Расчет местной податливости элементов многорядного двусрезного болтового соединения Текст научной статьи по специальности «Физика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ПАГ И

Том XIII 1982

№ 1

УДК 624.078.2

РАСЧЕТ МЕСТНОЙ ПОДАТЛИВОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ МНОГОРЯДНОГО ДВУСРЕЗНОГО БОЛТОВОГО СОЕДИНЕНИЯ

і

\

В. Ф. Кожевников

Предложена физическая модель механизма местной податливости элементов многорядного двусрезного болтового соединения. Исходя из этой модели, на основании известных решений теории упругости, получено общее выражение величины податливости как функции известных геометрических и механических характеристик соединения и неизвестного распределения усилий по рядам. Это последнее .может быть найдено решением систем уравнений метода сил, перемещений или энергетических методов при подстановке в них полученных выражений местной податливости.

Основой прочностных расчетов многорядных болтовых или заклепочных соединений, работающих на срез, является. определение усилий, передаваемых каждой силовой точкой соединения. В настоящее время имеется целый ряд путей расчета этих усилий, основанных на методах сопротивления материалов [1, 2], теории упругости [3], либо с помощью метода конечного элемента [4] и иных численных методов. Необходимые для этих расчетов величины местных податливостей силовых точек определяются обычно на основании экспериментально найденных коэффициентов податливости. Необходимость использования в расчетах экспериментальных данных, ассортимент которых естественно ограничен, уже является недостатком, к тому же сам перенос данных, полученных, как правило, на одноточечных образцах, на многорядные соединения нряд ли можно считать корректным.

В связи с этим в настоящей работе предложен новый, полностью аналитический метод расчета местной податливости элементов соединения при условии, что передача усилия в нем осуществляется без эксцентриситета (двусрезное соединение). При этом рассматривается регулярный в плане стык (см. рис. 1), а расчетная модель представляется участком, выделенным двумя смежными продольными сечениями. Влиянием сил трения всех контактирующих эле-

ментов пренебрегаем и принимаем, что крепежный элемент установлен в отверстие без зазора и без натяга. Такие допущения являются общепринятыми.

Прежде всего напомним, что под местной податливостью следует понимать взаимное смещение, т. е. проскальзывание стыкуемых элементов, обусловленное местными деформациями в зоне каждой силовой точки соединения под нагрузкой. Для наиболее полного и наглядного представления механизма податливости рассмотрим физическую модель элемента соединения в виде растягиваемой полосы с отверстием, в которое установлен штифт, нагружаемый дополнительным усилием, соосным первому (рис. 2). Напряженно-деформированное состояние зоны силовой точки формируется двумя силовыми факторами: усилием <3, передаваемым данной силовой точкой, и усилием Р, обтекающим ее и созданным

я—1

суммой усилий 2 от всех предыдущих рядов силовых точек.

1

Рассмотрим действие силы р. Во-первых, это сосредоточенная сила в плоскости, вызывающая депланадию поперечного сечения полосы, т. е. концентрацию продольных перемещений в зоне приложения силы. Это есть одна из составляющих местной податливости, назовем ее составляющей от депланации Дд. Во-вторых, сила С} приведет к взаимному смятию контактирующих поверхностей крепежного и стыкуемого элементов, в результате чего произойдет взаимное смещение центров отверстия и болта, которое назовем составляющей податливости за счет смятия Дсм.

Усилие Р, проходящее по стыкуемому элементу, деформирует контуры отверстий под болты, делая их эллиптическими. В случае, если соединение работает на растяжение, большая ось эллипса совпадает с направлением усилия и, следовательно, возникает зазор между болтом и стенкой отверстия, который должен быть выбран болтом под действием силы Этот зазор является третьей составляющей податливости—за счет эллипсности Д^.

Что касается изгиба оси крепежного элемента, который многими авторами считается основным источником местной податливости, то он, как это видно из рис. 1, приведет лишь к неравномерному распределению контактных усилий по толщине стыкуемых элементов, самостоятельного же вклада в величину податливости, т. е. во взаимное проскальзывание элементов, он не внбсит.

Ниже дается приближенный расчет каждой из трех составляющих местной податливости, основанный на применении известных решений теории упругости.

1. Составляющая податливости Ар. Контур круглого отверстия радиуса г0 в полосе с поперечным сечением Р, принявший под действием растягивающей силы Р эллиптическую форму, может быть описан уравнением радиальных перемещений и его точек, полученным, например, из решения Кирша [5]

и = ~°(1 +2СО5 20), (1)

где Е — модуль упругости материала полосы, 0—угловая координата контура отверстия, отсчитываемая от продольного диаметра.

