
В результате можно отметить ограниченность исследований по разработке методов расчета надежности работы свай-стоек по несущей способности грунта основания при ограниченной статистической информации о контролируемых параметрах, влияющих на значение надежности свай как количественной меры их эксплуатационной безопасности.
РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
В последнее время предложены новые расчетные схемы работы висячих свай и свай-стоек в грунте оснований, в которых учитывается новый механизм работы свай в грунте в состоянии покоя, а не «срыва» [9-16]. В труде [21] на основе проведенных экспериментальных исследований выявлен механизм трения на поверхности сваи, находящейся в грунте под нагрузкой. В свете обсуждаемой в статье проблемы представляют интерес работы [8, 22, 23], в которых рассматриваются возможный и вероятностный методы оценки одиночных свай и групп свай. В работах [8, 24] впервые использован математический аппарат теории возможностей [20] при малой по объему статистической информации о контролируемых параметрах.
Для определения надежности сваи-стойки по расчетной модели Р < NЛй необходимо выявить параметры случайных величин и статистическую информацию о них. В расчетах надежности сваи-стойки будем считать случайными величинами (нечеткими переменными в терминологии теории возможностей [20]) на стадии проектирования параметры у и /г, а расчетную нагрузку Е — заданной (детерминированной).
Выражение предельной несущей способности сваи по несущей способности грунта основания N находим по формуле (3") с учетом изменчивости параметров у и /г1 при нагрузке равной Ыа, как показано на рис. 4. В расчете надежности сваи-стойки /атр(х) не учитываем благодаря изоляции сваи от грунта на длине (Н-И1). Из рис. 4 видно, как найти
значение Н1 =-£тяхХ—_ при Етах = Nd / АЕс.
Етах — Е( х1 )
Значение N можно найти через испытания сваи по схеме (рис. 2, Ь) путем повышения нагрузки Е до появления напряжения спр на нижнем конце сваи равного Rгр (при известном значении Rгр) либо по формуле (5) при Сгр = Rгр и Етах = Nd / АЕС. По рис. 2 видно, что Е и сгр возрастают пропорционально до Ыа и RIр и И до И1, как показано на рис. 4. По результатам измерений Ы по схемам (рис. 3, 4) получим статистику для описания И и И1 в виде нечеткой переменной, как будет показано ниже. По результа-
Рис. 4. Линейное представление изменения е(х) по длине сваи и измерения е1(х1) при нагрузке N
там измерения получим статистику для описания нечеткой переменной у.
В результате по выражению (3") после подстановки /(х) по формуле (4) можно записать
Nd = Rгр А + и [
н N
0 АЕс
1 -х
. Н 1,
(%о х)^йх. После
тегрирования с учетом изменчивости у, /г1, Л
имеем Nd = RгрА +
uNd %оф
АЕС
Н 2 н 1
Отсюда
N
1 -
иу^рфН 2 6 АЕС
= Rгр А, где Rгр — расчетное со-
противление грунта под нижним концом сваи по СП 24.13330.2011 не более 20 000 кПа. В результате имеем:
Nd = Rгр А /(1 - ф?),
где
с =
и|оф_ 6 АЕС'
(7)
(8)
По формуле (8) можно принять с детерминированной величиной при малой изменчивости Ес, А, и, ф. Значение Rгр можно найти по табл. 7.2 СП 24.13330.2011 в зависимости от вида скального или малосжимаемого грунта и глубины его залегания или определить испытаниями.
Рассмотрим возможный порядок значения с при А = 0,09 м2; и = 1,2 м; ф = 1105; = 0,1; Ес = 30-109 Па.
1,2-0,1-1-105 По формуле (8) имеем с =-
6 - 0,09 - 30-109
= 7,4Т0-7 м/Н.
се се
оо ел
Л П
По средним значениям у = 20-103 Н/м3; И = = 7 м и значениям Егр = 7,3-106 Па (табл. 7.2 СП 24.13330.2011); А = 0,09 м2, с = 7,440-7 м/Н и N = 2,4406 Н, вычисленном при средних значениях параметров по выражению (7). При нагрузке на сваю Р = 1-106 Н по существующим методам расчета можно было бы сказать о достаточной несущей способности сваи по грунту основания, так как АУ/Р = = 2,4-106/Ы06 = 2,4. Попробуем ее оценить количественно значением надежности по существующим понятиям.
Для расчета надежности сваи-стойки при расчетном значении Р по расчетной модели F < , где Ыа определяется по формуле (7) используем теорию возможностей [20], учитывая ограниченную по объему статистическую информацию о случайной величине N, которую будем называть нечеткой переменной и о у и /г. Расчетная нагрузка Р, постоянное значение которой легко реализовать неизменной при испытаниях сваи, должна удовлетворять условию:
F < RIPА /(1 - суй2), (9)
где статистика значений И1 выявляется измерениями И при испытаниях пробных свай с нагрузкой, равной Р. Значение расчетного сопротивления грунта Rгр под нижним концом сваи-стойки, определяемого по табл. 7.2 СП 24.13330.2011 с учетом указаний СП по п. 7.2.1, примем детерминированной величиной. Значение с находим по формуле (8). Нечеткую переменную у для однородного грунта будем характеризовать по результатам испытаний грунта основания, у и / будут нечеткими переменными, которые будут описываться методами теории возможностей [20]. Для их описания используем функцию распределения возможностей, например, для Х по [8, 24] вида:
Пх (х) = ехр[-((х - ах )/Ьх )2) (10)
Т = ХУ2 > й,
(12)
где
ах - 0,5(Хтах + Хтп);
Ьх = 0,5((тах -Xтщ)/ V- 1па , ае[0,1].
