CC BY
102
УДК 621.315
РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОЙ СТОЙКОСТИ
ГИБКОЙ ОШИНОВКИ РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ С ПРИМЕНЕНИЕМ НЕЯВНОЙ СХЕМЫ
Инж. ПОНОМАРЕНКО Е. Г.
Белорусский национальный технический университет
В распределительных устройствах высокого напряжения электростанций и подстанций в Республике Беларусь применяются преимущественно токоведущие конструкции с гибкими проводами. Гибкость проводов позволяет им принимать форму, обусловленную внешними нагрузками. При протекании по ним токов КЗ в результате электродинамического взаимодействия соседних проводников может произойти их недопустимое по условию электрической прочности изоляционного промежутка сближение. На электрические аппараты распределительных устройств и опорные конструкции при этом воздействуют ударные нагрузки. Это приводит к необходимости разработки методов расчета динамики гибких проводов при КЗ, с помощью которых можно было бы определить критерии электродинамической стойкости проводов - максимальные отклонения и тя-жения [1].
В научных трудах широкое применение получила расчетная модель провода в виде гибкой упругой нити [2]. Представление провода расчетной моделью с распределенной массой позволяет более точно выполнить расчет электродинамического взаимодействия и вычислить характеристики любой его точки. Пространственное движение провода в виде гибкой упругой нити при КЗ описывается нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка в частных производных с переменными коэффициентами [2]. Такие уравнения могут быть решены только с помощью численных методов. Численные методы расчета динамики проводов при КЗ получили развитие на кафедре «Электрические станции» с 1974 г. Большой вклад в разработку численных методов расчета внесли зарубежные ученые [2].
При численном расчете производные в уравнениях движения проводов заменяются конечно-разностными отношениями. Для решения конечно-разностных алгебраических уравнений могут быть использованы явная и неявная схемы. Явная схема дает меньший объем вычислений и позволяет рассчитывать даже разрывные решения [2]. Поэтому она была применена к решению дифференциальных уравнений движения проводов. Разработанная методика расчета электродинамической стойкости реализована в ряде компьютерных программ (СОКЕБ, В^ЕБ). Она позволяет учитывать действие основных конструктивных элементов распределительных устройств, таких как порталы, гирлянды изоляторов, спуски к электрическим аппаратам. Однако в процессе эксплуатации программных продуктов были выявлены их некоторые недостатки (например, неустойчивость численного решения при больших токах короткого замыкания (табл. 1)), что особенно актуально в связи с ростом их уровней. В случаях, отраженных
Пролет Ток, кА
110 кВ, 20,0 м, АС-500/27 39
110 кВ, 27,5 м, АС-500/27 45
220 кВ, 30,8 м, АС-300/39 71
220 кВ, 40,5 м, АС-300/39 87
Таблица 1 в табл. 1, сбой в программе про-
СлУчаи аварийного останова расчета исходит из-за учета гибкости порто КП БШЕЕ с-
талов, прогибом которых определяются краевые условия для дифференциальных уравнений движения гибкой нити. Недостатком явной схемы в данном случае является ее чувствительность к переменным краевым условиям.
При расчете гибкой ошиновки пролетов распределительных устройств с отпайками к электрическим аппаратам получение устойчивых решений становится еще более сложной задачей. Спуски в отличие от сильно натянутых главных шин монтируются практически без тяжения и при движении могут легко искривляться и испытывать значительные резкоперемен-ные нагрузки. Все это может нарушить устойчивость численного решения и привести к аварийному останову программы.
Перечисленные выше проблемы частично могут быть устранены путем применения неявной схемы для решения конечно-разностных уравнений. Преимуществом неявной схемы является ее безусловная сходимость [3]. Недостаток - большой объем вычислений, но в связи со значительным ростом производительности ЭВМ в последнее время эта проблема отодвигается на второй план.
