Расчет керновых опор с полимерными подпятниками электроизмерительных приборов на прочность при горизонтальном положении оси Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 531/534

Е. К. ЛАЗАРЕВ, Г. В. БЕЛИКОВ

РАСЧЕТ КЕРНОВЫХ ОПОР С ПОЛИМЕРНЫМИ ПОДПЯТНИКАМИ ЭЛЕКТРОИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ПОЛОЖЕНИИ ОСИ

Проведён статический расчёт керновых опор электроизмерительных приборов с полимерными подпятниками на прочность и жёсткость по допускаемым контактным напряжениям по четвёртой теории прочности при горизонтальном положении оси.

В приборостроении, в частности при производстве щитовых электроизмерительных приборов (ЭИП) с креплением подвижной части в керновых опорах, ведётся поиск путей повышения прочности и износостойкости керновых опор в условиях роста динамических нагрузок.

Наличие высоких контактных напряжений (давлений) в паре трения металл-камень (агат, корунд, ситалл) вызывает износ и разрушение керновой опоры. Например, керновые опоры, в которых керн выполнен из сплава 40ХНЮ, а пята из агата, выдерживают, не разрушаясь, при массе подвижной части порядка 500-600 мг ударные и вибрационные перегрузки не более 8-10 единиц, в то время как требования к приборам на подвижных объектах могут быть значительно большими.

Снижение давления возможно либо увеличением пятна контакта, либо заменой материала, из которого изготавливают опоры.

Увеличение пятна контакта (за счёт увеличения радиуса подпятника) приводит к увеличению момента трения, что недопустимо.

В работе на исследование предлагается новый материал для пяты - сополимер формальдегида СФД [1]. Выбор этого материала обусловлен тем, что полимерный материал СФД имеет высокую твёрдость, механическую прочность, быстро восстанавливает свои размеры после деформации под нагрузкой, низкий статический и динамический коэффициенты трения, высокое сопротивление ползучести. Кроме того, имеет хорошие литьевые качества, обладает демпфирующими свойствами, имеет более низкий коэффициент трения, скольжения (0,08-Ю, 1) без смазки, высокую стойкость к истиранию и простую технологию переработки.

Общий случай контакта двух тел

Контактная теория Герца лежит в основе всех

Е. К. Лазарев, Г. В. Беликов, 2005

расчётов контактных напряжений, будь то контакт между колесом и рельсом, в зубчатых зацеплениях, в шарикоподшипниках и т. д. [2]. Ниже приведён расчёт керновых опор СЭП на прочность по контактным напряжениям.

Приводимые результаты получены методами теории упругости при следующих предположениях:

1. Нагрузки создают в зоне контакта только упругие деформации, следующие закону Гука.

2. Площадки контакта малы по сравнению с поверхностями соприкасающихся тел.

3. Силы давления, распределённые но поверхностям контакта, нормальны к этим поверхностям.

Рассмотрим общий случай контакта двух тел (рис. 1) из одинакового материала. Предполагается, что оба тела в точке касания имеют общую касательную плоскость (на рисунке не показаны) и общую нормаль Ъ-Ъ, вдоль которой направлены силы Г.

Рис. 1. Геометрия контактирующих упругих тел: 1 и 2 - главные плоскости кривизны

Обозначим радиусы кривизны в точке касания керна Р) и р/, подпятника р2 и р2', причем

р1 <рГ, р: < р: •

Радиусы кривизны считаются положительными, если центры кривизны лежат внутри тела. Обозначим через ф угол между главными плоскостями кривизны тела, в которых лежат меньшие радиусы р! и р2.

В общем случае площадка контакта представляет собой эллипс с полуосями [3]

1

а =а

пр

/

liii —+—+—+—

N

V г /

Р/ Р2 9 2

0)

/

ь = з

3 1

/

пр

1111 — 4---+-+ —

N

(2)

Ч Р/ Р/ Р2 Р:у

где V - коэффициент Пуассона.

Значения коэффициентов аир приведены в табл. 1, как функции вспомогательного угла у, вычисляемого по формуле [4]

С05\|/ =

4

(

1 1

\2

\

Р 2 Р:

+ 2-

у

cos 2ц

1111 — +—+— + —

Р/ Р) Р-? Pi

(3)

Знак числителя в формуле (3) выбирают так, чтобы cosy был положительным.

