CC BY
202
УДК 539.3
АД. Матвеев
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ КОМПОЗИТНЫХ КОНСТРУКЦИИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ
УСЛОВИЙ ПРОЧНОСТИ*
В статье предложены процедуры расчета на прочность композитных трехмерных конструкций, которые сводятся к расчету на прочность трехмерных изотропных однородных тел (конструкций) с применением эквивалентных условий прочности. В основе предлагаемых процедур лежит следующее утверждение. Для всякой композитной конструкции V существует такая изотропная однородная конструкция V и существуют такие числа па, пь, что если коэффициент запаса пе конструкции Уе удовлетворяет эквивалентным условиям прочности па < пе < пь, то коэффициент запаса п0 конструкции V удовлетворяет заданным условиям прочности п < п0 < п2, где пх, п2 - заданы, и наоборот. Для ряда композитных конструкций регулярной структуры показаны процедуры построения изотропных однородных конструкций и эквивалентных условий прочности.
Ключевые слова: коэффициент запаса, композиты, однородные тела, эквивалентные по прочности конструкции, задача упругости, эквивалентные условия прочности, метод конечных элементов.
А. Matveev
STRENGTH CALCULATION OF THE COMPOSITE CONSTRUCTIONS WITH THE EQUIVALENT STRENGTH CONDITION USE
The calculation procedures on the composite three-dimensional construction strength that are reduced to the calculation of the three-dimensional isotropic uniform bodies (constructions) strength with the application of the strength equivalent conditions are offered in the article. The following statement is the core of the offered procedures. For every composite construction V0 there is such a homogeneous one as Ve and such numbers as na,
nb, that if the safety factor ne of Ve construction satisfies the equivalent strength conditions na < ne < n6, then
the safety factor n0 of V0 construction satisfies the given strength conditions n < n0 < n2, where nx, n2 are
given, and vice versa. For a number of composite constructions of the regular structure the procedures for constructing the isotropic homogeneous constructions and the equivalent safety conditions are shown.
Key words: safety factor, composites, homogeneous bodies, equivalent in strength constructions, elasticity problem, equivalent strength conditions, finite element method.
Введение. Расчет на прочность конструкции является одним из важнейших на этапе эскизного проектирования [1], которое является технико-экономическим обоснованием проекта конструкции. Как правило, расчет на прочность конструкции проводится по запасам прочности [1, 2, 3]. Согласно этому расчету, для коэффициента запаса п0 проектируемой конструкции У0 заданные условия прочности имеют вид:
п < п0 < п2, (1)
где п, п2 заданы, щ > 1.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 14-01-00130).
На этапе эскизного проектирования конструктору в первую очередь интересно знать, удовлетворяет или не удовлетворяет коэффициент запаса п0 проектируемой конструкции V заданным условиям прочности (1). Если коэффициент п0 удовлетворяет заданным условиям прочности, то считают, что конструкция V не разрушается при эксплуатации. Важно отметить, что если п0 удовлетворяет условиям (1), то в этом случае нет необходимости детально исследовать напряженное состояние конструкции V. Итак, расчет на прочность конструкции V сводится к нахождению ее коэффициента запаса п0 и проверке условий прочности (1) для коэффициента п0. Коэффициент запаса п0 определяют по формуле п0 = аг / а0 [1, 2, 3], где аТ - предельное напряжение конструкции У0, а0 - максимальное эквивалентное напряжение конструкции V. При анализе напряженного состояния композитных конструкций широко используют метод конечных
элементов (МКЭ) [4, 5]. Следует отметить, что базовые дискретные модели композитных конструкций, которые состоят из конечных элементов (КЭ) первого порядка и учитывают их структуры, имеют очень высокую размерность [6], что порождает трудности при реализации мКэ на ЭВМ.
В данной работе предложены процедуры расчета на прочность линейно упругих трехмерных композитных статически нагруженных конструкций (состоящих из пластичных материалов), которые сводятся к нахождению коэффициентов запаса для изотропных однородных конструкций и построению эквивалентных условий прочности. В основе предлагаемых процедур лежит следующее утверждение. Для любой композитной конструкции V существует такая изотропная однородная конструкция Уе (т.е. конструкция Уе состоит
из изотропного однородного материала) и существуют такие числа пеа,пь > 0, что если коэффициент запаса пе конструкции V удовлетворяет эквивалентным условиям прочности
п < Пь < п1 (2)
то коэффициент запаса п0 конструкции V удовлетворяет заданным условиям прочности (1), т.е. условиям п < п < п2, где п,п2 заданы; коэффициенты запаса пе, п0 конструкций Уe, V определяем по 4-й теории прочности [3].