На первом этапе используем неявную схему для решения уравнений движения провода, представленного гибкой нитью с малой стрелой провеса. Такая расчетная модель провода применяется, когда отношение стрелы провеса к длине пролета составляет не более 5 % [2]. Дифференциальные уравнения движения провода в этом случае имеют следующий вид [2]:
д2 Я
-X2 д-Я = Р *
д^2
(1)
Г> * "
где Р - вектор распределенной внешней нагрузки на единицу массы провода.
Запишем (1) в виде конечно-разностных уравнений [2]
Як- 2Як + Як 2 Як+1 - 2Як + Як-1
Т2 х И2 = Pk,
(2)
где индекс к - номер узла сетки численного решения уравнений (к = 1, 2, ..., п - 1); п - количество узлов.
Решим систему конечно-разностных уравнений методом прогонки [3]. Для этого выполним следующие преобразования:
л л
- X2 Як+1 + 2Х2 Як -X2 Як-1
т2 + Як И2 = РД2И2 +
2Як - Як
И2. (3)
Запишем (3) относительно координат к-го узла на новом (^ + 1)-м слое
Як = ак + ЬкЯ
1к+1,
(4)
л
V
л
л л
л
л
V
л
л
где
ЯV + 2Я, - Як
к2 + А,2т2 Як-1
2 А,2т2 + к2
2 2
К =■
Гт
2А?т2 + к2'
Разделим (5) на к2
V V
_ _Рк*т2 + 2Як - Як + /Як-1,
Ьк =
2/ +1
/
2 / + Г
где / = *1 к) .
Запишем (4) для (к - 1)-го узла сетки
Л Л
Як-1 = ак-1 + Ьк-1 Як.
(6)
(7)
Подставим (7) в (3) и выполним преобразования к виду (4)
Як = ак + ЬкЯ к+1,
где
_ = ак-1/ + Рк т2 + 2Як - Як,
"г- —
Ьк =
/ (2 - К-1) +1 /
/ (2 - Ьк-1) +1.
(8)
Из сравнения выражений (6) и (8) для рекуррентных формул определе-
V
ния прогоночных коэффициентов видно, что Ьк-1 = 0 и ак-1 = Як-1. Тогда
V
при к = 2 Ь1 = 0 и а1 = Я1.
Решение конечно-разностных уравнений методом прогонки производится в следующем порядке: 1) прямой ход прогонки - по выражениям (8) заготавливаются коэффициенты ак и Ьк при изменении индекса к от 2 до
Л
п; 2) обратный ход - по (4) определяются координаты Як при изменении к от п до 2.
Разработанный метод численного решения дифференциальных уравнений по неявной схеме был использован при составлении компьютерной программы Ви8№А, которая предназначена для расчета динамики проводов по уравнениям гибкой упругой нити с малой стрелой провеса. С ее помощью были проведены расчеты для опытного пролета [4] (рис. 1), которые сравнивались с расчетами, полученными по явной схеме, реализованной в компьютерной программе В^ЕБ [2].
V
Л
а =±
к
2
л
л
V
Рис. 1. Геометрия тестового пролета ЬАВОКЕЬЕС [5]: масса гирлянды - 52,3 кг; длина -1,54 м; жесткость в точке крепления провода - около 3 • 105 Н/м; масса стойки - 720 кг; масса траверсы - 550 кг; скорость ветра - 3,5 м/с; случай 4: провод - М324; стрела провеса - 0,95 м; начальная температура провода - 14,1 °С; ток КЗ - 29,4 кА (ударный - 72,7 кА); постоянная времени - 0,033 с; продолжительность КЗ - 0,8 с; случай 5: провод - М105; стрела провеса - 1,245 м; температура - 19,3 °С; ток КЗ - 28,8 кА (65,4 кА); постоянная времени - 0,019 с; продолжительность КЗ - 0,5 с; случай 6 (с добавочным спуском в середине пролета): провод - М324; стрела провеса: восточный провод - 1,1 м, западный - 1,0 м; температура - 19 °С; ток КЗ - 27,9 кА (73,3 кА); постоянная времени - 0,033 с; продолжительность КЗ - 0,81 с
На рис. 2-5 представлены зависимости основных критериев электродинамической стойкости от величины тока двухфазного КЗ. Это: у1тах и у2тах - максимальные отклонения средних точек проводов соответственно при их отталкивании и сближении; Т2тах и Т3тах - характерные пики тя-жений соответственно при их отклонении и падении [2]. Штриховой линией показаны результаты расчетов с использованием явной схемы. Из диаграмм видно, что достигается хорошее совпадение результатов. Небольшое различие наблюдается лишь в области больших токов (>40 кА) для у2тах и
Т3тах, что обусловлено увеличением погрешности расчета по явной схеме.
