Расчет кинематической погрешности волновой зубчатой передачи как упругой системы с односторонним контактом звеньев Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Известия вузов. МАШИНОСТРОЕНИЕ 9

№ 8 2008

3. Русанов Г1.Г. Влияние упругого звена на частоты собственных колебаний вертикально располо-

женного отрезка тяжелой пити//Известия кузов. Машиностроение. -2008. -№6. -С'. 3 - 7.

4. Бидерман И.Л. Прикладная теория механических колебаний.- М.: Высшая школа , 1980,- 408 с.

621.01

РАСЧЕТ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ПОГРЕШНОСТИ ВОАНОВОЙ ЗУБЧАТОЙ ПЕРЕДАЧИ КАК УПРУГОЙ СИСТЕМЫ С ОДНОСТОРОННИМ КОНТАКТОМ ЗВЕНЬЕВ

Канд. техн.. наук. доц. И. Е../ ПОМИНА ГС 'КПП. Канд. техн.. паук, доц С \ Е J НОМ IIIIA14 КПП

Предложен метод расчета кинематической погрешности во./новых зубчатых передач, основанный на расчете силового взаимодействия звеньев передачи как уп/>у,'ой системы с односторонними связями. Получена зависимость наибольшей кинематической погрешности В'Ш-КО от смешения кулачка. Показано влияние формы кулачка на кинематическую погрешность волновой передачи.

Кинематическая погрешность (KI1) волновой зубчатой передачи (Bil l) является результатом взаимодействия погрешностей изготовления и установки зубчатых колес. Формальное суммирование результирующих погрешностей дает существенно завышенное значение кинематической погрешности передачи. Это объясняется тем, что в реальной передаче за счет подат-ливостей составляющих передачу звеньев происходит изменение сил в зонах зацепления. Под действием неравных сил в двух зонах зацепления происходят упругие деформации звеньев, в результате чего действующий суммарный вектор погрешности окажется меньше алгебраической суммы результирующих векторов погрешностей узлов. Методики определения кинематической погрешности изложены в [1.2] и других работах. Эти методики учитывают упругие деформации звеньев передачи. Однако в лих работах многоиарность и многозонность зацепления у читы вается 11 р ибл иже и но.

В предлагаемой работе рассматривается ме тодика определения кинематической погрешности ВЗП, основанная на расчете силового взаимодействия "элементов ВЗП как упругой системе с односторонними связями |3|.

Применяемая методика учитывает: деформацию гибкого колеса как оболочки вращения: возможность контакта каждой пары зубьев в двух зонах зацепления; возможность двух-кромочного контакта зубьев; изменение положения точек контакта зубьев по их высоте; эволь-

вентный характер профиля зубьев; смещение положения кулачка и гибкого колеса относительно своих осей вращения; изгибные деформации входного и выходного валов.

Расчетная схема В311 представлена на рис. I. Здесь под каждым зубом гибкого колеса располагается точка возможного контакта наружного кольца гибкого подшипника и гибкого колеса. Возможный контакт элементов ВЗП осуществляется водном расчетном сечении, расположенном в среднем сечении венца гибкого колеса.

Рис. I. Расчетная схема В311: 1 - кулачок; 2 - внутреннее кольцо гибкого подшипника: 3 - тела качения гибкого подшипника; 4 - наружное кольцо гибкого подшипника (НКГП); 5 - гибкое колесо (ГК); 6- жесткое колесо (ЖК):

к] -точки возможного контакта

между телами качения и НКГП; к , -точки

возможного контакта между НКГП и ГК;

к3, кА - точки возможного кон такта

между зубьями по рабочей и нерабочей кромкам

Полное силовое взаимодействие упругих элементов ВЗП определяется вектором реакций

1*={р,р,смуу. (1)

где Р - вектор сил между телами качения и наружным кольцом гибкого подшипника; Р- вектор сил взаимодействия наружного кольца подшипника и гибкого колеса: , - векторы сил взаимодействия зубьев гибкого и жесткого колес по рабочей и нерабочей кромкам, соответственно.

