Расчет элементов конструкций на двухслойном основании с учетом локальной неоднородности слоев Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРОБЛЕМЫ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК

УДК 539.3

А.Н. Чесноков РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ НА ДВУХСЛОЙНОМ ОСНОВАНИИ С УЧЕТОМ ЛОКАЛЬНОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ СЛОЕВ

Предлагается метод расчета конструкций на локально неоднородном многослойном основании с использованием фильтрующих свойств функции Хевисайда. Математическая модель для материала слоев основания строится на основе деформационной теории пластичности. Построен алгоритм численных исследований и приводятся результаты расчета задач о плоской деформации конструкции, опирающейся на двухслойное основание с существенно различными свойствами с учетом жестких локальных включений.

A.N. Chesnokov TWO-LAYER BASIS CONSTRACTION ELEMENTS CALCULATION CONCIDERUNG LOCAL HETEROGENEITY OF LAYERS

The special functions (Heviside's delta function) for construction of mathematical model of calculation of the building construction cooperating with the bases which rigidity is «columnary dissimilar» are offered to use in this work.

Постановка задачи

Рассмотрим упругую бесконечно длинную плиту (ленточный фундамент), опирающуюся на многослойное основание. Допустим, что верхний слой основания подвергается локальному столбчатому усилению под частью конструкции на некоторых участках длины. Второй слой основания опирается на достаточно прочный (мало деформируемый) нижний слой. В основу расчетной схемы положим деформационную теорию пластичности, которая представляет определяющие зависимости в полных функциях.

Математическая модель

Данные допущения приводят к уравнениям для задач изгиба конструкции на неоднородном двухслойном основании. Полагаем, что неоднородность верхнего слоя основания связана с наличием зон закрепленного основания. Построим модель для описания переменной жесткости верхнего слоя основания.

Изменение модуля деформаций основания обусловлено наличием дискретных по длине балки зон укрепленного материала основания. Для учета этого обстоятельства воспользуемся единичной функцией Хевисайда [1]:

0, при х <х0;

[1, при х >х0.

А(х - х0) =

Рис. 1

Тогда модуль деформации основания Е(х), график которого приведен на рис. 1, может быть записан с использованием функции Хевисайда в виде:

Е(х) = Е1 -(1 -00 (х - х1)) + 2Е1 (А0 (х - хг-1 )-А0 (х - х1)) + Еп '(1 - А0 (х - хп-1)) . (2)

г-2

При расчете изгибаемых конструкций, взаимодействующих с локально неоднородным основанием, используем для моделирования работы основания известный метод, предложенный В.З. Власовым [2]. Согласно этому подходу, перемещения точки объема материала основания представляются в виде конечных сумм:

и (х, у, г) = £ и) (х, у) фг (г); 0 = 1,2,3..,т);

¿=1

V(х ^2) = Е^/(х у) ^ /(г); (/ = 1,2,3..., е); (3)

/=1

™(хy,г) = Е^А(x,у)V(г); (а = 1,2,3...,п).

А=1

Здесь и(х,у), У(ху), Щх,у) - искомые функции перемещений; а уг(г), Хё(г), ^к(г) являются аппроксимирующими безразмерными функциями, подлежащими выбору в соответствии с граничными условиями.

Для построения системы уравнений математической модели рассмотрим обобщенные условия равновесия элементарного столбика, выделенного из основания, которые следуют из вариационного принципа Лагранжа, как это предлагается В.З. Власовым [2]. В результате получим следующие уравнения:

|дх±ф1 ^ - 1°!зф’1 +1 ^уГф1 ^ +1Р ф^2 = 0; (* = 1,2,3 к, т);

|'к/.ёг-|а23Л/й2 +1'к/.ёг + |g'к/.ёг = 0; (/ = 1,2,3...,т); (4)

{--31 -/о23^ А ^+1-Т21 ^+|яV^ =0; (а = 1,2,3-кт).

дх ду

Как известно, особенностью механических свойств грунтовых оснований под изгибаемыми конструктивными элементами является нелинейная зависимость напряжений от деформаций. Для описания физической нелинейности основания примем

деформационную теорию пластичности. При этом связь между напряжениями и деформациями имеет вид:

е11 — е0 = у(°11 — °0); е12 = 2У°12 ;

- е° = ^(^22 -а°);

3 = 2уа

Є33 - Є0 = У(°33 -°0 ); Є31 = 2Уа3

23

где а0 - среднее напряжение, а функция у:

= 3 е_

У 2 а,.

(6)

Согласно деформационной теории пластичности, существует единая функция, описывающая связь между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций для всего процесса деформирования. Эта постулируемая связь между указанными эквивалентами напряженного и деформированного состояний называется обобщенной диаграммой деформирования. Вид этой единой кривой выбирается, а ее коэффициенты определяются из экспериментальных данных. В данной работе примем в качестве диаграммы деформирования кубическую параболу, которая широко применяется в

задачах нелинейной механики:

а, = Ее, - те,

(7)

где Е и т - переменные параметры диаграммы деформирования, т =

4 Е3 27 а

Подставляя диаграмму деформирования (7) в физические уравнения, а именно, в (6), а затем в условия равновесия (4), получим нелинейную систему дифференциальных уравнений относительно перемещений.

