CC BY
16
Наука и Образование
МГТУ им. Н.Э. Баумана
УДК 531.38
Расчет колебаний дискретно-стратифицированных жидкостей методом конечных элементов
Вин К. К.1'*, Темнов А. Н.1 Чш.сЛаа®gmail.com
1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. № 05. С. 82-92.
Б01: 10.7463/0516.0841210
Представлена в редакцию: 03.04.2016 Исправлена: 17.04.2016
© МГТУ им. Н.Э. Баумана
В предлагаемой статье рассмотрены колебания трёх несжимаемых жидкостей с использованием метода конечных элементов, определены собственные частоты колебаний и построены формы колебаний поверхностей разделов жидкостей для двух тонов колебаний. Приведены зависимости частот колебаний от соотношений плотностей колеблющихся жидкостей и толщин слоев жидкостей и сравнение результатов численных расчетов с точными значениями, полученными аналитическими методами.
Ключевые слова: колебания жидкостей, частота и форма колебаний, функционал, обобщенные координаты, матрицы жесткости и масс, локальные и глобальные координаты
Введение
В связи с развитием ракетной космической техники и общего машиностроения в последнее время возрос интерес к исследованию динамики сложных жидкостей [1]. Одной из используемых моделей подобной жидкости может являться дискретно-стратифицированная жидкость, представляющая собой совокупность слоёв несмешиваю-щихся несжимаемых жидкостей. Колебаниям стратифицированных и несмешивающихся жидкостей посвящено достаточно большое количество работ см. например [2]-[17].
В предлагаемой статье приведена вариационная постановка задача о собственных колебаниях несмешивающихся жидкостей и численная реализация определения стационарных значений функционала, отвечающего вариационной задаче, методом конечных элементов.
1. Постановка задачи
Пусть замкнутый неподвижный сосуд полностью заполнен трёмя идеальными несжимаемыми жидкостями, занимающимися в состоянии равновесия области ^, п2 и п3. Мы предположим, что эти области расположены наподобие слоеного пирога, так что п1
контактирует (кроме стенки сосуда) только с о по некоторой поверхности г ; о2 - с ^ и с о3 (по г2); каждая г и г2 контактируют с поверхностью сосуда. Обозначим через Р плотность жидкости в о , и допустим что на систему действует однородное гравитационное поле с массовой плотностью потенциала . Вектор нормали п на г,-направим из о.
в о,+1.
Рассмотрим задачу о колебаниях несжимаемых жидкостей в занимаемых объемах, ограниченных поверхностями £г. Будем считать движение каждой жидкости потенциальным с потенциалом скорости Ф; (х,у,2) -ем (г = 1,2,3) (г -количество жидкостей), СО -
искомая частота главных колебаний жидкостей. Потенциалы Фг могут быть определены из решений следующих задач.
Рис.1. Общий вид цилиндрического сосуда с жидкостями.
АФг = 0, (г = 1,2,3) в о
дФ
г
дп
= 0 на
£
дф = С. (Р1 'Ф1- Р2 'Ф2 ) .
дп § (Р1- Р2) '
дФ 2 = С (Р 'Ф1- Р2 ' Ф2 ^1аГ
дп § (Р1- Р2) ' 1
дФ, _ дФ2 д2 д2
(1)
(2)
дФ 2 = О Р -Ф 2- Рз 'Фа ) .
дп g (р2- Рз) '
дФз О2 (Р2 -Ф2- Рз -Ф3 ) Г
- =---:-:--; на 1 2
дп g
дф _ дФ3 дг дг
(Р2- Рз )
2. Вариационная постановка задача
Покажем, что исходная задача (1)-(3) на собственные значения равносильна задаче об отыскании стационарных значений функционала
к+1
£р/уФ, УФгйо
^(Ф1, Ф2, Фз) = к
¿=1
Е(р-Р+1 ГI (РФ -Р+Ф+1)2 а Г
¿=1 Г,
(4)
Где, к = 2 - число поверхностей разделов.
С этой целью помножим каждое уравнение (1) на Р и Фг, проинтегрируем по объему для каждой жидкости, и используя теоремы Гаусса-Остроградского, и граничные условия, получим
Приняв во внимание граничные условия (2) и (3), и сложив полученные результаты, приходим к выражению
Р I —1
о.
| УФ - УФйо + Р | УФ - УФйо + Р | УФ - УФйо -
02 оз
, 1 \ I (Р|Ф^1 -Р2Ф2)2йГ1 + 1 I (Р2Ф2 -РзФз)2йГ2 (Р -Р2 )гГ (Р2 -Рз )г2
(8)
= 0;
Откуда и следует выражение (4).