Значением а задаются в работе [251. Обрат-^ ная функция (10) будет х = ах ± ах или
х = ах + Ьх в, где а х =п х (х) и а х =п х (х).
Обозначим у = Х, / = У. Из выражения (9) СЭ имеем Fсy/г12 > F - RГр А или с учетом обозначений
Fсy = X, / = X и F - RгрА = й получим: ХУ2 > й.
(11)
£ Ц Расчет надежности свай по расчетной модели
с Ц (11) с учетом ограниченной статистической инфор-
зв £ мации о Х и У можно представить, согласно труду
Л Ц [26], на основе принципа обобщения Л. Заде. Для
Ц этого введем нечеткую переменную Т, получаемую
£ из формулы (11) в виде:
Х и У будем описывать функцией вида (10) с одним и тем же значением а.
Обратные функции от функции Т, по принципу Л. Заде, будут:
I = (ах - Ьху/- 1п ах )(ау - 1п ах )2 > й, (13')
I = (ах + Ь^- 1п ах )(ау + Ь^- 1п ах )2 > й. (13'')
В (13') перед Ь ставят знак минус, так как с ростом этих членов t убывает. Обозначим у/- 1п ах = в и (13') представим для получения наименьшей расчетной надежности в виде:
I = (ах -вЬх) (ау -рЬу)2 = й. (14)
Из формулы (14) находим ртт и, соответ-
Р2
и.™ии ^ min , не-
обходимость безотказной работы N = 1 - Q. Возможность безотказной работы при ах а| > й равна R = 1. Надежность сваи характеризуется интервалом значений [А, R].
Пример. Пусть известны (условно) значения исходных данных: и = 1,2 м; А = 0,09 м2; Ес = 30-109 Па; = 0,1; Р = Ь106 Н, а также известны значения Х = у! = [19, 20, 21]103 Н/м3; У = И1 = [6, 7, 8] м. Найдем с = 7,4-10-7 м/Н при ф = 1105; Rгр = 7,3406 Па (крупный песок).
а = 20^103 Н/м3, Ь = 0,47-103 Н/м3, а = 7 м, Ьу, =
х ' х ' ' у ' у
= 0,47 м (при а = 0,1)
У = 1 106 - 7,3-106-0,09 = 0,343^106Н, т.к. ах а2 = = 2040^72 = 980-103 Н > У = 0,343406 Н, то возможность безотказной работы R = 1.
Из выражения (14) имеем (20 - 0,67Р)-103-(7-- 0,67 В)2 =343^103. Отсюда В = -3,8. Возможность
у 1 7 _-л о2 У
отказа Q = е8 = 0,9 • 10-6, N = 1 - Q. Надежность сваи характеризуется интервалом значений [А, R].
В настоящее время предельные значения надежности несущих элементов зданий и сооружений, в том числе фундаментов и оснований, находятся в стадии обсуждения и изучения. Так, в работе [27] вероятность отказа фундамента в целом рекомендуется принимать Q = 1-10-6 ... Г10-5, что близко к результату примера.
Свая-стойка в понятиях теории надежности представляет условную последовательную механическую систему, элементами которой являются два критерия работоспособности: прочность сваи (несущая способность по материалу) и несущая способность сваи по грунту основания. Следовательно, ее надежность, как отдельного элемента, должна быть больше надежности фундамента, т.е. Q < 10-6, что и отражено в примере. При расчете сваи-стойки с использованием теории возможностей и представления надежности в интервальной форме [А, R] или в вероятностных показателях [Р, Р ], где Р, Р — нижняя и верхняя вероятность безотказной
работы, которые находятся по формулам Надежность такой системы определяется условием
Р = max<¡0,YJP_i -(n- 1)L P = minP, которую иногда Р = max
Р = min (Pi).
называют формулой «ограниченной разности».
Свайный фундамент в понятиях классической (вероятностной) теории надежности также представляет последовательную механическую систему (фундамент — свайное основание), в которой вероятность безотказной работы Р равна произведению вероятностей Рр2 всех элементов, а вероятность отказа Q = 1 - ПР. В данной статье эта проблема не рассматривается. Не рассмотрен метод расчета надежности сваи-стойки без изоляции нижней части сваи от грунта основания. Например, в буронабив-ных сваях-стойках такая изоляция затруднительна. Это свидетельствует о дальнейшей перспективе работы на другие виды расчетов надежности свай-стоек с использованием формул (1) и (3).
Подводя итог обсуждения проблем, следует отметить, что свая-стойка в понятиях надежности рассматривается как условная механическая система с последовательным соединением условных независимых элементов.
Одним условным элементом является критерий прочности материала сваи с известным значением возможности безотказной работы с показателями надежности в виде нижней и верхней вероятностей Р1 и Р1, и критерий несущей способности сваи по грунту основания Р2 и Р2. Свая-стойка представляет собой последовательную систему в понятиях теории надежности, так как отказ одного элемента приводит к отказу всей системы (сваи).
0, X- (п -1)
V 1=1
Применительно к свае-стойке число критериев работоспособности п равно двум (по существующим нормам СП 24.13330.2011 свая-стойка на осадку не проверяется).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Впервые рассмотрен метод расчета надежности свай-стоек по ее несущей способности по грунту основания с учетом работы грунта основания на боковой поверхности сваи и полного использования несущей способности грунта под нижним концом сваи.
Приведен пример расчета сваи-стойки с использованием математической теории возможностей при ограниченной статистической информации о контролируемых параметрах в математической модели предельного состояния с использованием теории нечетных множеств и принципа обобщения Л. Заде.
Рассмотренный метод расчета надежности сваи-стойки применяется для прогнозирования надежности работы сваи-стойки на стадии проектирования с проведением испытаний пробных свай.
