Расчет критической толщины защитной оболочки цилиндрического электронагревательного элемента Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

УДК 517.958

РАСЧЕТ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЛЩИНЫ ЗАЩИТНОЙ ОБОЛОЧКИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ЭЛЕКТРОНАГРЕВАТЕЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА

Л.К. Мартинсон, О.Ю. Чигирёва

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация e-mail: mathmod@bmstu.ru

Рассмотрена математическая модель нестационарного процесса теплопроводности в электронагревательном элементе, представляющем собой цилиндрический проводник с нанесенным на его боковую поверхность защитным керамическим покрытием. В проводящем слое электронагревательного элемента происходит выделение теплоты с объемной мощностью, зависящей от силы электрического тока. Отвод теплоты осуществляется с поверхности защитного покрытия по закону Ньютона. Предположено, что контактная поверхность между слоями обладает известным термическим сопротивлением, а теплофизические свойства материалов зависят от температуры. По результатам численных расчетов исследовано влияние геометрических и те-плофизических параметров задачи на характер эволюции температуры электронагревательного элемента. При этом выделены рабочие режимы нагрева, при которых плавление проводника не наблюдается. В рассматриваемой многопараметрической задаче для нахождения таких режимов заданы значения всех параметров кроме толщины защитной керамической оболочки, определено такое критическое значение этой толщины, при котором температура на оси проводника достигает температуры плавления.

Ключевые слова: электронагревательный элемент, нестационарный процесс нелинейной теплопроводности, термическое сопротивление контактной поверхности.

CALCULATION OF CRITICAL THICKNESS OF THE PROTECTIVE SHELL OF THE CYLINDRICAL ELECTRIC HEATING ELEMENT

L.K. Martinson, O.Yu. Chigireva

Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation e-mail: mathmod@bmstu.ru

The mathematical model of non-stationary process of heat conduction in an electric heating element is considered. The element is a cylindrical conductor with a protective ceramic coating sputtered on its lateral surface. The conducting layer of the electric heating element generates heat of the volumetric power depending on electric current. The heat extracts from a surface of protective coating according to the Newton law. The contact surface between layers is assumed to possess known thermal resistance and thermal physical properties of materials depend on temperature. Influence of geometrical and thermo physical parameters of the model on the evolution of the electric heating element temperature has been studied, operating modes of heating without melting the conductor being determined. A critical value of the protective ceramic coating thickness at which temperature on the axis of the conductor reaches the melting temperature is defined.

Keywords: electric heating element, non-stationary process of nonlinear heat conductivity, thermal contact resistance.

Введение. Теория теплопроводности широко используется в инженерных расчетах [1, 2]. В частности, в теории нелинейной теплопроводности важное место занимает класс задач по исследованию теплового состояния активных сред, в которых происходят экзотермические процессы [3, 4]. В работах [5-10] рассмотрены задачи, в которых моделируются тепловые состояния многослойных конструкций различной геометрической конфигурации при наличии идеального и неидеального теплового контакта между слоями.

В настоящей работе изучено влияние геометрического параметра задачи на температурный режим двухслойного цилиндрического электронагревательного элемента с учетом термического сопротивления контактной поверхности.

Физическая постановка задачи и математическая модель процесса. Рассмотрим электронагревательный элемент, представляющий собой цилиндрическую проволоку радиусом r1 с нанесенным на ее поверхность защитным покрытием — слой керамики толщиной d = r2 — r1 (рис. 1). При пропускании электрического тока по нагревателю (проволоке) в нем выделяется теплота. Согласно закону Джоуля - Ленца, объемная мощность тепловых источников определяется по формуле

Q (T) = J2y (T),

где T — температура; J — плотность тока; y (T) — удельное электрическое сопротивление проводника. На поверхности защитного покрытия происходит отвод теплоты в окружающую среду с коэффициентом теплоотдачи а. Контактная поверхность металлической проволоки и керамики обладает термическим сопротивлением RT [11]. Полагая, что теплофизические параметры материалов электронагревательного элемента зависят от температуры, запишем математическую модель рассматриваемого процесса нестационарной теплопроводности