Наибольшее напряжение сжатия в центре площадки контакта [2,3]

(ал

п ■ а -о

Наиболее опасная точка расположена на оси Z на некоторой глубине, зависящей от отношения Ъ/а полуосей эллиптической площадки контакта.

Наибольшее касательное напряжение в опасной точке почти не зависит от указанного отношения размеров площадки, и можно принять, что

т„„а- ™0,32от(5)

Из приведённых формул видно, что контактные напряжения зависят от упругих свойств материалов и не являются линейной функцией нагрузки, с ростом сил нарастая всё медленнее. Это объясняется тем, что с увеличением нагрузки увеличиваются и размеры площадки контакта.

Учитывая «мягкость» напряжённого состояния в опасных точках (все три главных напряжения сжимающие), проверку прочности при контактных напряжениях следует проводить по третьей или четвёртой теориям прочности [4].

=<Н; (б)

а эквШ = / -'3

а

эм'Н'

(а, - а )2 + (а, - а})2 + (а ^ - а,)' < [а ]

(7)

Внося в (6 и 7) значения главных напряжений в опасной точке, выраженные через наибольшее напряжение СТтах в центре площадки

контакта, условия прочности можно записать в следующем виде:

кв=т<*тах*1р]> (8)

откуда

1

т

(9)

Здесь {ст ] = [а ]/т - допускаемое значение

для наибольшего напряжения в месте контакта.

Значение коэффициента ш в зависимости от отношений полуосей эллиптической площадки контакта и выбранной теории прочности приведены в табл. 2.

Значения коэффициентов а и |3

1аблица 1

а 3 V|/° а 3

20 3,778 0,408 60 1,486 0,717

25 65 1,378 0,759

30 2,731 0,493 70 1,284 0,802

35 2,397 0,530 75 1,202 0,846

40 2,136 0,567 80 1,128 0,893 "

45 1,926 0,604 85 1,061 0,944

50 1,754 0,641 90 1,000 1,000

55 1,611 0.678 J

Таблица 2

Значения коэффициентов тгр^ (Ь/а) в зависимости от теории прочности

ъ а т _ аэквШ ^тах т _ аэкв1У ^тах

1 (круг) 0,620 0,620

0,75 0,625 0,617

0,50 0,649 0,611

0,25 0,646 0,587

0 (полоса) 0,600 0,557

Рекомендуется следующий порядок расчёта элементов керновых опор на контактную прочность.

1. Определить главные радиусы кривизны контактирующих тел (рк р/, р2, р?') и угол ф между главными плоскостями кривизны одного и другого тела.

2. Вычислить по формулам (1 и 2) с учётом формулы (3) размеры полуосей эллиптической площадки контакта.

3. Определить по формуле (4) наибольшее

напряжение сжатия Стах в центре площадки контакта.

4. Произвести расчёт на прочность по формуле (9), значение коэффициента ш взять из табл. 2, при этом рекомендуется исходить из четвёртой теории прочности.

При различных материалах сопрягаемых деталей необходимо рассчитывать приведённые модуль упругости и коэффициент Пуассона:

_Е1'Е2

(10)

2ч, -V,

V = —-——

"Р

(11)

Расчёт контактных напряжений в керновых

опорах

На практике могут встретиться два случая соприкосновения керна с подпятником при горизонтальном расположении оси:

а) когда керн лежит внутри сферы подпятника, площадь соприкосновения - круг;

б) когда керн лежит на конусе подпятника, площадь соприкосновения - эллипс.

Проведем расчёт контактных напряжений в обоих положениях керна в опоре при горизонтальном расположении оси (рис. 2).

Рис. 2. Схема к расчёту оптимального зазора

в опоре

Обозначим через х дугу закругления сферической части подпятника, а через у - дугу закругления сферической части керна.

Из рис. 2 видно, что керн на конусе подпятника может находиться только тогда, когда х - у > 50, и в этом случае площадь соприкосновения будет эллипс.

Выразим величины х и у через Гп , Гк и углы

конусов подпятника и керна. Из треугольника ОаЬ

. Р

У = ГК-ГК-81П— = ГК-

Из треугольника ОАВ

. (3

Х = ГП-ГП-81П— = ГП'

/

I - Яп

(3 2

г

1-

\

. (3

БШ — 2

\

/

Таким образом, случай касания керна с конусом подпятника возможен тогда, когда

И

1 - Л'//?