Представленный метод расчета надежности сваи-стойки может найти применение на стадиях проектирования и эксплуатации зданий и сооружений, а также при разработке нормативной литературы по расчетам свайных оснований в свете межгосударственного стандарта ГОСТ 27751-2014, вступившего в силу в 2015 г. Работа будет полезной в учебном процессе студентов строительных вузов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Mayer M. Die Sicherhait der Baiwerkr und ikr Berechnung nach Cranzkraf statt nach Zalassigen Spannungen // Springer Verlag. 1926. Pp. 111-126.
2. Стрелецкий Н.С. Метод расчета конструкций зданий и сооружений по предельным состояниям, применяемыщ в СССР, и основные направления его применения к строительным конструкциям. М. : Стройиздат, 1961. 34 с.
3. Ржаницин А.Р. Теория надежности строительных конструкций на надежность. М. : Стройиздат, 1978. 239 с.
4. Bolotin V.V. Statistical methods in structural mechanics. San Francisco: Holden-Day Inc., 1969. 240 p.
5. Шпете Г. Надежность несущих строительных конструкций. М. : Стройиздат, 1994. 288 с.
6. Райзер В.Д. Теория надежности в строительном проектировании. М. : Изд. ACB, 1998. 304 с.
7. Клевцов В.А. Вопрос проектирования конструкции с использованием теории надежности // Бетон и железобетон. 2009. № 2. С. 9-13.
8. Уткин В.С. Расчет надежности железобетонных свай-стоек в основаниях фундаментов // Строительство: наука и образование. 2018. Т. 8. Вып. 3 (29). С. 24-34. DOI: 10.22227/2305-5502.2018.3.2
9. Jayasinghe L.B., Zhou H.Y., GohA.T.C, Zhao Z.Y, Gui Y.L. Pile response subjected to rock blasting c induced ground vibration near soil-rock interface // g Computers and Geotechnics. 2017. Vol. 82. Pp. 1-15. S DOI: 10.1016/j.compgeo.2016.09.015 ig
10. Lui J.L., Qui M.B., Qui R.D. A layerwise |§ summation method for settlement calculation of pile gS group based on the homogenized Mindlin stress // China g s Civil Engineering Journal. 2014. 118-127.
11. Fattahi H. Applying Rock Engineering ~ Systems to Evaluate Shaft Resistance of a Pile . Embedded in Rock // Geotechnical and Geological s Engineering. 2018. Vol. 36. Issue 5. Pp. 3269-3279. g DOI: 10.1007/s10706-018-0536-5
12. Kumar S., Priya H. Comparative study m and analysis of the lateral and vertical loads of pile 5
foundation // International Journal of Engineering Trends and Technology. 2017. Vol. 45. Issue 4. Pp. 153— 157. DOI: 10.14445/22315381/ijett-v45p233
13. Уткин В.С. Работа висячих свай в грунте основания и их расчет по осадке // Вестник МГСУ. Строительство и архитектура. 2018. Т. 13. Вып. 9. С. 1125— 1132. DOI: 10.22227/1997-0935.2018.9.1125-1132
14. Haberfield C.M., Lochaden A.L. Analysis and design of axially loaded piles in rock // Journal of Rock Mechanics and Geotechnical Engineering. 2018. Pp. 13-18. DOI: 10.1016/jjrmge.2018.10.001
15. Serrano A., Olalla C., Galindo R.A. Shaft resistance of a pile in rock based on the modified Hoek-Brown criterion // International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences. 2015. Vol. 76. Pp. 138-145. DOI: 10.1016/j.ijrmms.2015.03.007
16. Dai G., Salgado Ro., Gong W, Zhu M. The effect of sidewall roughness on the shaft resistance of rock-socketed piles // Acta Geotechnica. 2017. Vol. 12. Issue 2. Pp. 429-440. DOI: 10.1007/s11440-016-0470-8
17. Oduah F, M. Hesham El Naggar, Norlander G. Unified system reliability approach for single and group pile foundations — Theory and resistance factor calibration // Computers and Geotechnics. 2019. Vol. 108. Pp. 173-182. DOI: 10.1016/j.compgeo.2018.12.003
18. Terzaghi K., Peck R.B., Mesri G. Soil mechanics in engineering practice. John Wiley & Sons, 1996. 592 p.
19. Jayasinghe L.B, Zhao Z.Y., Goh A.T., Zhou H.Y. A field study on pile response to blast-induced ground
motion // Soil Dynamics and Earthquake Engineering. 2018. Pp. 568-575. DOI: 10.1016/j.soildyn.2018.08.008
20. Dubois D, Prade H. Possibility theory. New York : Plenum Press, 1988. 411 p.
21. Alshenawy A., Hamid W., Alnuaim A. Skin friction behavior of pile fully embedded in limestone // Arabian Journal of Geosciences. 2018. Vol. 11. Issue 2. P. 37. DOI: https://doi.org/10.1007/s12517-018-3386-9
22. Leung Y.F, Lo M.K. Probabilistic assessment of pile group response considering superstructure stiffness and three-dimensional soil spatial variability // Computers and Geotechnics. 2018. Vol. 103. Pp. 193200. DOI: 10.1016/j.compgeo.2018.07.010
23. Huang J., Kelly R., Li D., Zhou C., Sloan S. Updating reliability of single piles and pile groups by load tests // Computers and Geotechnics. 2016. Vol. 73. Pp. 221-230. DOI: 10.1016/j.compgeo.2015.12.003
24. Уткин В.С. Расчет надежности висячих железобетонных свай в грунте основания // Строительная механика и расчет сооружений. 2018. № 1. С. 31-36.