Если в отверстие вставлен болт, то на продольном диаметре между ним и стенкой отверстия возникнет зазор, который, как это

следует из выражения (1), будет равен и0 = ЗР-г01ЕР. Под действием приложенного к нему усилия С2 болт, прежде чем вступить в контакт со стенкой отверстия по всей нижней части окружности, должен выбрать этот зазор, который и является искомой составляющей податливости. В общем случае для одной и той же силовой точки соединения величина этого зазора в каждом из стыкуемых элементов будет неодинаковой. Это обусловлено, во-первых, различием усилий, вызывающих эллипсность отверстия (см. рис. 1), а во-вторых, возможным различием жесткостных характеристик ЕР стыкуемых элементов в рассматриваемом сечении.

Положим ^(Я/7)^ — а“ (ЕР)1' = ЕР, где ЕР — характерный жест-костной параметр соединения (например, в сечении перед первым рядом внутреннего элемента). Тогда искомая составляющая податливости п-й силовой точки, численно равная сумме вышеупомянутых зазоров, возникающих в отверстии каждого из стыкуемых элементов, определится следующим выражением:

Это выражение даст несколько завышенное значение &р, поскольку оно не учитывает заполнения отверстия болтом. Однако приближенная оценка этой погрешности, полученная при заведомо увеличивающих ее условиях, как-то: абсолютно жесткий болт, сохранение площади эллиптического отверстия при установке в него такого болта и пропорциональное при этом уменьшение радиальной координаты контура эллипса в зоне продольной его оси, дает величину снижения зазора всего на 16,7%.

2. Составляющая податливости Дсм. Приближенный расчет этой составляющей податливости произведем, исходя из допущения, что зависимость между радиальными напряжениями на поверхности контакта зг и соответствующими им радиальными перемещениями точек поверхностей стыкуемого и крепежного элементов удовлетворяет решению Ламе [5], но с учетом их переменности по дуге окружности. Тогда радиальные перемещения контура отверстия и и болта их как функции угловой координаты 6 запишем соответственно:

Первоначально рассмотрим случай, когда приложено лишь усилие Q, а нагрузка, обтекающая болт, отсутствуем (рис. 3, а). Из геометрических соображений ясно, что выражения (3) могут быть аппроксимированы простыми гармоническими функциями вида и(0) = w0cos 0, где #0 —- неизвестная величина перемещения на продольной оси, а 0 •< 6 -< + «/2.

Податливость СИЛОВОЙ ТОЧКИ Дсм в этом случае, т. е. смещение оси болта относительно оси отверстия под нагрузкой Q, будет равна сумме величин и0 болта и пластины. Для ее определения поступим следующим образом. Сложив почленно оба равенства (3) и разрешив их относительно ап получим:

(2)

(3)

О.,

~r Р* Дсм COS 6.

г0

(4)

Здесь

б* = -------------------Р

б* ___________і________

Р РО + И) +!-{*,

Значение Асм в выражении (4) найдем нз условия равенства нулю суммы проекций на продольную ось сил контактного давления и внешней силы р. Уравнение равновесия, полагая, что контакт осуществляется по полуокружности, примет вид:

о

где Л — толщина пластины.

Подставив в уравнение (5) значение ог из (4) и произведя интегрирование, получим:

Заметим, что податливость в этом случае является функцией приложенного усилия, механических характеристик крепежного и стыкуемых элементов, толщины листа, но не зависит от диаметра болта.

В случае, если помимо силы С? действует усилие Р, обтекаю* щее отверстие и вызывающее его эллипсность, контактное взаимодействие болта с пластиной будет сложней. Рассмотрим это взаимодействие, разбив его на два самостоятельных этапа.

Как видно из схемы, приведенной на рис. 3, бу для того, чтобы наступил контакт болта с пластиной по всей нижней части окружности, должно прежде произойти взаимное упругое их смятие по боковым участкам контура, на что, естественно, будет затрачена какая-то доля усилия (3. Это и есть первый этап взаимодействия. На втором этапе оставшаяся часть усилия (3 произведет дальнейшее смятие по нижней полуокружности контактирующих поверх-

(5)

а) при действии только силы 0\ б) при совместном действии СИЛ ф и Р

\

Рис, 3. Схема контактного взаимодействия крепежного и стыкуемого элементов

ноетей аналогично тому, как это происходило в вышерассмотренном первом случае/

Выражение для взаимного смятия контактирующих поверхностей на первом этапе Д1 (6) может быть получено как разность радиальных координат соответственных точек контуров отверстия, описываемого выражением (1), и болта, опустившегося до упора (заштрихованная область на рис. 3, б). Составив выражение для этой разности и произведя соответствующие преобразования, получим;

Л1(6)=|^(Зс0зв-4с082 в + 1). (7)

Приравняв правую часть выражения (7) нулю, найдем, что область контактного. взаимодействия на первом этапе охватывает дуги от нуля до+7/12тс.

