CC BY
14
УДК 533.9
РАСЧЕТ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ МАКРОЧАСТИЦ
В ПЛАЗМЕ
А. М. Игнатов, С. А. Майоров, С. А. Тригер1, П. П. Дж. М. Шрам2
В работе на основе численного моделирования исследуется временная зависимость кинетической энергии пылинок, первоначально покоившихся. Моделирование проводилось по двум методикам - методом молекулярной динамики и методом частиц в ячейке. Получено значительное превышение кинетической энергии макрочастиц по сравнению с энергией тяжелой компоненты - ионов.
Пылевая плазма является объектом интенсивных экспериментальных и теоретиче ских исследований последних лет [1-3]. В настоящей работе исследовалась двухтем пературная плазма, состоящая из холодных ионов и горячих электронов. Температура электронов определяется энерговкладом от внешнего источника (СВЧ излучение, раз ряд, фотоионизация и т.д.). Ионы же находятся в тепловом равновесии с холодными атомами буферного газа. Представляет интерес вопрос о кинетической энергии заряженных макрочастиц в такой плазме. Многие экспериментальные данные (см., напр., [4, 5]), а также недавнее рассмотрение на основе кинетической теории [6], говорят об их значительной кинетической энергии, превосходящей кинетическую энергию тяжелой компоненты - ионов.
В настоящей работе на основе численного моделирования рассчитывалась временная зависимость кинетической энергии пылинок, первоначально покоившихся. Моделирование проводилось по двум методикам. Первая - это метод молекулярной динамики (МД). Решались уравнения Ньютона для системы точечных заряженных частиц, помещенных
Институт высоких температур РАН, г. Москва, Россия. Технический университет, г. Эйндховен, Нидерланды.
в куб с упруго отражающими стенками. Тяжелая частица с большим зарядом помещалась в центр куба. Учитывалось взаимодействие каждой частицы со всеми остальными. Вторая методика - метод частиц в ячейке. В центр ячейки также помещалась тяжелая макрочастица. Рассматривались случаи макрочастицы как бесконечно малой - точеч ный заряженный центр, так и конечного размера - с условием поглощения на ней. Реша лись уравнения Ньютона для системы точечных заряженных частиц, помещенных в куб со стенками, отражающими по закону Максвелла. Учитывалось только взаимодействие макрочастицы с частицами плазмы.
Моделирование методом МД из первых принципов (ab initio) является наиболее точ ной методикой исследований и широко используется при решении разнообразных плаз менных задач [7]. Однако большой объем требуемых вычислений обычно не позволяв проводить расчеты с реальными параметрами. В данной работе исследовались систе мы, состоящие лишь из нескольких тысяч частиц, и выбиралось уменьшенное в сто раз отношение масс ионов и электронов. Рассмотрим полностью ионизованную плазму, состоящую из ионов с массой m,, положительным зарядом е и электронов с массой те, зарядом —е. Рассматривается временная эволюция системы из пе электронов и п, ио нов, заключенных в куб, в центре которого находится точечный отрицательный заряд Q — Zoe < 0, обладающий большой массой. Число ионов, электронов и заряд макро частицы выбирались такими, чтобы в целом система являлась электронейтральной: п, — пе + Zq = 0. Использовались как периодические, так и зеркальные граничные условия. Траектории частиц определяются путем решения уравнений Ньютона
здесь - радиус-вектор к-ой частицы с массой тк и зарядом - радиус
вектор макрочастицы с зарядом пр - общее число частиц. Сила кулоновского взаи модейсгвия /к1 при расстояниях между частицами менее го принималась равной силе взаимодействия однородно заряженных взаимно проницаемых сфер диаметром г о [7]. Такая модификация кулоновской силы на близких расстояниях устраняет особенность потенциала в нуле и уменьшает жесткость уравнений, обусловленную близкими соударениями. Значение г0 выбиралось значительно меньше характерного межчастичного расстояния: г0 <С в приведенном расчете полагалось г0 = 0.025 • ТУ"1''3. Проводи-
лись дополнительные расчеты для оценки влияния г0 на рассчитываемые характеристп ки. Уравнения (1), включая уравнения движения для макрочастицы, решались прямым методом типа частица-частица [7]. Для повышения точности решения и уменьшения
(1)
объема вычислений использовалась вычислительная схема с выделением ближайших соседей [8].