Рис. 1. Осевое сечение электро нагревательного элемента:

1 — проводник; 2 — керамика

в виде

/ГТ1, dTi 1 d Л ^ дТЛ

^-Ж =1 ддГ (Д1 Гдт1] +

+Q (Ti), t > 0, 0 < r < ri;

-T2 1 д / _. -T2 \ Р2С2 <T2) = 1 ^ ^2 <T2) r^ j , t > 0, ri < r < Г2;

T1 <r, 0) = T0, 0 < r < ri; T2 (r, 0) = To, ri < r < r2;

-Л2 <T2)

дТ2

-г

= a <T2 <r2,t) - To), t> 0;

(2) (3)

r=r 2

- Ai <Ti)

-Ti

dr

r=ri

— <Ti <ri,t) - T2 <ri,t)) =

RT

= -A2 <T2)

-T2

dr

, t > 0. (4)

r=ri

Здесь индекс ] = 1 соответствует проводнику; ] = 2 — защитному керамическому покрытию; г — радиальная координата; t — время; Т, (г, ¿), = 1, 2 — искомые температурные поля; р, с, А — плотность, удельная теплоемкость и коэффициент теплопроводности; Т0 — начальная температура, равная температуре окружающей среды.

В указанной задаче следует учитывать условие ограниченности температуры на оси проводника [12].

Введем функции

т (Т1,г) = гд (Т1);

С (Т, г) = р,гс, (Т,), Л, (Т, г) = г А, (Т,),, = 1, 2, и запишем задачу (1)-(4) в виде

Ci <Ti ,r)

C2 <T2,r)

dTi ~dt dT2 dt

d / dT "

dr f Ai <Ti, r) "d^ ) + F <Ti, r), t > 0, 0 < r < ri; d / dT

— f Л2 <T2, r) "d2 ) , t > 0, ri < r < r2;

Ti <r, 0) = To, 0 < r < ri; T2 <r, 0) = To, ri < r < r2;

Ti <0,t) < то, t > 0;

Л <T ) -T2 -Л2 <T2,r)

dr

= ar2 <T2 <r2,t) - To), t> 0;

(5)

(6)

(7)

r=r2

л (T ) дТ1 - Ai (Ti ,r)

дг

= Rr (Ti (ri,t) - T2 (ri,t)) =

r=ri RT

Л (T ) дТ2

= -A2 (T2, r)

t > 0. (8)

дг

Г=Г 1

Построение алгоритма приближенного решения. Для нахождения приближенного аналитического решения начально-краевой задачи (5)-(8), воспользуемся модификацией метода [13], предложенного в работе [14]. Для этого согласно методу Роте проведем дискретизацию временной переменной £ системой точек £к = кт, к = 1, 2,... (т > 0 — достаточно малый шаг разбиения) и заменим в уравнениях (5) производные по времени разностными отношениями:

3 (г) - (г)

3 -, .7 = 1, 2,

dTj

dt

t=tk т

где Т3(к) (г) — приближенные значения функций Т3 (г, ¿) при £ = £к;

Т3(0) (г) = Т0 в силу начальных условий (6).

Проведем линеаризацию задачи (5)—(8). На каждом временном слое £ = £к все нелинейности в уравнениях (5), граничных условиях (7) и в условии сопряжения (8) будем полагать известными, вычисленными на предыдущем временном слое £ = ¿к-1:

^(к) (г) = ^ (Т<к-1) (г) ,г) ;

с(к) (г) = С 3 (Т("-1) (г), г) , Л(к) (г) = Лз (т('-1) (г), г) , . = 1, 2.

Кроме того, на временном слое £ = ¿к значения тепловых потоков в (7) и (8) определим через значения функций Т3(к-1) (г), найденных на предыдущем временном слое £ = £к-1:

(k) ) =

аг2 (Т2(к-1) (г2) - То) ;

^к) = ^ (Т(к-1) (п) - Т2к-1) (п)) .

