РАСЧЕТ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ МАТРИЦЫ ПОГРЕШНОСТЕЙ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ ЦЕЛИ ДЛЯ БОРТОВОЙ РАДИОЛОКАЦИОННОЙ СТАНЦИИ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.396.969

ГРНТИ 47.49.27

РАСЧЕТ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ МАТРИЦЫ ПОГРЕШНОСТЕЙ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ ЦЕЛИ ДЛЯ БОРТОВОЙ РАДИОЛОКАЦИОННОЙ СТАНЦИИ

С.Н. КИРЕЕВ, доктор технических наук

«Уральское проектно-конструкторское бюро «Деталь» (г. Каменск-Уральский)

Рассмотрен вариант реализации отождествления и фильтрации надводных целей для бортовой радиолокационной станции в нормальной земной системе координат. Это позволяет отказаться от применения нелинейного фильтра Калмана и использовать линейный фильтр, что упрощает его разработку. Для инициализации и работы фильтра, а также для отождествления целей необходимо иметь корреляционную матрицу погрешностей для используемых координат цели. При обнаружении цели измеряются ее сферические координаты в связанной системе координат. Их корреляционная матрица известна и является диагональной. Предложен метод расчета корреляционной матрицы погрешностей для декартовых координат цели в нормальной земной системе координат. Преобразование координат и расчет матрицы состоит из нескольких этапов. Преобразование координат из сферических в декартовы является нелинейным, поэтому при расчете их корреляционной матрицы использовано разложение нелинейных функций в ряд Тейлора. Преобразование декартовых координат из связанной системы координат в нормальную систему является линейным. Для пересчета корреляционной матрицы использован известный метод. Преобразование координат из нормальной системы в нормальную земную систему координат также является линейным. Для пересчета корреляционной матрицы можно использовать тот же метод. В работе показано, что последнее преобразование можно не выполнять, поскольку при рациональном выборе направления осей этих систем координат корреляционные матрицы погрешностей отличаются мало. Проверка расчетных формул выполнена методом цифрового моделирования. Результаты расчета обеспечивают корректную работу линейного фильтра Калмана и оптимальное отождествление обнаруженных целей.

Ключевые слова: корреляционная матрица погрешностей, декартовы координаты цели, отождествление целей, линейный фильтр Калмана, бортовая радиолокационная станция.

Введение. В работе рассматривается бортовая радиолокационная станция (РЛС), работающая по надводным целям. При их обнаружении измеряются сферические координаты (азимут, угол места и дальность) в связанной системе координат (ССК). Однако траекторная фильтрация цели в ССК является сложной задачей ввиду быстрого изменения ее координат, связанного с движением и маневрами носителя РЛС. Можно рассчитать декартовы координаты цели и пересчитать их в нормальную земную систему координат (НЗСК) по ГОСТ [1]. Эти координаты меняются медленно, что определяется собственным движением цели и медленным изменением погрешностей инерциальной навигационной системы. Поэтому автосопровождение цели обычно выполняют для декартовых координат в НЗСК.

Автосопровождение целей предполагает их многократное наблюдение и обработку координат фильтром Калмана [2]. После первого обнаружения цели выполняется инициализация фильтра. При повторном обнаружении цели выполняется ее отождествление с ранее обнаруженными целями [2]. При успешном отождествлении выполняется обработка координат цели соответствующим фильтром. При отсутствии отождествления выполняется инициализация нового фильтра. Для инициализации и работы фильтра, а также для отождествления целей необходимо иметь корреляционную матрицу погрешностей для используемых координат цели [2].

Для сферических координат цели в ССК обычно известны дисперсии погрешностей измерения. Эти погрешности являются независимыми случайными величинами с гауссовским распределением. Таким образом, корреляционная матрица погрешностей для сферических координат известна и является диагональной. Для декартовых координат цели в НЗСК корреляционная матрица погрешностей неизвестна. Ее расчет является сложной задачей, поскольку при пересчете координат из ССК в НЗСК выполняется несколько линейных и нелинейных преобразований. Решение задачи возможно одним из двух способов.