Для МД расчета была выбрана плазма гелия с г = 1, Л^ = 2-1012 с.и~3. Температура электронов Те — 1 эВ, ионов Т, = 0.025 эВ. Время расчета было равно = 3.5 • Ю-8 с, что значительно больше времени ионного ленгмюровского периода 6.7 • Ю-9 с. Ионный дебаевский радиус при таких параметрах плазмы в единицах характерного межионного расстояния равен гд, = 1.06, электронный - гоеЛ^3 = 6.6. Начальное распределение электронов и ионов по координатам выбиралось равновероятным в объеме куба. Распределение по скоростям соответствовало распределению Максвелла на бесконечности. В зависимости от начального расстояния до макрочастицы распределение Максвелла по модулю скорости сдвигалось на величину энергии взаимодействия с макрочастицей. Распределение по направлениям скорости выбиралось изотропным. Таким образом формировалось начальное распределение без связанных частиц. Для получения лучшей статистики за ограниченное время расчета масса электронов выбиралось в 100 раз больше реальной. На рис. 1 приведены зависимости от времени кинетической энергии макрочастицы массы 104 а.е.м.: бесконечно малого размера и с отрицательным зарядом ф = —300 е. Число ионов в системе было равно 1500, электронов - 1200, т.е. с учетом заряженного центра система была нейтральной. Из рисунка видно, что кинетическая энергия макрочастицы растет и значительно превышает температуру ионов Т{ = 0.025 эВ. Период осцилляций энергии коррелирует с ионным ленгмюров-ским периодом. Для сравнения на графике точками и пунктиром нанесены результаты аналогичных расчетов методом частиц (см. ниже).
В пылевой плазме важную роль играют процессы зарядки макрочастиц и их конечный размер. Для оценки влияния этих факторов можно использовать менее трудоемкий с точки зрения вычислительных затрат метод - частиц в ячейке [7]. Его отличие от описанного выше метода МД состоит в более экономном способе вычисления сил, действующих на частицы (естественно, за счет их огрубления). Вследствие этого появляется возможность проводить расчеты с большим числом частиц и рассматривать эволюцию системы в течение более длительного промежутка времени. Траектории электронов и ионов в настоящей работе определялись путем решения уравнений Ньютона с вычислением силы в двух модификациях:
d2rk/dt2 = Fklmk, Fk =
4kQrkg
г3 Гкд
к = 1,2, ...,7i
p-
(2)
Рис. 1. Расчеты методом МД и частиц в ячейке.
Рис. 2. Расчеты методом частиц в ячейке для бесконечно малой макрочастицы.
= = Ф + ^ £ * = 2,(3)
Гкд Гкд щд<ткд
Здесь Гкд = Гк — Тд- В (2) учитываются только силы взаимодействия подвижных частиц макрочастицей. Вычисляемое при такой силе распределение соответствует бинарном приближению, не учитывающему экранирования заряда макрочастицы. В (3) допо. нительно учитывается экранирующее влияние ион-электронного облака, окружающего макрочастицу. Суммирование в (3) ведется по частицам, расположенным ближе к ма крочастице, чем рассматриваемая А;-ая частица. Сила, действующая на макрочастицу, определялась по третьему закону Ньютона и для нее также решались уравнения дви жения.
В начальный момент времени в центр куба помещалась тяжелая макрочастица за данного размера, поглощающая все падающие на нее частицы плазмы. Взамен погло щенной частицы в объеме вбрасывалась другая частица. При отражении от стенок куба использовались термостатирующие граничные условия. Такая постановка задачи позволяет самосогласованно учитывать флуктуации заряда макрочастицы и ее конечный размер. Естественно, что в случае бесконечно малой макрочастицы поглощение на ней отсутствует. Методом частиц в ячейке исследовалась плазма с теми же параметра ми, что и в МД расчете. Менялось число частиц в системе, исследовались различные граничные условия и были проведены более длительные расчеты по сравнению с МД расчетами.
