Расчет глубины промерзания почвы в модели прогноза перезимовки озимых культур в условиях Алтайского края Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 333.93

Л.А. Хворова, О.А. Иванова, М.Н. Стрижов Расчет глубины промерзания почвы в модели прогноза перезимовки озимых культур в условиях Алтайского края

Цель данного исследования - диагноз состояния озимых культур в течение холодного периода года и прогноз степени их повреждения к моменту возобновления весенней вегетации с использованием методов и моделей расчета температурного профиля и глубины промерзания почвы.

При выборе соответствующей физико-математической модели к ней выдвигались следующие требования, которые одновременно могут и являться критериями ее практической реализуемости и применимости:

1) обеспечивать достаточную точность, а следовательно, учитывать с возможной полнотой физические особенности процесса;

2) быть достаточно гибкой и оперативной с тем, чтобы проводить массовые расчеты с учетом реально встречающихся в природе ситуаций;

3) опираться на материалы стандартных метеонаблюдений.

Комплекс физико-математических моделей формирования гидротермического режима почвы в холодное полугодие представлен в монографиях Е.М. Гусева, Э.Г. Палагина [1, 2] и др.

Холодный сезон характерен тем, что в отдельные его периоды основными являются разные стороны гидротермических процессов в почвенном профиле, поэтому для разных этапов рассматриваемого сезона предлагается [1, 2] строить свою модель, отражающую основную физическую сущность процесса именно для этого этапа.

Каждый из отмеченных характерных периодов формирования гидротермического режима почвы определяет содержание соответствующей частной модели, а совокупность их представляет законченный комплекс моделей формирования гидротермического режима в осенний, зимний и весенний периоды.

Для полевых агроэкосистем выделяют три характерных слоя: снежный покров, мерзлая зона почвы, ее талая зона. Далее все характеристики, используемые в уравнениях и связанные с соответствующим слоем, будут иметь индексы: 1 - для снежного покрова; 2 - для мерзлой почвы; 3 - для талой. Для каждой из указанных зон можно записать в соответствующей форме уравнения тепло-, влагопереноса, которые являются основой описания гидрологических и гидрофизических процессов в почве. Теплогидрофизические параметры талой и мерзлой почвы зависят от типа почвы, ее плотности, влажности и льдистости.

Для решения задачи определения глубины промерзания почвы в качестве экспериментальных вариантов расчета промерзания почвы взяты приближенные методы, в значительной мере отражающие физические закономерности процесса и в то же время использующие не очень сложный математический аппарат. В их основу положено известное уравнение для скорости продвижения фронта промерзания ^ [1]:

Ь Чм -Чт ,

ш

с т I

Г= Ьрш (ж - ин)+~2^, (1)

где дт - кондуктивный поток тепла к границе промерзания со стороны талой зоны; чм - кондуктив-ный отток тепла от границы промерзания в талую зону; Ь - теплота фазового перехода вода-лед; рШ - плотность воды; Ш - общая влажность почвы; ин - количество незамерзающей воды в единице объема почвы; Л3 - эффективная теплоемкость мерзлой почвы с учетом фазовых переходов воды при отрицательных температурах.

В данном варианте расчета динамики промерзания почвы ограничимся случаем, когда влиянием миграции воды со стороны талой зоны на тепловой режим почвы можно пренебречь.

Рассмотрим приходную и расходную составляющие теплового баланса в уравнении (1). Наиболее простой и в то же время достаточно обоснованный подход к определению оттока тепла в мерзлую зону основан на принципе квазистационарности поля температур в мерзлом слое [1]. В силу этого принципа профиль температур в мерзлой зоне, а также в вышерасположенном слое снега принимается линейным, зависящим только от геометрии системы и ее граничных условий (речь здесь идет о температуре, усредненной по некоторому интервалу времени, отфильтровывающему высокочастотную составляющую ее колебаний, связанную, например, с суточным ходом). В этом случае отток тепла в мерзлую зону

*м=~тгн, н А. и

где Н =и - приведенная высота снега, а темпе-

А

ратура поверхности почвы

т =

п н'

Расчет глубины промерзания почвы в модели прогноза перезимовки озимых культур.

Будем считать, что на больших глубинах температура почвы постоянна и равна некоторой среднегодовой температуре T *, измеренной на максимально возможной глубине почвенного профиля, или температуре грунтовых вод при большой (1020 м) глубине их залегания. Отличия же от этой постоянной температуры имеются в некоторой верхней части почвенного профиля, испытывающего влияние динамики поверхностных термических процессов. Именно эту часть почвенного профиля будем для краткости называть глубиной проникания и обозначать а. Идея введения характерной, меняющейся со временем глубины, ниже которой влияние динамики термических процессов у поверхности еще не распространилось, встречалась и ранее в ряде работ по промерзанию и достаточно себя оправдала. В той части талой зоны, которую захватывает глубина проникания, аппроксимируем профиль температуры параболической зависимостью от г, где г - вертикальная координата:

Т3 = Чг2 + + С . (2)

Коэффициенты А , В и С - функции времени.

С учетом условий на границах и а :

Тз(£) = 0, Тз(о) = Т * и условия непрерывности потока на а

дТ3

dz

= 0

уравнение (2) приводится к виду

(z -tf)2

Т3 = Т - Т

Z = fit

1/2

(3)

где ¡3 есть решение некоторого трансцендентного уравнения, содержащего Тп, Т* и теплофизические параметры почвы. Приближенное решение задачи Стефана также имеет вид (3), причем

1 _ 1 A } 1 Lo^

4 6

2 Я3Т*

1 _ 1A Y _ 1 La.