Рис. 2. Максимальные отклонения у1тах Рис. 3. Максимальные отклонения у2тах
В распределительных устройствах стрела провеса гибких шин со спусками может превышать 5 % длины пролета. Поэтому математическое описание их движения и ненатянутых спусков производится по точным уравнениям упругой нити [2, с. 15]:
д2 х д(2
X2 + Ь2
^ дх ^
Чд5о у
д2х + ь2 дх_ ду_+ ь2 дх_ дг_ д
д.^ дя0 дя0 дя0
дя0 дя0 д50
Р.;
д2У _ и2 ду дх д2х
-Т = Ь---2
д^ дs0 дs0 дs0
X2 + Ь2
^ дУ ^ Чд50 у
^ + ь^ ^у^ + р. (9) д50 дя0 дя0 д50
д2г ,2 дг дх д2х . >2 & дУ д2 у
д^ дя0 дя0 д50
дя0 дя0 д50
,2 , ,2
2
' дг ^
Vдsо у
с^2
Р
60
Т2max, кН
40 30 20 10 0
10 20 30 40 50 ¿(2), кА 70 Рис. 4. Максимальные тяжения Т2тах
60
Т3тах, кН
40 30 20 10 0
10 20 30 40 50 I® кА 70
к '
Рис. 5. Максимальные тяжения Т3тах
Производные в системе уравнений (9) заменяются разностными выражениями [2, с. 21] для нового (^ + 1)-го слоя, после чего объединяются подобные члены. В результате преобразований получается система линейных алгебраических уравнений, которую удобно представить в матричном виде:
сик+1 + вик + сик-1 = в,
(10)
где и =
х
Л у
Л
г
V у
- матрица-вектор координат провода на (^ + 1)-м временном
слое; С и В - матрицы коэффициентов; В =
хк 2хк Т ' Рхк
У к -2 Ук -т2 -Р
ук
У к -2 Ук -т
ук
матрица
правых частей уравнений; т - шаг численного дифференцирования по времени.
Умножаем (10) на матрицу С-1
Вводим замену
ик+1 + с~1вик + ик-1 = с-'в.
ик+1 + лик + ик-1 = р.
(11)
Уравнение (11) решается методом матричной прогонки. Приводим (11) к виду, удобному для выражения матриц прогонки:
ик = -А-1ик+1 - А- (ик- - Е). (12)
Матрицы прогонки:
Ек =- А"1;
(13)
Ък =-А-1 (ик- - Е) = Ек (ик- - Е).