(А:
О)2П
g
собственное число, О -размерная частота колебаний.)
Как отмечено в книге [3], собственные значения и собственные функции задачи (1)-(3) могут быть получены, если искать стационарные значения функционала (4), на множестве всех функций, удовлетворяющих условиям
к
— (р,Ф-р,+! Ф,+l)dTi = 0 (9)
¿=1 г,
Для численной реализации полученного функционала воспользуемся методом конечных элементов.
3. Разбиение конечных элементов
Область решения Ц разобьем, как это показано на рис.5, на ряд треугольных областей - конечных элементов (КЭ). Разбив область решения на ряд областей, мы получаем возможность переписать интегралы в виде суммы интегралов по отдельным областям,
Треугольная форма КЭ не является, единственно возможной, но обладает по сравнению с остальными рядом преимуществ: она позволяет достаточно плотно покрыть всю площадь решения (в отличие от прямоугольной) и в тоже время такая форма обеспечивает относительную простоту получения основных соотношений конечно-элементного анализа.
7.
X
Рис.2. Схема разбиения области решения КЭ
Запишем выражения (8) в более компактном виде с использованием цилиндрической системы координат г, ц, 2 .
к гггГЭФ, Щ ЩдФ{ 1 дФ,. дФ,Л , , , 1 г, _ _ ,2 . . п пт
—Л! I ^ ^ + ^ —- -т ] РФ " РыФ-1 )2 = 0 (10)
1=1 дг дг дц дц г дг дг ) ¿(р-р,^) \
Решение задачи (10) будем искать в виде,
. ^ icos(mn)
ф (r,7,z) = £ (r,z)-Nm(7), Nm(7) 1 ( "
¿=1 т=о [Бт(т^)
Используя формулы перехода от глобальных координат к локальным, значение потенциала скоростей в любой точке КЭ можно вычислить как
к 9
¥, ^ У) = Ц u]f] (Х, У) = )' ) [СL.9) {X^ У)}
i=1 7=1
(9x1)
(12)
Здесь и\ - значения обобщенных координат КЭ, / (хл,ул) - функции формы в точке с локальными координатами (хл, ул). а матрица [ X ] представлена форме
[ X ]
(9x9)
1 0
Х1 1
У1 0
Х1У1 У1
Х12 2Х
У12 0
Х1У12 У12
Х12 У1 2 Х^1
22 Х1У1 2ХУ^
0 0 1
Х1 0
2 У1
1
Х2 У2
Х2 У 2
x2
У22
0 1 0
У2 2x2 0
2Х1У1 Х2У22 У22 Х1 Х2 У2 2 Х2 У2
0 0 1
Х2 0
2У2
2Х2У Х2
1 0 0
Х3 1 0
Уз 0 1
Хз Уз Уз Хз
Х32 2Х 0
Уз2 0 2 Уз
Хз Уз2 Уз2 2Хз Уз
Хз2 Уз 2Хз Уз Хз2
(13)
С учетом (13) можно определить значения С для каждого конкретного КЭ
Отметим, что от координат точки зависит только столбец | X (х, у)}'(91}, а от значений
обобщенных координат только (и) .
Теперь можно записать каждый из элементов сумм в уравнении (10) с учетом соотношений (12) и произвести некоторые операции над матрицами и интегрирование. Получаем выражения матриц жесткости и масс в виде
[ Ккэ ] = [С ]
л
Рг
SR3 V
X} д{X}" + m{X}-{XT+а{хУ д{Xр
dr dr r2 { } { } dz dz
rdrdz
У
[Cf (14)
- матрица «жесткости» КЭ, а
1
[МЭ ]=[cj J
(Р {X} -P+1 {XГ1)-(р {X} -р+1 {X}+1)Trdr[Сf (15)
(Р -Р+1 ) - матрица «массы» КЭ.
Замечание: Вычисление матрицы [М^ ] в формуле (15), очевидно, необходимо
только для элементов, имеющих общую грань с поверхностями разделов Г1 и Г2.
Поставим полученные выражения матриц жесткости и масс (14) и (15) в уравнение (10), получим характеристическое уравнение в виде
Vк ,л=0 (16)
(у\,мор)[кэ](м„) р}(м.,) - л(у)(„м„) Необходимые условия стационарности функционала (16) приводят к системе линейных уравнений, относительной вектора (V)
М?'