Это позволяет записать условие сопряжения (8) в виде двух граничных условий

агГ(к)

-Aik) (r) dTi

dr

(k)

r=ri

(k)

A(kb \ dT2 -A2) (r)

(k)

Таким образом, дифференциально-разностный аналог начально-краевой задачи (5)-(8) можно представить следующей итерационной

r=r 1

схемой (к = 1,2,...) решения двух краевых задач для линейных

эллиптических уравнений с переменными коэффициентами Ajk) (r)

и Cj(k) (r).

Краевая задача 1:

d_ dr

Af° (r)

(k)'

dr

+ -Cf (r) T(k) (r) =

T

- 1 C(k) (r) T(k- 1 ) (r) + F(k) (r), 0 < r < r i; (9)

T

(k)

A(kb \ dTl < to; —Л 1 y (r)-

(k)

r=0

dr

(k)

(10)

r=ri

Краевая задача 2:

d_ dr

(kb„N dT2

(k)

Л2к) (r)

dr

+ -C2k) (r) T2(k) (r) =

T

(k)

T

(k) dT(k)

—Л2к) (r)

dr

= 1 C2k) (r) T2(k-1) (r), ri < r < r2; (11)

(12)

(к) л (к) / \ dT2k)

= qi); —Л2) (r)

r = ri

dr

(k)

= q2).

Г=Г2

На каждом временном слое £ = ^ задачи (9), (10) и (11), (12) решаются независимо.

Сходимость метода Роте для краевых задач в нелинейной постановке доказана в работе [15] для класса степенных функций.

На А>м шаге итерации решения краевых задач (9), (10) и (11), (12) будем искать в виде разложений в ряды Фурье:

T(k) (r) = 2J MSX-n (r), rj-i < r < rj, j = 1, 2, (13) n=0

по системам собственных функций {Xj,n (r)}^=0 следующих задач (j = 1, 2) Штурма - Лиувилля

(k)

Xj (r) + X" (r) = 0, rj-i < r < rj; Xj (rj-i) = 0, Xj (rj) = 0,

0,5, n = 0;

(14)

где r0 = 0; in = , ^ ^ > 0.

Собственные значения n и собственные функции задач (14) имеют вид [16]

nn

-; (r) = cos j (r - rj-i), j = 1, 2.

rj — rj-i

Для нахождения коэффициентов Фурье а(к,, . = 1, 2 в разложениях (13), умножим уравнения (9) и (11) на функции Х1п (г) и Х2 п (г) соответственно и проинтегрируем полученные равенства по переменной г: первое — от г0 = 0 до г1, второе — от г1 до г2. В результате запишем следующие соотношения:

г ¿Т(к) п

d dr

r.j-1

j (r) dr

Xj,n (r) dr+1 I Cjk) (r) j (r) Xj,n (r) dr

rJ-1

rJ

1/

rJ-1

j (r) Tf-i) (r) j (r) dr + Hj, j = 1, 2, (15)

r1

где Hi = f F(k) (r) Xi,n (r) dr; H = 0.

Для вычисления первого интеграла в левой части соотношения (15) применим правило интегрирования по частям. Тогда с учетом граничных условий (10) и (12), а также

з (гз-1) = 1, 3 (гз) = (-1)п , . = 1, 2,

получим

/ Ajk) (r) j ^dr + 1 / Cj(k) (r) j (r) Xj,n (r) dr =

rj-1 rj-1

= 1/ 3 (г) Т(к-1) (г) 3 (г) dг + Кз, . = 1, 2, (16)

г3-г

где

К = Н1 + (-1)п+1 д[к); К = Н2 + (-1)п+1 ¿к) + д?0.