Заметим, что на рассмотренном первом этапе составляющая податливости за счет смятия еще не появляется, а реализуется лишь составляющая от эллнпсности. Выражение (7) нам необходимо для того, чтобы составить уравнение равновесия контактных радиальных усилий по боковым дугам окружности с той частью силы Q, обозначим ее которая пошла на выполнение первого этапа. Аналогично (5) запишем:

21 7Д?*

-р р* Рг0 С СОБ* 6 СОЭ 0^0

I

Я і-

Здесь cos* 0 = (3 cos 0 — 4 cos2 0 + 1).

Составляющая податливости за счет смятия ДсМ возникает на втором этапе, для которого условие равновесия'аналогично (5 примет вид:

я/2

2tE§* Дсм J cos2 0rf0 = q2. о

Имея в виду, что ?iH-?2 = Q> общее условие равновесия для] рассматриваемого случая запишем:

тс/2

2tE§* J Дсы J cos2 8dd -f- ^ J cos* в cos Odd J = Q,

Vo 0 /

откуда, вычислив определенные интегралы, получим следующее выражение для искомой составляющей податливости:

7/12 г.

(81

где Ъ — ширина полосы (расчетная ширина стыка).

Как и в первом случае, эта составляющая податливости может быть неодинаковой для каждого из стыкуемых элементов нз-за различия их жесткостных характеристик и усилий, обтекающих данную силовую точку. Поэтому аналогично (2), произведя преобразования, получим:

Лп)

л—1

п

. (9J

3. Составляющая податливости Дд. Для расчета этой составляющей воспользуемся точным теоретическим решением для продольных перемещений V точек поперечного сечения пластины от

действия силы, распределенной по полуокружности радиуса г0 по закону косинуса, данным в работе [6]:

За величину составляющей податливости следует принять разность между перемещениями в точках на контуре отверстия и посредине между соседними болтами одного ряда, т. е. на расстоянии от центра отверстия, равном £/2. Суммарное-, с учетом депла* нации обоих стыкуемых элементов, значение Дл примет следующий вид:

д<"> _ Щ 2-А-(а> + «■>).. (10)

Сложив значения всех трех составляющих местной податливости, определяемых выражениями (2), (9) и (10), получим выражение полной податливости 8Я любой силовой точки соединения

1,07 Лп ~~Ё¥~

~ь

[°-6 Эг°"+0,08 ^(а'+а,,)"1п <

+ Р„ + Аа„ 2 <?/}; (И)

Округлив до единицы коэффициент перед фигурной скобкой и обозначив через А выражение в квадратных скобках, которое суть некоторый обобщенный параметр, характеризующий материал и геометрию соединения, получим выражение для податливости в каноническом виде:

»а=|р(л„д,+«Уя,+'д«я2,<гЛ. . (12)

Как следует из этого выражения, податливость каждой силовой точки зависит, помимо усилия <3, ею передаваемого, также и от усилий, воспринимаемых другими силовыми точками. Характерно, что податливость оказывается прямопропорциональной диаметру крепежного элемента.

Подстановка выражений (12) в соответствующие уравнения (например, уравнения совместности) позволит найти распределение усилий по рядам соединения, подстановка величин найденных

усилий в выражение (12) позволит в свою очередь найти численные значения местной податливости соединения. 1

ЛИТЕРАТУРА

1. Степин П. А. К расчету на срез соединений с прерывистыми связями. „Вестник инженеров и техников*, 1951, № 4.

2. Пестов Н. М. Приближенный расчет выносливости болто-) вых и заклепочных соединений. В сб. .Расчеты элементов авиационных конструкций*, М., „Машиностроение*, 1967.

3. Блейх Ф. Теория и расчет железных мостов. М., ОГИЗ, Гострансиздат, 1931.

4. Г р и ш. и к В. И., Галкина Н. С. Применение МКЭ к исследованию напряженно-деформированного состояния соединений с дискретными и континуальными связями. В сб. „Численные методы решения задач строительной механики”, Киев, КИСИ, 1978.

5. Ван Цзи-Де. Прикладная теория упругости. М., Изд. Физмат. литературы, 1959.

6. Ф р о хт М. М. Фотоупругость, т. 1—II,М.—Л., ГИТТЛ, 1948—1950.

Рукопись поступила 231V 1980 г.