Расчет электромагнитного поля в продольно-регулярных структурах Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В ПРОДОЛЬНО-РЕГУЛЯРНЫХ СТРУКТУРАХ

Н.Л.Казанский1, Г.А.Подлипнов2, А.А.Рахаев3, М.Л.Соснин2 1 Институт систем обработки изображений 2 Самарский государственный аэрокосмический университет 3 Дирекция по техническому развитию АО “АВТОВАЗ”

Аннотация

Получены аналитические выражения, описывающие распределение электромагнитного поля в продольнорегулярных линиях передачи.

В приближении равномерного распределения тока проводимости на центральном проводнике рассчитано распределение составляющих электромагнитного поля в линии передачи.

Введение

Работы, посвященные определению электродинамических характеристик регулярных линий передачи (в том числе и распределение электромагнитного поля), можно условно разделить на несколько групп.

К первой группе следует отнести работы, в которых электродинамические параметры определяются на основе замены анализируемой структуры приближенной расчетной моделью. В большинстве работ используется либо квазистатическое или коротковолновое приближение, либо модель Олинера [1]. Эти приближенные методы анализа основаны на априорном эвристическом предположении о характере поля в модели. На основе такого подхода рассчитаны характеристики большого числа регулярных линий передачи и различных функциональных элементов [2]. Характеристики линий передач и функциональных элементов описываются достаточно простыми аналитическими выражениями в замкнутой форме, однако главный недостаток такого подхода заключается в том, что установить адекватность реальной анализируемой структуры и ее эвристической модели не представляется возможным. Оценить степень точности модели и сделанных допущений оказывается задачей более сложной и трудоемкой, чем решение самой задачи.

Ко второй группе следует отнести работы, в которых электродинамические характеристики анализируются численными методами с минимальной аналитической обработкой анализируемой структуры. К таким методам относятся метод минимальных автономных блоков [3] и метод сингулярных интегральных уравнений, основанный на интегральных представлениях электромагнитного поля для каждой кусочно-однородной области структуры [4]. Эти методы являются наиболее универсальными и позволяют анализировать наиболее сложные структуры (структуры с некоординатными границами, продольно-нерегулярные линии передачи, нелинейные структуры). Однако они не являются оптимальными для расчета характеристик продольно-регулярных линий передач, ибо получаемые численные результаты не позволяют выявить существенные особенности анализируемой структуры.

К третьей группе следует отнести работы по определению электродинамических характеристик регулярных линий передачи методом частичных областей [5] и методом сингулярных интегральных

уравнений [6]. Эти методы являются предпочтительными для расчета характеристик продольнорегулярных линий передачи и позволяют рассчитать их электродинамические характеристики с достаточной точностью. Целью работы является разработка методики расчета составляющих электромагнитного поля в продольно-регулярной линии передачи.

1. Выражения для составляющих полей в продольно-регулярной линии передачи

Поперечное сечение продольно-регулярной линии передачи (рис.1) представим в виде первой (1) и второй (2) областей, в общем случае имеющих разные абсолютные диэлектрические еа1, еа2 и магнитные /иа1 , /иа2 проницаемости.

Рис.1.Поперечное сечение анализируемой структуры

Известно, что для регулярных линий передач продольная зависимость электромагнитного поля

описывается множителем е 11а. Тогда электрическое и магнитное поля в % -ой (^ =1,2) области можно записать в виде

Е% (х, у, z) = Е% (х, у) ■ е,

(х, У, г) = (х, у) ■ е,

где у -продольное волновое число.

В этом случае уравнения Максвелла, описывающие электромагнитное поле внутри анализируемой структуры, сводятся к однородным уравнениям Гельмгольца, решение которых известно. Из них нужно выбрать такие, которые удовлетворяют граничным условиям для касательных составляющих электрического ЕТ и нормальных составляющих

магнитного Нп полей на идеально проводящей внешней поверхности £ анализируемой структуры

Ет| 5 = °, Ч = °.

С учетом этих граничных условий при симметричном распределении поля относительно плоскости x = 0 продольные составляющие электрического и магнитного полей определяются соотношениями

Е^ ( У) = Е А1т ■ cos(Yxm ■ x)■sin(y1 ■ У) , (1)

m=1,3,5,...