Достоинства предлагаемых процедур состоят в следующем. В расчетах используем изотропные однородные конструкции, которые имеют такие же формы и размеры, закрепления и нагружения, как заданные композитные конструкции. При анализе напряженного состояния изотропных однородных конструкций по МКЭ применяем КЭ высокого порядка, размеры которых больше размеров КЭ первого порядка базовых разбиений, так как при учете композитных структур по МКЭ (тонкие) волокна и дисперсные частицы (малых размеров) представляем КЭ первого порядка. Поэтому КЭ высокого порядка порождают дискретные модели однородных конструкций, размерности которых меньше размерностей базовых дискретных моделей композитных конструкций. Суть эквивалентных условий прочности заключается в следующем. Пусть две упругие конструкции V, V состоят из пластичных материалов, имеют одинаковые форму, размеры, закрепления, нагружения и условия эксплуатации, но отличаются модулями упругости. Пусть для коэффициента запаса п0 конструкции V заданы условия прочности (1). Пусть для коэффициента запаса пе конструкции Уe заданы условия прочности (2). Если из выполнения для коэффициента запаса п0 конструкции V условий прочности (1) следует выполнение для коэффициента запаса пе конструкции Уe условий прочности (2) и наоборот, то условия (1), (2) будем называть эквивалентными условиями прочности соответственно для конструкций V, V (коэффициенты запаса определяем по 4-й теории прочности). В данной работе для ряда
композитных конструкций регулярной структуры, для которых заданы условия прочности вида (1), показаны процедуры построения изотропных однородных конструкций и эквивалентных условий прочности.
1. Основные положения для конструкций. В работе рассматриваем трехмерные линейно упругие изотропные однородные и композитные конструкции, которые расположены в декартовых системах координат, состоят из пластичных материалов, имеют гладкие границы, статические нагружения и одинаковые условия эксплуатации. Функции нагружений конструкций есть гладкие функции координат. Конструкции име-
ют закрепления, причем, границы закреплений конструкций не вырождаются в точки. Композитные конструкции состоят из компонент, т.е. из разномодульных тел, которые являются изотропными однородными телами с различными модулями упругости. Связи между разномодульными телами композитных конструкций идеальны, т.е. на общих границах разномодульных тел функции перемещений и напряжений композитных конструкций являются непрерывными. Перемещения, деформации и напряжения разномодульных тел композитных конструкций отвечают соотношениям Коши и закону Гука трехмерной линейной задачи теории упругости [7]. Эквивалентные напряжения для всех конструкций определяем по 4-й теории прочности.
2. Эквивалентные условия прочности и эквивалентные по прочности конструкции. Пусть две конструкции V и V2 имеют одинаковые форму, геометрические размеры, закрепления и статические нагружения, но отличаются модулями упругости. Пусть для коэффициентов запаса щ, n2 соответственно конструкций V , V2 заданы условия прочности
n < n < n, (3)
lb
n < n2 < n, (4)
где n\,n2 > 1; n\,n, n1,nb зЭДаны.
Для конструкций V , V2 введем следующие два определения.
Определение 1. Если из выполнения условий (4) для коэффициента n2 следует выполнение условий (3) для коэффициента щ и, наоборот, если из выполнения условий (3) для коэффициента щ следует выполнение условий (4) для коэффициента n2, тогда условия прочности (3), (4) будем называть эквивалентными условиями прочности соответственно для конструкций V , V .
Определение 2. Пусть конструкции V , V2, для которых соответственно условия (3), (4) являются эквивалентными условиями прочности, не разрушаются при одинаковых условиях эксплуатации. Тогда конструкции V , V будем называть эквивалентными по прочности.
На практике эквивалентность по прочности конструкций V , V2 означает, что вместо работающей конструкции V можно использовать конструкцию V2 и наоборот. Отметим, что из двух эквивалентных по прочности конструкций целесообразно использовать в работе такую конструкцию, которая более технологична в изготовлении, отвечает заданным техническим требованиям и требует меньше финансовых затрат на изготовление и эксплуатацию.
