CC BY
52
Том І
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И /Р70
№ 4
УДК 533.601.18
РАСЧЕТ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО ПОТОКА ТЕПЛА МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛАСТИНАМИ В РАЗРЕЖЕННОМ ГАЗЕ
В. И. Власов
С помощью ЭВМ рассчитан поток тепла при отношениях температур пластин 0= 1,5; 4; 16; 100 и числах Кнудсена Кп = 0,2; 0,5; 2; 10. Модель молекул — упругие сферы, сечение которых обратно пропорционально относительной скорости перед столкновением. Для таких молекул, как и для максвелловских, вязкость газа пропорциональна температуре. Метод заключается в разыгрывании случайных блужданий одной пробной молекулы среди полевых молекул, минимально необходимое количество которых оказалось равным приблизительно 100/Кп. В каждой малой геометрической ячейке запоминалась полевая молекулярная скорость, которая менялась по определенному правилу, что обеспечивало представление всей функции распределения. Приведены профили плотности и температуры.
Предлагаемый в статье метод является развитием метода Монте-Карло, описанного в работах [1] и [2]. При использовании этого метода прослеживается движение одной молекулы на функции распределения, запомненной от предыдущей итерации. Существенным недостатком, ограничивающим его применение, является большой объем необходимой машинной памяти, так как функция распределения зависит от нескольких переменных. В работе автора [3] предложено усовершенствование, позволяющее в каждой геометрической ячейке вместо функции распределения запоминать скорость одной молекулы. Этот метод был иллюстрирован расчетом потока тепла между пластинами при отношении темпе-
Т
ратур пластин ■— = 4 и числе Кнудсена Кп = 0,5. Однако вслед-
•" 2
ствие недостаточно корректного способа отбора запоминаемых скоростей в практическом расчете пришлось в каждой геометрической ячейке запоминать как минимум 7 скоростей. В данной статье рассматривается метод, при котором эта некорректность отбора молекул устраняется и в каждой геометрической ячейке (слое) запоминается в точности одна молекулярная скорость. Метод применен для расчета потока тепла в широком диапазоне отношения температур пластин (от 1,5 до 100) и чисел Кнудсена (от 0,2 до 10).
СУЩНОСТЬ МЕТОДА
Предположим, что одноатомный газ, заключенный между параллельными плоскостями, состоит из молекул, взаимодействующих таким образом, что
а) полное эффективное сечение столкновения двух молекул
—У —>
СО скоростями £ И равно
°=7- <4
-*■ ->
где ац = const и g = 1£ — | — относительная скорость молекул перед
столкновением;
б) скорости молекул после столкновения могут быть определены как скорости упругих сфер:
V = 0,5 (Г+ £ + ge), ?; = 0,5 (Г+ ?! - ge), (2)
где е — случайный вектор, равномерно распределенный на поверхности единичной сферы.
Чтобы пояснить физическое содержание этой модели межмо-лекулярного взаимодействия, приведем коэффициент вязкости такого газа, полученный по методу Чепмена — Энскога:
2 kT
v- = ——, (3)
где £ — постоянная Больцмана, Т—температура газа. Так как коэффициент вязкости пропорционален температуре, то предложенная модель молекул аналогична максвелловской и ее можно назвать моделью максвелловских сфер.
Обозначим температуру горячей и холодной пластин через и Т2, числовую плотность газа через я, среднюю плотность — п0,
функцию распределения скоростей молекул —/{х, 2), расстояние между пластинами — й. Ось л примем перпендикулярной пластинам. Пространство между плоскостями разобъем на N узких слоев
толщиной /г == . Параметры газа внутри слоя будем считать
постоянными. С помощью ЭВМ рассчитываем движение одной пробной молекулы на фоне полевых молекул. Частота столкно-
-*
вений пробной молекулы $ равна
Кт = / °ё/ Й) Д = 3о П, (4)
т. е. ддя принятой модели молекул не зависит от функции распределения.
г, °0«Л
Вероятность столкновения молекулы внутри слоя равна . .
I *X I
Допустим, что пробная молекула должна столкнуться в данном
слое с какой-то полевой молекулой Тогда скорость 2, должна быть выбрана в соответствии с плотностью вероятностей
Л'ст '' п ' ( 1
Чтобы обойтись без запоминания функции распределения /{I), заметим следующее. Вероятность того, что молекула, входящая
в слой, имеет скорость ^пропорциональна величине | £*!/($). Вероятность того, что молекула, сталкивающаяся в слое, имеет скорость пропорциональна величине
~/Й- (6)
Сравнивая выражения (5) и (6) видим, что можно поступить следующим образом: при каждом столкновении пробной молекулы
% запоминать ее скорость в соответствующем слое, а в качестве
скорости для формулы (2) брать скорость, запомненную при предыдущем столкновении в этом слое. Таким образом, в каждой геометрической ячейке вместо функции распределения надо запоминать плотность газа и скорость столкнувшейся молекулы.
