CC BY
78
УДК 621.318:621.928.8
И.А. Шведчикова
РАСЧЕТ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ПОДЪЕМНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТА МЕТОДОМ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
З використанням методу конформних перетворень отриманорозрахунковий вираз для визначення напруженості магнітного поляу робочій зоні круглого підйомного електромагніта. Запропонований вираз дозволяєздійснюватирозраху-нок поля в будь-якій точці вихідної області в явному вигляді по координатах цієї точки.
С использованием метода конформных преобразований получено расчетное выражение для определения напряженности магнитного поля в рабочей зоне круглого грузоподъемного электромагнита. Предложенное выражение позволяет осуществлятьрасчет поля в любой точке исходной области в явном виде по координатам этой точки.
ВВЕДЕНИЕ
При проектировании подъемных электромагнитов возникает необходимость количественной оценки интенсивности магнитного поля в рабочей зоне с целью выбора таких параметров, которые позволяют создавать требуемое значение напряженности при минимальных затратах. Эффективным инструментом для быстрой оценки характеристик электромагнитов с необходимой для практических целей точностью служат математические модели, построенные на основе расчета двухмерных магнитных полей с использованием метода конформных преобразований [1-3].
Главное ограничение при использовании метода конформных преобразований состоит в том, что в большинстве задач границы поля должны быть приняты или имеющими бесконечную магнитную проницаемость, или совпадающими с линиями потока, или представляющими собой комбинацию этих двух типов границ [2-4]. Также вводятся некоторые другие принятые в инженерной практике расчетов электромагнитов допущения [5-8]: отсутствие влияния геометрии намагничивающих катушек на распределение поля в рабочей области; бесконечно малая толщина полюсных наконечников электромагнитных систем.
Целью данной статьи является получение аналитического выражения, с помощью которого может быть выполнен расчет напряженности магнитного поля в рабочей зоне круглого подъемного электромагнита.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЕТНОЙ ОБЛАСТИ
При построении круглых (тороидальных плоских) подъемных электромагнитов широкое применение нашла двухполюсная (или трехполярная) структура. Эскиз такой структуры приведен на рис. 1, где приняты следующие обозначения: ё - диаметр центрального полюса (сердечника); 5 - межполюсный зазор (равен ширине намагничивающей обмотки); Б -диаметр диска; И - высота обмотки намагничивания;
И] - высота магнитопровода. Для двухполюсной конструкции (рис. 1) можно ввести в рассмотрение следующие критерии геометрического подобия: Б/ё=Х];
Ъ/ё =Х2; уШ=Х3, интервалы варьирования которых, представляющие практический интерес и имеющие место в реальных электромагнитных системах, находятся в пределах: Х,=1)с/ =3...5: Х2=6с1 =0.5... 1.2:
Х3= _у/ё=0,1_1,0. рис. 2. Математическая модель расчетной области
Рис. 1. Эскиз двухполюсной электромагнитной системы круглого подъемного электромагнита
Магнитное поле в рабочей зоне двухполюсной электромагнитной системы круглого подъемного электромагнита (рис. 1) имеет явный трехмерный характер. Поэтому результаты расчета, полученные методом конформных преобразований для двухмерного магнитного поля, должны быть скорректированы соответствующим коэффициентом, учитывающим реальную трехмерность ПОЛЯ.
Расчетная область для двухполюсной структуры согласно рис. 1 будет представлять собой плоскопараллельную систему трех бесконечно длинных эквипотенциальных пластин конечной ширины (рис. 2). Наружные пластины соответствуют наружным полюсам исходной системы, они равнополярны и противоположны полярности центральной пластины (трехполярная система). Разность магнитных потенциалов между ними 2П0. Линии воздушного зазора ВС и ЕК (рис. 2) с достаточной степенью точности можно считать силовыми линиями поля [9]. Мнимая ось 0у в исходной плоскости Ъ (рис. 2), проходящая через середину центрального полюса, с учетом принятого допущения о бесконечной проницаемости стали полюсов, является силовой линией. Отметим также, что для рассматриваемой области (рис. 2) ее половина является зеркально симметричной и представляет собой, как будет показано ниже, новый вариант расчетной области рассматриваемого устройства.
© Шведчикова И.А.
РАСЧЕТНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ Преобразуем исходную систему пластин-полюсов (рис. 2), произведя масштабное уменьшение ее геометрии делением на размер й/2, что позволяет перейти от переменной *=х+іу к переменной *]=Х]+ІУі
2Х = 2 • */й. (1)
В результате такого масштабирования получается система пластин-полюсов, изображенная на рис. 3,а. Напряженность магнитного поля в системе полюсов-пластин, изображенной на рис. 3,а, связана с напряженностью магнитного поля в системе полюсов, изображенной на рис. 2, соотношением
н* - (2)
что, с учетом (1), позволяет записать
Н* = 2 • Н2х! й. (3)
Далее, принимая во внимание, что половины области *] являются зеркально симметричными, выполним преобразование половины Е1Е1К1Ь1 этой области, представляющей собой систему двух пластин разной ширины, на систему двух пластин Ері и КгЬг равной ширины, симметричных относительно вертикальной оси в плоскости і (рис. 3,6), используя преобразование [10],
і = р • I (*12 + с)-1/к,
(4)
где
р = -
2(1 + с)(а + с)
с(а -1) -а-^а2 -ра(1 -р + а)
к =
1 -р + а с(а -1)
(5)
(6)
(7)
2а + с(а +1)
Р = (Б/й)2 = Х^, а = (1 + 28/й)2 = (1 + 2Х2)2. (8)
При этом вертикальная мнимая ось 0у] в плоскости *] преобразуется на участок (-1/к; - да) вещественной ОСИ В ПЛОСКОСТИ і.
Далее систему двух симметричных пластин отображаем на систему двух противолежащих пластин с однородным полем ме^ду ними напряженностью Ни=2и0/А=и0 (рис. 3,в). Указанное преобразование осуществляется функцией эллиптического синуса (функция Якоби) [3]
Т = от(2К(к) • Ш, к), (9)
содержащем в себе полный эллиптический интеграл первого рода К(к) с модулем к.
Для получения напряженности магнитного поля в области * необходимо записать следующую цепочку преобразований
йШ йі й?1 йі й?1 йг
С учетом (3), (4) и (9) выражение (10) приводится к виду
Н* = 4ср*1и0 ^ К (к )й (*12 + с)2-уА - г 2л1\ - к 2г2 ^ ,(11)
где связь между координатами *]=х]+іу] и определяется помощью выражений (4) - (8).
Н* - НШ~
(10)
л О
Ег и о ■ с с
-1 /к
1/к
№
А 0
Ещ. К, , №
-1/2
+1/2
Рис. 3. Этапы конформных отображений исходной области (рис. 2): а) масштабирование; б) преобразование в систему двух симметричных полюсов-пластин; в) отображение на внутренность прямоугольника с однородным полем
Таким образом, получено достаточно простое расчетное выражение для определения напряженности И2 магнитного поля в исходной плоскопараллельной системе трех пластин-полюсов (рис. 2).
ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ ПОЛУЧЕННОГО РАСЧЕТНОГО ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ С УЧЕТОМ ЕГО ТРЕХМЕРНОСТИ
Расчетное выражение (11) для напряженности И2 получено при допущении о плоскопараллельности поля. Поэтому, как указывалось выше, результаты расчетов необходимо скорректировать специальным коэффициентом к& учитывающим трехмерный характер поля.
В качестве коэффициента трехмерности предлагается использовать отношение напряженностей магнитного поля в одноименных точках, расположенных на оси симметрии кругового витка с током и двухпроводной линии, на расстоянии у до плоскости витка и двухпроводной линии, которое равно [11]
к3= , * =. (12)
У+(2 ъ)2
С учетом коэффициента к8 можно записать уточненное расчетное выражение для напряженности поля И28 в рабочей зоне двухполюсной системы (рис. 2)
2и оп___________1_____________СР^1 (13)
Н2Ъ -
К (к)й
+ (2у )2>Д - і2-у/1 - к2і2 (*!2 + с)2
Экспериментальная проверка полученного выражения (13) была выполнена на натурном образце двухполюсного круглого грузоподъемного электромагнита типа ЕМВ-47. В табл. 1 приведены результаты расчетов напряженности поля для двухполюсных структур по формуле (13) для точек, расположенных над серединой центрального полюса, в сравнении с экспериментальными данными.