3. Теорема о существовании эквивалентных условий прочности. Рассмотрим следующую теорему для композитной конструкции V .
Теорема 1. Пусть на трехмерную линейно упругую композитную конструкцию V0 действуют заданные статические поверхностные силы q, т.е. силы, действующие на незакрепленной части границы S конструкции V0, и объемные силы p, где q = {qx, qy, qz }г, p = {px, py, pz }г : qx, qy , qz, px , py, p2 - гладкие функции координат x, y, z . На границе SH конструкция V0 жестко закреплена, т.е. на SH : u = v = w = 0, S0 = Su + S , ^ - граница конструкции V0. Конструкция V0 состоит из компонент V, т.е. из пластичных разномодульных изотропных однородных тел Vi, где i = 1,...,N, N - общее число тел V конструкции V. Пусть максимальное эквивалентное напряжение композитной конструкции V0 возникает в теле Va, 1 <a< N. Пусть для коэффициента запаса n0 конструкции V0 заданы условия прочности
щ < Щ < Щ , (5)
где щ , n2 заданы, щ > 1.
Тогда существуют такая изотропная однородная конструкция Vb и такие числа Щ, np, что если коэффициент запаса щ конструкции Vb удовлетворяет (эквивалентным) условиям прочности
np < щ < np, (6)
то коэффициент запаса n0 композитной конструкции V0 удовлетворяет условиям прочности (5), и наоборот. Если коэффициент запаса n0 композитной конструкции V0 удовлетворяет условиям (5), то коэффициент запаса nb изотропной однородной конструкции Vb удовлетворяет условиям (6), причем между коэффициентами запаса n0, щ взаимно существует однозначная связь.
Доказательство. Пусть однородная изотропная конструкция Vb и композитная конструкция V0 имеют одинаковые форму, размеры, закрепления и нагружения, но отличаются модулями упругости. Пусть модули упругости конструкции Vb равны модулям упругости тела Va конструкции V0, 1 < a < N. Коэффициенты запаса n0, nb находим по формулам [1, 2, 3]:
По =аТ /а0, (7)
nb =ат/аь, (8)
где ат - предел текучести тела Va [3]; а0,аь - максимальные эквивалентные напряжения, возникающие соответственно в конструкциях V0, Vb.
Пусть коэффициент щ удовлетворяет условиям прочности (5). Тогда подставляя (7) в (5), получим неравенства:
а
Существует такое число р, что Учитывая (10) в (9), имеем
Используя (8) в (11), получаем Существуют такие числа п р , п р , что
щ < — < щ. (9)
p = ajab. (10)
а
pny < pn2. (11)
ab
pn < Пъ < pn. (12)
np = pn, np = pn2. (13)
Подставляя (13) в (12), получаем, что для коэффициента п6 выполняются условия (6). Итак, существуют такие числа пр, пр, что коэффициент запаса пь изотропной однородной конструкции Уь удовлетворяет условиям (6).
Обратно пусть коэффициент запаса щ конструкции Уь удовлетворяет условиям прочности (6). Подставляя (8) в (6) и учитывая (10), (13), получим
рат
Рп1 <-< рп 2.
Откуда с учетом (7) следует выполнение для коэффициента запаса п0 композитной конструкции У0 условий прочности (5). Итак, показано, что всякому коэффициенту пь е (пр, пр) соответствует единствен-
но
ный коэффициент щ е (щ, п2), найденный по формуле (7), и, наоборот, всякому коэффициенту щ е (щ, щ) соответствует единственный коэффициент пь е (пр, пр), отвечающий формуле (8). Рассмотрим предельные случаи. Пусть пь = пр . Используя соотношения (8), (13), (10) в последнем равенстве, получаем раТ / = рщ. Откуда с учетом (7) следует п0 = щ. Аналогично можно показать, что если щ = пр, то п0 = п2. Пусть п0 = щ. Используя (7), (10) в последнем равенстве, получаем ат / аъ = рщ. Откуда с учетом (8), (13) вытекает пь = пр . Аналогично можно показать, что если п0 = п2, то пь = пр. Таким образом, между коэффициентами запаса п0 и щ взаимно существует однозначная связь. Теорема 1 доказана.
Отметим, что условия (5), (6) являются эквивалентными условиями прочности соответственно для конструкций V, (см. опр. 1, п. 2). Считают, что если п0 удовлетворяет заданным условиям прочности
(5), то конструкция V не разрушается при эксплуатации. Пусть конструкция Уь не разрушается при эксплуатации. Тогда конструкции V, Vь являются эквивалентными по прочности (см. опр. 2, п. 2).