25. Уткин В.С., Соловьев С.А., Каберова А.А. Значение уровня среза (риска) при расчете надежности несущих элементов возможностным методом // Строительная механика и расчет сооружений. 2015. № 6 (263). С. 63-67.
26. Zaden L.A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility // Fuzzy sets and systems. 1978. Vol. 1. Pp. 3-28.
27. Козачек В.Г., Нечаев Н.В., Нотенко С.Н. и др. Обследование и испытание зданий и сооружений : учеб. для вузов / под ред. В.И. Римшина. 3-е изд., стер. М. : Высшая школа, 2007. 655 с.
Поступила в редакцию 13 марта 2019 г. Принята в доработанном виде 22 марта 2019 г. Одобрена для публикации 26 февраля 2020 г.
Об авторе: Владимир Сергеевич Уткин — доктор технических наук, профессор кафедры промышленного и гражданского строительства; Вологодский государственный университет (ВоГУ); 160000, г. Вологда, ул. Ленина, д. 15; РИНЦ ID: 7337-9412, Scopus: 16460902000; utkinvogtu@mail.ru.
I»
as INTRODUCTION
Pursuant to the requirements set by the intergov-OB ernmental standard GOST 27751-2014 "Reliability of eg building structures and footings", that entered into ef-g fect as of July 01, 2015, reliability analyses of bear® ing elements, buildings and structures, considered as „ m mechanical systems, must be considered performance S ! safety actions. Development and implementation of re-c S liability analysis methods was initiated in the constructs S tion practice in the early 20th century. Indeed, in 1926, J| ® M. Mayer published an article [1], in which probability H theory methods were applied to assess values of pale rameters used to analyze structures. N.S. Streletsky [2]
did a lot to introduce statistical methods into structural analysis. A.R. Rzhanitsyn wrote in his work [3] that the theory of reliability of building structures had developed into an independent discipline. Enormous contributions into this theory were made by VV. Bolotin [4], G. Shpete [5], V.D. Raizer [6] and other researchers. However, introduction of reliability analysis methods into practical design and safety assessment of both operated and designed structures will not be implemented soon. Professor V.A. Klevtsov wrote in his article [7] that presently "reliability is merely declared but not quantified." There is a need to develop reliability analysis methodologies for various bearing elements, and this is the subject of the present research undertaking.
GOST 27751-2014, RF Construction rules and regulations state that methods of statistics and probability are recommended for use to assess both the risk of destruction and the reliability of building structures, only if there is enough data on variability of parameters in mathematical models of limit states. As a rule, there is little information on random values in mathematical models of limit states, as far as practical studies of bearing structural elements and their parameters are concerned; therefore, application of probability-related and statistical methods of reliability research are not recommended by the GOST standard. In this connection, a reliability analysis of the behavior of end-bearing piles by the criterion of the soil bearing capacity [8] was performed using mathematical tools of the possibility theory. The reliability analysis methodology applicable to end-bearing piles, provided in that work, is based on the analysis of the friction pile behavior in the foundation soil pursuant to effective Construction rules and regulations 24.13330.2011 "Pile footings".
Recently published works [9-16] offer alternative visions and a description of the pile behaviour in foundation soils which have not been included into effective regulatory documents. This description of the pile behavior needs new reliability analysis methods to be developed and incorporated into regulatory documents, and the mission of this article is to facilitate this process. Fig. 1 shows a conceptual design scheme describing the behavior of a friction pile and an end-bearing pile in the foundation soil pursuant to Construction rules and regulations 24.13330.2011.
According to the design scheme in Fig. 1, the friction force on the side surface of the friction pile grows from the top tip to the bottom one. Such behavior is typical for a pile that moves in the soil ("pile failure"); its motion is caused by pressure forces on the side surface of a pile that grow in the direction of its bottom tip. If the end-bearing pile, that rests on the rock as in Fig. 1, does not "fail", friction forces do not arise on the
pile surface, that's why they are included into the end-bearing pile analysis according to Construction rules and regulations 24.13330.2011.
The analysis of the reliability of end-bearing piles by the criterion of the foundation soil bearing capacity, that takes account of the behavior of the foundation soil, as well as reduction of negative friction forces feg(x) are of practical interest, as they help to identify the surplus bearing capacity of foundation soils, to get a more trustworthy idea of the pile behavior using these criteria, and to find out if the construction of a pile footing is economical.
It is understood [17] that the reliability of a pile, its footing and foundation are the most important elements of structural reliability. Therefore, for the sake of safe performance, the process of designing reliable structures is initiated by ensuring the reliable behavior of foundation piles, which confirms the relevance and timeliness of this end-bearing pile reliability analysis based on the first group of limit states.
MATERIALS AND METHODS
Let's analyze the behavior of an end-bearing pile in the foundation soil to develop a methodology for its analysis with account for the behavior of soil above the rock or low compressibility soil. Unlike the widely spread idea of an end-bearing pile behavior, different pile behavior patterns, shown in Fig. 2, are possible [8-13] following its sinking into the soil and reaching the rock or other low compressibility soil. Fig. 2 shows piles exposed to force F that has several values.
The pattern illustrated by Fig. 2, a corresponds to small load value F1, a longer pile or deep rock. The pattern illustrated by Fig. 2, b corresponds to load F > F1, which is smaller than limit load Nd according to (Fig. 2, c) in case of full utilization of the foundation soil bearing capacity. The pile reliability analysis is performed pursuant to the mathematical model of the limit state F < Nd in the general case with account for variability values F h Nd. Given the balance of forces in Fig. 1, b we obtain the following equation
F = os0ilA + uJ"oV (x)dx - uJ"Hfneg(x)dx. (1) |
n
CD = «
Negative friction forces are caused by deforma- £= tions of the pile material caused by force csoil4. If the = s bottom tip of a pile is safe from forcefeg(x), for exam- g.g ple, if part (H-h) of the bottom tip of a pile is insulated = : from the foundation soil, formula (1) will be as follows: o
rh
F = os0ilA + uj0 f(X)dx.
