Расчет гофрированных стержней методом осреднения Текст научной статьи по специальности «Физика»

увеличить прочность бетонов на 30...33 %. Объясняется это высокой степенью уплотнения вакуумированием, что видно из результатов определения плотности. Обращает внимание тот факт, что прочность вакуумбетона в суточном возрасте в три раза больше, чем у виброуплотенного бетона, что предоставляет возможность значительно сократить сроки выдержки монолитных конструкций в опалубке и этим самым снизить стоимость строительства.

Вывод. Предложено новое вакуумное оборудование для вакуумирования бетонных смесей при возведении монолитных конструкций в переставной опалубке. Использование на вакуумтрубках объемного фильтра из пористого материала позволило сократить продолжительность вакуумирования в несколько раз, упростить уход за вакуумным оборудованием. Повышение прочности вакуумбетона составило 30 % и более в сравнении с виброуплотненным бетоном.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Вакуумирование бетона в монолитных железобетонных конструкциях : технические указания. - М. :Стройиздат, 1941. - 34 с.

2. Гершберг О. А. Вакуумирование бетона в монолитных конструкциях / О. А. Гершберг. - М. : Стройиздат, 1952. - 60 с.

3. Гершберг О. А. Вакуумбетон / О. А. Гершберг, А. Е. Десов, А. Е. Итин. -М. : Стройиздат, 1940. - 116 с.

4. Гордон С. С. К вопросу вакуумирования бетона каркасных железобетонных сооружений / С. С. Гордон // Строительная промышленность. - 1949. - № 8. - С. 13 - 18.

5. Гордон С. С. Приборы для внутреннего вакуумирования бетона / С. С. Гордон // Механизация строительства. - 1949. - № 10. - С. 16 - 19.

УДК 539.3

РАСЧЕТ ГОФРИРОВАННЫХ СТЕРЖНЕЙ МЕТОДОМ ОСРЕДНЕНИЯ

А. А. Дисковский, к. т. н., доц.

Ключевые слова: гофрированный стержень, изгиб, уравнения в проекциях, эффективные коэффициенты упругости

Постановка проблемы и её связь с научными и практическими задачами. Гофрированные стержни находят широкое применение в качестве элементов сетчатой арматуры в железобетонных изделиях. К модели гофрированного стержня приходят также при исследовании упругих свойств тканых материалов [1], использующихся в армированных стеклопластиках. Традиционное исследование НДС гофрированного стержня требует решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. При большом числе волн гофра численное решение этих уравнений [2] вызывает значительные трудности. В этом случае эффективным оказывается применение асимптотического метода осреднения (гомогенизации) [3].

Анализ последних исследований и публикаций. Расчет гофрированных стержней как элементов тканых материалов или сеток проводится главным образом методом конечных элементов [4 - 6]. Однако такой расчет затрудняет анализ параметров при проектировании. Энергетический подход к расчету применялся в работе [7]. Метод гомогенизации развивался в работах [1; 8].

Цель исследований. Нахождение точных решений задач изгиба гофрированного стержня. На основе анализа этих решений построение упрощенной схемы расчета НДС с помощью уравнений в проекциях усилий, момента и перемещений на ось, равноотстоящую от вершин гофра и метода гомогенизации. Определение эффективных коэффициентов упругости для растяжения и изгиба.

Основной материал. Рассмотрим изгиб гофрированного стержня (рис. 1). Такая задача статически определима. Запишем уравнение равновесия криволинейного стержня [9]:

I ™+е = ; ые - N=Р,1 йм - е=о, 0)

Ай а Я г А й а Я п А й а

где N Q, М - соответственно тангенциальное усилие, поперечная сила, изгибающий момент;

Р1,Р„ - распределенная внешняя нагрузка; А - квадратичная форма; Я - радиус кривизны:

A = .

1 +

( dz ^

v d a j

1 R

1 d2z A3 d a2

z = z(a) - уравнение оси стержня.

(2)

L a

Рис. 1. Гофрированный стержень z = H sin

2nna L '

n = 5

Действуя по классической схеме, исключаем из системы (1) тангенциальную и поперечную силы, в результате получаем разрешающее уравнение:

Я й ( 1 йМ|| 1 dM л 1 й(ЯРп)

+--= -Р +- у п'

1 d

(

Ad a

Ad a

Ad a

//

AR da

A d a

Уравнение (3) с помощью замены переменной

d— = - Ada R

приводится к уравнению с постоянными коэффициентами:

1— + G = PtR - d-(Rpn), d — d —

(3)

(4)

(5)

1 dM 1dM

= -Q.

где — - угол наклона касательной t к оси a, cos—=A G=

R d— Ad a Например, для нагрузки типа собственного веса:

Pn = -Pcos— Pt = -Psin—, P=const решение уравнения (5) будет иметь вид:

—

G = C1 cos —+C2 sin—+Pcos —jRd — ,

0

где Сi, С2 - произвольные постоянные интегрирования.