Итак, доказано существование изотропных однородных конструкций и эквивалентных условий прочности для композитных конструкций, имеющих любую структуру, форму, любые размеры, статические нагружения и закрепления, которые отвечают положениям п. 1 и условиям теоремы 1. Следует отметить, что
для всякой композитной конструкции V всегда можно построить изотропную однородную конструкцию Уь,
т.е. всегда для конструкции Уь можно задать по определенным правилам форму, размеры, нагружение, закрепление и модули упругости. Однако в общем случае эквивалентные условия прочности для изотропной однородной конструкции Уь можно построить только для заданных усилий ц, р, что непрактично. Это связано с тем, что напряжения аь, а0 и параметры пр, пр, р отвечают заданному нагружению ц, р
конструкций Уь, V (см. формулы (10), (13)).
4. Некоторые процедуры построения эквивалентных условий прочности. В основе предлагаемых процедур лежит теорема 1. На практике широко используют композиты, армированные непрерывными волокнами или дисперсными частицами (почти) одинаковых размеров [6]. При изложении предлагаемых процедур рассматриваем композитные конструкции волокнистой структуры.
4.1. Композитные конструкции регулярной структуры с коэффициентами наполнения, которые мало отличаются от единицы. Пусть трехмерная композитная конструкция V имеет ортогональную решетку волокон регулярной структуры. Волокна имеют постоянную толщину и одинаковые модули упругости. Решетка волокон имеет одинаковый шаг по осям Ох, Оу, Ох. Пусть коэффициент наполнения
[6] конструкции V мало отличается от единицы (отметим, что 0 < < 1). Пусть максимальное эквивалентное напряжение конструкции V возникает в волокне. Пусть однородная изотропная конструкция Уь и композитная конструкция V имеют одинаковые форму, размеры, закрепление и нагружение, но отличаются модулями упругости. Пусть модули упругости конструкции Уь равны модулям упругости волокна конструкции V. Пусть для коэффициента наполнения кн конструкции V имеем 1 -= а, где а - малая величина. Расчеты показывают, что при а < 0,15 имеем а0 « (1 + а)аь, где а0, аь - максимальные эквивалентные напряжения, возникающие соответственно в конструкциях V, Уь. В этом случае в силу (10) считаем, что р = 1 + а и, учитывая (13), получаем пр = (1 + а)щ, пр = (1 + а)п2. Тогда согласно (6) для коэффициента запаса щ изотропной однородной конструкции Уь эквивалентные условия прочности
имеют вид:
п1(1 + а) < пъ < п2(1 + а). (14)
4.2. Композитные пластины регулярной структуры. Рассмотрим трехмерную композитную пластину У01 постоянной толщины и ортогональной решетчатой регулярной волокнистой структуры (решетка
волокон имеет одинаковые шаги по осям Ох, Оу , Ог). Срединная плоскость пластины VI лежит в плоскости Оху . Волокна имеют одинаковые толщины и модули упругости. Пластина VI имеет такие размеры и структуру, что с позиций макроподхода ее можно считать трехмерной изотропной однородной пластиной V/ с фиктивными модулями упругости Е1, у1 , где Е1 - модуль Юнга, у1 - коэффициент Пуассона. Процедура нахождения фиктивных модулей упругости для трехмерных композитных тел регулярной структуры изложена в работе [8]. Пусть для коэффициента запаса п\ пластины VI заданы условия прочности
П < п\ < п2. (15)
Пусть трехмерные композитная пластина VI и изотропная однородная пластина V/ имеют одинаковые форму, размеры, закрепления и нагружения. Пусть модули упругости пластины равны модулям упругости волокна композитной пластины VI. Пусть размеры пластин , Vе такие, что их можно считать
пластинами Кирхгофа. Тогда, как известно [7, 9], деформирование изотропных однородных пластин , Vе Кирхгофа описывается соответственно дифференциальными уравнениями:
V4 ^ = д0/ оъ , (16)
V4 ^ = д0/ Ое, (17)
где V2 - оператор Лапласа, V2 = д2/дх2 + д2/ду2; (х,у) (^(х,у)) - прогиб пластины (пластины Vе); Яо - заданная поверхностная вертикальная нагрузка для пластин , Vе; % = % (х, у) -гладкая функция координат; О , О - цилиндрические (изгибные) жесткости соответственно пластин У^, Ур, определяемые по формулам [7]:
Бъ = ЕъИ3/[\2(\ - у1)] , Бе = Е1И3 /[12(1 - у?)], (18)
Eb, vb - модуль Юнга и коэффициент Пуассона изотропной однородной пластины Vf ; h - толщина пластин Vb, Vе, т.е. композитной пластины Vj.