[ ККЭ 1
( Мор УМор )
Л'
^}(^ у1)—0
( МорУМор >( Мор У)
Характеристическое уравнение системы (17) имеет вид
[ ККЭ 1
1( Мор У Мор )
- Л-
'МКЭ
(Мор уМор)
0
(17)
(18)
Решая уравнение (18) численным методом, получим спектр дискретных собственных значений Л^ и соответственные им собственные векторы IV} . Результаты численных методов приведены на рисунках (3 и 4).
0.4
0.3
XI
0.2
0.1
е>1= 1,^2=0.7, />3=0 4
I !
э1=1,р!г=о.а, О3=0.3
р1 = 1.^г=о.эГ р3 = 0.3
1 1
16
1.4
XI
12 1
0.8
= 1-:р2=
= 1^2 = = 0.В =0.3
;
,р2 = 0.7,рЗ = 0.4 1
0 0.2
0.4 0.6 (а)
0.8 ЬЗ 1
0.2
0.4 0.6
(б)
0.8 „3 1
1.2 1
хг 0.8
0.6
0.4
0.2
___________[р_ 1=1^2=0.. 7 .рЗ-ОЙ_________
;
рЗ=С. 1
; ;
р1 = 1.рг=о.э, Рз=о_г
0 0.2 0.4 0.6
°-8 ЬЗ 1
4.5 4
3.5
з
2.5 2 15 1
1 1 1
= о.э:рЗ=о.г
Ху | | ;
= 0.8гр3 = 0.3
^ I !
р2 = 0.7 ,р 3 = 0.4
0.2 0.4
0.6 0.8 ,,3 1
(в) (г)
Рис.3. Зависимости собственных значений для Л ( П — 1) (а,б) и для ¿Л ( П — 2 ) (в,г) от глубины
верхней жидкости Н по фазе и противофазе при разных плотностях и Н — ^ — 1.
от о в
0.5
Л1
О 56 0.5 045 04 0.35
1 :
1 1
|МКЭ ...1.......■.............
1 1 .......;.............
1
1
. !
1 - - г~
2
* Э
1 8 А1
1.7 1.6
* 5 1 ^ 1 3
1 .....^.......
^мкг
.....\....... .....[.......
. .....\.......
1 1
— — - - - -п --- — --- .
Теор.
1.4
1.3 \2 1 ?
1 1
гпо 400 ем эоо июо о 200 до: 5П11 ш то:
мКЕ МгуЕ
О) (б>
54
1 1 : :
'"""1.......:............Г............ 1мкЬ V :____________:____________
■ ■
■■
Теор ■4- -
\
200 400 600 .„.^ ООО 1<Ю0
5 2 ХЕ 5 4 8 4.6 44 4.2 4 3.1
..„1________
\
\ МКЭ
.........Ч.
к : - -
Теор. — - —
е ™ им о яд ¿до ьаа зпо юаа
1Чг\Ь
(в) (г)
Рис.4. Зависимости собственных значений для ^^ ( П = 1) (а,б) и для ^^ ( п. = 2) (в,г) от числа конечных элементов ^^ по фазе и противофазе при р^ = 1,^ = 0.7, рз = 0.1 и h = = = 1 •
4. Определение формы колебаний
Из полученного вектора обобщенных координат {V} , зная номера обобщенных
переменных, отвечающих конкретному КЭ, можно воспользовавшись формулой (12) определить значение потенциала в любой точке КЭ, имея ране вычисленную матрицу [C ] этого КЭ и вычислить вектор {X у)}(9х1) для заданной точки. Кроме того, продифференцировав вектор {X у)}(9х1) получим значения производных потенциала в любой точке КЭ. Так как конечные элементы покрывают всю площадь задачи то и форма, таким образом, может быть определена в любой точке.
Заключение
Полученные результаты показывают, что используемый метод конечных элементов позволяет достаточно точно определить собственные частоты и формы колебаний дискретно-стратифицированных жидкостей и следовательно можно воспользоваться этим методом для расчета колебаний жидкостей в баках другой формы.
Список литературы
1. Чашечкин Ю. Д. Дифференциальная механика жидкостей: согласованные аналитические, численные и лабораторные модели стратифицированных течений. Вестник МГТУ им. Баумана. Сер. Естественные науки, No.6[57].2014. С. 53.
2. Ай Мин Вин. Колебания криогенной жидкости в неподвижном баке. // Наука и образование, МГТУ им. Н. Э. Баумана. Электрон. журн., № 9, 2014. Режим доступа: http://technomag.bmstu.ru/doc/726215.html (дата обращения 15.02.2015)
3. Бабский В.Г., Жуков М.Ю., Копачевский Н.Д., Мышкис А.Д., Слобожанин Л.А., Тюп-цов А.Д. Методы решения задач гидромеханики для условий невесомости. - К.: Нау-кова думка, 1992. - 592 с.