Первый способ предполагает выполнение отождествления целей для сферических координат в ССК (для измеряемых координат). Для автосопровождения используется нелинейный фильтр Калмана [3]. Его входными данными являются сферические координаты цели в ССК, а фильтрация выполняется для декартовых координат в НЗСК. При инициализации и работе фильтра используется корреляционная матрица погрешностей сферических координат обнаруженной цели. Для сопровождаемой цели фильтр выдает свою корреляционную матрицу погрешностей для сферических координат. При отождествлении новой обнаруженной цели с сопровождаемой целью используются обе корреляционные матрицы [2].

Основной проблемой описанного способа является сложность разработки и отладки нелинейного фильтра Калмана. Ее решение требует от разработчика высокой квалификации. Достоинством данного способа является отсутствие проблем с расчетом корреляционной матрицы погрешностей координат цели.

Второй способ предполагает пересчет сферических координат цели в декартовы координаты в НЗСК. Они подаются на вход линейного фильтра Калмана, который используется для автосопровождения цели. Он выдает текущие координаты цели в НЗСК и корреляционную матрицу погрешностей для них. Для инициализации и работы фильтра, а также для выполнения отождествления новой обнаруженной цели с сопровождаемой целью необходимо рассчитать корреляционную матрицу погрешностей для декартовых координат новой цели в НЗСК.

Актуальность. Основной проблемой второго способа является сложность решения задачи расчета корреляционной матрицы погрешностей. Автору не удалось обнаружить готового решения в доступной литературе. Достоинством второго способа является простота разработки и отладки линейного фильтра Калмана, стабильность его работы. Таким образом, разработка метода расчета корреляционной матрицы погрешностей является актуальной задачей. Ее решение позволит упростить разработку траекторного фильтра и снизить требуемый уровень квалификации разработчика.

Задачу можно разбить на несколько этапов.

Первым этапом преобразования координат является расчет декартовых координат цели в ССК. Данное преобразование является нелинейным, расчет дисперсий и корреляционных моментов координат выполняется методом [4]. Для упрощения расчета используется разложение нелинейных функций в ряд Тейлора.

Вторым этапом является пересчет декартовых координат цели из ССК в нормальную систему координат (НСК) линейным преобразованием по ГОСТ [1]. Для расчета корреляционной матрицы их погрешностей используется известный метод [5].

Третьим этапом является преобразование декартовых координат цели из НСК в НЗСК. Преобразование является линейным, поэтому расчет корреляционной матрицы погрешностей также может быть выполнен методом [5]. Однако данный этап может быть исключен. В работе показано, что при рациональном выборе направления осей НСК и НЗСК корреляционные матрицы погрешностей для координат в НСК и в НЗСК отличаются мало.

Проверка расчетных формул и оценка погрешностей расчета выполнена методом цифрового моделирования.

Случайные величины , £,, и Д можно считать малыми и независимыми. Для расчета

моментов декартовых координат можно воспользоваться известными формулами для произведения независимых сомножителей [4]. Однако сомножители являются нелинейными функциями пеленгов цели, поэтому рассчитаем сначала моменты этих сомножителей.

Расчет декартовых координат цели в ССК. Расчет выполняется по формулам

л = R cos s cos Р, y = R sins, z = - R cos s sin Р,

(1)

где R = R + Rs - оценка дальности цели, R0 - ее истинное значение,

Rs - случайная погрешность с нулевым средним и дисперсией Dr; s = s0 +ss - оценка угла места цели, s0 - его истинное значение,

ss - случайная погрешность с нулевым средним и дисперсией DE; Р = /0 + /s - оценка азимута цели, /0 - его истинное значение,

Ps - случайная погрешность с нулевым средним и дисперсией Dр .

Расчет моментов тригонометрических функций. Обозначим Ц = cos/ . Для расчета математического ожидания разложим эту функцию в ряд Тейлора в окрестности точки /0. С учетом трех членов ряда математическое ожидание для Ц равно

Ml * cosР (1 -0.5Dp).

(2)

Для расчета дисперсии Dx = M(Ц2) - Mx2 разложим в ряд Тейлора функцию Ц2 = cos2 / . С учетом трех членов ряда получим

Ц *Dpsin2Р.

