CC BY
57
УДК 536.2.02
РАСЧЕТ МАКРОХАРАКТЕРИСТИК НАНОСИСТЕМ.
ЧАСТЬ 2. КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ НАНОСИСТЕМ
ВАХРУШЕВ А. В., СЕВЕРЮХИН А. В., СЕВЕРЮХИНА О. Ю.
Институт механики Уральского отделения РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34
АННОТАЦИЯ. В работе приведены различные методики расчета и результаты численного исследования коэффициента теплопроводности многокомпонентных (неоднородных) наносистем. В качестве примера двухкомпонентной системы исследовались структуры Si-Ge с различным объемным содержанием элементов. Расчеты показали, что разные методики определения теплопроводности двухкомпонентных структур в диапазоне температур от 300 до 1000 К дают близкие результаты. Зафиксированы разные значения коэффициента теплопроводности для разных объемных концентраций кремния и германия. При уменьшении процентного содержания германия с 50 до 20 % теплопроводность системы также уменьшается. Проанализирован характер кривых температурной зависимости теплопроводности систем Si1-xGex от температуры и состава наносистемы.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: наноматериалы, неоднородность, теплопроводность, моделирование, молекулярная динамика.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время большое внимание уделяется вопросу исследования свойств и возможных вариантов применения наноматериалов, в том числе нанокомпозитов и нанокомпозиционных покрытий с различными типами включений (наночастицы, нанотрубки, фуллерены и т.д. [1, 2]). Не менее важным моментом является возможность прогнозирования физических свойств таких наносистем, так как введение наноэлементов в поверхность или в объем материалов приводит к существенному изменению их физических характеристик, как в локальных, в области нановключения, так и макросвойств таких материалов. Реализовать эту возможность можно применяя методы математического моделирования [3 - 5]. Чаще всего для решения подобного рода задач используются аппараты молекулярной динамики и квантовой механики, которые позволяют прогнозировать свойства исследуемых материалов без проведения дорогостоящих экспериментов.
В представленной статье, в развитие предыдущей работы авторов [6], рассмотрена задача расчета коэффициента теплопроводности многокомпонентных (неоднородных) наносистем.
МЕТОДИКИ РАСЧЕТА
Расчет величины коэффициента теплопроводности многокомпонентных (неоднородных) систем может быть осуществлен различными способами. Один из подходов заключается в следующем.
1. Определяется вид композиционной системы (с замкнутыми вкраплениями, система с взаимопроникающими компонентами, комбинированная система).
2. Определить объемные концентрации компонентов системы.
3. В соответствии со структурой и составом системы рассчитать значение эффективной теплопроводности.
Так при рассмотрении структур с взаимопроникающими компонентами выражение для эффективной теплопроводности будет иметь вид [7]:
к эф = к1
к
К
(
С2 (1 - С )2 + С (1 - С) кл кл
к
^ С +1 - С
V к1
X
(1)
"1 '"1
где к1, к2 - коэффициенты теплопроводности первого и второго компонентов структуры. Параметр С определяется исходя из выражения:
С = 0,5 + А соб
3
при
при
0 < п2 < 0,5 А = -1, ( = агссоэ(1 -2п2), 0,5<п2 < 1 А = 1, ( = агссоэ(2п2-1),
где п2 - объемная концентрация второго компонента.
Второй подход можно сформулировать на основе теоретических выкладок приведенных в [8]. Если рассматривать колебания фононов в системе как движение фононного газа, тогда мы можем применить кинетическую теорию газов. Для определения качественной зависимости электронной составляющей коэффициента теплопроводности от температуры можно представить всю совокупность электронов металла в виде электронного газа, по аналогии с фононным газом описанным выше. Тогда мы можем записать для бинарной смеси газов
ксм = + , (2)
&1 + &2У-2 § 2 + &У2-1
где к1, к2 - коэффициенты теплопроводности первого и второго компонентов бинарной смеси, взятые при температуре смеси, у1-2,у2-1 - поправочные коэффициенты.