Введем параметр a:
= Db / De. (19)
С учетом (19) уравнение (17) запишем в виде
V4wе = axqj Db. (20)
Из сравнения уравнений (16), (20) следует, что решения wb, we связаны соотношением we = ахwb, а значит, о] =а , где о], о] - векторы напряжений соответственно пластин V/, VЬ. В силу we = аwb, о] =а О и однородности функции f вычисления эквивалентных напряжений по 4-й теории прочности, получаем < = max f ( о]) = max f (а°]) = amax f (о]) = а<а\, где а\ = max f (о]);
а\,а\ - максимальные эквивалентные напряжения соответственно изотропных однородных пластин V*,
vb.
Итак, имеем а] = аха\. Пусть коэффициент наполнения пластины Vj удовлетворяет условию 0,85 < < 1. Расчеты показывают, что в этом случае максимальное эквивалентное напряжение а] композитной пластины Vj отличается от напряжения а] не более чем на 15 %, что является вполне удовлетворительной погрешностью для инженерных расчетов. Поэтому в первом приближении можно принять, что а] = а]. Из равенства а] = а а] с учетом, что а] = а], получаем а] = аха\ ■ Отсюда
«1 = а] /а]. (21)
На основании теоремы 1 имеем p = а] /а], отсюда, учитывая (21), получаем
Р = . (22)
В силу (13), (22), имеем np = аn, np = аn2, и тогда для коэффициента запаса n] однородной изотропной пластины V/ эквивалентные условия прочности имеют вид
аn < n] < аn2, (23)
где а = Db / De (см. (19)); Db, De - изгибные жесткости соответственно пластин , V*.
Замечание 1. Отметим, что параметр а т.е. в силу (22) параметр p , зависит лишь только от изгиб-
ных жесткостей Db, De изотропных однородных пластин V/, V(см. соотношения (19), (18)), т.е. параметр а (параметр p) зависит от вида регулярной структуры и физических параметров композитной пластины V] .
Процедура нахождения параметра а, т.е параметра p, сводится к следующему. Для композитной пластины Vg постоянной толщины h строим изотропные однородные пластины V, V/. При этом фиктивные модули упругости , Vj трехмерной пластины V* находим по алгоритмам, которые изложены в работе [8]. По формулам (18) определяем изгибные жесткости Db, De пластин V*, V/. По формуле (19) находим параметр а и эквивалентные условия прочности для изотропной однородной пластины V/ записываем в виде (23). Из теоремы 1 следует, что если для коэффициента запаса n] изотропной однородной
пластины Vb выполняются условия (23), то для коэффициента запаса n] композитной пластины Vj выполняются заданные условия прочности (15).