Для определенности (без потери общности) рассмотрим синусоидальный гофр (рис. 1):

ТТ . 2nna

z = H sin-,

L

(6)

(7)

(8)

где Н, п - высота и количество волн гофра. Тогда, переходя к безразмерной координате х = 2па/Ь, 0 < х < 2п, решение (8) можно привести к виду:

(9)

G = (l+p2 cosnx) 21 C1 + C2 pcosnx-n -1Pyl 1+p2E(nx,к)),

H i L d LP i P Ы Л -

где p=—,l=-,P =-,к = , -,E(nx,к) - эллиптическии интеграл.

l 2nn 2n ¡1+p2 Рассмотрим консольный стержень с закрепленным (x = 0) и свободным (x = 2п) краями. При этом должны выполняться следующие граничные условия:

x = 0: N = -Fsinq>0. G = Fcosq>0; M = FL ncosq>0;

x = 2n: N=0; G=0; M=0, здесь F - краевое (х = 0) усилие; L = L/2n; cpo - начальный угол касательной, к оси стержня.

(10)

z

0

Определяя постоянные интегрирования C1,C2 из граничных условий (10), находим

M=LP J1+p2 (-11 - - k2 - —k4 -... I (x2 -nx - In1) + V 2 ^ 4 64 1

-— (| k2 + — k4 +... I sin2 nx+—| — k4 +... I sin22 nx +...)). 8 \ 4 I 2132 1

(11)

N=P^y/i

+ p p cos nx

(1+p p

cos2 nxb((1 -1 k2 - — k4 -. ..)(2 n- x) -' 4 64

n ((k2 + — k4 + ...)sin2nx - (—k4 + ...)sin4nx + ...)).

(12)

8

4

32

N M -

На рисунках 2 и 3 приведены эпюры, соответственно, -= и -=-= при L = 1; p = 0.1;n = 5 .

Рис. 2. N = N; L = 1; p = 0.1;n = 5 P

Рис. 3. M; L = 1;p = 0.1;n = 5 LP

(13)

Наличие на эпюре N (рис. 2) участков со сжимающими продольными усилиями указывает на интересный факт, что при изгибе гофрированной балки теоретически возможна локальная потеря устойчивости.

Анализируя выражения для усилий и момента при шарнирном опирании и консольном закреплении можно, заключить, что для обоих случаев закрепления выражения для усилий и момента представляются в виде:

N = sinф{No(х)+п(пх));е = ео,?ф(@0(х)+(пх)) М = М0 (х)+п ~2М1 (п х),

здесь N0 (х)е0 (х),М0 (х) зависят от нагрузки, формы гофра и граничных условий; N1 {пх)е(пх),М1 (пх) - периодические функции с периодом 2 п/п, не зависящие от граничных условий. В теории гомогенизации гетерогенных конструкций [3] составляющие N0,Q0,M0 соответствуют осредненному решению, а составляющие N1,Q1,M1 - задачи на ячейке.

Введем в рассмотрение проекции внутренних усилий N, е на оси х,х (рис. 4):

Nx

Qz

x

Рис. 4. Проекции внутренних усилий на оси x, z

Выразим эти проекции через тангенциальное усилие и поперечную силу стержня:

Nx=Ncosp+Q sinp; Qz =Q cos p-Nsinp. (14)

Подставляя в (14) выражения (11), (12) получаем, что для консольной балки при нагрузке типа собственного веса (6) проекции внутренних усилий будут:

Nx = 0; Q2 = P^ 1 + p2 ((1 -1 k2--3- k4 - ...)(2 n - x) -

4

64

-11( 8'

n ' —((k2 +1 k4 + ...)sin2 nx - (^ k4 + ...)sin4 nx +...)).

J_

4 32

(15)

z

Для сравнительного анализа приведем окончательные выражения проекций внутренних усилий и изгибающего момента для шарнирно закрепленного стержня при нагрузке Pt = const; Pn = const:

Nx = -(n- x)Pt -n—psinnxPn; Qz = (n - x)Pn -n—psinnxPt;

fP í \ ч ^ (16)

2 -2 2 • 2 ' 1 - / 4 -

M=L

p^ (2nx - x1 + n 2 p2 sin2 nx)-n lPt (n-x) p sin nx

Нетрудно видеть, что во всех рассмотренных случаях внешней нагрузки и граничных условий выражения для проекций внутренних усилий и изгибающий момент можно представить в виде:

Мх=Мхо (х)+п1Нх1(пх\ а = ао (х)+п-1ву1(пх);

M = M0(x)+n Mj(nx)+n M2(nx),

(17)

t Q\x I + n lM^nxi + n im 2\ПХ),

где Nxl,Q2l,M1,M2 - периодические функции с периодом, равным длине волны гофра l = 2 п / n. Такие свойства проекций внутренних усилий и изгибающего момента гофрированной балки позволяют при их определении использовать метод гомогенизации [3]. Для этого перепроектируем уравнения равновесия (1) на оси OX,OZ :

^=ALPx; d^=ALPz , (18)

dx dx

где Px = Ptcosp+Pnsinp;Pz = Pncosp-Pt sinp представляют собой проекции внешней нагрузки на оси OX, OZ .