У-
У2-1
т/ т
(1+т/ т) т/ т
0,5
с
(1+т/ т)0,5
1+
1+
щ
V ^2 J
0,5 0,25
V
0,5
Vhl J
т J
0,25
т
V т2 J
где Щ,Щ2 - коэффициенты динамической вязкости компонентов, т1,т2 - молекулярные массы компонентов.
Для двухкомпонентных систем, где значения молекулярных масс компонентов различаются незначительно, величина коэффициента теплопроводности может быть записана в виде:
ксм = Г1к1 + Г2к2 = Г1к1 + (1 - }1 ) к2 , (3)
где }, } - мольные доли компонентов смеси.
Если рассматривать системы, где молекулярные массы веществ, входящих в их состав, отличаются значительно, то логарифмическая зависимость коэффициента теплопроводности смеси будет хорошо согласовываться с опытом. Таким образом, мы можем записать:
18 ксм = ^ к1 + г2\% к2 (4)
или
к„. = к} №.
см 1 2
Также можно произвести численные расчеты величины коэффициента теплопроводности с использованием метода Грина-Кубо [9, 10], по аналогии с методикой, описанной в [8].
2
2
2
к=^ ЬЗх (0)^ (* ^=Ь1 {0 1 (* ^
Тепловой поток для двухкомпонентной системы может быть записан в виде [11]:
7 N
■>. = | ЕЕ (е - ^) х,,
1 ,=1
где суммирование по / включает все частицы компонента]. А энтальпия вычисляется, как:
^ Е
Н1 = Е Е+ рУ.
Помимо приведенных методов для расчета коэффициента теплопроводности смеси может быть использована формула Оделевского [12]:
С \
к = к
см 1
1 —
У 2
__У
V к1 — к2 - У
(6)
где у1, у2 - объемные доли компонентов смеси.
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
Моделирование теплофизических процессов, протекающих в многокомпонентных системах, производилось при помощи аппарата молекулярной динамики с использованием пакета прикладных программ ЬАММРБ [1-]. В качестве граничных условий были использованы периодические граничные условия. Схематическое изображение моделируемой системы представлено на рис. 1.
Рис. 1. Граничные условия и схематическое изображение моделируемой системы
В качестве примеров двухкомпонентной структуры, были рассмотрены структуры, содержащие атомы кремния и германия в разных процентных соотношениях. Пример расчетной системы представлен на рис. 2. В системе, представленной на рис. 2, содержится 1149 атомов: 640 атомов кремния и 509 атомов германия.
Рис. 2. Пример моделируемой системы
Для описания процессов взаимодействия атомов моделируемых систем использовался многочастичный потенциал MEAM. Такой выбор потенциала взаимодействия обусловлен тем, что парные потенциалы не всегда могут обеспечить реалистичных значений физических характеристик материала, поэтому для более корректного описания свойств твердых тел, зачастую, необходимо использовать многочастичные потенциалы. Параметры потенциала MEAM для моделирования системы Si-Ge были взяты из библиотек пакета LAMMPS [13].
Остановимся для начала на системе размером 4x4x10 элементарных ячеек с процентным содержанием кремния и германия 50/50. Помимо значений коэффициентов теплопроводности двухкомпонентной системы Si-Ge, полученных по результатам моделирования с использованием метода Грина-Кубо, были также рассчитаны значения по приведенным выше методикам. При этом величины теплопроводности для чистых компонентов в диапазоне температур от 50 до 1000 К были получены из результатов моделирования однородных систем.
Следует отметить, что молекулярные массы кремния и германия отличаются значительно, поэтому расчет коэффициента теплопроводности по второй методике осуществляется исходя из формулы (4).
На рис. 3 приведены температурные зависимости коэффициента теплопроводности для системы Si-Ge с процентным содержанием 50/50, вычисленные с использованием разных методик для диапазона температур от 50 до 1000 К.
Анализируя представленные кривые можно сделать вывод, что три рассмотренные модели дают схожие результаты при температурах выше 300 К. При температурах ниже нормальной значения коэффициента теплопроводности, полученные по результатам моделирования с использованием метода Грина-Кубо, отличаются от расчетных значений. Теплофизические процессы происходящие при температурах ниже 300 К требуют дальнейшего, более детального исследования с целью выявления причин расхождения результатов, полученных с помощью разных методик. Однако следует отметить, что в большинстве источников говорится, что в сплавах системы Si-Ge резко снижается удельная теплопроводность по сравнению с удельной теплопроводностью чистых компонентов, поэтому сплавы этой системы являются эффективными высокотемпературными термоэлектрическими материалами.
