Расчет граничной частоты спектра полиномиальных сплайнов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетневскце чтения

Определение минимального слова. Слово V будем называть минимальным в С относительно введенного порядка, если для любого другого слова удовлетворяющего условию да — будет выполняться V < и.'.

Пусть V = д 1 д 7 — Йг - слово в алфавите порождающих А'. Определим отображение / следующего вида:

/М = = а2 „.' а£ = (А- ¡2.....(1)

где = (¿1, ,,,1-п,") - некоторая подстановка. Процедура (1) дает возможность решить проблему равенства слов в С. На ее основе мы можем перечислить элементы С в формате минимальных слов. Вычислив количество слов на каждой длине, можно будет получить функцию роста группы, а максимально возможная длина минимальных слов будет являться диаметром графа Кэли группы.

Обозначим через Кх (С) множество всех минимальных слов группы С. не превосходящих по длине 5. Множество - элементы записанные в

виде правой части (1), т.е. в виде подстановок.

Пусть я о Е А/ - минимальное число, для которого выполняется К£а (С) — КЕп+1 (С). В этом случае я в будет являться диаметром графа Кэли группы С.

Опишем алгоритм, вычисляющий КЕ:

1. * = о, *о = И = м Т = %

2. *=« + 1. *г=*г_1 Г = хТИуТ, Т = 0.1=1

3. Для VI ё V V Если V ё то

I < \1/\, гпо 1 = 1 + 1,переход в пункт 3; I = И. то переход в пункт 5. то переход в 2:

то переход в пртмн д,

6. Диаметр С равен я, К/..С) - множество всех минимальных слов группы.

Завершение работы алгоритма.

4. Если

5. Если

ГГ = 0,1 1т = 0,,

Библиографические ссылки

1. Akers S. B., Krishnamurthy B. A group theoretic model for symmetric interconnection networks // Proc. of the Intern. Conf. on Parallel Processing, 1986. P. 216-223.

A. A. Kuznetsov, A. S. Kuznetsova Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

MODELLING OF TOPOLOGY OF A MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEM BASED ON THE GROUP THEORY

An algorithm to model topology of a multiprocessor computing system based on construction of the permutation group in format of minimal words is presented.

© Кузнецов А.А., Кузнецова А.С., 2012

УДК 621.396.2

А. С. Просочкин

Филиал «Восход» Московского авиационного института (Национального исследовательского университета), Казахстан, Байконур

РАСЧЕТ ГРАНИЧНОЙ ЧАСТОТЫ СПЕКТРА ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СПЛАЙНОВ

Рассматривается задача определения граничной частоты спектра сплайнов, заданных в виде взвешенной суммы базисных функций, весовые коэффициенты которых вычисляются как взвешенная сумма произведений отсчетов исходного сигнала на соответствующие значения базисной функции. Приведен вывод формулы для расчета граничной частоты амплитудного спектра полиномиального сплайна произвольной степени.

В работе [1] показано, что восстановление сигнала, заданного дискретными отсчетами f = f (ti) на равномерной сетке времени 1, (i = 0, 1, ..., N; At,- = ti+i - ti = const), с помощью полиномиальных сплайнов произвольной степени m, представленных через базисные 5-сплайны, коэффициенты которых определяются в виде взвешенной суммы произведений отсчетов исходного сигнала на соответствующие значения 5-сплайнов, эквивалентно его низкочастотной фильтрации.

Спектр соответствующего сплайна описывается выражением

Ф

Sm (ю) = Ф(ю) •-•

d

в ('-1)

в0 + X Bd •k • cos (ю-d • k )

2 k=1

B d •l-q

-é + X Bn-cos(w-n) 2

(1)

где Ф(ю) - спектр исходного сигнала ft); l - число узлов 5-сплайна на половине его интервала носителя;

X

Прикладная математика

d = 1, 2, 3... - число периодов At дискретизации, об-

d

разующих участок B-сплайна; q = — +1, если d - чет-

ное, и q =

d+1

если d - нечетное число.

FSm (w) = F(w) • 4 •

B0 + X Bk •cos (w^ k)

(l-1)

k=1

B0 + X Bn-cos (w-n )

2 n=1

Если w = 0, то cos (О • k) = 1 для любых целых k. следовательно

é B

(l-1)

FSm (0) = F (0) • 4 •

(M)

f + X Bk 2 k=1

Можно показать [2], что сумма значений базисного В-сплайна, соответствующих отсчетам исходного сигнала на его интервале носителе равна

d 4-q

X Bn = d . (3)

п=-(d^-q)

Следовательно при d = 1 справедливо тождество

R С-1) 1

B0+XBk=i

(4)

k=1

а выражение (2) сводится к равенству FSm (0) = F(0). Если w = p, то из формулы (1) имеем следующее:

FSm (p) = F (p) • 4 •

B0 + X Bk • cos (p-k)

2 k=1

(l-1)

B0 + X B„-cos(л-n)

2 n=1

Учитывая, что cos (л- k ) = (-1)k для любых целых k, получим

(l-1)

FSm (p) = F (p) • 4 •

' R (l-1)

B0+x Bk -(-1)k 2 k=1

где A(m) > 0 - положительное число, значение которого зависит от m.

Рассмотрим, как изменится спектр сплайна при d = 2. В этом случае формула (1) принимает вид

Рассмотрим особенности спектра (1) сплайна при d = 1. С учетом формулы (1) получим

FSm (w) = F (w) • 2 •

B0 + X B2k • cos (w 2 • k)

(l-1)

k=1

B (2l- q)

-0 + X Bn-cos (wn)

2 n=1

(5)

(2)

Очевидно, что если ю = 0, то выражение (5) сводится к равенству FSm (0) = F(0).

Если ю = л, то с учетом значений cos (2 - л - k) = 1, cos (л - k) = (-1)k и тождества (4) получим

(2-l-q )

FSm (p) = F (P) •

B0 + x Bn • (-D n

2 n=1

Можно показать, что выражение в квадратных скобках больше нуля для сплайнов любой степени, следовательно

FSm (р) = Г (р) • А(т),

Выделим в квадратных скобках формулы (6) слагаемые с четными и нечетными индексами n:

- - " B (i-1) (i-q+1)

Fsm (л) = F(p) - + X B 2 -n - X B (2 -n-1)

_ 2 n=1 n=1

Можно показать, что с учетом выражения (3) выражение в квадратных скобках принимает значение

равное нулю, следовательно FSm (л) = 0 .

Изменение величины d при At = const приводит к изменению длительности интервала носителя B-сплайнов и в соответствии со свойством преобразования Фурье - к изменению ширины спектра в противоположную сторону.

Таким образом, при произвольном значении

d > 2 получим формулу югр = ~~~ для вычисления

граничной частоты, на которой спектр сплайна Sm (t) принимает значение, равное нулю, для сплайна любой степени m.

Библиографический список

1. Просочкин А. С. Исследование спектра полиномиальных сплайнов // Цифровая обработка сигналов. 2008. № 4.

2. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М. : Наука, 1980.

A. S. Prosochkin

The brunch of Moscow Aircraft Institute (National Research University), Kazakhstan, Baikonur BORDER FREQUENCY CALCULATION OF POLYNOMINAL SPLINES SPECTRUM

Border frequency definition problem of splines given in the form of the weighed sum of basis functions is examined, weight coefficients being calculated as weighed products' sum of the initial signal counts by corresponding basis function meanings. The formula deduction for border frequency calculation of the amplitude spectrum of polynomial spline in arbitrary paper is also proposed.

© npocoHKHH A. C., 2012