4. Калиниченко В.А., Нестеров С.В., Секерж-Зенькович С.Я. (1985б) Теоретическое и экспериментальное исследование параметрического возбуждения волн конечной амплитуды в двухслойной жидкости. // Волны и дифракция. 9 Всесоюзный симпозиум по дифракции и распространению волн. Тбилиси: 1985, т. 2. С. 53-56.
5. Темнов А. Н., Ай Мин Вин. О движении стратифицированной жидкости в полости подвижного твёрдого тела. Вестник МГТУ им. Баумана. Сер. "Естественные науки". С. 86-101.
6. Гончаров Д. А. Динамика двухслойной жидкости разделенной упругой перегородкой с учетом сил поверхностного натяжения // Наука и образование, МГТУ им. Н. Э. Баумана. Электрон. журн., № 11, 2013.
7. Пожалостин А.А., Гончаров Д.А., Кокушкин В.В. Малые колебания двухслойной жидкости с учетом проницаемости разделителя // Вестник МГТУ им. Баумана. Сер. "Естественные науки". 2014. С. 1G9-116.
B. Газиев Э. Л. Моделирование собственных колебаний системы «идеальная капиллярная жидкость-баротропный газ» в цилиндрическом контейнере / Э. Л. Газиев // Book of Abstracts of Crimean International Mathematics Conference (CIMC-2003). Симферополь: КНЦ НАНУ, 2013. -T. 3 -C. 51-52.
9. Колесников К.С., Пожалостин А.А., Шкапов П.М. Задачи динамики гидромеханических систем в трудах кафедры теоретической механики имени профессора Н.Е. Жуковского. 2012.№7(7) URL:http://engjournal.ru/catalog/eng/teormech/285.html (дата обращения: 21.09.2015)
1G. Кононов Ю. Н. Свободные колебания упругих мембран и двухслойной жидкости в прямоугольном канале с упругим дном / Ю. Н. Кононов, Е. А. Татаренко//Прикладная гидромеханика. -2GGB. -№1. -С.33 -3B.
11. Mikhayluk A. V. Variational formulations for a spectral problem with parameter on the interface of two mediums / A. V. Mikhayluk, A. N. Timokha // Dopov. Nats. Akad. Ukr. Mat. Prirodozn. Tekh. Nauki.- Issue 45, No. 1G, 1995. - P. 3B-4G.
12. Попов Д. Н., Панаиотти С.С., Рябинин М. В. Гидромеханика.М.:Учебное пособие, 2014. 320с.
13. Мартинсон Л. К., Малов Ю. И. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. 185с.
14. Колесников К.С. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 2003. 520с.
15. Калиниченко В.А., Со Аунг Наинг Волны Фарадея в подвижном сосуде и их механический аналог // Инженерный журнал: наука и инновации. 2013.№12(24) URL : http://engjournal. ru/cata... g/teormech/1138/html (дата обращения: 20.05.2015)
16. Темнов А. Н., Вин Ко Ко. Колебания дискретно-стратифицированных жидкостей в цилиндрическом сосуде и их механические аналоги. Вестник МГТУ им. Баумана. Сер. "Естественные науки". № 3. С. 57-69.
17. Калиниченко В.А., Секерж-Зенькович С.Я., Тимофеев А.С. (1991) Экспериментальное исследование поля скоростей параметрически возбуждаемых волн в двухслойной жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1991. № 5. С. 161-166.
Science ¿Education
of the Bauman MSTU
El
tft
tronic journa
iSSH 1994-0408
/
Science and Education of the Bauman MSTU, 2016, no. 05, pp. 82-92.
DOI: 10.7463/0516.0841210
Received: 03.04.2016
Revised: 17.04.2016
© Bauman Moscow State Technical Unversity
Finite Element Calculation of Discrete Stratified Fluid Vibrations
Ko Ko Win1*, A.N. Temnov1
'ain.ciatfff gmail.com bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia
Keywords:
Many publications, which consider a problem of small vibrations of an incompressible ideal fluid, completely filling the stationary cylindrical tank, have the long lists of references in the field concerned. This paper uses the finite element method to consider vibrations of three incompressible fluids, defines natural frequencies of vibrations, and builds the vibration forms of the interface surface of fluids for the double-tone vibrations. It shows how the vibration frequency depends on the ratios of vibrating fluid density and thicknesses of fluid layers and compares the numerical calculation results with the analytically obtained exact values.