450 — 400
350 300 250 200 150 100 50 0
m
я- °
■в- ц
2
° 2 a.
с
O
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
SiGe 4x4x40 по (4)
T, K
SiGe 4x4x10 simulation
SiGe 4x4x40 по (1)
SiGe 4x4x40 по (6)
Рис. 3. Температурная зависимость коэффициента теплопроводности системы Si-Ge (50/50)
0
В работе [14], также подтверждается, тот факт, что теплопроводность поликристаллических слоев SiGe в несколько раз меньше, чем поликристаллических слоев Si. В соответствии с [15] теплопроводность системы Si1.xGex при температуре 300 К может быть вычислена исходя из выражения:
k = (0,046 + 0,084х) • 102, 0,2 < х < 0,85.
Таким образом, получаем для системы Si-Ge с процентным содержанием 50/50 величина коэффициента теплопроводности почти в 15 раз меньше, чем для чистого кремния.
Снижение уровня содержания германия до 20 % ведет к уменьшению величины коэффициента теплопроводности это подтверждается данными, представленным в работе [16]. Эти данные приведены на рис. 3. Треугольниками на рис. 4 показаны значения коэффициента теплопроводности для систем: Si0,46Ge0,44 и Si0,14Ge0,86, полученные в ходе моделирования. Данные системы содержат Si0,46Ge0,44 - 640 атомов кремния и 509 атомов германия, Si0,14Ge0,86 - 170 атомов кремния и 1024 атома германия, соответственно. Сравнительные кривые температурных зависимостей систем Si0,5Ge0,5 и Si0,8Ge0,2 изображены на рис. 5.
Содержание Ge, %
Рис. 4. Теплопроводность твёрдых растворов кремний германия в зависимости от концентрации германия [12]
ЬЙ ,5 "Р I- Ш х
ш ^
-8-8-
о о
ЬЙ
120 100 80 60 40 20 0
♦ ♦
■—■
100
200
300
400
500
т, к
600
700
800
900
1000
ЭЮе 4x4x10 50/50 ЭЮе 4x4x10 80/20
Рис. 5. Температурная зависимость теплопроводности систем 810,5Ое0,5 и 810,8Ое0,2
Следует отметить также, что анализ полученных по результатам моделирования данных позволяет сделать вывод об изменении свойств кремний-германиевых систем в зависимости от процентного содержания атомов германия. Для системы Б10,5Ое0,5 в диапазоне температур ниже 350 К кривая температурной зависимости теплопроводности хорошо аппроксимируется кривой у = ах , в то время как при температуре свыше 350 К -кривой у = Ь/х . Эти кривые приведены на рис. 6. Однако для системы 810,8Ое0,2 кривая температурной зависимости теплопроводности на диапазоне температур от 100 до 1000 К может быть аппроксимирована кривой у = с/х. Эти графики изображены на рис. 7.
140
120
100
* 80
со
.¡г
60
40
20
< У = 2Е+ 06х -1,69 73
У = 5 Е-10 4,4 X 145 \ к К2 = 0,7 47
R2 = 0,8 $971 V
► <
у
► < К
200
400
600
Температура, К
800
1000
1200
♦ Теплопроводность SiGe
~ТЛ3
Ч/Т
Рис. 6. Температурная зависимость теплопроводности систем 810,5Ое0,5
0
0
0
Т, К
—♦—Теплопроводность SiGe —~1/Т Рис. 7. Температурная зависимость теплопроводности систем Si0,8Ge0,2
ВЫВОДЫ
Методами математического моделирования рассчитаны коэффициенты теплопроводности двухкомпонентных систем Si-Ge с разными объемными долями компонентов.
Полученные температурные зависимости коэффициентов теплопроводности показали хорошую согласованность с экспериментальными данным и работами других исследователей.