Подставляя в соотношения (16) разложения (13) и учитывая равенства

Х3>п (г) Х3,т (г) ^ [Х3,п-т (г) + Х3,п+т (г)] ;

!г = 2 [3-т (г) — А3>+т (г)],

записываем следующие бесконечные системы линейных алгебраиче-

(к)

ских уравнений относительно коэффициентов Фурье аЗ,, . = 1, 2:

те

Е = 6$, п = 0,1,..., . = 1, 2, (17)

т=0

j

где

/к) _ п'втт _ r _ r

rj - rj —

_ _ф(к) ) + (r _ r ) Л/,(к) + ^(k) A .

yrj,n—m т V j ' J — 1/ у Vj',n—m ~r~ rj,n+mу ;

b(k) _ f(k) + (r _ r ) V^ A a(k—1) Лл(к) + ^(к)

bj,n fj,n + ('j 'J —1 / / v Amaj,m lrj,n—m + /j,n+

m=0

ZiS _ 4t (-1)n+1 #) + 2ТГ1 &k), fg _ 4t ((-1)n+1 q(k) + g«) .

Здесь ф(к) и jp — коэффициенты Фурье функций Ajk) (r) и Cj(k) (r)

j (r)}"o

по системам собственных функций {Xj,p (r)}°=0 задач Штурма -

Лиувилля (14); <^Пк) — коэффициенты Фурье функции Т(к) (г) по системе собственных функций {Х^ (г)}^=0.

Для решения бесконечных систем (17) применяем метод редукции [17, 18]. При этом порядок усечения N, ] = 1, 2 каждой системы определяем на основе оценки Рунге [13]. Таким образом, на временном слое £ = £к решения краевых задач (9), (10) и (11), (12) могут быть представлены в аналитической форме в виде тригонометрических рядов Фурье

N1

^ „ (к) ппг

T (r, tk) ~ £nai,n cos

■^n^ 1 n )

r1

n=0

N2

T2 (r, ifc) w У^ а^^П cos -———, > r2 — ri

n=0 2 1

коэффициенты aj^ которых находим из конечных систем (Nj + 1)-го порядка [18].

Выбор шага т по временной переменной осуществляется согласно правилу двойного пересчета [19]. В фиксированный момент времени t* сравниваются распределения температуры в проводящем слое электронагревательного элемента (0 < r < ri), полученные в результате вычислений с шагом ti = т и т2 = т/2. Выбирается такое значение т, при котором

TT/2 (r, t*) - Tf (r,t*)

^ <e,

TT/2 (r, t*)

где e — заданное значение относительной погрешности; норма у • ||2 соответствует критерию малости среднеквадратичной ошибки [19].

Результаты численных расчетов. В рассматриваемой модели примем значение силы тока I = const. Тогда при заданных значениях

параметров задачи I = 9 А, г1 = 0,15 • 10 3 м находим 72 = ^= 1,62 • 1016 А2/м4.

Для нихромовой проволоки удельное электрическое сопротивление слабо зависит от температуры и при расчетах его можно полагать постоянным: 70 = 1,1 • 10-6 Ом^м [20].

Теплофизические параметры материалов электронагревательного элемента приведены ниже [20]. Плотности этих материалов принимаются постоянными и равными р1 = 8300 кг/м3, р2 = 5200 кг/м3. Значения остальных параметров: а = 400 Вт/(м2-К); = 0,5 • 10-4 (м2х хК)/Вт; Т0 = 300К; Тдд = 1200К (температура плавления нихрома).

Теплофизические свойства нихрома

Т, К .................... 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

Аь Вт/(м-К)............. 12,8 14,3 16,0 17,7 19,4 21,2 22,7 24,0 25,2 26,1

еьДж/(кг-К)............. 450 465 480 495 505 515 520 525 530 535

Теплофизические свойства керамики

Т, К........................... 300 500 700 900 1100 1300 1500

А2, Вт/(м-К).................... 2,0 1,8 1,6 1,5 1,6 1,8 2,0

С2,Дж/(кг-К)................... 460 505 550 600 640 680 725

Варьируя в рассматриваемой задаче параметр находим критическое значение ^кр толщины керамического покрытия электронагревательного элемента. Как следует из расчетов, ^кр = 1 • 10-3 м. Характер эволюции температуры Т1 (0,£) при d = ^кр (рис.2,а) подтверждает, что в процессе нагрева проводника температура на его оси достигает значения температуры плавления материала, равного 1200 К.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 С 0 0,2 0,4 0,6 0,8 г„ мм