(3)

Аналогично для функции U2 = cos s получим

M2 * coss0 (1 -0.5• Ds),

D2 ~ Ds sin so.

(4)

(5)

Для функции U3 = sin Р получим

M3 * sinp0 (l - 0.5 • Dp),

D3 = Dp cos2 Р.

(6) (7)

Для функции U4 = sin s получим

M4 * sins0 (1 - 0.5 • Ds).

(8)

ы g1

и

Д4 = Д£ cos £0.

(9)

Расчет математического ожидания и дисперсии погрешностей в ССК. По формуле математического ожидания произведения независимых случайных величин [4] с учетом (1)-(9) получим формулы для расчета математического ожидания погрешностей декартовых координат

Мх = М (Я)М (соб£М (соб Р) = я0м2м1,

(10)

му = м(я)м(эт^) = ям4,

(11)

М2 = -М(Я)М(соб е)М(яп Р) = -ЯМ2М3.

(12)

Дисперсию оценки координаты Y рассчитаем по формуле для произведения двух независимых случайных величин [4]

д = Д( Я 8ш£) = дд + + Б>М1.

(13)

Остальные координаты представляют собой произведение трех независимых случайных величин. Применим ту же формулу дважды, получим

д = Д( Я соб £ СОБ Р) = дд д + я д д + Д М2 д + Д ДМ! +

+я2м2 д + Я2 д2м2х+ДММ ,

(14)

д = Д (Я соб £ яп Р) = ДгД2 д + я д д + дМ1д + Д ДМЗ +

+Я2м2 д + Я2 Д2м1+дММ.

(15)

Расчет корреляционных моментов координат в ССК. Корреляционный момент двух случайных величин Кху = М(ху) — МхМу, которые являются функциями двух других

случайных величин х = g1(а, Ь), у = g2(а, Ь), равен [4]

Кху = \\gl(a, Ь)g2^ Ь)Р2(а, Ь)^Ь — ММу ,

(16)

где р2 (а, Ь) - двумерная совместная плотность вероятности случайных величин а и Ь В соответствии с (1) имеем функции трех независимых случайных величин

g1 (Я, £, Р) = Я сов £ СОВ Р,

g2 (Я, £, Р) = Я ЯП£, g3 (Я,£, Р) = — Я С0Б£ БШ Р.

(17)

По аналогии запишем

кху = / ( я,£, р)g2 ( я, £, р) рз ( я, £, р)аяа£йр- мму

(18)

э1

и

где р3 (К,е, р) = р1(К)р1(е)рх(р) - трехмерная совместная плотность вероятности независимых случайных величин К,е, Р; р1 (К), р1 (е), р1 (р) - их одномерные плотности вероятности. Поскольку подынтегральное выражение факторизуется, получим

Ky = J R2px(R)dR J cosssinsp1(s)dsJcosppx(p)dp-MxMy .

(19)

Первый интеграл представляет собой средний квадрат дальности, он равен M (R2) = Dr + RQ. Третий интеграл представляет собой математическое ожидание функции

Ц = cos Р, которое равно Mx. Подынтегральное выражение второго интеграла содержит тригонометрическое выражение от угла места. Разложим его в ряд Тейлора в окрестности точки s0 и учтем три члена ряда. Тогда формула для расчета корреляционного момента примет вид

Ky -(Dr + r2)0,5sin2s0 (1 -2DS)Mx -MxMy . Аналогично получим формулы для остальных корреляционных моментов Kxz --(Dr + r2)0,5sin2 Д0(1 -2Dp)(d2 +M¡)-MMy ,

Kyz - - (Dr + r2 ) 0,5 Sin 2^0 (1 - 2Ds )m3 -MMy ■

(20)

(21) (22)

Расчет погрешностей координат цели в НСК и в НЗСК. Вектор декартовых координат цели в НСК рассчитывается линейным преобразованием от вектора координат в ССК

(23)

где М1 - матрица преобразования (поворота) по ГОСТ [1].

Для ее расчета используются углы ориентации носителя РЛС, полученные от инерциальной навигационной системы.