4.3. Композитные балки регулярной структуры. Рассмотрим трехмерную композитную балку V02 постоянного поперечного сечения, которая имеет регулярную ортогональную решетчатую волокнистую структуру. Решетка волокон имеет одинаковые шаги по осям Ox, Oy , Oz. Волокна имеют одинаковые толщины и модули упругости. Пусть срединная плоскость балки V02 лежит в плоскости xOz. Ось балки V02 совпадает с осью Ox, ось Oy направлена вверх. Балка V02 нагружена вертикальной нагрузкой q(x), где q(x) - гладкая функция. Пусть для коэффициента запаса n2 балки V02 заданы условия прочности
n < n2 < n2. (24)
Пусть размеры и структура балки У02 таковы, что с точки зрения макроподхода композитную балку У02 можно рассматривать как некоторую трехмерную изотропную однородную балку VI. Отметим, что балки У02, VI имеют одинаковые форму, размеры, закрепление и нагружение. Фиктивные модули упругости Ее, уе2 для трехмерной балки VI (где Ее2 - модуль Юнга; уе2 - коэффициент Пуассона) находим по алгоритмам, которые изложены в работе [8]. Пусть изотропная однородная балка У2 и композитная балка V,2 имеют одинаковые форму, размеры, закрепления и нагружения. Пусть модули упругости изотропной однородной балки УЬ равны модулям упругости волокна композитной балки У02. Пусть изотропные однородные
балки У2 , У2 являются балками Кирхгофа. Ось балки У2 (балки У2 ) совпадает с осью Ох, а ось Оу направлена в в виде [9, 10]:
д2 у е М(х)
направлена вверх. Дифференциальные уравнения изогнутых осей балок Уе, У2 соответственно запишем
дх2
(25)
^ = Мх), (26)
дх2 Е2ъ/г ^ '
где М(х) - изгибающий момент для балок Уе, У2 , порожденный нагрузкой %(х); Jг - момент инерции поперечного сечения балки Уе (балки V2 ) относительно оси Ог; уе (х), уъ (х) - функции прогибов соответственно балок Уе, УЬ; Е\ - модуль Юнга балки У2 . Введем параметр а2 по формуле
а2= ЕЬ / Ее2. (27)
С учетом (27) уравнение (25) представим как
(28)
дх Е^г
Отметим, что правые части уравнений (26), (28) отличаются множителем а2
2 2 2 2 Ге = , где ае , °2
Следовательно, уе = а2уъ, а, значит, а2 =а2&1, где а2, аь2 - максимальные эквивалентные
напряжения соответственно балок У2 , У2. Пусть 0,85 < < 1, где кн - коэффициент наполнения композитной балки У02. Расчеты показывают, что в этом случае максимальное эквивалентное напряжение а2 композитной балки У02 мало отличается от напряжения а2 (не более чем на 10 %). Поэтому в первом приближении можно считать, что а2 = а2. Согласно теореме 1, имеем р = а1/а1. Из равенства р = а22 /а2, используя (27) и соотношения а2 = а2, а2 = а2 /а2, получаем р = а2 = ЕЬ /Ее. Эквивалентные условия прочности для коэффициента запаса п\ балки У2 в силу (13), (6) представим в форме
а2щ < п2 < а2п2. (29)
Из теоремы 1 следует, что если для коэффициента запаса n2b изотропной однородной балки V2 выполняются условия (29), то для коэффициента запаса n b композитной балки V02 выполняются заданные условия прочности (24).
Замечание 2.. Отметим, что параметр а2, т.е. параметр p , зависит лишь только от модулей упругости Eb , Ee2 соответственно изотропных однородных балок V2b, V* (см. соотношение (27)), т.е. параметр а2 (параметр p) зависит только от вида регулярной структуры и физических параметров композитной балки V02.
4.4. Трехмерные композитные конструкции регулярной структуры. Не теряя общности суждений, рассмотрим закрепленную трехмерную композитную конструкцию V регулярной волокнистой структуры, для которой заданы поверхностные q и объемные p силы. Волокна имеют одинаковые модули упругости и толщину. Пусть изотропная однородная конструкция Vb и конструкция V0 имеют одинаковые форму, размеры, заданные закрепления и нагружения, но отличаются модулями упругости. Модули упругости конструкции Vb равны модулям упругости волокна композитной конструкции V0. Считаем, что композитная конструкция V имеет такие характерные геометрические размеры, что с позиций макроподхода конструкцию V можно рассматривать как некоторое однородное тело. Построение эквивалентных условий прочности для коэффициентов запаса конструкции Vb сводится к определению параметра p. В основе предлагаемой процедуры нахождения параметра p лежит следующее положение.
Положение 1. Считаем, что значение параметра p зависит лишь только от вида структуры и физических характеристик композитной конструкции V0 регулярной структуры.