1 н

3 0

4

Е(1) - т(1) • —

3

4

- т — 3

V

Г

1 н

1 Н

30

Е-т 4

Е -т- — 3

4н

- — • I

30

Е-т 4

Е - т — 3

Г±± у -V, +

к=і ,=1

1 п п

+-• ЕЖ-к- •¥

V — к=1 ;=1

пп

ЕЕ^'- wlлV■l .у +

к=1 ,=1 пп

+ЕЕWk•w^vk -V' +

к=1 ,=1 1 п п

+—• ЕЕ^' • w;•v к -V, +

4 к=1 ,=1 1 п п

+—• ЕЕ^: к-у

4 к=1 ,=1

пп

ЕЕWk■wJ .у-V- +

к=1 ,=1

1 п п

+т-ЕЕ^'-Щ-у к -V

V 4 к=1 ,=1

пп

ЕЕWk•W^ ■ у'к +

к=1 ,=1

1 п п

+Т-ЕЕw; к-V

ЕК -у • +

V

V

4

к=1 ,=1

ЕЩ"-у , -у А* -

,=1

УУ

, Г я, если і = 1

где і := 1...т, я1 .

[0, востальныхслучаях

,=1

Решаем эту систему совместно с уравнением:

д2

дх7

д 2ЖЛ дх2

EJ ■

p + q = 0

(9)

где EJ - цилиндрическая жесткость конструкции; p - нагрузка на конструкцию; q - отпор основания.

Добавляя граничные условия, получим связанную разрешающую систему.

Совместная система уравнений (8), (9) представляет собой модель изгибаемого элемента конструкции, опирающейся на нелинейное неоднородное основание. Основание содержит прерывистые зоны закрепленного грунта.

Метод решения

В качестве приближенного метода решения краевой задачи принят метод Бубнова-

Галеркина. Если балка имеет граничные условия шарнирного опирания (рис. 2), то 1 2 функции прогиба W (дневная поверхность) и W (граница слоев 1 и 2) принимаются в

виде разложений по координатным функциям (в данном случае это синусы):

W1 (х) = W\ • sinпkx; W2(х) = W2к • sinпкх . (10)

к=1 к=1

h

і і і і і і і і і і і і і пт

а

О,

e;,ví

х

а

E15Vi

E„v

Рис. 2

Алгебраическая система для коэффициентов разложений , Ж2 из (10) строится

из условий ортогональности невязки уравнений (8), (9) принятым координатным функциям.

В качестве примера использования данной математической модели в расчетах рассмотрим следующую задачу: исследовать зависимость вертикальных перемещений первого линейного слоя с зоной закрепления и второго нелинейного слоя с кубической диаграммой деформирования от ширины закрепленной зоны а, при следующих параметрах: толщина верхнего слоя с закрепленной зоной к1 = 0,5 м, толщина 2-го слоя к2 = 0,5 м, рассматриваемый участок Ь равен 6 м. Прилагаемая нагрузка р= 100 кПа. Модуль

*

упругости верхнего слоя Е1 = 10000 кПа, а модуль упругости усиленной зоны Е1 = 50000 кПа. Нижний слой физически нелинейный с диаграммой (7), где модуль упругости нижнего слоя равен 10000 кПа. а^= 600 кПа. Ширина закрепленной зоны а изменяется от 0 до 6 м (полностью закрепленный участок). Результаты представлены на рис. 3, 4, 5. Ширина усиленной зоны а равна 1/3Ь длины, рис. 4.

На рис. 5 приведена зависимость Ж1 от ширины зоны закрепления а.

а) с полным закреплением

б) без закрепления

«(а)

0,009

0,008

0,007

0,006

0,005

0,004

0,003

0,002

0,001

и

1

Рис. 4

Рис. 5

В случае, если ширина усиленной зоны более 1/3Ь длины, вертикальные перемещения верхнего слоя стабилизируются и при увеличении ширины усиленной зоны прогибы меняются не более 5% от случая, когда характеристики основания соответствуют усиленной зоне, что видно на рис. 5.

Использование аппарата столбчатых функций позволяет учесть влияние локального жесткого ядра на величину вертикального перемещения поверхности

физически нелинейного основания под изгибающим элементом. Метод Бубнова-Галеркина выбран не случайно, так как он позволяет учесть «столбчатую» неоднородность.

ЛИТЕРАТУРА

1. Губатенко В.П. Обобщенные функции с приложениями в теории электромагнитного поля / В.П. Губатенко. Саратов: Стило, 2001. 140 с.

2. Власов В.З. Избранные труды: в 3 т. / В.З. Власов. М.: Наука, 1964. Т. 3. 407 с.

Чесноков Андрей Николаевич -

аспирант кафедры «Информатика»

Саратовского государственного технического университета