Корреляционная матрица погрешностей оценки координат в НСК [5]

" Xn ' X

Уп = м У

_ zn _ Z

к=м^ m

(24)

Dx Ky Kxz

где К s = Kxy Dy Kyz - корреляционная матрица погрешностей координат в ССК

К XZ К yz D z

Вектор декартовых координат цели в НЗСК рассчитывается линейным преобразованием от вектора координат в НСК

да

х о " Хп _

у о = М 2 Уп

_ 7 о _ _ 7п _

(25)

где М2 - матрица поворота системы координат при переходе из НСК в НЗСК,

Ь - вектор смещения начала координат при переходе из НСК в НЗСК. Корреляционная матрица погрешностей оценки координат в НЗСК [5]

к 0 = М2К „М2.

(26)

Расчет матрицы поворота М2 выполняется по ГОСТ [6] с учетом геодезических

координат носителя РЛС и начала координат НЗСК. Она в любом случае определяется для расчета координат цели в НЗСК. Однако, расчет корреляционной матрицы (26) можно и не делать, ограничиться расчетом корреляционной матрицы (24).

Для этого необходимо задать одинаковое определение для осей НСК и НЗСК: ось X направлена на север, ось Y - вверх по местной вертикали, ось Z - дополняет систему до правой. Начало координат НЗСК задать в центре области возможного положения целей. Из-за ограничений на дальность обнаружения цели дальность от РЛС до начала координат НЗСК обычно не превышает 100 км. При этом углы поворота осей координат при переходе из НСК в НЗСК не превышают 1°. Изменениями корреляционной матрицы при таких углах поворота осей можно пренебрегать.

Результаты проверки метода расчета на модели. Для проверки полученных формул было выполнено имитационное моделирование. Формировалось множество реализаций случайных погрешностей сферических координат Rs, Д. Для снижения погрешностей

моделирования использовался большой объем выборки равный

В цикле моделирования задавались различные значения сферических координат цели R0 ,£0, Ра, которые складывались со случайными погрешностями. Затем выполнялся расчет

координат в НСК для различных значений углов ориентации носителя РЛС и оценка корреляционной матрицы погрешностей для декартовых координат в НСК.

Выполнялось сравнение с результатами расчета по формулам (2)-(15), (20)-(22), (24) и оценка относительной погрешности расчета дисперсий. Для корреляционных моментов выполнялась оценка приведенной погрешности с нормировкой по среднему геометрическому значению дисперсий. Результаты моделирования совпали с результатами расчетов с погрешностью не более 0,5 %.

При заданном объеме выборки различия результатов определяются погрешностями моделирования. При увеличении объема в 10 раз погрешности снижаются от 2 до 3 раз. Однако при увеличении размеров выборки длительность моделирования становится неприемлемо большой. Поскольку полученные значения погрешностей являются удовлетворительными, моделирование для всех условий при большем объеме выборки не выполнялось.

На рисунке 1 приведен пример зависимости относительной погрешности расчета дисперсии координаты zn по формуле (24) от углов места и азимута цели в ССК при значении

угла тангажа 7°, угла рысканья - минус 30°, угла крена - 25° и при увеличенной длине выборки равной 107. Полученные погрешности много меньше указанного выше значения 0,5 %.

Рисунок 1 - Относительные погрешности расчета дисперсии координаты zn

Выводы. Предложенный в работе метод позволяет рассчитать корреляционную матрицу погрешностей декартовых координат обнаруженной цели в НЗСК. Результаты расчета обеспечивают корректную инициализацию и работу линейного фильтра Калмана, а также оптимальное отождествление обнаруженных целей по их координатам в НЗСК. Достигнутые значения погрешности расчета порядка 0,5 % являются удовлетворительными при решении таких задач. Для упрощения расчета необходим рациональный выбор направления осей НСК и НЗСК. Это позволяет исключить преобразование матрицы при переходе из НСК в НЗСК.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. ГОСТ 20058-80. Динамика летательных аппаратов в атмосфере. М.: Изд-во стандартов, 1981. 57 с.