Вначале приведем результаты моделирования такой же системы, как и в предыдущем МД расчете. На рис. 1 пунктиром и штрихованными кривыми представлены зависимости от времени кинетической энергии макрочастицы при всех параметрах расчетов, совпадающих с параметрами МД расчета. Отличие их заключается в способе вычисления сил. Пунктир - сила вычислялась без учета экранирования (2), штрихованная кривая - сила вычислялась с учетом экранирования (3).
О 10 20 30 40 50 60 70 % не
0 10 20 30 40 50 60 70 I, не
Рис. 3. Расчет методом частиц в ячейке для макрочастицы конечного размера. Рис. 4. Расчет методом частиц в ячейке для макрочастицы конечного размера.
На рис. 2 представлены результаты более длительных расчетов, аналогично рис. 1 прорисованы зависимости кинетической энергии макрочастицы от времени. Пунктир расчет для системы из 1500 ионов и 1200 электронов без учета экранирования, штрихованная кривая - с экранированием, сплошная кривая - для системы из 8000 ионов и 7700 электронов с учетом экранирования, помещенных в куб с термостатирующими стенками и точечным зарядом в центре ф = —300 е.
На рис. 3 и 4 представлены результаты расчетов для поглощающей сферы радиуса гЛ^3 = 0.25. Рассматривалась система из 12000 ионов, 11700 электронов, помещенных в куб с термостатирующими условиями отражения на стенках и поглощающими граничными условиями на сфере. Начальный заряд макрочастицы полагался равным нулю. На рис. 3 приведена зависимость кинетической энергии макрочастицы от времени. На рис. 4 приведены зависимости от времени отрицательного заряда макрочастицы (сплошная кривая), числа поглощенных электронов (точки) и числа поглощенных ионов (пунктир). Заряд макрочастицы формируется при этом самосогласованно - в результате равенства
в среднем по времени потоков электронов и ионов. Характер поведения кинетической энергии макрочастицы сохраняется и для макрочастицы конечного размера.
Характерный период, наблюдаемый в расчетах, коррелирует с ионным ленгмюров ским периодом 6.7 не. Во всех расчетах кинетическая энергия в среднем значительно превышает температуру тяжелой компоненты. Объяснение этого факта состоит, ви димо, в том, что кинетическая энергия макрочастицы определяется не температурки тяжелых частиц, а энергией падающих на поверхность ионов, которая, в свою очередь, определяется плавающим потенциалом макрочастицы и пропорциональна электронной температуре.
Выполненное численное моделирование является только первой попыткой примеье ния методов моделирования из первопринципов для исследования кинетической энер и и макрочастиц в пылевой плазме. Ее результаты находятся в согласии с теоретическими и экспериментальными данными, указывающими, что в условиях пылевой плазмы температура (средняя кинетическая энергия макрочастиц) не находится в равновесии с температурой тяжелых частиц - ионов.
Авторы благодарят К\¥0 (Нидерландская организация научных исследований) за финансовую поддержку работы.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Ц ы т о в и ч В. Н. УФН, 167, N 1, 57 (1997).
[2] И г н а т о в А. М. Физика плазмы, 22, 648 (1996); 24, N 8, 731 (1998).
[3] Т г i g g е г S. A. and S с h г a m P. P. J. М. J. Phys. D: Appl. Phys., 32, 234 (1999).
[4] М е 1 z е г А., Н о m а п A., and Р i е 1 A. Phys. Rev., Е53, 3137 (1996).
[5] М о г f i 1 1 G. Е., Т h о ш a s Н. М., К о n о р k a U., and Z u z i с М. Phys. Plasmas, 5, 1 (1999).
[6] Z a g о г о d n у A., S с h г a m P. P. J. М., and Т г i g g е г S. A. Phys. Rev. Lett., in press.
[7]Хокни P., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. М., Map, 1987.
[8] М а й о р о в С. А., Т к а ч е в А. Н., Я к о в л е н к о С. И. УФН, 164, N 3, 297 (1994).
Институт общей физики РАН
Поступила в редакцию 10 марта 2000 i