\

1

~ У

(12)

Если учесть, что обычно (3 = 90° [8], то получим простое соотношение

5 0>0,293(гп-гк). (13)

Следовательно, при 80 > 0,293 • (гп - гк) соприкосновение керна с

подпятником осуществляется по эллипсу; 8р < 0,293 • (гп - гк) соприкосновение керна с

подпятником осуществляется по кругу.

Рассмотрим расчёт опоры на прочность в статических условиях её работы.

Вес р подвижной части будет направлен перпендикулярно к оси. Центр тяжести подвижной системы прибора от левой опоры на расстоянии четверти длины I оси (рис. 3. а).

При действии силы тяжести подвижной системы <3 в точках соприкосновения керна с подпятником возникают реакции Т^ и N2, которые и являются силами, действующими в этих точках соприкосновения (рис. 3. а). Ось с кернами находится между подпятниками с некоторым осевым

зазором бр.

Вследствие наличия осевого зазора керн по отношению к подпятнику займёт положение, показанное на рис. 3. б, т. е. ось керна при его горизонтальном положении будет находиться ниже центральной линии подпятников, и соприкосновение керна с подпятником будет происходить не в точке 0, а в точке В.

Рис. 3. К расчёту опоры на кернах: а - схема сил реакций, действующих на ось;

б - схема к расчёту угла а

В точке D возникает реакция Nb которую

ff

разложим на составляющие К] и К, (т. к.

левая опора наиболее нагруженная, то силу реакции будем определять этой опоры).

Величину составляющей N1 найдём по известному весу и положению центра тяжести

системы, то есть величинам ар и Ьр (рис. 3. а)

N, =ß

ар + Ьр

//

N, =Q

а

ар + ЬР

Зная N1 , находим силу реакции N1

(14)

Таким образом, если известны отношение

гл / гк = К , радиус керна Гк и осевой зазор 5П,

то можно, пользуясь формулой (18), найти эта, а зная его, найти силу реакции N1, действующей на площадке соприкосновения.

Значение величины К берётся в пределах от 3 до 10 [2].

Из формулы (18) видно, что при увеличении К будет уменьшаться Бта, а сила реакции N1 (см. формулу 15) будет увеличиваться, что может вызвать разрушение опоры. При малых величинах К наблюдается возрастание момента трения в приборе, что объясняется увеличением пятна контакта.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

sin а

(15)

sina определим из треугольника ОпВОк (рис. 3. б)

sin а = — =

го гп гк

(16)

где 8 - смещение оси керна по отношению к оси подпятника; гп - гк - разность радиусов керна и

подпятника. Но

{ОлОк)2= (ОлВ)2 + {ОкВ)2,

где ОпОк = г0; ОкВ = S;OnB = гп -

/

\

О

\

2

+ г

к

Тогда г0~ - S2 +

гп -

Г

\

О

+ Ъ

\

/

или

(17)

Y

Обозначим К, тогда

к

го=гп -гк=К-гк-гк=гк(К~1)-Подставляя значения Б и Г0 в (16), получим

о

2

/

\

2г0 -

о

Sind -

\

2

/

гк(К-1)

После некоторых преобразований окончательно получим

sin а =

1 -

о

1 -

2

гк(К-1)

(18)

1. Козлов, II. М. Применение полимерных материалов в конструкциях, работающих под нагрузкой / П. М. Козлов. - М.: Химия, 1966. - 274 с.

2. Джонсон, К. Механика контактного взаимодействия / К. Джонсон. - М.: Мир, 1989. - 509 с.

3. Хемрок, Б. Упрощённый расчёт напряжений и деформаций / Хемрок, Брюи // Проблемы трения. - 1983. - Т. 105.-№2.-С. 11-14.

4. Пономарев, С. Д. Основы современных методов расчётов на прочность в машиностроении / С. Д. Пономарев, В. Л. Бидерман. - М.: Машгиз, 1952. -317 с.

5. Пятин, Ю. М. Проектирование элементов измерительных приборов / Ю. М. Пятин. - М.: Высшая школа, 1977.-303 с.

Лазарев Евгений Ксенофонтович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник кафедры «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета. Область научных интересов -устойчивость электроизмерительных приборов и систем к внешним механическим воздействиям.

Беликов Геннадий Викторович, доцент кафедры «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета. Область научных интересов -динамика и прочность механических систем.