Вектор зазоров между звеньями волновой передачи представляется в виде

Л = {А,,А,А,,Ду}/. (2)

где А,, - вектор зазоров между телами качения и наружным кольцом подшипника; А,.. - вектор зазоров между наружным кольцом подшипника и гибким колесом; \() - векторы зазоров между зубьями жесткого и гибкого колес по рабочей и нерабочей кромкам. Зазоры между телами качения и наружным кольцом подшипника определяются по формуле

»и (3)

-АХ, со8ф;,, — ДУ[ 8т(ф,,.) + &Х2 соэф,,, + Д}'2 этф,,,,

Известия вузов. МЛШИНОС ТРОЕНИЕ 11

№ 8 2008

где /Л/>; - зазор (натяг) между / -ым телом качения и иедеформированным наружным кольцом подшипника: АЛ', .Л>, -смещения центра кулачка вдоль осей Ли У относительно центра жесткого колеса за счет деформации входного вала волновой передачи; А(Р ) кон тактное (местное) сближение / -го тела качения и наружного кольцом гибкого подшипника: (рг1 - угловая координата /-го тела качения гибкого подшипника: АА/,,Л/, -смещения центра наружного кольца г ибкого подшипника вдоль осей X и У относи тельно центра жесткого колеса: См, Ср - матрицы влияния реакций на зазоры в гибком подшипнике: Л' - число тол качения в гибком подшипнике.

Зазоры между наружным кольцом подшипника и гибким колесом представляются в виде

Д/-„,=„„•/>+1 с22пт-г11+^шк -а +-й-

уЛ 1/1 к I к I

-АХ, ■С08(р/|), - А Г, ^¡П(р,,,„ + АХ- • сох фу. т + А К.' ^тф,.^, (4) где Л",-зазор (натяг) между иедеформированным наружным кольцом подшипника и иедеформированным гибким колесом в ///-ой точке: АЛ';1 , АК' - упругие смешения оси вращения венца гибкого колеса вдоль осей X и У за счет деформации выходного вала: С21. С п. С,,

С,4 - матрицы влияния реакций па зазоры между наружным кольцом подшипника и гибким колесом:

ф, -угловая координата возможной точки контакта с номером / между наружным кольцом гибкого подшипника и гибким колесом; - число зубьев гибкого колеса.

Зазоры между зубьями жесткого и гибкого колес по рабочей и нерабочей кромкам определяются по формулам

=+Х^а+2^34 «й+щ>+

п=1 < I А 1

+АХ$ 8т(ф67 - а,)-А У7 соь(ф07 - а,) + со^а,). А;, = Ау/ + £С42|,Л + ¿с43/^, + х С44МЙ + МЙ)-

»»=1 А - I к I

-АЛ"- 81пСфг;/ +а,*) + А К/ со8(фь.ш + а* )-©!'>}" со^а,'), (5)

12 Известия вузов. МАШИНОСТРОЕНИЕ

№ 8 2008

где Д°„ , -зазоры между / -ой парой зубьев жесткого колеса и недеформированного гибкого колеса по рабочей и нерабочей кромкам; ), ) ~ контактные (местные) сближения /-ой пары зубьев жесткого и гибкого колес по рабочей и нерабочей кромкам; ©,, -угол

у

поворота жесткого колеса относительно кулачка; ф(;, — ~—(/ — 1)— ©(; + Дфг;, -угловая ко-

ордината / -го зуба гибкого колеса; 0" - угол поворота гибкого колеса относительно кулачка: Дф'-, - разность между действительным и номинальным положениями / -го зуба гибкого колеса из-за погрешностей изготовления; Гк, Гк — радиусы на который происходит контакт к -ой пары зубьев жесткого и гибкого колес по рабочей и нерабочей кромкам; <Хк - профильные

углы жесткого колеса на радиусах 1'к,Г*; С,,, С,,, С33, С,4, СА . С,, - матрицы влияния реакций на зазоры в зубчатом зацеплении.

Коэффициенты матриц влияния вычислялись через функции Г рина оболочек наружного кольца гибкого подшипника и гибкого колеса. Функции Грина определялись методом представления решения в виде рядов Фурье [4].

Вектор зазоров между недеформированными звеньями волновой передачи представляется в виде

Д°=!А»>А»,д?„Д;;'}г, (б»

где Л',', - вектор зазоров между телами качения и недеформированным наружным кольцом подшипника; А" - вектор зазоров между недеформированным наружным кольцом подшипника и недеформированным гибким колесом; А)';, А*'' - векторы зазоров между зубьями жесткого и недеформированного гибкого колес по рабочей и нерабочей кромкам. Элементы вектора А" определяются по формуле

где о{ - радиальный зазор в гибком подшипнике; IV- радиальное перемещение точки кулачка подтелом качения с номером / ; АХ^ - смещения центра кулачка вдоль осей X и У относительно центра жесткого колеса за счет неточностей изготовления деталей волновой передачи. Элементы вектора А" определяются по формуле

№ 8

К,, /77 = 1,...,г,.