4 6 ) 6 ITc

где A =

XT *

Л3 - коэффициент теплопроводно-

АТс

сти мерзлой зоны; а3 - температуропроводность талой зоны; Тс - температура поверхности снега.

В первом приближении можно считать, что поверхностный слой начинает охлаждаться и соответственно развивается глубина проникновения с того момента времени, когда температура поверхности почвы становится меньше Т *. В рамках выбранного приближения примем, что температура поверхности с того момента времени, когда она равна Т*, до момента наступления нулевой температуры изменяется линейно, т.е.

Тп “ Т* ^1

где т* - интервал времени между указанными моментами.

Воспользовавшись интегральной формой уравнения теплопроводности [1], получим следующий вариант рекуррентной формулы пошагового расчета глубины промерзания:

s(t ) _ H (t ) qT (tk)At ,

b(tk+1) _ H (tk+1) +

Гг(/ ) I H(t )]2 2^2TC^ |

[h(tk) + H (tk+1)] "-+

Чт (tk )At

L (tk+i)

(5)

(^-ст)2

Соответственно поток тепла со стороны талой зоны к границе промерзания будет равен

где Л3 - коэффициент теплопроводности талой зоны.

Таким образом, зная положение на данный момент времени границы промерзания и глубины

проникания а , фактически знаем поток тепла qT , что дает возможность замкнуть уравнение (1).

Задача расчета динамики глубины проникания а приведена в [1]. При этом за нулевой момент времени принимается момент перехода температуры поверхности через 0 °С.

Приняв H = 0, Тс = ТП = const, придем к задаче Стефана, точное решение которой имеет вид

ицП = а + ЬТП

Ь Цк+1) где ^+1 = Ь +ы .

В общем случае коэффициент Ь определяется выражением

Ь = ЬРшШ - Ьрги~Тп -СоТП.

Однако во многих случаях для описания зависи-

—Т

мости ин п (Тп) можно использовать ее линейную аппроксимацию, т.е. представить

■Я, (6)

где а и Ь - аппроксимационные коэффициенты для определения среднего количества незамерзшей воды в диапазоне температур (0... Тп).

В результате с учетом равенства (6) имеем

Ь = ЬРш (Ш ~ а) ~(2ьРшь + С0)ТГ .

В качестве необходимых для расчета промерзания параметров ин и с2, согласно [1], полагаем

ин = а , с2 = с0 + 2ЬрШЬ , где с0 - аддитивная объемная теплоемкость в отсутствие фазовых переходов.

Теплопроводность снега рассчитывалась по формуле Янсона, связывающей коэффициент теплопроводности снега в кал/(ссмград) с его плотностью А в г/см3: \ = 10_3 (0,05 +1,9^ + бд4).

На данном этапе рассмотрены относительно упрощенные варианты модели (формула (5)) расчета глубины промерзания ^ почвы.

а

1) % = а^12 + Ь , где коэффициенты а и Ь определяются методом наименьших квадратов. Данная модель не учитывает специфику и физический механизм протекающих процессов, условия их взаимодействия и влияние внешних по отношению к рассматриваемой системе факторов. Кроме того, глубина промерзания почвы зависит только от времени t, прошедшего с начала промерзания, поэтому не может быть принята в качестве базовой для решения задач исследования.

2) Модель 4 = Р , где

Р = -

I- А

2 Л3Т *

і _ і А1 _ і Газ

4 6 ) 6Х1ТС

£<* ) _ н ) УТ (*к ,

Ь(ік+1) ~~Н Ук+і) ■;------+

3)

[&к) + н (Гк+і)]2 -

2АТС &

Ут Ук)А1:

Г «к+і)

из литературных источников [1, 2] были взяты типичные по порядку величин следующие значения параметров: Т* = -Тс = 100 С , Л2 = Л3 = 10_3 кал/(см град с), с2 = с3 = 1 кал/(см3град), Ьрш (Ж - ин) = 15 кал/(см3). Ошибка при упрощенном расчете глубины промерзания с использованием равенства (5) составила 7,68%, что вполне приемлемо в гидрологических расчетах. Таким образом, с учетом приведенных результатов можно полагать, что рассматриваемая модель (5) позволяет достаточно хорошо вести расчет глубины промерзания почвы в течение всего зимнего периода (рис.).

хотя и учитывает некоторые метеорологические и почвенные факторы, но имеет те же недостатки, что и первая модель. Ошибки расчетов по данной модели составляют от 16 до 30%.

-Эмпир

- Расчет

С (^+1)

Данную модель можно назвать численной, но таковой она является лишь в отношении изменения искомой величины во времени. В остальном же модель использует аналитическое описание явления.

Для апробации моделей глубины промерзания почвы использовались материалы наблюдений Каменской метеорологической станции. Для расчета

Расчетные и экспериментальные данные глубины промерзания почвы и оттаивания, 1993-1994 гг., Каменский район

В дальнейшем предполагается моделирование промерзания почвы с учетом миграции воды к границе промерзания и использование результатов расчетов для оценки процесса формирования урожая озимых культур.

а

Библиографический список

1. Гусев, Е.М. Формирование режима и ресурсов поч- 2. Палагин, Э.Г. Математическое моделирование аг-

венных вод в зимне-весенний период / Е.М. Гусев. - М., рометеорологических условий перезимовки озимых куль-

1993. тур / Э.Г. Палагин. - Л., 1981.