а ö

Рис. 2. Эволюция температуры Ti (0, t) наиболее нагретой осевой точки электронагревательного элемента при d = 1 мм (а) и температурное поле в осевом сечении электронагревательного элемента в момент времени t = 40 с (б)

Распределение температуры в осевом сечении электронагревательного элемента для момента времени £ = 40 с, соответствующего выходу на стационарный режим, приведено на рис. 2, б. При этом температура охлаждаемой поверхности керамического покрытия достигает 810 К, а перепад температуры на контактной поверхности составляет 80 К.

Заключение. Предложенный в работе алгоритм позволяет находить нестационарное температурное поле в многослойных областях цилиндрической формы при наличии термического сопротивления контактных поверхностей, а также учитывать изменение тепло-физических свойств материалов и мощности источников выделения теплоты в зависимости от температуры. Применение этого алгоритма для решения задачи о нахождении критической толщины защитного керамического покрытия позволило определить область рабочих режимов электронагревательного элемента с установившейся температурой, не превышающей температуры плавления проводника.

ЛИТЕРАТУРА

1. Зарубин В.С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энер-гоатомиздат, 1983. 328 с.

2. Димитриенко Ю.И.Механика композиционных материалов при высоких температурах. М.: Машиностроение, 1997. 368 с.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.Теоретическая физика. М.: Наука, 1989. Т. 6. Гидродинамика. 752 с.

4. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1967. 481 с.

5. Малое Ю.И., Нужненко Т.А. Математическое моделирование процесса нестационарной теплопроводности в цилиндрическом тепловыделяющем элементе // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2003. № 2. С. 20-27.

6. Стельмах Л.С., Зиненко Ж.А., Радугин А.В., Столин А.М. Численное исследование тепловой неустойчивости при нагреве керамических материалов // Инженерно-физический журнал. 1991. Т. 61. № 3. С. 452-457.

7. Малое Ю.И., Мартинсон Л.К. Влияние теплофизических параметров оболочки на критический режим сферического тепловыделяющего элемента // Необратимые процессы в природе и технике: Тез. докл. Третьей Всеросс. конф. М., 2005. С. 151-152.

8. Димитриенко Ю.И., Минин В.В., Сыздыкое Е.К. Моделирование внутреннего тепломассопереноса и термонапряжений в композитных оболочках при локальном нагреве // Математическое моделирование. 2011. Т. 23. № 9. С. 14-32.

9. Чигирёеа О.Ю. Математическое моделирование процесса разогрева двухслойного цилиндра движущимся кольцевым источником теплоты // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2011. № 2. С. 98-106.

10. Аверин Б.В. О тепловой устойчивости многослойных плоских стенок при нагреве внутренними источниками, зависящими от температуры // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2009. № 2. С. 177-185.

11. Карташое Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высш. шк., 2001. 550 с.

12. Мартинсон Л.К., Малое Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 368 с.

13. Чигирёва О.Ю. Расчет оптимальной толщины слоя термоизоляции в многослойном цилиндрическом пакете // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2005. № 1. С. 94-101.

14. Малое Ю.И., Мартинсон Л.К. Приближенные методы решения краевых задач. М.: Изд-во МВТУ им. Н.Э. Баумана, 1989. 26 с.

15. Лионе Ж-Л.Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 587 с.

16. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1999. 798 с.

17. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

18. Канторович Л.В., Крылов В.И.Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз, 1962. 708 с.

19. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высш. шк., 1994. 544 с.

20. Чиркин В.С. Теплофизические свойства материалов: Справочное руководство. М.: Физматгиз, 1959. 356 с.

REFERENCES

[1] Zarubin V.S. Inzhenernye metody resheniya zadach teploprovodnosti [Engineering methods for solving problems of heat conduction]. Moscow, Energoatomizdat Publ., 1983. 329 p.