(2)
tfi c/>
Fig. 1. Design schemes describing the behavior of a friction pile and an end-bearing pile in the foundation soil pursuant to Construction rules and regulations 24.13330.2011
Further, we will consider the pile reliability analy sis pursuant to pattern (2) of the pile behaviour.
If asoil = Rsoil, limit load Nd on the end-bearing pile 3 will be similar to (1):
Fig. 2. Patterns of the end-bearing pile behavior in the foundation soil: F — design load; Nd — limit load in terms of the bearing capacity of the foundation soil; f,eg(x) — friction forces; Rsoil — design rock resistance
in n
Nd = R
rh 1 rH
A + uJq f (x)dx - u J forp(x)dx, (3')
where hl > h, because Nd > F or similar to formula (2):
Nd = Rrp A + u j) 1 f (x)dx.
(3'')
f (x) = e( x )q( x)q>,
(4)
density of soil, ^o = f
1-^0
For example, for clays
ters [12] are used to calculate the value of £i = -
lRo
resistance values are also used to draw epure e(x) along the pile. Function e(x) is approximated by graph e(x) along the pile. These tests were conducted in China [10]. To simplify the work, the authors of [8, 13] sug-
gest describing e(x) by linear function e( x) = en
h - x
Formula (2) has csoil, or strain in the rock or low-compression foundation soil below the pile bottom tip. Its value is identifiable in the course of soil or preliminary pile testing; u stands for the perimeter of the pile cross section; A is the pile cross section area; h is the depth of the soil layer exposed to friction forces f(x) on the surface of a pile which is also exposed to strain csoil; h1 is the soil layer depth in case of csoil = Rsoii. Given the continuity of e(x) h q(x), friction force f (x) [8, 13] can be represented as follows:
F
according to Fig. 3, if ^max A ^ , where Ec is the
A^c
modulus of elasticity of the pile material.
The value of h (see Fig. 3) can be identified by measuring e(x) in the course of testing a preliminary
h - xi
pile at pre-set section x1 if e( xi) = em
h
-. Hence:
where q(x) is the side soil pressure on the pile surface. According to [18], q( x) = y^o x, where y is the bulk
and clayey soils, |o = 0.10...0.15; 9 is a dimensionless ratio.
Pile material deformation e(x), caused by compression, can be measured using strain-gauge testing. Dimensionless ratio 9 is determined by testing the preliminary pile, applying load F and adding compression according to the pattern provided in 2, b. Towards this end, the preliminary pile, that has strain meters, is sunk into the soil until it reaches the rock (or low-compression) layer, and resistance values provided by strain meRo - R\.
Fig. 3. A linear representation of changes in e(x) along the pile exposed to load F
h
h = -
^max X1
-E( Xi)
(5)
The value of dimensionless ratio 9 is identified by preliminary pile testing. This ratio depends on the type of pile, its sinking method, and the type of the foundation soil. Given the balance of forces in the preliminary pile sunk into the foundation soil and exposed to load F and if the value of h is available, the design scheme (Fig. 3) and design equation (1) or (2) can be applied with regard for (4) to identify the value of 9 for a specific pile, and this process is exemplified below with the help of average values of h, Ec, y, osoil. The value of Ec depends on the pile material. One can refer to Construction rules and regulations 63.13330.2012 to identify the value of Ec for different grades of concrete. Let's analyze equation (2) with regard for (4), where values of F, osoil, A, y, h, Ec, x1 are available to shorten the description of the process of identification of the relation between 9 and other parameters. As a result, we obtain
F = orp A + u^h I e
h - x
( Y^o x)qdx. Having
com-
pleted the integration procedure,
60soil A + UEmax Y^O #2
we get
F =
6
Hence, we use the formula of F to find the value of 9, if values of parameters are average.
9 =
6(F -a SOii A)
UEmax Y^O h2 '
(6)
The value of osoil depends on F, A, £max _
F
AEC
and y. The value of y is found by the foundation soil testing [18].
Let's analyze the value of 9. Let the following values be available: F = M06 N; y = 20-103 N/m3; A = 0.09 m2; u = 1.2 m; = 0.1; h = 6 m; coarse sand osoil = 5T06 Pa;
1 io6
Ec = 30-109 Pa; Emax =
0.09• 30 io9
= 0.37 10-3. Then
9 =
6(1 106 - 5 106 • 0.09) 1.2• 0.37 10-3 • 20 103 • 0.1 • 62
= 1 105.
RESULTS
Recently, new design schemes have been proposed to analyze the behaviour of friction and end-bearing piles in the foundation soil; these new solutions take account of the pile behavior in foundations soils when piles are at rest rather than in the course of failure [9-16, 21] describes the pile surface friction mechanism for a loaded pile in the soil; the mechanism was identified during an experiment. Works [8, 22, 23], where possibilistic and probabilistic methods of assessment of standalone piles and groups of piles are described, arouse interest in the context of the problem discussed in this article. The authors of works [8, 24] pioneered the application of mathematical tools borrowed from the possibility theory [20] due to the small amount of statistical information on controllable parameters.
One must identify the parameters of and statistical information on random variables to assess the reliability of an end-bearing pile using design model F < Nd . We will consider parameters Y and h as random variables (or fuzzy variables, if the possibility theory terms are used [20]) and design load F as the pre-set one in our analysis of the reliability of an end-bearing pile at the design stage.