с
Таблица 1
Результаты расчета напряженности поля по формуле (13) и оценка погрешности расчетов в сравнении _________ с экспериментальными данными_____________
Уo, MM y/d Напряженность, А/м Погрешность, %
по формуле (13) эксперимент
50 0,116 158 560 159000 0,27
100 0,23 143 000 135 000 -5,9
150 0,35 121 700 117 000 -4,0
200 0,46 101 830 98 000 -3,9
250 0,58 82 300 88 000 6,5
300 0,7 65 800 61 000 -7,8
Магнитная индукция В измерялась в характерных точках посередине центрального полюса на расстояниях у от его поверхности, равных: 0; 0,05; 0,1;
0.15. 0,2; 0,3 м. Для измерения магнитной индукции использовался измерительный комплекс, состоящий из теслаамперметра Ф4354/1, усилителя постоянного тока Ф115/В-2 и цифрового вольтметра. Такой измерительный комплекс позволял измерять магнитную индукцию в рабочей зоне с основной погрешностью не более ±1,5% [12]. Напряженность поля Н в характерных точках рабочей зоны натурного образца определялась по измеренным значениям магнитной индукции B как Я=В/цо, где ц0 - магнитная проницаемость вакуума, равная 4л-10-7 Г/м.
Как видно из табл. 1, в диапазоне >/d=0,11...0,7 погрешности расчетов с учетом коэффициента ks составляют (-7,8...+6,5)%, что является приемлемым результатом, т.к. формула (13) не учитывает влияния высоты обмотки намагничивания h и общей высоты магнитопр овода hi.
ВЫВОДЫ
Расчетное соотношение (13) для двухполюсных структур, учитывающее трехмерность магнитного поля, может быть рекомендовано для предварительных проектных расчетов круглых подъемных электромагнитов. Корректность полученного расчетного выражения подтверждена сравнением результатов расчета с экспериментальными данными для промышленных подъемных электромагнитов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Загирняк М.В. Магнитные сепараторы. Проблемы проектирования: Монография / М.В. Загирняк, Ю.А. Бранспиз, И.А. Шведчикова / Под ред. М.В. Загирняка. - К.: Техшка, 2011. - 224 с.
2. Загирняк М.В. Электромагнитные расчеты / М.В. Загирняк. - К.: ИСИО, 1995. - 204 с.
3. M. Zagirnyak, Yu. Branspiz, I. Shvedchikova "Using a con-formal mapping method for calculation of a multipolar system magnetic field", Przeglqd Elektrotechniczny (Electrical Review), No. 7b, 2012, pp.98-102.
4. Бинс К. Анализ и расчет электрических и магнитных полей / К.Бинс, П. Лауренсон. - М.: Энергия, 1970. - 376 с.
5. Бранспиз Ю.А. Упрощенный расчет магнитного поля в рабочей зоне Ш-образного электромагнита: Практика применения метода конформного отображения к расчету электротехнических устройств / Ю.А. Бранспиз, Е.Ю. Полячен-ко. - Луганск: Изд-во ВУГУ, 1999. - 40 c.
6. M.V. Zagirnyak, R.M. Pai, S.A. Nasar, Yu.A. Branspiz "Forces in Pulley-Type Electromagnetic Separators”, IEEE Transactions on Magnetics, vol. 22, No.1, 1985, pp. 63-67.
7. M.R. Smolkin, R.D. Smolkin, E.R. Smolkin "Analysis of Magnetic Fields and Circuits in Separators With Plane-Parallel and Plane-Meridian Symmetry”, IEEE Transactions On Magnetics, vol. 44, No. 8, August 2008, pp.1990-2001.
8. E. Matagne, G. Cividyan, V. Kluyskens "Exact Expression of Corner Reluctances in a Magnetic Circuit of Rectangular Section", Computer Field Models of Electromagnetic Devices,
2010, pp. 136-143.
9. Долинский Ю.М. К расчету втяжных электромагнитов / Ю.М. Долинский // Вестник Харьковского политехнического института. - 1968. - № 28 (76). - С. 56-62.
10. R.D. Smolkin, "Calculation of Magnetic Field Strength and Electromagnetic Ponderomotive Force of Separators", IEEE Transactions On Magnetics, vol. 38, No. 3, May 2002, pp. 1528-1533.
11. Загирняк М.В. Расчет рациональных параметров круглых подъемных электромагнитов / М.В. Загирняк, Ф.Р. Ха-бимана, Ю.А. Бранспиз // Вестник Восточноукраинского государственного университета. Серия "Транспорт". - 1996. - С. 250-257.