2. Фарина А., Студер Ф. Цифровая обработка радиолокационной информации. Сопровождение целей. М.: Радио и связь, 1993. 320 с.

3. Коновалов А.А. Основы траекторной обработки радиолокационной информации. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2014. Ч. 2. 180 с.

4. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника: Примеры и задачи: учебное пособие для вузов / В.Т. Горяинов, А.Г. Журавлев, В.И. Тихонов. М.: Советское радио, 1980. 544 с.

5. Charles W. Therrien, Murali Tummala. Probability and random processes for electrical and computer engineers. Boca Raton: CRC Press, 2012. 413 p.

6. ГОСТ Р 51794-2008. Глобальные навигационные спутниковые системы. Системы координат. Методы преобразований координат определяемых точек. М.: Стандартинформ, 2009. 16 с.

REFERENCES

1. GOST 20058-80. Dinamika letatel'nyh apparatov v atmosfere. M.: Izd-vo standartov, 1981.

57 p.

2. Farina A., Studer F. Cifrovaya obrabotka radiolokacionnoj informacii. Soprovozhdenie celej. M.: Radio i svyaz', 1993. 320 p.

3. Konovalov A.A. Osnovy traektornoj obrabotki radiolokacionnoj informacii. SPb.: Izd-vo SPbG ETU «LETI», 2014. Ch. 2. 180 p.

4. Tihonov V.I. Statisticheskaya radiotehnika: Primery i zadachi: uchebnoe posobie dlya vuzov / V.T. Goryainov, A.G. Zhuravlev, V.I. Tihonov. M.: Sovetskoe radio, 1980. 544 p.

5. Charles W. Therrien, Murali Tummala. Probability and random processes for electrical and computer engineers. Boca Raton: CRC Press, 2012. 413 p.

6. GOST R 51794-2008. Global'nye navigacionnye sputnikovye sistemy. Sistemy koordinat. Metody preobrazovanij koordinat opredelyaemyh tochek. M.: Standartinform, 2009. 16 p.

© Киреев С.Н., 2022

Киреев Сергей Николаевич, доктор технических наук, доцент, ведущий конструктор, Уральское проектно-конструкторское бюро «Деталь» (г. Каменск-Уральский), Россия, 623409, Свердловская обл., г. Каменск-Уральский, ул. Пионерская, 8, ksn28m@mail.ru.

UDK 621.396.969

GRNTI 47.49.27

THE CALCULATION OF THE CORRELATION MATRIX OF ERRORS OF THE

TARGET CARTESIAN COORDINATES FOR AIRBORNE RADAR

S.N. KIREEV, Doctor of Technical sciences

«Ural design bureau «Detail» (Kamensk-Uralsky)

A variant of the implementation of identification and filtering of surface targets for airborne radar in a normal terrestrial coordinate system is considered. This makes it possible to abandon the use of a nonlinear Kalman filter and apply a linear filter, which simplifies its development. To initialize and operate the filter, as well as to identify targets, it is necessary to have a correlation matrix of errors for the applied target coordinates. When a target is detected, its spherical coordinates are measured in the associated coordinate system. Their correlation matrix is known and is diagonal. A method of calculating the correlation matrix of errors for the Cartesian coordinates of the target in the normal terrestrial coordinate system is proposed. Coordinate transformation and matrix calculation consist of several stages. The transformation of coordinates from spherical to Cartesian is nonlinear, therefore, when calculating their correlation matrix, the decomposition of nonlinear functions into a Taylor series is used. The transformation of Cartesian coordinates from an associated coordinate system to a normal system is linear. A well-known method has been used to recalculate the correlation matrix. The transformation of coordinates from a normal system to a normal terrestrial coordinate system is also linear. The same method can be used to recalculate the correlation matrix. The paper shows that there is no need to perform the latter transformation, since with a rational choice of the direction of the axes of these coordinate systems, the correlation matrices of errors are little differerent. Verification of the calculation formulas is performed by digital modeling. The calculation results ensure the correct operation of the linear Kalman filter and optimal identification of the detected targets.

Keywords: correlation matrix of errors, Cartesian coordinates of the target, identification of targets, linear Kalman filter, airborne radar.