Введем в рассмотрение момент внутренних усилий балки относительно оси OY:

Mx = M - zNx . (19)

Из систем уравнений равновесия (1), получаем уравнение для его определения:

d 2М - d

x

_ 1 (рНх ) = Т}р2 . (20)

dx dx

Полученные уравнения равновесия в проекциях внутренних усилий и изгибающего момента относительно осей 0Х,02 (18), (20) существенно проще (не содержат переменные коэффициенты) классических уравнений равновесия (1). С физической точки зрения уравнения (16), (19) представляют собой уравнения равновесия гладкого стержня, на который действует некоторая «эквиваллентная» нагрузка, обеспечивающая равенство внутренних усилий и изгибающего момента с гофрированным.

Важным преимуществом расчета гофрированных конструкций в проекциях усилий и момента является возможность использованная для решения уравнений в проекциях хорошо разработанного метода гомогенизации гетерогенных конструкций [3]. Для этого ведем переменную В = пх , которую будем считать независимой от х. Оператор дифференцирования при этом принимает вид:

d д д

-=--+ п- . (21)

dx дх дВ

Проекции усилий и момента представим в виде следующих асимптотических разложений:

ад ад ад

N = Iпкыхк(х,в);а = Iп кагк(х,в);Мх = Iпкыхк(х,д). (22)

к=0 к=0 к=0

Подставляя выражения (21), (22) в уравнения равновесия (18), (20) и приравнивая слагаемые с одинаковыми степенями п , получаем после осреднения:

= Тт(ЛРх ); = 1т(АР2), (23)

dx dx

= 1(АРх _ т(АРх)); Щ^Т =1 (АР, _ ш{АР,)) (24)

дд дВ

^ = 1т(АРг); ^ = (25)

dx2 дд2 дВ

д 2М

х2

д 2М

х1

+

д

д% д х д%

—вК!)+I2(АР, -т(АРг)).

(26)

где т(...) =-¡02" (-•)й % - оператор осреднения.

2п

Отметим, что определение проекций усилий и момента в виде асимптотических разложений (22) с помощью системы рекуррентных уравнений (23) - (26) оказывается проще решения точных уравнений (1). При этом для рассмотренных выше задач учет уже первых поправок к усилиям Nx1,Qz1, а для момента первой и второй поправки Мх1,Мх2 дает точное решение.

Рассмотрим теперь деформацию гофрированной балки. Тангенциальную £ и изгибную X деформации можно определить по известным формулам закона Гука [9]:

_ ЫЪ. ( 1 й ^ и! ^

А йх

1 йи

Айх Я

ЕР

А йх Я

МЬ2

Е1

(27)

где и, W - перемещения в направлении осей п,t.

Непосредственное решение системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (27) вызывает трудности. Задача нахождения перемещений упрощается, если в качестве искомых выбрать проекции перемещений на оси ОХ, 02 :

их = и 008 (р—WSlnр =

и—fЗw

wz = W 008(+и 81П р =

w+ви

(28)

где в =

й, й х

Относительно проекций перемещений (28) закон Гука (27) запишется в виде:

1 ,йи„

N1 1 й

—(—х+в-~) = ,

А2 йх йх ЕР Айх

Система уравнений (29) легко интегрируется:

1 ,dw

-т(—-—)

А2 4 йх

йх

МЬ2

' Е1

(29)

Ь

I2

w.

Ndx--.в. АМйхйх—С1 г+С2;

ЕР Е1

I2 I

=~Е1.. АМй хй х+^j:;.вNd х+С1 х + С3,

(30)

где С1 - С3 произвольные постоянные, определяемые из граничных условий. Для того чтобы «замкнуть» систему уравнений, описывающих НДС гофрированной балки в проекциях усилий и перемещений, «перепроектируем» физические соотношения (29). Для этого подставим выражения (14), (19) в уравнения (29):

А-< йх-)=I; N-ее,)

А йх йх ЕР

1 й

А йх

(

1 dw

йи„

\

-т(—^ -в—) А йх й х

=—МУ+,

Е1 у

(31)

В силу линейности соотношений (31) перемещения ихможно разделить на перемещения, вызываемые продольным усилием Nx (ир ^р^) и моментом Му (иих^и2):