[2] Dimitrienko Yu.I. Mekhanika kompozitsionnykh materialov pri vysokikh temperaturakh [Mechanics of composite materials at high temperatures]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1997. 368 p.

[3] Landau L.D., Lifshic E.M. Teoreticheskaja fizika. V 10 t. T. 6. Gidrodinamika [Theoretical physics. Ten-volume set. Vol. 6. Fluid mechanic]. Moscow, Nauka Publ., 1989. 752 p. (Eng. Ed.: Landau L.D., Lifshitz E.M. Fluid Mechanics. Vol. 6 (Course of Theoretical Physics S). Second Ed. Oxford, New York, Pergamon Press, 1987.).

[4] Frank-Kamenetskiy D.A. Diffuziya i teploperedacha v khimicheskoy kinetike. [Diffusion and Heat Transfer in Chemical Kinetics]. Moscow, Nauka Publ., 1967. 481 p.

[5] Malov Yu.I., Nuzhnenko T.A. Mathematical simulation of unsteady heat conduction in a cylindrical fuel element. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2003, no. 2, pp. 20-27 (in Russ.).

[6] Stel'makh L.S., Zinenko Zh.A., Radugin A.V., Stolin A.M. Numerical research the thermal instability during heating of ceramic materials. Inzhenerno-fizicheskiy zhurnal [J. Eng.Phys. Thermophys.], 1991, vol. 61, no. 3, pp. 452-457 (in Russ.).

[7] Malov Yu.I., Martinson L.K. Effect of thermal shell parameters on the critical mode of the spherical fuel element Tezisy dokl. 3 Vseross. Konf. "Neobratimye protsessy v prirode i tekhnike" [Summ. Rep. 3th All-Russ. Conf. "Irreversible processes in the Nature and Technology"], Moscow, 24-25 January 2005, MGTU im. N.E. Baumana Publ., 2005, pp. 151-152 (in Russ.).

[8] Dimitrienko Yu.I., Minin V.V., Syzdykov E.K. Modeling of internal heat and mass transfer and thermal stresses in composite shells with local heating. Mat. Model. [Math. Models Comput. Simul.], 2011, vol. 23, no. 9, pp. 14-32 (in Russ.).

[9] Chigireva O.Yu. Mathematical simulation of heating process of two-layer cylinder by moving ring source of heat. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2011, no. 2, pp. 98-106 (in Russ.).

[10] Averin B.V. On the thermal stability of multilayer planar walls during heating by internal sources, depending on the temperature. Vestn. Samar. Gos. Univ., Fiz.-Mat. Ser. [J. Samara State Univ., Phys.-Math. Ser.], 2009, no. 2, pp. 177-185 (in Russ.).

[11] Kartashov E.M. Analiticheskie metody v teorii teploprovodnosti tverdykh tel [Analytical techniques in the theory of thermal conductivity of solids]. Moscow, Vysshaya Shkola Publ., 2001. 550 p.

[12] Martinson L.K., Malov Yu.I. Differentsial'nye uravneniya matematicheskoy fiziki [The differential equations of mathematical physics]. Moscow, MGTU im. N.E. Baumana Publ., 2002. 368 p.

[13] Chigireva O.Yu. Calculation of the optimal layer thickness of thermal insulation in a multilayer cylindrical package. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2005, no. 1, pp. 94-101 (in Russ.).

[14] Malov Yu.I., Martinson L.K. Priblizhennye metody resheniya kraevykh zadach [Approximate methods for solution of boundary problems]. Moscow, MGTU im. N.E. Baumana Publ., 1989. 26 p.

[15] Lions G.L. Some methods for the solution of nonlinear boundary problems. Paris, Dunod, 1969. (Russ. ed.: Lions Zh.-L. Nekotorye metody resheniya nelineynykh kraevykh zadach. Moscow, Mir Publ., 1972. 587 p.).

