CC BY
54
5. Zarkandi S., Esmaili M.R. Direct position kinematics of a three revolute-prismatic-spherical parallel manipulator. Режим доступа: http://www.arpapress.com/Volumes/ Vol7Issue1/ IJRRAS_7_1_13.pdf (дата обращения 20.12.2013).
6. Лапиков А. Л. Решение прямой задачи кинематики для платформы Гью-Стюарта с использованием аналитического уравнения плоскости / А. Л. Лапиков, В.Н. Пащенко // Наука и образование: электронный научно-технический журнал.
РАСЧЕТ ЭФФЕКТИВНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ПО ССУДЕ
МЕТОДОМ НЬЮТОНА Губин Евгений Иванович, к.ф.-м.н., доцент (e-mail:g_ei@mail.ru) Томский университет систем управления и радиоэлектроники,
г. Томск, Россия
В данной статье предложен численный метод Ньютона для расчета эффективной процентной ставки IRR и приведены примеры использования для реальных расчетов банковских кредитных платежей.
Ключевые слова: метод Ньютона, численный метод, эффективная процентная ставка
1. Введение
В соответствии с разъяснением Банка России от 01.06.2007г. № 78-Т кредитные организации обязаны раскрывать заемщику эффективную процентную ставку IRR. В соответствии с Указанием ЦБ РФ от 12.12.2006г. № 1759 - У, эффективная процентная ставка (IRR) определяется исходя из следующей формулы[1]:
п CF
' dt-d0 0
i=0(1 + IRR)^ (1)
где di - дата i-ого денежного потока;
d() - дата начального денежного потока; n - количество денежных потоков;
CF
i - сумма i-ого денежного потока по договору о размещении денежных средств;
IRR- эффективная процентная ставка, в % годовых.
Для расчета эффективной процентной ставки считается известным гра-
CF
фик и сроки платежей заемщика (денежные потоки i ).
2. Алгоритм расчета
Представим формулу (1) в следующем виде:
- PV + -
CF
J \dl-d0 f
- + -
cf2
(1 + IRR)3
1 d2 -d0
■ +... + -
CF„
(1 + IRR)3
f 1 \dn-d0
(1 + IRR
V
= 0
(2)
CF
PV =-CF
d0-d0
(1 + IRR) 365
где ^ 1 - поток в нулевой момент времени или величина
выданного кредита.
Произведем в формуле (2) следующие замены:
(1 + IRR)365 = х - d
Тогда уравнение (2) примет вид:
dt - d0 = ,i = 1,..,n
cfk + cfl +... + cfl - pv = 0
х^
х
(3)
(4)
Помножим обе части уравнения (3) на х"(х ^ 0):
I(х) = -РУ • х- + СР1 • х-+ С^2 • х-2 +... + С¥п = 0
Запишем общий вид производной уравнения (4):
I'(х) = -п • РУ • Х--1 + (/п -О• СР1 • х--1 -1 + (гп -12)• С^2 • х^-2-1 +... + (гп -/--1)• СР--1 • х/-^ -1 Для решения уравнения (4) воспользуемся итерационным методом Ньютона [2] следующего вида:
I (х[ Ч)
7Щ
?
}
Х ^+1 = Х ^ 1 --
х [ j 1:
х Ч+11 - х 111
х Ч1
где ■> - число итераций.
В качестве начального приближения, выберем следующее значение
1
х М = (1 + Г )365
где г - процентная ставка по кредиту, в % годовых.
<s
, (5)
где s >0 - необходимая точность расчета.
Решив уравнение (4) методом Ньютона и найдя х х 11, удовлетворяющее (5), производим расчет IRR по следующей формуле:
IRR = (х[11 )365 -1
3. Пример расчета эффективной процентной ставки по ссуде
Рассмотрим пример приведенный в Приложении № 2 к письму Банка России от 01.06.2007 №78-Т. В данном примере рассматривается ссуда, предоставленная в размере кредитного лимита на один год, при условии погашения основного долга в течение года. Договором на предоставление ссуды предусмотрен минимальный ежемесячный платеж по погашению
n
х
ссуды. Платежи по ссуде производятся ежемесячно. Основные условия:
Л
Кредитный лимит (в рублях) - 30 000
Процентная ставка по ссуде ( % годовых) - а 19 Ежемесячная комиссия (% от лимита) - Р 1,5
Дата начала кредитования: 01.01.2007 г.
Срок ссуды (месяцы) 12
Минимальный ежемесячный платеж по погашению ссуды
(% от размера задолженности) 10
Прежде, чем приступить непосредственно к расчету эффективной процентной ставки, составим ежемесячный поток платежей по данной ссуде. Ежемесячный платеж, выплачиваемый заемщиком, будет состоять из следующих компонент:
= ^ + ^ + ^ ,
С
где г - сумма процентов начисляемых по ссуде; р - сумма платежа по погашению;
С
к - сумма комиссии;
Каждая компонента рассчитывается по следующим формулам:
- dp 1 гу Р р — 1
сг = Лр а--
г р 365 ,
Л Р
Р - остаток задолженности по ссуде;
Р Р 1 - разность в днях между текущим и предыдущим платежом; а - процентная ставка по кредиту, в % годовых.
Ср = ЛРР,
Р - минимальный ежемесячный платеж, в процентах.
= Л0 • Г ,
Л
0 - размер выданного кредита; У - размер ежемесячной комиссии за обслуживание ссуды. Определим платеж, который должен произвести заемщик 01.02.2007г.:
сг = 30000 • 0,19 ■ — = 484
г 365 •
?
эр = 30000 • 0,1 = 3000;
?
эк = 30000 • 0,015 = 450 •
?