H1z (x, у) = Е В1т ■ sin(Y xm ■ x) С05(у1 ■ У) , (2)

m=1,3,5,...

^ (x, у ) =

/ \ (3)

= Е A2m ■С0^(Тxm (2 • (у2 - у))’

т=1,3,5,...

H2z (x, у) =

/ \ (4)

= Е В2т ■ sin(Y xm ■ x) с0®( у1 • (у2 - у^ ’

m=1,3,5,...

где

2 ,2 2 2

Yy? = k?-Y -Yxm

Y xm

2- x2

k? = а

^ ~ш^еа%Ма% ■

Зная выражения для продольных составляющих электрического и магнитного полей, с помощью известных соотношений можно определить и остальные составляющие в анализируемой структуре

I

Ex1 С**,у) = 2 Е(A1m 'У 'Уxm +

^1 т=1,3,5,...

+ В1т ■^■Ма1 ' У у1)' Sin(Yxm ' ^ х (5)

х - у),

Eyl(x,у) = -у Е(—А1т YYyl +

kl т=1,3,5,...

+ В1т ■ ® ■ ^1 ■Yxm V cos(Y xm ■ x) х (6)

X - у^

I ^

Hx1 (x,у)= 2 Е(В1т * У ■ У^т —

kl m=1,3,5,...

Alm - V^al Yyl) • cos(Yxm •x)>

(yl •УI

(7)

х cos

i /

Hyl (x,У) = -у E(Blm YYyl +

kl m=l,3,5,...

+ Alm •а • Sal • Yxm )' sin(7xm ' x) х

х sin(yi • У^

i “

Ex2 (x, y) = 2 E (A2m ' Y • Yxm + k2 m=1,3,5,..

(8)

+ B2m •a^a2 Yy2 ) • sin( xm • x) х (9)

х cos(y2 -(У2 - У

і /

Ey2 (х у) = “У Е(- А2т ■Y*Yy2 +

k2 т=1,3,5,...

+ B2m * ® * №а2 * Ухт ^'СОє(Ухт 'х)х (10)

х СОЄ(уу2 - (у2 - У—

і

Нх2 (х,у- = 2 Е(В2т * У * Ухт -

k2 т=1,3,5,...

- А2т -®*єа2 * Y у2 )* ^(Гхт^- (11)

х СОЄ^у2 - (у2 - У)),

Ну2 (х> у) = — Е (В2т ■Y*Yy2 +

k2 т=1,3,5,...

+ А2т * ® ^ а 2 * У уст ) * єіп(х хт * х) х (12)

х ®Іп(гу2 -(У2 - У*

В этих соотношениях для составляющих полей неизвестные коэффициенты Аіт , Віт , А2т , В2т и величины У , ^у1 , У у 2 подлежат определению из

граничных условий в плоскости расположения центрального проводника.

2. Расчет амплитудных коэффициентов

Для определения неизвестных коэффициентов А%т , В^т и величин у, Уу1, Уу2 необходимо воспользоваться граничными условиями для касательных составляющих электрического и магнитного полей в плоскости расположения центрального проводника, которые сводятся к уравнениям

А1т '8т (УуГ у1)= А2т у у2 '(у 2 - у1- (13)

2 (А1т * У * У хт + В1т * ® * Ма1 * У у1 )х

k12

х єіп У у1 * у1* -2 (А2т ■Y*Yxm + (14)

k 2

+ В2т * ® * ^а2 * Гу2 -* ®Іп(гу2 ' (у2 - у1-.

Из этих соотношений можно выразить коэффициенты А2т, В2т, через А^, В^!

єт(гу1 -у1-

Єіп(гу2 (у2 - у1- *

ЄІп(Г у1 *у1-

A2m Alm

(15)

B2m Alm

sin(y2 - (У2 - У1}) '

Л

( k 2 “2 - і

vkl2 ,

YYx

a^a2 • Yy2

(16)

* sыуy1 - у1- ^а1 *Гу1 ^ I

+ 1т 5Ш(2 ‘(у2 - у1- ^а2 -Гу2 *kl2' Определим неизвестные постоянные коэффициенты А^т , В^т , (£ = 1, 2) входящие в соотношения