их = ирх + = Wp + w"z

при этом:

1 йир odwpzл LN 1 й

—(—-+в—-)=—-;--

А йх йх ЕР Айх

(

1 (dwp йир

А йх й х

^ I2

Е1

-К;

—(

1 dw

й х

+в~

йх

ь ве

(

ЕР

1 й

А йх

1 йи

и ^ Ь2М

А2 йх

-в* )

йх

Е1

(32)

(33)

(34)

Проведем асимптотический анализ уравнений (33), (34). Для этого оценим порядок перемещений ир, иих по отношению соответственно к перемещениям . С этой целью

были рассмотрены две модельные задачи. Первая - задача на продольную деформацию: на консольно закрепленный гофрированный стержень действует краевая продольная сила Р . Вторая - на «чистый» изгиб: к свободному краю приложен сосредоточенный момент М0. На основе анализа точных решений этих модельных задач перемещения, входящие в соотношения (33), (34), можно представить в виде следующих асимптотических разложений:

ир = ирх0(х,В) + п'ирх1(х,В) + ...; wp2 = п^>г1(х,4) + п ~2^2(х,4) +...; (35) ии = п-1иих1(х,В) + п -2К2(х,В) + ...; = *Ч0(х,£) + п -^(х^) + ...,

где и?х0 ~и^~ w>г~ ; и'г1 ~и"х2~ ~ ^ ~ М; и^^ -

ЕР Е1

периодические по функции с периодом 1.

Подставляя асимптотические разложения усилия, момента (17) и перемещений (35) в

физические соотношения (33), (34) и приравнивая слагаемые с одинаковыми степенями п с

учетом выражения для дифференциального оператора (21), получаем:

-1 д ирг* / Л-1 д 2м/и

х0 • " 77 т(т А1

Nx0 = E У -Ц°; M о = EI (mA)

дх дх

дирХ1 = т^К!= А - тАдЧу ^

тК1 йх' д%2 тА дх2

и dwX0

хХ1 = -пх-—,

д х

где *!(£) = А^р + в | хА^.

Уравнения (36) получены при предположении, что соотношения геометрических

А ХЕ Р 2

характеристик поперечного сечения стержня и гофра таковы что: —— п;—~ п .

Коэффициенты, входящие в уравнения (36),

E =(EF I; Ц =(EI )e

тК1 еч' тА

представляют собой т. н. эффективные модули упругости - упругие характеристики некоторого прямого эквивалентного стержня.

Выводы и перспективы дальнейших исследований. Предложенная схема расчета НДС гофрированного стержня относительно проекций усилий и перемещений относительно оси, равноотстоящей от вершин гофра, оказалась проще традиционной. Преимуществом такой схемы является и возможность использования хорошо разработанного метода гомогенизации. Важно также, что такой подход позволяет упростить определения НДС более сложных гофрированных конструкций - пластин и оболочек. То, что при этом исследование НДС проводится в аналитическом виде, позволяет успешно ставить и решать задачи оптимального проектирования таких конструкций.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Haussy B., Jung C., Ganghofer J. Homogenisation of the undulations of a single yarn // International Journal of Mechanical Sciences. - № 46 (2004). - Р. 961 - 979.

2. Grigorenko Ya. M., Bespalova E. I., Urusova G. P. Dynamical stability of shells of revolution with corrugated generatrix // Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine. -№ 10 (2011). - Р. 62 - 66.

3. Большаков В. И., Андрианов И. В., Данишевский В. В. Асимптотические методы расчета композитных материалов с учетом внутренней структуры. - Д. : Пороги, 2008. - 196 с.

4. Cherouat A., Billoet JL. Mechanical and numerical modelling of composite manufacturing processes deep-drawing and laying-up of thin pre-impregnated woven fabrics // Journal of Materials 54

Processing Technology. - № 118 (2001). - Р. 460 - 471.

5. Magno M., Lutz R. Discrete buckling model for corrugated beam // European Journal of Mechanics A/Solids. - № 21 (2002). - Р. 669 - 682.

6. Boisse P., Daniel JL., Gasser A., Hivet G., Soulat D. Prise en compte du procede de fabrication dans la conception des structures composites minces // Mecanique & Industries. -№ 1 (2001). - Р. 303 - 311.

7. Sinoimeri A. Contribution a Г etude du comportement mecanique des etoffes par methdes energetiques: cas de l'armure toile. These de doctorat. Universite de Haute Alsace: Muhouse, France, 1993.

8. Sanchez Hubert J., Sanchez Palencia E. Statics of curved rods on account of torsion and flexion //European journal of Mechanics F/Solids. - № 18 (1999). - Р. 365 - 390.

9. Писаренко Г. С. Сопротивление материалов. - К. : Вища школа, 1986. - 768 с.