Поле плотности заранее неизвестно, поэтому расчет ведем по итерациям. В качестве начального приближения принимаем свободномолекулярное состояние газа. Отражение молекул от стенки диффузное с температурой стенки. Число Кнудсена
2т
Кп =
о0 П$2 й ’
где т — масса молекулы, р0 — п0/г УТг Т2 — давление газа в свободномолекулярном состоянии.
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА
Отношению температур пластин Ь = ТХ1Т2 при варьировании параметров придавались значения 1,5; 4; 16 и 100, а числу Кнудсена значения 0,2; 0,5; 2 и 10. В таблице приведены величины потока тепла <7*, отнесенного к значению <70 при свободномолекулярном состоянии газа:
?0 = 2кп0 (1/ГГ- У77).
Через <7х обозначен поток тепла, рассчитанный при запоминании 2000 скоростей полевых молекул, — при запоминании 500 скоростей, — точное значение потока тепла для модельного кинетического уравнения [4, 5], д4 — поток тепла в приближении Навье — Стокса со скачком температуры на стенке [4]. Для <7, и q2 указаны границы ошибки.
в Принятые обозначения потока тепла Величины потока тепла
Кп=0,2 Кп=0,5 Кп=2 | Кп=10
1,5 <7i 0,44+0,01 0,63+0,01 — .—
<74 0,44 0,62 — —
Ь 0,48±0,01 0,66+0,01 0,86+0.01 0,96+0,01
<7з 0,47+0,01 0,67+0,01 0,86+0,02 0,96±0,02
<7з 0,50 0,70 0,87 0,97
<74 0,53 0,73 —
<?i 0,66+0,01 0,80+0,01 0,93+0,01 0,99+0,01
16 <72 0,66+0,01 0,79±0,01 0,95+0,01 0,99+0,02
<h 0,68 0,82 0,94 0,99
<7i 1,24+0,03 1,14+0,02 1,05+0,01 1,02 + 0,01
100 <72 1,20+0,03 1,14+0,02 1,05+0,01 1,02+0,02
<7з 1,25 1,18 1,07 1,02
Как видно из таблицы, численные результаты хорошо согласуются с данными точного решения модельного уравнения, а для умеренных значений 0 и Кп и с результатами в приближении Навье — Стокса.
На фиг. 1 и 2 сравниваются профили плотности и температуры газа для проведенного расчета и для уравнений Навье — Стокса при 0 = 1,5 и Кп = 0,2 и 0,5.
На фиг. 3—8 приведены профили плотности и температуры для остальных расчетных случаев. Было обнаружено, что для данной задачи итерации сходятся очень быстро. При 0 = 1,5 все итерации, начиная с первой, отличались только случайными колебаниями. При 0 = 4 и 16 практически совпали итерации, начиная
4 — Ученые записки № 4
49
Фиг. 4
Фиг. 8
со второй, а для 0=100 —с третьей. При 0 = 104 попытки расчета этим методом потерпели неудачу. Постепенное ухудшение сходимости с увеличением отношения температур пластин связано с возрастанием роли редких молекул, отлетающих от горячей пластины под малыми углами к ней. Минимальное количество запоминаемых молекулярных скоростей, необходимое для точности 2 — 3%, оказалось равным приблизительно 100/Кп.
ЛИТЕРАТУРА
1. Haviland J. К., Lavin М. L. Application of the Monte Carlo method to heat transfer in a rarefied gas. The Phys. of Fluids, v. 5. № 11, 1962.
2. Haviland J. K. The solution of two molecular flow problems by the Monte Carlo method. Methods in computational physics, New York, 1965.
3. Власов В. И. Улучшение метода статистических испытаний (Монте-Карло') для расчета течений разреженных газов. Доклады ДАН СССР, т. 167, № 5, 1966.
4. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. М., „Наука“,
1967.
5. Willis D. R. Heat transfer in a rarefied gas between parallel plates at large temperature ratios. Rarefied Gas Dynamics. Third Symp., v. I, Acad. Press. New York — London, 1963.
Рукопись поступила lljVII 1969 г.