Отметим, что в п. 4.2-4.3 показано, что когда коэффициент наполнения композитных пластин и балок регулярной решетчатой волокнистой структуры лежит в диапазоне 0,85 < < ] параметр p зависит только от вида структуры и физических характеристик пластин, балок (см. замечания 1, 2). Таким образом, положение 1, по сути, является обобщением результатов, полученных в п. 4.2-4.3. Из положения 1 следует, что достаточно определить параметр p для любой композитной конструкции V , которая имеет такую
же неоднородную структуру и физические характеристики, как и заданная композитная конструкция V0 регулярной структуры, и которую с точки зрения макроподхода [6] можно считать однородным телом. Параметр p находим с помощью расчетов, например, используя МКЭ. Для удобства расчетов выбираем конструкцию
, характерные размеры которой меньше размеров конструкции V0 и которая имеет простую форму (например, форму прямоугольного параллелепипеда). Конструкция V включает кратное число регулярных ячеек композитной конструкции V . Для конструкции V задаем поверхностные q и объемные p силы, которые удобны для расчетов и отражают характер нагружения конструкции V0. Например, если для конструкции V заданы силы q = const, p = 0, то для конструкции Vd задаем силы типа q = const, Pj = 0 . Пусть композитная конструкция и изотропная однородная конструкция Vm имеют одинаковые
форму, размеры, нагружения и закрепления. Модули упругости конструкции V m равны модулям упругости волокна конструкции . Находим максимальные эквивалентные напряжения: аа - для конструкции ,
ат - для конструкции Vm. Параметр p, используемый для построения эквивалентных условий прочности
для конструкции Vm в силу положения 1 для конструкции Vb и согласно теореме 1 находим по формуле:
p = аd/ат. (30)
5. Результаты численных экспериментов. Рассмотрим модельную задачу о расчете на прочность трехмерной линейно упругой композитной конструкции У0 регулярной структуры. Композитная конструкция
V, имеющая форму типа двутавровой балки [3] (рис. 1), армирована непрерывными изотропными однородными продольными волокнами сечения 2Нх 2Н, т.е. волокна направлены вдоль оси Оу . Расстояние между волокнами в направлении осей Ох, Ог равно 2Н. Регулярная ячейка конструкции V имеет размеры АН х АН х АН. На рис. 2 показано сечение регулярной ячейки в плоскости, параллельной плоскости хОг, сечение волокна заштриховано.
Рис. 1. Конструкция V (Уь)
При у = 0: и = V = ж = 0, т.е. в плоскости хОг конструкция У0 закреплена. Пусть для коэффициента запаса п0 композитной конструкции У0 заданы условия прочности вида (5), где щ = 1,3, п2 = 2, т.е. заданы условия
1,3 < щ < 2.
(31)
Для конструкции V используем следующие данные:
Н = 0,5; аТ= 5,5 ; Еь = 10, Е = 1, ус=У = 0,3,
(32)
где Е, Е (У,У) - модули Юнга (коэффициенты Пуассона) соответственно связующего материала и волокон; ат - предел текучести волокна.
Для конструкции V заданы силы Q = 0,135, направленные вертикально вверх и действующие в точках с координатами х, У;, го, где г0 = 2АН, х = 2Н(/ -1), / = 1,. ..,13, у = 12Н + 12Н(/ -1), ] = 1,...,7, Силы Q схематично показаны на рис. 1. Пусть композитной конструкции V отвечает изотропная однородная конструкция Уь (см. п. 4.4). Параметр р находим по процедуре, изложенной в п. 4.4. Рассмотрим конструкцию ^ формы прямоугольного параллелепипеда размерами 16Н х 72Н х16Н (рис. 3), меньших размеров, чем конструкции V (рис. 1). Конструкция ^ имеет такую же композитную структуру и физические характеристики, как конструкция V. При у = 0 конструкция ^ закреплена, т.е. при у = 0: и = V = ж = 0. Следуя п. 4.4, для конструкции ^ задаем силы ц = 0,12, направленные вертикально
вверх и приложенные в точках с координатами х, у , г0, где г0 = 16к, х = 2к(/-1), г = 1,...,9,
у. = 12к +12к(7 -1), у = 1,...,5, силы q схематично показаны на рис. 3. При расчете конструкции Уа
используем данные (32). Модуль Юнга изотропной однородной конструкции Ут равен 10, коэффициент Пуассона - 0,3, предел текучести материала конструкции Ут - 5,5.
Рис. 2. Сечение регулярной ячейки
Рис. 3. Конструкция У, (Ут)
Базовое разбиение композитной конструкции Уа состоит из изотропных однородных КЭ первого порядка формы куба со стороной к и учитывает ее неоднородную структуру. Для расчета изотропной однородной конструкции Ут по МКЭ используем лагранжевый КЭ Уе формы прямоугольного параллелепипеда размерами 8к х12к х 8к, шаг сетки которого по осям Ох, Ог равен 2к, по оси Оу - 3к, т.е. по осям Ох, Оу, Ог лагранжевый КЭ имеет четвертый порядок аппроксимаций. На рис. 3 представлено разбиение однородной конструкции Ут на КЭ Уе. Расчеты показывают, что аЛ = 4,208, ат = 1,454, где <уа, (гт - максимальные эквивалентные напряжения соответственно конструкций УЛ, Ут. Параметр р находим по формуле (30), т.е. р = аа / ат = 2,894. Подставляя щ = 1,3, щ = 2, р = 2,894 в формулу (13), находим пр = 3,762, пр = 5,788, и тогда согласно (6) эквивалентные условия прочности для коэффициентов запаса щ изотропной однородной конструкции Уь имеют вид
3,762 < щ < 5,788.