Для (к - 1)-го шага
йк- = Ек й + ък-!. (14)
Подставим (14) в (11) и после преобразований получим
ик = -( А + Ек-! )-1 ик+1 +(А + Ек-1 )-1 (Е - Ьк-1). (15)
Из выражения (15) вычленяем рекуррентные матрицы:
Ек = -(А + Ек-1 )-1; Ь = (А + Ек -1 )-1 (Е - Ьк -1) = Ек (Ьк-1 - Е )
(16)
Алгоритм матричной прогонки будет выглядеть следующим образом: 1) формирование матриц коэффициентов С, 5 и матрицы правых частей уравнений ^; 2) вычисление матриц Е = Си А = С; 3) вычисле-
ние прямым ходом матриц Ек и Ьк по (16), полагая, что Е1 = 0 и Ь1 =
'О
У1
V У
4) вычисление обратным ходом координат на (^ + 1)-м слое
йк = ЕкПк+1 + Ьк. (17)
Расчет динамики ненатянутых спусков при КЗ имеет особенности. Ненатянутый спуск, представленный абсолютно гибкой нитью и разбитый на конечные отрезки в соответствии с шагом интегрирования, может принимать любое пространственное положение. Поэтому в отдельных точках возникают изломы провода, чего не может быть в действительности из-за наличия жесткости провода на изгиб. Изломы спуска приводят к тому, что тяжение, рассчитанное по закону Гука [2], становится сильно завышенным. В итоге это приводит к искажению результатов расчета. Для приближенного учета изгибной жесткости провода в правые части (9) вводится сила, которая появляется при изгибе спуска и препятствует ему. При определении места приложения, модуля и направления данной силы рассматриваются не свойства провода как гибкой упругой нити, а свойства модели провода в виде конечного числа линейных отрезков, которыми он пред-
ставлен при численном решении (9) (рис. 6). Таким образом, при изгибе провода возникает угол между отдельными отрезками. Вводимая сила действует подобно усилию пружины П, работающей на сжатие. Усилие на (' + 1)-й элемент провода со стороны (' - 1)-го
Т + Т - Т
-1 = ЫТ-м + +1 Т-м+1 , (18)
Т-1,г + +1
где Ш - коэффициент изгибной жесткости, который подбирается экспериментально таким образом, чтобы рассчитываемая сила повышала точность численного решения и при этом минимально влияла на ход вычислительного процесса.
Рис. 6. Изгиб спуска
При такой форме записи (18) в прямом проводе эта сила отсутствует, а при наличии изгиба стремится выпрямить его. На (i + 1)-й элемент, кроме того, действует усилие и с противоположной стороны от (i + 3)-го элемента. Fi+1 г-1 и Fi+1 i+3, действуя вдоль пролета, при сложении практически
компенсируют друг друга и не влияют на ход решения.
Разработанный метод численного решения уравнений движения провода (9) реализован в компьютерной программе FLEBUS, работающей в ОС WINDOWS. В программе учитываются основные конструктивные элементы пролетов распределительных устройств с гибкой ошиновкой: порталы, гирлянды изоляторов, электрические аппараты и отпайки к ним (до трех отпаек), а также параметры короткого замыкания и климатические условия.
Для оценки достоверности результатов расчета по компьютерной программе FLEBUS проводится комплексное сопоставление расчетных и экспериментальных данных. В качестве экспериментальных данных используются результаты испытаний на тестовом пролете LABORELEC [4] (рис. 1), рекомендованные СИГРЭ для сравнительной оценки программных средств.
Расчетные и опытные данные в виде совмещенных диаграмм приводятся на рис. 7-12. В табл. 2 дается сопоставление максимальных отклонений
Jmax = У1 max + ^2max и пиков тяжений T2max и T3max. Из анализа приведенных диаграмм и сопоставления видно, что достигается хорошее совпадение результатов расчета и опытных измерений с допустимой для численных
расчетов погрешностью. Погрешность обусловлена допущениями, принятыми для модели провода в виде гибкой упругой нити. Это неучет сопротивления провода кручению и изгибу. При программной реализации уравнений (9) не были учтены реальные процессы, связанные с динамикой гирлянд изоляторов при КЗ: нагрев и растяжение отдельных ее элементов, шарнирное соединение изоляторов между собой. Большое влияние на динамику проводов при КЗ оказывает податливость опорных конструкций [2], которые определяют краевые условия при решении уравнений (9). Порталы в программе представлены упрощенно в виде сосредоточенных масс траверсы и стоек, закрепленных на пружинах [2]. В реальности траверса и стойки крепятся друг к другу шарнирно и состоят из множества металлических элементов различного профиля, скрепленных между собой болтовыми соединениями. В эксплуатации порталов могут также наблюдаться местные дефекты в виде ослабления затяжки резьбовых соединений. Поэтому наблюдается разница между расчетными и экспериментально-измеренными отклонениями порталов (рис. 7), что, очевидно, и вносит наибольшую погрешность в расчеты. Также погрешность обусловлена неточностью задания исходных данных.