2008

(8)

где д. - радиальный зазор между наружным кольцом гибкого подшипника и гибким колесом:

ДА". , ДК° - смешения центра гибкого колеса вдоль осей X и V относительно центра Ж К за

счет неточностей изготовления деталей волновой передачи.

Элементы векторов зазоров между зубьями жесткого колеса и зубьями иедеформиро-ванмого гибкого колеса но рабочей и нерабочей кромкам определяются по формулам (см. рис. 2)

С = Оста, + РУк -мп а,, к =

Г>)

Ю)

где -толщины к -го зуба жесткого колеса на радиусах 1\ ,/', : Л'(л..V,л толщи-

ны к -го зуба гибкого колеса на радиусах Г(;к - (IV, + IV") и г(;у, = Гк — (Ж + IV^):

Фа ~ Ф«* - Ф<д : Ф/;* ~ Ун 'к + Дф/« -угловая координата к -го зуба жесткого колеса: Дф'# разность между действительным и номинальным положениями / -го зуба жесткого колеса из-за погрешностей изготовления; = фа. — ф/и._,: ¡V, - радиальное перемещение к -го зуба I К

за счет упругих деформаций гибкого колеса: И'/' = АЛ7;' со8ф(;), + АГ," п <р,, - радиальное перемещение к -го зуба ГК за счет погрешностей изготовления деталей волновой передачи; V, = —АХ" Бтф(Д + АК." соэф,,, - касательное перемещение к -го зуба ГК относительно центра жесткого колеса за счет погрешностей изготовления деталей волновой передачи.

Рис. 2. Определение зазоров в зубча том зацеплении на радиусах Ик и /1к

№8

2008

Элементы векторов контактных (местных) податливостей между элементами волновой передачи определяются но формуле Герца.

Разрешающая система уравнений для определения сил взаимодействия звеньев ВЗИ. упругих смещений элементов ВЗП и зазоров в передаче представляется в виде

л-с:я-ци)-д"-лх = о :

Я > 0 , А, > 0 , КД = 0 , / = 1, /.; Ок =0ид;=0, если Ик = Я,<; + И'к + IV; - /?„, < 0. к = 1,;

(11) (12)

(13)

(14)

(15)

-X Г, СОБФ^ + скАХ} = о; Р, я1пфг, + А); = О :

N У-о Л

2 Р, СО«<ри Р„ СОБФ;.,, = 0 /> апф,., ятф,., = 0;

/ = 1 Н=| »=1

X К «»ф«, + X & ^'НФоч -«А:) -£ 01 ^»(Фо-А + «;) - сАЛ', = 0: (16)

А = 1 А = 1

Фа» ~ X & С08(фа. - а,) + £ 01 С0.я(ф0., + а].) ■- сА Г3 = 0; (17)

к=I

X сое а, -ХСЛХ соя«; =

7,

I

II I

А-

I

п \

А = 1

(18)

|Ы

/Ы

где С =

[<■'„] К',.] о о 1

[Сг|] 1С,] [С'..] [С,,

О КА..1 К',] [С'н

I о [С,2] [с„]

- матрица податливости ВЗП; Л- вектор зазоров в В311;

I* - вектор реакций в ВЗП; =| А,.,,, 0Д,; Л, Л -полный вектор контактных (местных) по-

датливостей между элементами ВЗП; А0 - вектор зазоров (натягов) между недеформирован-ными звеньями ВЗП: X = {ДДГ,,Д^.ДА',.Д^.ДЛГ.ДК.0^ } ; А - матрица, учитывающая

влияние вектора X на зазоры между звеньями ВЗП;ск -жесткость опоры кулачка; С-жесткость опоры гибкого колеса: Мн - момент на выходном валу.

Уравнения (11-12) описывают волновую передачу как упругую систему с односторонними связями [3].

Выражение (13) отражает невозможность контакта зубьев, если нет захода зубьев.

Уравнения (14- 18) отражают условия равновесия кулачка, наружного кольца гибкого подшипника и гибкого колеса.

