CC BY
3370
Труды лесоинженерного факультета ПетрГУ
Расчет на ЭВМ показателей долговечности лесных машин по результатам их незавершенных испытаний
Питухин А.В.1 Шиловский В.Н.
Серебрянский НИ Петрозаводский государственный университет
В статье излагается основанный на методе Нельсона математический аппарат и последовательность расчета на ЭВМ среднего и гаммапроцентного ресурса по случайно усеченным данным без замен. В основу положен параметрический метод. Рассматриваются законы нормального распределения, логарифмически нормальный закон и распределение Вейбулла.
Ключевые слова: показатели долговечности, гамма-процентный ресурс, цензурированная выборка, закон распределения.
ВВЕДЕНИЕ
При проведении ресурсных испытаний часто складывается ситуация, в которой часть машин, не доработав до предельного состояния, снимается с наблюдения. При этом имеют место случайно усеченные данные (так называемая цензурированная выборка). Обработка их стандартными методами математической статистики невозможна. Для расчета среднего и гамма-процентного ресурсов в этом случае применяются графоаналитические методы, основанные на линеаризации зависимости факториального и результативного признаков. Расчет показателей на ЭВМ с использованием подобных методов затруднителен и неточен. В данной статье излагаются основанный на методе Нельсона [1,2] математический аппарат и последовательность расчета на ЭВМ среднего и гамма-процентного ресурса по случайно усеченным данным без замен.
М - число машин, имеющих наработку до
предельного состояния (имеющих ресурсный отказ);
Ь - наработка машины с ресурсным отказом;
1 = 1/4 . (2)
где
ц - условный номер машины с ресурсным отказом;
Ч = 1Ч-К+1, (3)
где
N - общее число машин, поставленных на испытание;
К - порядковый номер машины с ресурсным отказом в общем порядке поставленных на испытание машин.
Функция W(L) интенсивности замен связана с эмпирической функцией распределения ресурсов И(Ь) выражением:
\У(Ь) = -1п(1-Р(Ь)). (4)
По рассчитанной функции \\^(Ь) определяется
функция Р(Ь). При предположении справедливости гипотезы о принадлежности опытных данных к нормальному закону можно записать выражение для квантиля нормального закона распределения (Л:
и =------— или и=~Ь---------— , (5)
а а а
где
Ьср - оценка среднего ресурса испытываемых машин:
СГ - оценка среднего квадратического отклонения ресурса.
Квантили функции нормального распределения имеют линейную зависимость от наработки Ь. С другой стороны, используя опытные данные, можно получить уравнение однофакторной линейной регрессии вида:
У = В0 + В,Х, (6)
МЕТОДИКА РАСЧЕТА
Сущность метода заключается в оценке интегральной функции N¥(1^) интенсивности замен, определяемой по формуле:
в которой факториальным признаком является наработка Ь, результативным - квантиль и Сравнивая уравнения (5) и (6), имеем
1___=-
В,
1
(7)
\¥(Ь) = ]Г1
(I)
где
1 А вторы, соответственно, заведующий и доценты кафедры технологии метаппов и ремонта © А.В.Питухин, В.Н.Шиловский,
Н.И.Серебрянский, 1996
По формулам (7) рассчитываются соответствующие оценочные параметры распределения ресурса при принятии гипотезы о принадлежности опытных данных к нормальному закону.
При предположении справедливости гипотезы о логарифмически нормальном распределении факториальным признаком будет являться логарифм наработки 1пЬ. Параметры логарифмически нормального закона определятся:
Питухин А.В.. Шиловский В.Н., Серебрянский Н.И. "Расчет на ЭВМ.
71
In L =----------------; а |П L = —
В, В,
(В)
При любом законе распределения справедлива формула:
F(L) = 1 - EXP(-W(L))
(9)
При распределении Вейбулла функция распределения имеет вид:
Р(Ь) = 1 - ЕХР((- —)п) , а
где
а - параметр масштаба.
п - параметр формы распределения Вейбулла. Сравнивая уравнения (9) и (10), имеем
(10)
В,=
MIXjYj -ZXjYj М1Х;2-1ХГ1Х;
(16)
где
ХХ| - сумма факториального признака при і = 1,М;
X У| - сумма результативного признака при і = 1,М.
Доверительный интервал 3 математического ожидания определяется по формуле:
5 = -;=t(P.M -1) VM
(17)
I г,
\^(Ь) = ( ) . (II)
а
Логарифмируя выражение (II), получаем:
1§\¥(Ь) = п(^Ь-^а). (12)
Выражение (12) показывает, что логарифмы интегральной функции интенсивности замен имеют линейную зависимость от логарифмов наработки.
При предположении справедливости гипотезы о принадлежности опытных данных к закону Вейбулла можно получить уравнение вида (6) линейной регрессии, в котором факториальным признаком является логарифм наработки, результативным - логарифм функции интенсивности замен
Сравнивая уравнения (6) и (12), имеем:
п = В,\а = КУ'^Ч (13)
По выражению (13) определяются оценочные параметры распределения Вейбулла. По ним рассчитываются оценочные показатели ресурса при подтверждении гипотезы о принадлежности опытных данных к распределению Вейбулла.
(14)
Ьс1,=аГ\\ + -
а~ =а--т 1 +
Г 1 + -
(15)
где
Г - символ гамма-функции Эйлера.
Коэффициенты В 0 и В ! линейной регрессии определяются методом Крамера.
IX^-SYj-IXjYj-ZX; MlX^-IXj-IXj
где
ЦР,М-1) - квантиль распределения Стьюдента. соответствующий вероятности Р и числу степеней свободы М-1;
Р - доверительная вероятность.
Для выбора закона распределения опытных данных рассчитывается оценка коэффициента г корреляции по каждой проверяемой гипотезе:
(XV)cp-XcpYcp
(18)
Выбирается закон распределения, при котором коэффициент корреляции наибольший. Оценки гамма-процентного ресурса определяются по уравнению регрессии выбранного закона распределения.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
По изложенной последовательности аналитического расчета оценочных показателей ресурса составлена программа для ЭВМ на языке FORTRAN. Для решения задачи в компьютер вводятся данные: количество машин, поставленных на испытание; количество машин, имеющих по результатам испытаний ресурсный отказ; порядковые номера машин с ресурсным отказом; наработки машин с ресурсным отказом; доверительная вероятность.
Выходные величины: параметры распределений нормального, логнормального, Вейбулла; точечные и интервальные оценки ресурсных показателей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Nelson W. Theory and Application of Hazard of Plotting for Censored Failure Data // Technometrics . 1972. V.14. N4. H.945-965.
2. Методические указания для определения показателей долговечности изделий по результатам незавершенных испытаний или наблюдений. М.: ОНТИ-НАТИ, 1980.