12. Карташян В.О. Усовершенствованный теслоамперметр A 4354/1 для исследования постоянных магнитных полей / В.О. Карташян, А.П. Нестеренко, М.В. Загирняк// Приборы и техника эксперимента. - 1975. - №1. - С. 239-240.
Bibliography (transliterated): 1. Zagirnyak M.V. Magnitnye separatory. Problemy proektirovaniya: Monografiya / M.V. Zagirnyak, Yu.A. Branspiz, I.A. Shvedchikova / Pod red. M.V. Zagirnyaka. - K.: Tehnika,
2011. - 224 s. 2. Zagirnyak M.V. 'Elektromagnitnye raschety / M.V. Zagirnyak. - K.: ISIO, 1995. - 204 s. 3. M. Zagirnyak, Yu. Branspiz, I. Shvedchikova "Using a conformal mapping method for calculation of a multipolar system magnetic field", Przegl^d Elektrotechniczny (Electrical Review), No. 7b, 2012, pp.98-102. 4. Bins K. Analiz i raschet 'el-ektricheskih i magnitnyh polej / K.Bins, P. Laurenson. - M.: 'Energiya, 1970. - 376 s. 5. Branspiz Yu.A. Uproschennyj raschet magnitnogo polya v rabochej zone Sh-obraznogo 'elektromagnita: Praktika prime-neniya metoda konformnogo otobrazheniya k raschetu 'elektrotehnich-eskih ustrojstv / Yu.A. Branspiz, E.Yu. Polyachenko. - Lugansk: Izd-vo VUGU, 1999. - 40 c. 6. M.V. Zagirnyak, R.M. Pai, S.A. Nasar, Yu.A. Branspiz "Forces in Pulley-Type Electromagnetic Separators", IEEE Transactions on Magnetics, vol. 22, No.1, 1985, pp. 63-67. 7. M.R. Smolkin, R.D. Smolkin, E.R. Smolkin "Analysis of Magnetic Fields and Circuits in Separators With Plane-Parallel and Plane-Meridian Symmetry", IEEE Transactions On Magnetics, vol. 44, No. 8, August 2008, pp.1990-2001. 8. E. Matagne, G. Cividyan, V. Kluyskens "Exact Expression of Corner Reluctances in a Magnetic Circuit of Rectangular Section", Computer Field Models of Electromagnetic Devices, 2010, pp. 136-143. 9. Dolinskij Yu.M. K raschetu vtyazhnyh 'elektromagnitov / Yu.M. Dolinskij // Vestnik Har'kovskogo politehnicheskogo instituta. -1968. - № 28 (76). - S. 56-62. 10. R.D. Smolkin, "Calculation of Magnetic Field Strength and Electromagnetic Ponderomotive Force of Separators", IEEE Transactions On Magnetics, vol. 38, No. 3, May 2002, pp.1528-1533. 11. Zagirnyak M.V. Raschet racional'nyh parametrov kruglyh pod'emnyh 'elektromagnitov / M.V. Zagirnyak, F.R. Habimana, Yu.A. Branspiz // Vestnik Vostochnoukrainskogo gosudarstvennogo universi-teta. Seriya "Transport". - 1996. - S. 250-257. 12. Kartashyan V.O. Usovershenstvovannyj tesloampermetr A 4354/1 dlya issledovaniya postoyannyh magnitnyh polej / V.O. Kartashyan, A.P. Nesterenko, M.V. Zagirnyak// Pribory i tehnika 'eksperimenta. - 1975. - №1. - S. 239-240.
Поступила 24.10 2012
Шведчикова Ирина Алексеевна, д.т.н., доц. Восточноукраинский национальный университет им. В. Даля кафедра "Приборы"
91034, Луганск, кв. Молодежный, 20а тел. (0642) 417120, e-mail: [email protected]
Shvedchikova I.A.
Calculation of a lifting electromagnet magnetic field via a conformal mapping method.
A conformal mapping method has been used to obtain a design formula for magnetic field strength in the operating area of a round lifting electromagnet. The expression introduced allows explicitly computing the field at any point of the initial area according to the coordinates of the point.
Key words - conformal mapping, magnetic field strength, design formula, lifting electromagnet.