Известия вузов. МАШИНСКТРОЕНИЕ 15

№ 8 2008

Зазоры по рабочей кромке между зубьями определяются па различных радиусах. 11а одном из радиусов зазор между к -ым зубом гибкого колеса и зубом жесткого колеса минимален. В дальнейшем считается, что па "-»том радиусе происходит контакт между двумя рассматриваемыми зубьями. Полученный таким путем радиус взаимодействия зубьев гибкого и жесткого

колес по рабочей кромке в дальнейшем обозначается 1\ . Аналогично определяются радиусы контакта зубьев по нерабочим кромкам зубьев 1\ .

11ри определении К11 13311 необходимо знать \ глы поворота выходного вала (ГК) при заданных углах поворота входного вала (кулачка). Однако удобно вести расчет при неподвижном кулачке. В пом случае зона зацепления при повороте звеньев В311 относительно кулачка меняется н езиач иге.)I ы ю.

Порядок решения задачи следующий:

1. Задается угол поворота гибкого колеса :

2. Задается нулевое приближение величин 1\,гк.(Хк .«¡.с^с^.Ж, (к = ) и век-гора X:

3. Из системы (11-18) исключаются уравнения, отражающие совместность перемещений зубьев, в которых заход отсутствует:

4. Считая величины гк,гк мк.ак,ек,е'к, УУк (к = 1,...,^ ) постоянными, из сокращенной

системы (II - 18) определяется вектор неизвестных реакций К . смешений X и зазоров А. Эта задача решается методом введения «восстанавливающих» сил |5|;

5. Определяется новое приближение гк.гк .ак.а'к,ек.е'к, \Ук (к = .);

6. Итерационный процесс заканчивается, когда значения векторов неизвестных величин

К и X с заданной точностью совпадают с их значениями на предыдущей итерации. В противном случае итерационный процесс повторяется с пункта 3.

Углы поворота гибкого и жесткого колес, полученные в результате силового расчета, обозначены с верхним индексом И. который означает неподвижное звено. Углы поворота входного (кулачка) и выходного (ГК) звеньев относительно неподвижного звена (ЖК) определяются по формулам

©;;=вц-о',!; в?,=-©;;, (19)

где &)', - угол поворота жесткого колеса относительно кулачка (определяется из силового расчета ВЗП); - угол поворота гибкого колеса относительно кулачка (задается при силоном расчете).

№8

2008

Кинематическая погрешность определяется по формуле

(20)

где Я(. - радиус делительной окружности ведомого колеса (ГК); 0'' - действительный угол

поворота ведомого колеса; ©^-действительный угол поворота входного вала: и - средние передаточное отношение ВЗП.

Основными причинами кинематической погрешности ВЗП являются

являются:

неточность изготовления гибкого и жесткого колес: неточность установки генератора воли относительно жесткого колеса; неточность установки гибкого колеса относительно жесткого колеса.

В данной статье численно исследуется влияние неточности установки генератора волн (кулачка) на КГ1 ВЗП.

Все погрешности изготовления деталей, влияющие на установку кулачкового генератора волн, в зависимости от частоты вращения можно разделить на три группы.

1. Неподвижные погрешности Ец .

Эти погрешности вызывают периодическую составляющую кинематической погрешности, изменяющуюся с круговой частотой, равной угловой скорости вращения генератора волн.

2. Погрешности, вращающиеся вместе с ведомым колесом Ец .

Эти погрешности вызывают периодическую составляющую кинематической погрешности, изменяющуюся с круговой частотой, равной угловой скорости кулачка относительно гибкого колеса.

3. Погрешности, вращающиеся с угловой скоростью генератора волн.

Эти погрешности пе вызывают периодическую составляющую кинематической погрешности.

Передаточное отношение ВЗП достаточно большое, поэтому для упрощения расчетов

частоту погрешности Е\\ можно принять равной угловой скорости генератора волн. Тогда

проекции суммарной погрешности установки кулачка еи на подвижные оси координат, неизменно связанные с кулачком, определяются по формулам

АЛ'," = е„ со$(-е I), , А у;'= ен со$(-в "„),

тде ец - модуль вектора суммарной погрешности установки кулачка.

Известия вузов. МАШ И ИСК ТРОКИ И Е

№ 8

2008

I !а рис. 3 приведена кинематическая погрешность ВЗП-80.