We use formula (3") with regard for the variability of parameters Y and h 1 to express the limit bearing capacity of a pile in terms of the bearing capacity of the foundation soil Nd if the load is equal to Nd, as shown in Fig. 4. We do not take account of fneg(x) in our analysis of the end-bearing pile reliability due to its being isolated from soil in the (H-h1) area. Fig. 4 demonstrates the procedure for finding the value of hi = £maxXl , if emaX = Nd / AEc. The value of Nd
cmax
may be found (1) by testing the pile according to the testing pattern (Fig. 2, b), in other words, by rising load
Emax > Elim , where Elim is the limit deformation of the pile material. For example, metal piles have Elim = = 0.002; concrete piles have Elim = 0.0015.
It can be noted that the research coverage of reliability analysis methods applicable to end-bearing piles in respect of the bearing capacity of foundation soils is limited, and the same about the amount of statistical information on controllable parameters that may impact the pile reliability and be applied as a quantitative measure boosting its performance safety.
Fig. 4. A linear representation of changes in e(x) along the pile and values of £1(xi) if the pile is exposed to load Nd
V» C/3
GO CJ1
F until strain clim equal to Rsoil (while the value of Rsoil is available) occurs at the bottom tip of a pile, (2) or by using formula (5), if csoil = Rsoil and ^max Nd /AEC. Fig. 2 shows that F and csoil demonstrate proportionate growth until they reach the values of Nd h Rsoil, and h reaches h1, as shown in Fig. 4. Having analyzed the measurements of hi taken pursuant to pre-set schemes (Fig. 3, 4), we obtain the statistics required to describe h and hj as a fuzzy variable that will be described below. Having analyzed the measurements of y,, we obtain the statistical data needed to describe fuzzy variable y.
As a result, having substituted f(x) pursuant to formula (4), we use expression (3") to obtain
c ^ x
n"V n > r h 1 Nd , x . ,
Nd = Rsoil A + u I —— 1 (y^o x)^dx. Follow-
Jo AEc { h 1 ) ing the integration with regard for the variability of Y,
h, Nd we have Nd = R^ A + uNd ^ h 2 h 2 '
v2 3
Hence, Nd
AEc
^ uvr^cnh 2
= Rsoil A, where Rsoil is the
1 _ uYfeotyh 2 6 AEc
design resistance of soil below the bottom tip of a pile pursuant to Construction rules and regulations 24.13330.2011, but not exceeding 20,000 kPa. As a result, we have
Nd = Rsoii A /(1 - cYh2), (7)
where
e=6A?- (8)
According to formula (8), we can consider c a deterministic variable, because the variability of Ec, A, u, 9 is small. The value of Rsoil is available in Table 7.2 of Construction rules and regulations 24.13330.2011, and it depends on the type of rock or low compressibility soils or their depth; alternatively, this value can be identified by testing.
Let's consider the potential range of c values, if A = = 0.09 m2; u = 1.2 m; 9 = 1105; = 0.1; Ec = 30-109 Pa.
m If we apply formula (8), we obtain с = 1,2 0,1 1 10 =
S3 w 6 • 0,09 • 30 • 109
To analyze the reliability of an end-bearing pile, if F is the design value, F < Nd expression is applied, and formula (7) is used to find Nd, we employ the possibility theory [20], given the limited nature of statistical information on random variable Nd, which we consider a fuzzy variable, and the same about Y and h . Design load F, the value of which can be considered permanent while testing the pile, must meet the following condition:
F < RsoaA /(1 - e^k?), (9)
where the statistics of hi values is identified by measuring hi in the process of testing preliminary piles, if the load value is equal to F. The value of design soil resistance Rsoil below the bottom tip of a pile, specified in Table 7.2 of Construction rules and regulations 24.13330.2011, with regard for the instructions provided in Construction rules and regulations paragraph 7.2.1, is considered a deterministic variable (8). Foundation soil testing will help to characterize fuzzy variable Y for homogeneous soils; Y and h will be fuzzy variables, described using possibility theory methods [20]. We employ the possibility distribution function to describe them; for example, we refer to [8, 24] to describe X as follows:
Kx (x) = exp[-((x - ax )/bx )2) (10)
where
ax = Q 5( Xmax + Xmin );
bx = 0,5(Xmax -Xmin))-lna , ae[0,1].
The values of a are specified in [25]. Inverse function (10) will be as follows: x = ax ± bx*J- ln ax or x = ax + bxP, where ax =nx(x) and ax =nx (x).
Let's denote Y by X, h by Y. By using expression (9) we obtain FeYh2 > F - Rsoil A or, given that Fey = X, h = Y and F - Rsoil A = d we obtain:
XY2 > d. (11)
The data available in [26] can be employed to analyze the pile reliability using design model (11), given that the amount of statistical information on X and Y is limited. Here we employ the generalization principle developed by L. Zade. For this purpose, we introduce fuzzy variable T obtained with the help of formula (11):
T = XY2 > d, (12)
X and Y will be described by function (10) having the same value of a.
According to the principle introduced by L. Zade, functions, which are inverse in relation to T, will be as follows:
t = (ax - bx*J-ln ax) (ay - by J- ln ax )2 > d, (13')
t = (ax + bx-J - ln a x) (ay + by J- ln a x )2 > d. (13'')
In (13') b has a minus, because t goes down while these values go up. Let's indicate ln ax = P and use
jg = 7,4 • 10-7 m/N.