30 d, мм 10 0 -10 -20
д А-' А -
/I У/ А // \\
V__Г-/ ч
0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5 г, с 3,0
Рис. 7. Перемещение северного портала (случай 4):
ЕЬЕВиБ; — • • — ■ • - экспериментальные данные
расчет по программе
20
Т, кН —^
10
0 20
Т, кН
10
0,5
1,0 1,5
2,0 2,5 г, с 3,0
а
5
5
0
Рис. 8. Динамика тяжений в точке крепления проводов к северному порталу (случай 4): а - восточный провод; б - западный; - расчет по программе
FLEBUS; — • • — ■ • - экспериментальные данные а б
Рис. 9. Траектории движения проводов в средней точке пролета (случай 4): а - восточный провод; б - западный; - расчет по программе FLEBUS; — ■ • — • ■ -
экспериментальные данные
а б
Рис. 10. а - динамика тяжения; б - траектория движения восточного провода в средней точке пролета (случай 6 - спуск в середине пролета): - расчет по программе
FLEBUS; — • • — ■ • - экспериментальные данные
а
б
Рис. 11. Динамика тяжений в точке крепления проводов к северному порталу (случай 5): а - восточный провод; б - западный; - расчет по программе
ЕЬЕВШ; — • • — . . - экспериментальные данные
-1,5 г , м
-0,5 0 0,5 1
-3 -2 -1 у , м 1-2 -1 0 у, м 2
Рис. 12. Траектории движения проводов в средней точке пролета (случай 5): а - восточный провод; б - западный; - расчет по программе БЬЕВиБ; — • • — . . - экспериментальные данные
Таблица 2
Сопоставление опытных и расчетных критериев электродинамической стойкости пролета с гибкими шинами
Параметры провода Восточный Западный
Опыт Расчет Расхождение, % Опыт Расчет Расхождение, %
Случай 4
Ута» м 2,05 2,11 2,9 2,00 1,82 -9,0
T2max, кН 16,0 14,5 -9,4 16,0 14,0 -12,5
^г!«^ кН 14,7 15,1 2,7 22,0 19,5 -11,3
Случай 5
Утах, м 2,85 2,97 4,2 3,15 3,23 2,5
T2max, кН 8,30 7,00 -15,6 8,60 8,20 -4,7
T3max, кН 6,9 7,49 8,6 9,37 9,40 0,3
Случай 6
Ута» м 1,68 1,74 3,6 - - -
T2max, кН 16,2 15,7 -3,1 - - -
T3max, кН 17 15,2 -10,5 - - -
Для проверки работоспособности компьютерной программы БЬЕВ^ при больших токах КЗ были проведены расчеты для шинного пролета типового ОРУ 110 кВ длиной 27 м с тремя отпайками [5] при изменении тока от 50 до 150 кА. Результаты расчета представлены в табл. 3. Как видно из таблицы, расчеты при больших токах выполняются успешно, при этом с ростом токов КЗ происходит плавное изменение основных показателей расчета: максимальных отклонений в середине пролета утах и тяжений
Ттах в первом цикле колебаний провода.
а
/ /____ чЛ
У, Vл- у; V 4 >1
№ /л ' \ \ ■ / \\/!
1' М
б
Для иллюстрации влияния жесткости провода в уравнениях (9) на ход компьютерного расчета на рис. 13 приведены диаграммы тяжений в спуске восточного провода экспериментального пролета ЬАВОИЕЬЕС с учетом и без учета жесткости. Всплески и провалы тяжения на рис. 13а, возникающие в результате изломов провода, указывают на нарушение устойчивости численного решения, которые в определенных случаях могут привести к аварийному останову расчета по программе.