(1) - (12), через касательные составляющие электрического поля в первой области Е^ (х, у), Е1Х (х, у) в плоскости центрального проводника при у = у1. Для этого левую и правую части соотношения (1)

+

X

умножим на С0Б(хт • х) и, используя условие орто-

COS1

гональности, получим A = 2 1m x27sinx7yr^y2)x

x2 .

x I E1z (x, У^ cos(Yxm ■x)dx

о

Аналогично из соотношения (5);

= '"2 B1m = x2

(27)

2 • k2

i — • fcal • Yyl • x2 • sin(/y1 • УГ)

x

I Ex1(x. У^ sin(Yxm -x)dx -

о

_____________2 ' 7 ' 7 хт _______ _

у1 • УіГ

х2

х I Е1і ( У^ СОБ(ххт 'х)х •

0

С учетом обозначений

(2S)

ezm = j22'■ I E1z ( У2) • COs(Yxm • x)x =

x2

x2

2

о

x2

exm = ^ I E1x (x’ У2) Sin(Yxm •x)x ,

о

соотношения (17), (18) запишутся в виде: А 1

^Чт

sin(^yi -уг)

B1m

i — •Mai • Yyl • sin( yK Уг) 4

(19)

(20)

(21)

(22)

Y • Yx

і Ґ 7\ • еіт

^•Ма1 -Уу1 -БШ ^у1 -у1)

Тогда касательные составляющие магнитного поля в первой области в плоскости расположения центрального проводника при у = у1 можно записать в виде

(23)

• Є +

llm czm т

Hxl (x Уг)= I

m=1,3,5,... ,

+ 4} • exm ) • cos(Yxm • x)

Hzi (x Уг)= Ite -ezm +

m=1,3,5,... ,

+ • exm ) • sin(Yxm • x)

(24)

где

2 2 2 2

v (i) і 7 • 7 xm + k1 ' 7 yl

llm 2 x

ki2 — • Mai • Yyl ,

x ctg ("yl •Уг)

I'S,, = —TT" ' cg (Tyr y>)

— • Mai-7yi

Y (l) =_________7 • 7xm

21m „ ,, ..

- •Mai ’Yyl

• ctg (Yyi • Уг),

(25)

(26) (27)

Г22т = ---- -------С{% ( 'У1)' (28)

I — —а1 -Гу1

Для второй области при у = у1 получим выражения для НХ2 , Иг2 , аналогичные соотношениям (23), (24)

Нх2 (Х У1)= Ё(гп2 'егт +

m=1,3,5,..

+ Yrx^rn • exm ) • cos(Yxm • x)

Hz2(x,У2)= Ite -e

m=1,3,5,...

+ Y2(2m •exm ) • cos(Yxm • x)

(29)

(3о)

где

2 2 2 2

Y (2) = і Y ^ Yxm + k2 • Yy2 x

llm 2 x

k2 - • Ha2 • Yy2

(32)

: ctg (y y2 (2 - Уг)

Y

22m

- 'Ma2 ' Yy2

Y Y xm

- •fca 2 Yy2

k 2

і — •fca2 Yy 2

Ток проводимости на поверхности центрального проводника определяется касательной составляющей магнитного поля. Представим составляющие тока проводимости в виде ряда Фурье:

Jz IІzm • cos(Yxm • x)

m=1,3,5,...

TO

Jx = I Jzx • sin(Y xm • x),

m=1,3,5,..

где

2

x2

J zm 2 IJz • cos(Yxm ' x)x ,

x2 о

2

x2

Jxm = -2 I Jx • sin(Yxm • x)x . x2 о

(35)

(36)

(37) (3S)

С учетом граничных условий на поверхности центрального проводника и соотношений (23), (24), (29), (30) получим:

І І іт = ^11т - еіт + ^12т - ехт,

[ І хт = ^21т - еіт + ^22т "ехт,

(39)

где

Y = yP1) - Ypq Р q = 2 2

pqm pqm pqm

1 рдт * рдт * рдт -

Систему уравнений (39) можно преобразовать к виду

\еіт = г11т - ] іт + г12т - ] хт,

[ехт = г21т - ]іт + 122т - ]хт,

где

(4о)

г11т

'22т

у

г12т = '

у1

12т

121т = '

у2

21т

у

у1

122т ='

11т

у

Ут = У11т - У22т - У12т 'У21т •

Зная распределения тока, можно по приведенным выше соотношениям рассчитать электромагнитное поле в регулярной линии передачи.