If we take the average values of Y = 20 • 103 N/m3; h = 7 m and the value of Rsoil = 7.3 • 106 Pa (Table 7.2 BB of Construction rules and regulations 24.13330.2011); CD A = 0.09 m2, c = 7m4 • 10 7 m/N h Nd = 2.4 • 106 N, ¡g which is calculated using average values of parameters ® in expression (7). If the load on a pile is equal to F = „ „ = 1T06 N and if we used traditional analysis methods, B we would report a sufficient bearing capacity of a pile in IS terms of the foundation soil, as Nd/F = 2.4-106/M06 =
ON ' a
s a = 2.4. Let's make its quantitative assessment in the context of the reliability obtained with the help of tradi-H tional notions.
(13') to obtain the smallest value of the design reliability in the following way:
t = (ax-pbx )(ay-pby )2 = d. (14)
We apply formula (14) to obtain |Pmm| and to
identify potential failure Q = a x = e-Pmn, while the target failure-free performance is described as follows: N = 1 - Q. Failure-free performance R = 1, if axay > d. The pile reliability falls within the range of [N, R] values.
Example. Let's take the following (conventional) values: u = 1.2 m; A = 0.092; Ec = 30 • 109 Pa; = 0.1; F = 1T06 N, and have the following values available, as well: X = j1 = [19-21] • 103 N/m3; Y = hl = [6-8] m. Let's find c = 7.4 • 10-7 m/N, if 9 = 1105; Rsoil = 7.3 • 106 Pa (coarse sand). ax = 20-103 N/m3, bx = 0.47 • 103 N/m3, ay = 7 m, by = 0.47 m (if a = 0.1) d = 1 • 106 - 7.3 •
• 106 • 0.09 = 0.343T06 N, as ax aj = 20 • 103 • 72 = = 980 • 103 N > d = 0.343 • 106 N, then potential failure-free performance R = 1.
By using expression (14) we obtain (20 - 0.67P) •
• 103 • (7 - 0.67 P)2 =343 • 103. Hence, P = -3.8. Possible failure Q = e-3 82 = 0,9 • 10-6, N = 1 - Q. Pile reliability values fall within the range of [N, R].
Presently, limit values characterizing the reliability of bearing elements of buildings and structures, including foundations and footings, are being discussed and researched. Indeed, the author of [27] recommends to use Q = 1T06.. .1T05 to identify the probability of the foundation failure, which is close to the result obtained in our example.
An end-bearing pile, if considered in terms of the reliability theory, represents a conventional consistent mechanical system that has two performance criteria: pile strength (or the bearing capacity of its material) and the bearing capacity of the foundation soil. Hence, its reliability taken as an isolated element, must exceed the one of the foundation, or Q < 10-6, and it is demonstrated by our example. When analyzing an end-bearing pile using the possibility theory and presenting reliability in the form of the [N, R] range or as probabilistic variables [P, P], P, P stand for the top and bottom probabilities of failure-free performance, which can be
obtained using formula P = max jo, ^P - (n -1)|,
P = min Pi, or the formula of "bounded difference".
A piled foundation in terms of the classical (probabilistic) reliability theory also represents a consistent mechanical system (foundation — piled footing), in which the probability of failure-free behavior P is equal to the product of P1P2 probabilities for all elements, while the probability of failure Q = 1 - nPe This article does not deal with this problem. Neither does it analyze
end-bearing pile reliability, if the bottom pile tip is not isolated from the soil foundation. For example, such insulation is hardly feasible for bored piles. Therefore, there is a wide range of research to be performed using formulas (1) and (3) and other methods of reliability analysis in respect of end-bearing piles.
To sum up the discussion, it's worth mentioning that in terms of reliability an end-bearing pile is a conventional mechanical system that has consecutively connected independent elements. One conventional element represents pile material strength, given that the value of the possibility of failure-free performance is available and the same about the reliability values represented as top and bottom probabilities P1 and Pi, let alone the criterion of the bearing capacity of a pile in terms of the foundation soil P 2 and P2. An end-bearing pile represents a consistent system in terms of the reliability theory, as the failure of one element causes the failure of the whole system (the pile). The reliability of this sys-
f n \
tem is determined by P = max
0, XP i- (n -1)
, and
P = min (P).
As for an end-bearing pile, the number of performance criteria n is equal to two (according to effective Construction rules and regulations 24.13330.2011, end-bearing piles are not exposed to any settlement-related verifications).
CONCLUSIONS
The author offers a ground-breaking reliability analysis method for end-bearing piles. The method is focused on the bearing capacity of the foundation soil; it takes account of the foundation soil behavior along the side surface of a pile, as well as full employment of the soil bearing capacity below the bottom tip of a pile.
The author uses the mathematical possibility theory to perform a sample analysis of an end-bearing pile due to the limited amount of statistical information on controllable parameters in the mathematical model of the limit state. He also employs the theory of odd multiplicities and the generalization principle developed by L. Zade. S?
This methodology is applied to project pile behav- C ior reliability at the stage of design, and it will be ac- 2 n companied by the testing of preliminary piles. £=
This methodology may be applicable at the stages = C of design and operation of buildings and structures, as g.g well as in the process of developing regulatory docu- =" ments dealing with the analysis of pile foundations o with account of interstate standard GOST 27751-2014, 1 which came into effect in 2015. The article will have .
practical value for educational processes at civil engineering universities.
tfi ui
GO CJ1
REFERENCES
in n
1. Mayer M. Die Sicherhait der Baiwerkr und ikr Berechnung nach Cranzkraf statt nach Zalassigen Spannungen. Springer Verlag. 1926; 111-126.
2. Streletskiy N.S. The method of calculating the structures of buildings and structures according to limiting conditions, is applied in the USSR, and the main directions of its application to building structures. Moscow, Stroyizdat Publ., 1961; 34. (rus.).