(33)
Для расчета изотропной однородной конструкции Уь по МКЭ используем лагранжевый КЭ Уе (размерами 8к х12к х 8к), описанный выше. На рис. 1 представлено разбиение конструкции Уь на КЭ Уе. Расчет конструкции Уь показывает, что максимальное эквивалентное напряжение равно аь = 1,219 . Коэффициент запаса щ конструкции Уь равен щ =аТ/аь = 5,5/1,219 = 4,511. Коэффициент щ = 4,511 удовлетворяет эквивалентным условиям прочности (33). Тогда согласно теореме 1 коэффициент запаса щ композитной балки У0 удовлетворяет заданным условиям прочности (31). Покажем, что коэффициент запаса щ композитной конструкции У0 удовлетворяет условиям (31). Напряженное состояние конструкции У0 определяем с помощью МКЭ. Дискретная базовая модель конструкции У0 состоит из КЭ первого порядка формы куба со стороной к, которая учитывает ее структуру. Анализ расчетов показывает, что максимальное эквивалентное напряжение а0 конструкции У0 равно а0 = 3,624. Подставляя
<Т = 5,5 , а0 = 3,624 в формулу п0 = ат / а0, получаем п0 = 1,517. Отметим, что коэффициент щ = 1,517 удовлетворяет заданным условиям прочности (31). Напряжения <, <, а0 вычисляем по 4-й теории прочности.
Итак, согласно известной процедуре [1, 2, 3], коэффициент запаса п0 конструкции V находим по формуле п0 =</<. Для анализа напряженного состояния конструкции V, т.е. для определения напряжения < по МКЭ используем дискретную базовую модель И0 композитной конструкции V, которая содержит 129276 узловых неизвестных, а ширина ленты системы уравнений (СУ) МКЭ равна 3240. Предлагаемая процедура (см. п. 4.4) сводится к определению коэффициента запаса щ и эквивалентных условий
прочности для конструкции Уь. Для нахождения коэффициента запаса щ конструкции Уь используем дискретную модель И (состоящую из лагранжевых КЭ V) размерности 12180; ширина ленты СУ МКЭ равна 3822. Реализация МКЭ для дискретной модели И требует в 9 раз меньше объема памяти ЭВМ, чем для базовой модели И. При построении эквивалентных условий прочности используем дискретную модель И конструкции ^ размерности 62424 (ширина ленты СУ МКЭ равна 1848) и дискретную модель конструкции У", которая имеет 5832 узловых неизвестных (ширина ленты СУ МКЭ равна 2190). Реализация МКЭ для дискретной модели И (для модели ) требует в 3,6 раза (в 32,8 раза) меньше объема памяти ЭВМ, чем для дискретной базовой модели И. Достоинство предлагаемой процедуры (см. п. 4.4) состоит в том, что ее реализация на основе МКЭ требует меньше объема памяти ЭВМ, чем известная процедура.
Литература
1. Москвичев В.В. Основы конструкционной прочности технических систем и инженерных сооружений. -Новосибирск: Наука, 2002.
2. Биргер И.А., Шорр Б.Ф., Иосилевич Г.Б. Расчет на прочность деталей машин. - М.: Машиностроение, 1993.
3. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. - Киев: Наукова думка, 1975.
4. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975.
5. НорриД., де-ФризЖ. Введение в метод конечных элементов. - М.: Мир, 1987.
6. Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушения композиционных материалов. - М.: Мир, 1982.
7. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высш. шк., 1982.
8. Матвеев А.Д. Определение фиктивных модулей упругости для трехмерных композитов на основе жест-костных соотношений однородных конечных элементов // Вестн. КрасГАУ. - 2008. - № 5. - С. 34-47.
9. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1988.
10. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. - М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1958.