The paper describes a variational formulation of the problem concerning the natural vibrations of immiscible fluids and using the finite element method provides a numerical implementation to define the fixed values of the functional that meets the variational problem. The reliability of the numerical results obtained is proved by their approximation to the result of calculating frequencies derived from the solutions of the problem of natural vibrations of fluid in a cylindrical vessel with a different fluid depth. To perform all numerical calculations was used the Matlab software.
References
1. Чашечкин Ю. Д. Дифференциальная механика жидкостей: согласованные аналитические, численные и лабораторные модели стратифицированных течений. Вестник МГТУ им. Баумана. Сер. Естественные науки, No.6[57].2014. С. 53.
2. Ай Мин Вин. Колебания криогенной жидкости в неподвижном баке. // Наука и образование, МГТУ им. Н. Э. Баумана. Электрон. журн., № 9, 2014. Режим доступа: http://technomag.bmstu.ru/doc/726215.html (дата обращения 15.02.2015)
3. Бабский В.Г., Жуков М.Ю., Копачевский Н.Д., Мышкис А.Д., Слобожанин Л.А., Тюп-цов А.Д. Методы решения задач гидромеханики для условий невесомости. - К.: Нау-кова думка, 1992. - 592 с.
4. Калиниченко В.А., Нестеров С.В., Секерж-Зенькович С.Я. (1985б) Теоретическое и экспериментальное исследование параметрического возбуждения волн конечной ам-
плитуды в двухслойной жидкости. // Волны и дифракция. 9 Всесоюзный симпозиум по дифракции и распространению волн. Тбилиси: 1985, т. 2. С. 53-56.
5. Темнов А. Н., Ай Мин Вин. О движении стратифицированной жидкости в полости подвижного твёрдого тела. Вестник МГТУ им. Баумана. Сер. "Естественные науки". С. 86-101.
6. Гончаров Д. А. Динамика двухслойной жидкости разделенной упругой перегородкой с учетом сил поверхностного натяжения // Наука и образование, МГТУ им. Н. Э. Баумана. Электрон. журн., № 11, 2013.
7. Пожалостин А.А., Гончаров Д.А., Кокушкин В.В. Малые колебания двухслойной жидкости с учетом проницаемости разделителя // Вестник МГТУ им. Баумана. Сер. "Естественные науки". 2014. С. 109-116.
8. Газиев Э. Л. Моделирование собственных колебаний системы «идеальная капиллярная жидкость-баротропный газ» в цилиндрическом контейнере / Э. Л. Газиев // Book of Abstracts of Crimean International Mathematics Conference (CIMC-2003). Симферополь: КНЦ НАНУ, 2013. -T. 3 -C. 51-52.
9. Колесников К.С., Пожалостин А.А., Шкапов П.М. Задачи динамики гидромеханических систем в трудах кафедры теоретической механики имени профессора Н.Е. Жуковского. 2012.№7(7) URL:http://engjournal.ru/catalog/eng/teormech/285.html (дата обращения: 21.09.2015)
10. Кононов Ю. Н. Свободные колебания упругих мембран и двухслойной жидкости в прямоугольном канале с упругим дном / Ю. Н. Кононов, Е. А. Татаренко//Прикладная гидромеханика. -2008. -№1. -С.33 -38.
11. Mikhayluk A. V. Variational formulations for a spectral problem with parameter on the interface of two mediums / A. V. Mikhayluk, A. N. Timokha // Dopov. Nats. Akad. Ukr. Mat. Prirodozn. Tekh. Nauki.- Issue 45, No. 10, 1995. - P. 38-40.
12. Попов Д. Н., Панаиотти С.С., Рябинин М. В. Гидромеханика.М.:Учебное пособие, 2014. 320с.
13. Мартинсон Л. К., Малов Ю. И. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. 185с.
14. Колесников К.С. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 2003. 520с.
15. Калиниченко В.А., Со Аунг Наинг Волны Фарадея в подвижном сосуде и их механический аналог // Инженерный журнал: наука и инновации. 2013.№12(24) URL:http://engjournal.ru/cata...g/teormech/1138/html (дата обращения: 20.05.2015)
16. Темнов А. Н., Вин Ко Ко. Колебания дискретно-стратифицированных жидкостей в цилиндрическом сосуде и их механические аналоги. Вестник МГТУ им. Баумана. Сер. "Естественные науки". № 3. С. 57-69.
17. Калиниченко В.А., Секерж-Зенькович С.Я., Тимофеев А.С. (1991) Экспериментальное исследование поля скоростей параметрически возбуждаемых волн в двухслойной жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1991. № 5. С. 161-166.