[16] Tikhonov A.N., Samarskiy A.A. Uravneniya matematicheskoy fiziki [Equations of Mathematical Physics]. M.: MGU Publ., 1999. 798 p. (Eng. Ed.: Tikhonov A.N., Samarskii A.A. Equations of Mathematical Physics. Oxford, N.Y., DOVER Publ. Inc., 1964. 784 p.).

[17] Kantorovich L.V., Akilov G.P. Funktsional'nyy analiz [Function analysis] Moscow, Nauka Publ., 1984. 752 p. (Eng. Ed.: Kantorovich L.V., Akilov G.P. Function analysis. 2nd ed. Oxford, New York, Pergamon Press, 1982. 589 p.)

[18] Kantorovich L.V., Krylov V.I. Priblizhennye metody vysshego analiza. [Approximate methods of higher analysis] Moscow, Fizmatgiz Publ., 1962. 708 p. (Kantorovich L.V., Krylov V.I. Approximate Methods of Higher Analysis. Translated by C D. Benster. Groningen, P. Noordhoff Ltd., 1958. 681 p.)

[19] Amosov A.A., Dubinskiy Yu.A., Kopchenova N.V. Vychislitel'nye metody dlya inzhenerov [Computational methods for engineers]. Moscow, Vysshaya Shkola Publ., 1994. 544 p.

[20] Chirkin V.S. Teplofizicheskie svoystva materialov: Spravochnoe rukovodstvo [Thermophysical properties of materials. Reference manual]. M.: Fizmatgiz, 1959. 356 p.

Статья поступила в редакцию 03.03.2014

Леонид Карлович Мартинсон — д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры "Физика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 150 научных работ в области математического моделирования нелинейных процессов переноса, соавтор трех учебников по математике и физике для вузов.

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

L.K. Martinson — Dr. Sci. (Phys.-Math.), professor of "Physics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of more than 150 publications in the field of mathematical simulation of nonlinear processes of transfer, co-author of three textbooks on physics and mathematics for universities.

Bauman Moscow State Technical University, Vtoraya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation.

Ольга Юрьевна Чигирёва — канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры "Математическое моделирование" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор ряда научных работ в области математической физики и математического моделирования.

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

O.Yu. Chigireva — Cand. Sci. (Phys.-Math.), assoc. professor of "Mathematical Simulation" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of a number of publications in the field of mathematical simulation and mathematical physics. Bauman Moscow State Technical University, Vtoraya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation._

В Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана вышла в свет книга

Н.П. Деменков, Г.Н. Васильев

Управление техническими системами

Изложены теоретические положения процедур анализа и синтеза систем управления при проектировании станков с числовым программным управлением на основе интеграции силовых, информационных и управляющих модулей. Приведены примеры расчета систем автоматического управления и их элементов.

Для студентов машиностроительных специальностей вузов. Может быть полезен инженерно-техническим работникам предприятий, проектных организаций и институтов, занимающимся автоматизацией производственных процессов и их управлением в машиностроении и других отраслях промышленности.

Часть I. Анализ систем управления

Глава 1. Основные положения теории систем автоматического управления Глава 2. Линейные динамические модели систем автоматического управления техническими объектами и способы их преобразования Глава 3. Математические модели систем автоматического управления в переменных состояния Глава 4. Временные и частотные характеристики систем автоматического

управления Глава 5. Устойчивость линейных систем

Глава 6. Качество линейных систем автоматического управления Глава 7. Построение переходного процесса и повышение качества систем автоматического управления

Часть II. Описание методов синтеза систем управления

Глава 8. Аналитические методы синтеза линейных систем автоматического

управления Глава 9. Оптимизация систем управления

Часть III. Проектирование систем управления технологическим оборудованием

Этапы проектирования систем управления технологическим оборудованием

Проектирование исполнительных механизмов систем управления Технологический контур систем числового программного управления

Экстремальный контур систем числового программного управления

Микропроцессорные системы управления технологическим оборудованием

Глава 10.

Глава 11.

Глава 12.

Глава 13.

Глава 14.