Распределение тока может быть определено после решения дисперсионного уравнения, которое может быть сведено к сингулярному интегральному уравнению [6].

3. Результаты расчета электромагнитного поля в анализируемой структуре

Рассмотренная выше методика была применена к расчету составляющих электромагнитного поля в экранированной Т-камере. В ее регулярной части отсутствует диэлектрическое заполнение, а внутреннюю поверхность и центральный проводник можно считать идеально проводящими. При этих условиях параметры первой и второй сред одинаковы £а1 = еа2 = , -а1 = -а2 = -0 . Так как цен-

тральный проводник расположен симметрично, то поперечная составляющая тока проводимости Зх обращается в ноль, а продольная составляющая тока в первом приближении распределена по центральному проводнику равномерно [6]. Эти особенности распределения тока проводимости позволяют по изложенной выше методике рассчитать структуру электрического и магнитного полей без решения дисперсионного уравнения.

На рис.2-3 в качестве иллюстрации приведены зависимости нормированных составляющих электрического и магнитного полей от нормированной поперечной координаты в заданном сечении анализируемой структуры у = у0 . На этих рисунках составляющие электрического поля нормировались относительно максимального значения вертикальной составляющей

Еу1 (х у0)

тахЕ^Х, уо) тах \Еу1( у0)}

ЕЕх1 = -

ЕЕЙї'ЕЕ'1-

а)

б)

1.0

0,5

0

-0,5

1,0

0,5

0

-0,5

/ / / І^пх

ЕЕхІпх

20 40

60

80 пх

^пх

ЕЕх1пх

1,0

0,5

0

-0,5

1ЕУ]пх

ЕЕх1пх

в) 0 20 40 60 80 пх

Рис. 2. Распределение составляющих электрического поля в анализируемой структуре приуо/у1=0.025 (а), уо/уг=0.5 (б), уо/уг=0.75 (в)

б)

1,0

0,5

0

-0,5

1.0

0,5

0

-0,5

ННх1ш

■ ■—'ч

ННуїпх

0

20

40

60

80

ЕНхІпх

ННуїги

с) 0 20 40 60 80 пх

Рис. 3.Распределение составляющих магнитного поля в анализируемой структуре при у0/у1=0.025 (а), у</у=0.5 (б), у0у1=0.75 (в) Составляющие магнитного поля нормировались относительно максимального значения горизонтальной составляющей Нх1 (х уо)

ННх1 =

ЯЯуі = -

шах{Нх1 (х, у0) : уП

Н„1(х, у0)

шахНх1(х, у0) ’ а координата х по оси абсцисс отложена в процен-

-•100°/

тах пх =-

х

х2

'0 •

20 40

60

80 пх

Полученные результаты позволяют определить неравномерность поля в анализируемой структуре.

Заключение Получены аналитические выражения для составляющих электрического и магнитного полей в регулярной линии передачи, выраженные через распределение тока проводимости на центральном проводнике. В приближении равномерного распределения продольной составляющей тока проводимости на центральном проводнике рассчитано распределение электрического и магнитного полей в анализируемой структуре.

у

т

Литература

1. Гвоздев В.И., Нефедов Е.И. Объемные интегральные схемы СВЧ.- М.: Наука, 1985.- 256 с.

2. Справочник по расчету и конструированию СВЧ полосковых устройств. / Под ред. Вольмана В.И.- М.: Радио и связь, 1982.- 328 с.

3. Никольский В.В., Никольский Т.И. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики. -М.: Наука, 1983.- 304 с.

4. Книшевская Л.В., Шугуров В.К. Анализ микро-полосковых линий. - Вильнюс: Мокслас, 1985.166 с.

5. Веселов Г. И. Метод частичных областей для электродинамических задач с некоординатными границами (продольно-регулярные системы). Докторская диссертация. - М.: МВТУ им. Баумана, 1971.

6. Неганов В.А., Нефедов Е.И., Яровой Г.П. Современные методы проектирования линий передачи и резонаторов сверх- и крайневысоких частот. - М.: Педагогика-Пресс, 1998.- 328 с.