Таблица 3
Проверка устойчивости численного решения по КП ЕЬЕБЦ^
Параметры провода Ток двухфазного короткого замыкания, кА
50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
Фаза А
.Ушах, м 1,60 1,68 1,72 1,68 1,69 1,84 1,82 1,92 2,08 1,89 1,96
Тшах; кН 1969 3133 3929 3972 4879 6040 7363 8293 10839 13516 17426
Фаза В
Ушах, м 1,40 1,78 2,00 2,19 2,34 2,47 2,56 2,61 2,72 2,76 2,85
Тшах; кН 2792 3596 4510 5653 6072 7460 9506 13549 14930 12929 17530
0,2 |-
Т, кН
0,1
0,8 1,0 1,2 1,с 1,6 0,8 1,0 1,2 1,с 1,6
Рис. 13. Динамика тяжения в спуске восточного провода экспериментального пролета ЬАВОКЕЬЕС: а - без учета жесткости провода спуска; б - с учетом
б
а
0
Искажение результатов численного решения возникало также из-за того, что влияние веса и тяжения спусков на главные шины учитывалось на один шаг интегрирования по времени сзади. Указанная погрешность была устранена с помощью применения простой одношаговой итерации.
Разработанная компьютерная программа БЬЕВ^ может быть рекомендована для расчета параметров электродинамической стойкости как пролетов типовых РУ с гибкими шинами, так и пролетов со сложной пространственной конфигурацией. Программа снабжена дружественным пользовательским интерфейсом, имеет в своем составе инструменты для графического и текстового отображения результатов расчета как в процессе, так и после его выполнения. Для удобства пользователя имеются встроенные каталоги проводов и гирлянд изоляторов, а также расширенная справочная система.
При оценке электродинамической стойкости конструкции в проектной практике нельзя полагаться на результаты одного расчета. Следует провес-
ти серию расчетов с подбором наиболее тяжелых условий короткого замыкания для данной конструкции, изменяя величину тока, продолжительность, вид и место короткого замыкания, климатические условия и другие параметры. Причем наибольшие возможные ток и продолжительность КЗ далеко не всегда будут являться самыми тяжелыми условиями с точки зрения электродинамической стойкости гибких шин со спусками.
В Ы В О Д Ы
1. Усовершенствован численный метод расчета динамики гибкой ошиновки ОРУ при КЗ по уравнениям гибкой упругой нити с применением неявной схемы.
2. На основе численного метода разработана компьютерная программа расчета динамики гибкой ошиновки РУ при КЗ БЬЕВ^. Произведены апробирование и оценка достоверности результатов расчета по программе с использованием экспериментальных данных, по результатам которых можно утверждать, что данная программа является самостоятельным инструментом для расчета электродинамической стойкости гибкой ошиновки распределительных устройств.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. К о р о т к и е замыкания в электроустановках: методы расчета электродинамического и термического действия токов короткого замыкания: ГОСТ 30323-95. - Введ. 01.03.1999. - Минск, 1999. - 57 с.
2. С е р г е й, И. И. Динамика проводов электроустановок энергосистем при коротких замыканиях: теория и вычислительный эксперимент / И. И. Сергей, М. И. Стрелюк. -Минск: ВУЗ-ЮНИТИ, 1999. - 252 с.
3. К а л и т к и н, Н. Н. Численные методы / Н. Н. Калиткин. - М.: Наука, 1978. - 509 с.
4. T h e m e c h a n i c a l effects of short-circuit currents ореп-air substations (rigid or flexible bus-bars). Brochure from CIGRE. SC 23. - Paris, 1996.
5. Д в о с к и н, Л. И. Схемы и конструкции распределительных устройств / Л. И. Дво-скин. - 2-е изд. - М.: Энергоатомиздат, 1985. - 220 с.
Представлена кафедрой
электрических станций Поступила 26.06.2008