При температуре выше 300 K значения, полученные с использованием различных методик, дают схожие результаты. Анализ полученных по результатам моделирования данных позволяет сделать вывод об изменении свойств кремний-германиевых систем в зависимости от процентного содержания атомов германия.
Для системы Si05Ge05 в диапазоне температур ниже 350 K кривая температурной
3
зависимости теплопроводности хорошо аппроксимируется кривой y = ax , в то время как при температуре свыше 350 K - кривой y = b/x .
Для системы Si0,8Ge0,2 кривая температурной зависимости теплопроводности на диапазоне температур от 100 до 1000 K может быть аппроксимирована кривой y = с/x. Характер кривой температурной зависимости коэффициента теплопроводности системы Si-Ge соответствует теоретическим выкладкам, представленным в работе [8], что в свою очередь свидетельствует о возможности применения представленных методик моделирования для прогнозирования теплофизических характеристик различных веществ.
Работа выполнена в рамках комплексной программы УрО РАН, проект ИМ УрО РАН № 15-10-1-23.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Suyetin M. V., Vakhrushev A. V. Nanocapsule for safe and effective methane storage // Nanoscale Research Letters, 2009, vol. 4, no. 11, pp. 1267-1270.
2. Вахрушев А. В., Федотов А. Ю., Вахрушев А. А., Шушков А. А., Шушков А. В. Исследование механизмов формирования наночастиц металлов, определение механических и структурных характеристик
нанообъектов и композиционных материалов на их основе // Химическая физика и мезоскопия. 2010. Т. 12, № 4. С. 486-495.
3. Вахрушев А. В., Федотов А. Ю. Моделирование формирования композиционных наночастиц из газовой фазы // Международный научный журнал Альтернативная энергетика и экология. 2007. № 10. С. 22-26.
4. Вахрушев А. В., Северюхин А. В., Северюхина О. Ю., Федотов А. Ю. Исследование теплофизических свойств наноматериалов на основе кремния методом Green-Kubo с использованием потенциала EDIP // Химическая физика и мезоскопия. 2016. Т. 18, № 2. С. 187-198.
5. Северюхин А. В., Северюхина О. Ю., Вахрушев А. В., Федотов А. Ю. Исследование теплофизических свойств кремниевых наноматериалов методом Green-Kubo // Труды Института механики УрО РАН «Проблемы механики и материаловедения». Ижевск: ИМ УрО РАН, 2016. С. 210-223.
6. Вахрушев А. В., Северюхин А. В., Северюхина О. Ю. Расчет макрохарактеристик наносистем. Часть 1. Коэффициент теплопроводности однородных наносистем // Химическая физика и мезоскопия. 2017. Т. 19, №2. С. 167-181.
7. Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. Справочная книга. Л.: Энергия, 1974. 264 с.
8. Green M. S. Markoff Random Processes and the Statistical Mechanics of Time-Dependent Phenomena. II. Irreversible Processes in Fluids // Journal of Chemical Physics, 1954, vol. 22, pp. 398-413.
9. Kubo R., Yokota M. and Nakajima S. Statistical-Mechanical Theory of Irreversible Processes. II. Response to Thermal Disturbance // Journal of the Physical Society of Japan, 1957, vol. 12, pp. 1203-1211.
10. Samolyuk G. D., Golubov S. I., Osetsky Y. N., Stoller R. E. Molecular dynamics study of influence of vacancy types defects on thermal conductivity of P-SiC // Journal of Nuclear Materials, 2011, vol. 418, pp. 174-181.
11. Шелудяк Ю. Е., Кашпоров Л. Я., Малинин Л. А., Цалков В. Н. Теплофизические свойства компонентов горючих систем. Справочник / под ред. Н.А. Силина. М.: НПО «Информация и технико-экономические исследования», 1992. 185 с.
12. URL: http://lammps.sandia.gov/doc/Section_howto.html#calculating-thermal-conductivity (дата обращения 06.04.2016).
13. Dong L., Yue R., Liu L. An uncooled microbolometer infrared detector based on poly-SiGe thermistor // Sensors and Actuators A: Physical, 2003, vol. 105, iss. 3, pp. 286-292.