3. Rzhanitsyn A.R. Theory of the Reliability Calculation of Building Structures. Moscow, Stroyizdat Publ., 1978; 239. (rus.).
4. Bolotin V.V. Statistical methods in structural mechanics. San Francisco, Holden-Day Inc, 1969; 240.
5. Shpete G. Reliability of bearing structures. Moscow, Stroyizdat Publ., 1994; 288. (rus.).
6. Rayzer V.D. Reliability theory in structural design. Moscow, ASV Publ., 1998; 304. (rus.).
7. Klevtsov V.A. The question of designing structures using the theory of reliability. Concrete and rein-forcedconcrete. 2009; 2:9-13. (rus.).
8. Utkin V.S. Calculation of reliability of ferroconcrete rack-piles in the basis of foundations. Construction: Science and Education. 2018; 8(3)(29):24-34. DOI: 10.22227/2305-5502.2018.3.2 (rus.).
9. Jayasinghe L.B., Zhou H.Y., Goh A.T.C., Zhao Z.Y., Gui Y.L. Pile response subjected to rock blasting induced ground vibration near soil-rock interface. Computers and Geo-technics. 2017; 82:1-15. DOI: 10.1016/j.compgeo.2016.09.015
10. Lui J.L., Qui M.B., Qui R.D. A layerwise summation method for settlement calculation of pile group based on the homogenized Mindlin stress. China Civil Engineering Journal. 2014; 118-127.
11. Fattahi H. Applying Rock Engineering Systems to Evaluate Shaft Resistance of a Pile Embedded in Rock. Geotechnical and Geological Engineering. 2018; 36(5):3269-3279. DOI: 10.1007/s10706-018-0536-5
12. Kumar S., Priya H. Comparative study and analysis of the lateral and vertical loads of pile foundation. International Journal of Engineering Trends and Technology. 2017; 45(4):153-157. DOI: 10.14445/22315381/ijett-v45p233
13. Utkin V.S. Friction piles behavior in soil base and piles settlement calculation. Vestnik MGSU [Pro-
ceedings of the Moscow State University of Civil Engi-^ neering]. 2018; 13(9):1125-1132. DOI: 10.22227/1997« 0935.2018.9.1125-1132 (rus.).
14. Haberfield C.M., Lochaden A.L. Analysis and £ design of axially loaded piles in rock. Journal of Rock ■ Mechanics and Geotechnical Engineering. 2018; 13-18. ® DOI: 10.1016/j.jrmge.2018.10.001
15. Serrano A., Olalla C., Galindo R.A. Shaft resistance of a pile in rock based on the modified Hoek-Brown criterion. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences. 2015; 76:138-145. DOI: 10.1016/j.ijrmms.2015.03.007
16. Dai G., Salgado Ro., Gong W., Zhu M. The effect of sidewall roughness on the shaft resistance of rock-socketed piles. Acta Geotechnica. 2017; 12(2):429-440. DOI: 10.1007/s11440-016-0470-8
17. Oduah F., M. Hesham El Naggar, Norlander G. Unified system reliability approach for single and group pile foundations — Theory and resistance factor calibration. Computers and Geotechnics. 2019; 108:173-182. DOI: 10.1016/j.compgeo.2018.12.003
18. Terzaghi K., Peck R.B., Mesri G. Soil mechanics in engineering practice. John Wiley & Sons, 1996; 592.
19. Jayasinghe L.B., Zhao Z.Y., Goh A.T., Zhou H.Y. A field study on pile response to blast-induced ground motion. Soil Dynamics and Earthquake Engineering. 2018; 568-575. DOI: 10.1016/j.soildyn.2018.08.008
20. Dubois D., Prade H. Possibility theory. New York, Plenum Press, 1988; 411.
21. Alshenawy A., Hamid W., Alnuaim A. Skin friction behavior of pile fully embedded in limestone. Arabian Journal of Geosciences. 2018; 11(2):37. DOI: https://doi.org/10.1007/s12517-018-3386-9
22. Leung Y.F., Lo M.K. Probabilistic assessment of pile group response considering superstructure stiffness and three-dimensional soil spatial variability. Computers and Geotechnics. 2018; 103:193-200. DOI: 10.1016/j.compgeo.2018.07.010
23. Huang J., Kelly R., Li D., Zhou C., Sloan S. Updating reliability of single piles and pile groups by load tests. Computers and Geotechnics. 2016; 73:221230. DOI: 10.1016/j.compgeo.2015.12.003
24. Utkin V.S. Reliability analysis of reinforced concrete friction piles in soil base. Structural mechanics and design of structures. 2018; 1:31-36. (rus.).
25. Utkin V.S., Solov'yev S.A., Kaberova A.A. The value of the cutoff level (risk) in the calculation of the reliability of load-bearing elements by the possibility method. Structural mechanics and analysis of constructions. 2015; 6(263):63-67. (rus.).
26. Zaden L.A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility. Fuzzy sets and systems. 1978; 1:3-28.
27. Kozachek V.G., Nechayev N.V., Notenko S.N. et al. Inspection and testing of buildings and structures: proc. for universities / ed. V.I. Rimshina. 3rd ed., Sr. Moscow, Higher School Publ., 2007; 655. (rus.).
Received March 13, 2019.
Adopted in a revised form on March 22, 2019.
Approved for publication February 26, 2020.
Bionotbs: Vladimir S. Utkin — Doctor of Technical Scinces, Professor of Department of Industrial and Civil Engineering; Vologda State University (VSU); 15 Lenin st., Vologda, 160000, Russian Federation; ID RISC: 73379412, Scopus: 16460902000; utkinvogtu@mail.ru.