10

о

10

л клп? маем

_ в %

/ \

/ / / V 1 \ \ 1 \ г' УОУ

1 1 2 2 3 3 4 л \ 5 4 6 4 7 5 8 5 9 б Д. 06

ч \ ч

Рис. 3. Кинематическим погрешность В311-80. иылшииам неточности усгипонкн куличка ( г. 70 мкм. \! =1 ][-мУ-Сц смешения кулачки: \1 момент на ны\одном инлу

11а рис. 4 представлена зависимость максимальной кинематической погрешности ВЗП-80 от смещения кулачка вц . Эта зависимость сильно нелинейная. Максимальная кинематическая погрешность до некоторого значения вц увеличивается незначи тельно. Затем Е^. резко возрастает. При больших значениях смещения кулачка Сц в процессе работы волновой

передачи в некоторые моменты времени все зубья одной из двух полуволн выходят из зацепления. 11ереход в некоторые моменты времени к одноволновому зацеплению сопровождается резким у величением максимальной КИ.

60

50

40

р ,ог , МКМ

Рис. 4. Наибольшая кинематическая погреми 10СТ1 > В311-80:

I \/ = I И м; 2 и = К)

11-м; 3 V/ =50 И м; 4

VI =100 И м:

еи

№8

2008

60

40

50

Р и, мкм

Рис. 5. Влияиие формы кулачка на наибольшую кинематическую погреш-ность ВЗП-80

(М = 10 И м):

I - =0.48. К = 0; 2 -

30

3 = 25" ;3- н; =0.48. К = 0. 04

20

10

О *

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

На рис. 5 показано влияние формы кулачка на кинематическую погрешность. Рассматривались три формы: I — Н'(ср) = м>0 С08( 2ф); 2 - форма кольца, распертого 4-мя силами под

углом Р,(: 3- м^(ф) = >1>0сов(2ф)--К$,'т"(2ф).

I. Разработана математическая модель и методика определения кинематической погрешности волновых передач с кулачковым генераторам волн. Предложенная методика позволяют с высокой точностью определять кинематическую погрешность волновых передач без проведения дорогостоящих натурных экспериментальных исследований.

2. Установлено, что зависимость максимальной кинематической погрешности Е'пг ВЗП-

80 от смещения кулачка 6ц сильно нелинейная. При смещении кулачка выше некоторого значении в передаче в некоторые моменты времени осуществляется одноволновое зацепление. Это приводит к резкому возрастанию/^..

3. Применение кулачка, профиль которого описывается формулой

ч(ф) = и'гсоя(2ф)- А.'8иГ(2(р), где ^ =0,48: К = 0,04, снижает наибольшую кинематическую

ВЫВОДЫ

№ 8 2008 погрешность передачи В311-80 примерно в два раза, если смешение кулачка находится в пределах 70 Н- |1() мкм.

С П И С О К Л И ТЕРАГГУР Ы

1. Истомин С.Н. Кинематическая точность приборных волновых передач /С.Н. Истомин, С.А. Шувалов, I I.K. 1 Ioiiob и др. - М.: Машиностроение, 1987,- 160 с.

2. Емельянов А.Ф., Попон П.К., Фирсаев А.Ф. Расчет кинематической погрешности волновой луб-чагой передачи с учетом податливости звеньев //Вестник машиностроения.- 1983. N''7.- С. 9-12.

3. Клеников С.С., Люминарский И.t., Семин И.И. Расчетная модель волновых передач с уметом несимметрии нагружения элементов по волнам зацепления // Вестник машиностроения. - 1993. - N'-' 1.-С. 17-19.

4. Бидерман 15.Л. Теория механических колебаний. - М.: Высшая школа, 1980. 408 с.

5. Кленикок С.С., Люминарский И.В., Люминарский С.Е. Шаговый поиск опорных систем, нагруженных односторонних связей методом введения восстанавливающих сил // Известия вузов. Машиностроение. - 1987.- № 7. - С. 34-40.

666.1.4:681.7.088.4

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ ВЫТЯЖКИ ОПТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ

А сп. Л. Б. АЛЕКСЕЕВА, д-р техн. наук, проф. В. В. МАКС А РОВ

Рассматривается зона формирования оптического стержня как объект управления. Исследуется передаточная функция системы, вкчючиющеи управляющее устройство и объект управления. Определены области параметров, в которых система устойчива.

Оптические стержни (световод!,О получают методом вы тяг ивания из разогретой стекломассы. Один из важнейших показателей качества вытягиваемого стержня - стабильность размеров поперечного сечения по его длине. Такой технологический процесс требует пос тоянного