14. Schaffler F. Chapter 6. Ailicon-Germanium (Sii_xGex) // In Properties of Advanced Semiconductor Materials GaN, AlN, InN, BN, SiC, SiGe . Eds. Levinshtein M.E., Rumyantsev S.L., Shur M.S., John Wiley & Sons, Inc., New York, 2001, pp. 149-188.
15. Levinshtein M. E., Rumyantsev S. L., Shur M. S. Properties of Advanced Semiconductor Materials: GaN, AIN, InN, BN, SiC, SiGe. John Wiley & Sons, Inc.: New York, NY, USA, 2001. 194 p.
CALCULATION OF MACRO CHARACTERISTICS OF NANOSYSTEMS.
PART 2. COEFFICIENT OF THERMAL CONDUCTIVITY OF INHOMOGENEOUS NANOSYSTEMS
Vakhrushev A. V., Severyukhin A. V., Severyukhina O. Yu.
Institute of Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Science, Izhevsk, Russia
SUMMARY. Various methods for calculating the thermal conductivity of multicomponent (inhomogeneous) nanosystems are given in the paper. Simulation of thermal-physical processes taking place in multicomponent systems was carried out with the aid of the molecular dynamics apparatus using the LAMMPS application package. As examples of a two-component structure, structures containing silicon and germanium atoms in different percentages were considered. To describe the interaction of the atoms of the simulated systems, the multi-particle potential MEAM was used. During the simulation, the coefficients of thermal conductivity of two-component Si-Ge systems with different volume fractions of the components were calculated. The constructed temperature dependences of the thermal conductivity coefficients have shown good consistency with the experimental data and the work of other researchers. In the alloys of the Si-Ge system, the thermal conductivity sharply decreases in comparison with the thermal conductivity of the pure components, therefore the alloys of this system are effective high-temperature thermoelectric materials. It should be noted that at temperatures above 300 K, the values obtained using different techniques give similar results. Analysis of the data obtained from the simulation results allows us to conclude that the properties of silicon-germanium systems vary with the percentage content of germanium atoms. Reducing the level of germanium to 20 % leads to a decrease in the value of the thermal conductivity. For the Si05Ge05 system in the temperature range below 350 K, the curve of the temperature dependence of the thermal conductivity is well approximated by the curve y=ax3, at a temperature above 350 K it can be approximated by the curve y=b/x2. However, for the Si0.8Ge02 system, the curve of the temperature dependence of the thermal conductivity over the temperature range from 100 to 1000 K can be approximated by the curve y=^x. The character of the curve for the temperature dependence of the thermal conductivity of the Si-Ge system corresponds to the theoretical calculations presented in previous work of authors, which in turn demonstrates the possibility of using the presented modeling techniques for predicting the thermal-physical characteristics of various substances.
KEYWORDS: nanomaterials, inhomogenety, thermal conductivity, simulation, molecular dynamics. REFERENCES
1. Suyetin M. V., Vakhrushev A. V. Nanocapsule for safe and effective methane storage. Nanoscale Research Letters, 2009, vol. 4, no. 11, pp. 1267-1270. doi: 10.1007/s11671-009-9391-x
2. Vakhrushev A. V., Fedotov A. Yu., Vakhrushev A. A., Shushkov A. A., Shushkov A. V. Issledovanie mekhanizmov formirovaniya nanochastits metallov, opredelenie mekhanicheskikh i strukturnykh kharakteristik nanoob"ektov i kompozitsionnykh materialov na ikh osnove [Study of process formation of metal nanoparticles, determination of mechanical and structural parameters of nanoobjects and composites with its]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2010, vol. 12, no. 4, pp. 486-495.
3. Vakhrushev A. V., Fedotov A. Yu. Modelirovanie formirovaniya kompozitsionnykh nanochastits iz gazovoy fazy [Modelling of composite nanoparticle formation from a gas phase]. Mezhdunarodnyy nauchnyy zhurnal Al'ternativnaya energetika i ekologiya [International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology], 2007, no. 10, pp. 22-26.
4. Vakhrushev A. V., Severyukhin A. V., Severyukhina O. Yu., Fedotov A. Yu. Issledovanie teplofizicheskikh svoystv nanomaterialov na osnove kremniya metodom Green-Kubo s ispol'zovaniem potentsiala EDIP [Research of thermal properties of nanomaterials on the silicon basis by the Green-Kubo method using the EDIP potential]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2016, vol. 18, no. 2, pp. 187-198.
5. Severyukhin A. V., Severyukhina O. Yu., Vakhrushev A. V., Fedotov A. Yu. Issledovanie teplofizicheskikh svoystv kremnievykh nanomaterialov metodom Green-Kubo [Study of thermophysical properties of silicon nanomaterials by the Green-Kubo method V sbornike Trudy Instituta mekhaniki UrO RAN. Problemy mekhaniki i materialovedeniya [Problems of Mechanics and Materials Science, Proc. IM, UB RAS. Izhevsk: IM UrO RAN Publ., 2016, pp. 10-223.
6. Vakhrushev A. V., Severyukhin A. V., Severyukhina O. Yu. Raschet makrokharakteristik nanosistem. Chast'
I. Koeffitsient teploprovodnosti odnorodnykh nanosistem [Calculation of macro characteristics of nanosystems. Part 1. Coefficient of thermal conductivity of homogeneous nanosystems]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2017, vol. 19, no. 2, pp. 167-181.
7. Dul'nev G.N., Zarichnyak Yu.P. Teploprovodnost' smesey i kompozitsionnykh materialov. Spravochnaya kniga [Thermal conductivity of mixtures and composite materials. Reference book]. Leningrad: Energiya Publ., 1974. 264 p.
8. Green M.S. Markoff Random Processes and the Statistical Mechanics of Time-Dependent Phenomena.
II. Irreversible Processes in Fluids. Journal of Chemical Physics, 1954, vol. 22, pp. 398-413. doi: 10.1063/1.1740082
9. Kubo R., Yokota M. and Nakajima S. Statistical-Mechanical Theory of Irreversible Processes. II. Response to Thermal Disturbance. Journal of the Physical Society of Japan, 1957, vol. 12, pp. 1203-1211.
10. Samolyuk G. D., Golubov S. I., Osetsky Y. N., Stoller R. E. Molecular dynamics study of influence of vacancy types defects on thermal conductivity of P-SiC. Journal of Nuclear Materials, 2011, vol. 418, pp. 174-181. https://doi.org/10.1016/jjnucmat.2011.06.036
11. Sheludyak Yu. E., Kashporov L. Ya., Malinin L. A., Tsalkov V. N. Teplofizicheskie svoystva komponentov goryuchikh system. Spravochnik [The thermal properties of the combustible systems components, Information and technical-economic studies]. Pod red. N.A. Silina. Moscow: NPO Inform TEI Publ., 1992. 185 p.
12. http://lammps.sandia.gov/doc/Section_howto.html#calculating-thermal-conductivity (accessed April 6, 2016).
13. Dong L., Yue R., Liu L. An uncooled microbolometer infrared detector based on poly-SiGe thermistor. Sensors and Actuators A: Physical, 2003, vol. 105, iss. 3, pp. 286-292. https://doi.org/10.1016/S0924-4247(03)00232-2
14. Schaffler F. Chapter 6. Ailicon-Germanium (Sii_xGex). In Properties of Advanced Semiconductor Materials GaN, AlN, InN, BN, SiC, SiGe . Eds. Levinshtein M.E., Rumyantsev S.L., Shur M.S., John Wiley & Sons, Inc., New York, 2001, pp. 149-188.
15. Levinshtein M. E., Rumyantsev S. L., Shur M. S. Properties of Advanced Semiconductor Materials: GaN, AIN, InN, BN, SiC, SiGe; John Wiley & Sons, Inc.: New York, NY, USA, 2001. 194 p.
Вахрушев Александр Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией механики наноструктур ИМ УрО РАН, тел. (3412) 21-45-83, e-mail: vakhrushev-a@yandex. ru
Северюхин Александр Валерьевич, кандидат физико-математических наук, ученый секретарь ИМ УрО РАН, тел. (3412) 50-88-10, e-mail: severfam@mail. ru
Северюхина Олеся Юрьевна, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник ИМ УрО РАН, e-mail: lesienok@mail. ru