сЕ1 = 484 + 3000 + 450 = 3934
Теперь определим платеж, который должен произвести заемщик 01.03.2007г.:
28
sr = 27000 • 0,19--= 394
r 365 •
?
sp = 27000 • 0,1 = 2700 ;
?
sk = 30000 • 0,015 = 450 •
?
2 = 394 + 2700 + 450 = 3544
Рассуждая таким образом, построим таблицу всех платежей, включая дату погашения кредита 01.01.2008г. (Таблица 1).
Таблица 1.
Дата платежа Использова ние кредитного лимита Платежи за расчетный период Остаток задолженност и по ссуде Денежный поток (расходы) получателя ссуды
процент ы погашени е основног о долга комисси и и другие платежи
sr sk S р
01.01.2007 -30000 30000 -30000
01.02.2007 484 3000 450 27000 3934
01.03.2007 394 2700 450 24300 3544
01.04.2007 392 2430 450 21870 3272
01.05.2007 342 2187 450 19683 2979
01.06.2007 318 1968 450 17715 2736
01.07.2007 277 1771 450 15943 2498
01.08.2007 257 1594 450 14349 2302
01.09.2007 232 1435 450 12914 2116
01.10.2007 202 1291 450 11623 1943
01.11.2007 188 1162 450 10460 1800
01.12.2007 163 1046 450 9414 1659
01.01.2008 152 9414 450 0 10016
ИТОГО: 30000 3399 30000 5400 0 8799
Определив денежный поток s* можно приступить непосредственно к
расчету эффективной процентной ставки IRR.
Для расчета воспользуемся формулой (4). В качестве PV берем размер
CF /предоставленного лимита, г' будет равно сумме i-ого денежного потока
т.е. CFi = s* .
Подставим значения из Таблицы 1 в формулу (4) и запишем полином следующего вида:
f (x) = -30000 • x365 + 3934 • x334 + 3544 • x306 + 3272 • x275 + 2979 • x245 + 2736 • x214 + 2498 • x184 + + 2302 • x153 + 2116 • x122 +1943 • x92 +1800 • x61 +1659 • x31 +10016 • x0;
(6)
Производная от данного полинома будет иметь вид:
f'(x) = -30000 • 365 • x364 + 3934 • 334 • x333 + 3544 • 306 • x305 + 3272 • 275 • x274 + 2979 • 245 • x244 + + 2736 • 214 • x213 + 2498 -184 • x183 + 2302 • 153 • x152 + 2116 • 122 • x121 +1943 • 92 • x91 +1800 • 61 • x60 + +1659 • 31 • x30
Отметим, что полином (6) монотонно убывает на всей области определения IRR и имеет разные знаки на его границах, что дает возможность быть уверенным в единственности решения на данном интервале (т.е. имеет один действительный корень).
Находим корень полинома (6) методом Ньютона (см. выше), выбирая в
1
качестве начального приближения x =(1 +0,19)365 (где 0,19 - процентная ставка по ссуде). Тогда
f (x[0])
TT?01)
x [1] = x [0]-
Если ABS((x x[0])/x[0]) > £ (s =0.00001) , то выполняем следующую
итерацию:
f (xм)
7Щ
x[2] = x[1] -
Сравниваем x[2], найденное по формуле (5). Если ABS((x[2] -x[])/x[])> s
, то выполняем следующую итерацию:
f (x[2]) 7Щ
x [3]= x[2]-
x [;+1] - x[ >]
x [;]
X ^]
и т.д. до тех пор, пока В данном примере шестая итерация удовлетворяет условию (5), а именно:
x[6]- x[5]
x[5]
<s
x M-T(51
[6] f / ( [5] )
и точка x = f v ! используется для вычисления эффективной
TRR = (x [6])365 - 1
процентной ставки:
Или, зная что x[6] = 1,00129, получим окончательное решение IRR:
IRR =1,00129365 -1 = 0,59845 (или в процентах 59,8%). 4. Заключение
Представленная методология дает возможность численно рассчитать эффективную процентную ставку IRR по обслуживанию ссуды, размеры и сроки уплаты которых известны на момент заключения договора на предоставление ссуды, в том числе по погашению основного долга по ссуде,
по уплате процентов по ссуде, сборе (комиссии) за рассмотрение заявки по ссуде, комиссии за выдачу и сопровождение ссуды, комиссии за открытие, ведение ссудного и (или) текущего счетов, комиссии за расчетное и операционное обслуживание, и т.д.
Список литературы
1. http://www.garant.ru/products/ipo/prime/doc/486910/
2. Миньков С.Л., Миньков Л.Л. Основы численных методов: Учебное пособие. -Томск: Изд-во НТЛ, 2006.- 260с.
Gubin Evgeni Ivanovich, Ph. D., associate Professor (e-mail: g_ei@mail.ru)
Tomsk University of Control Systems and Radioelectronics, Tomsk, Russia
THE USE OF NEWTON'S METHOD FOR THE CALCULATION OF THE EFFECTIVE INTEREST RATE
Abstract. In this article we propose a numerical Newton's method for the calculation of the effective interest rate IRR and examples of use for real calculations, Bank loan payments. Keywords: Newton's method, numerical method, the effective interest rate
НОВЫЙ ПОДХОД К РЕЦИКЛИНГУ ТЕРМОПЛАСТОВ Еренков Олег Юрьевич, профессор, д.т.н. (e-mail: erenkov@list.ru) Петрова Светлана Ивановна, доцент, к.т.н. (e-mail: erenkov@list.ru) Тихоокеанский государственный университет, г.Хабаровск, Россия
В статье приведены результаты экспериментальных исследований по влиянию электрофизической обработки термопластичных материалов на их механические свойства. Представлено описание нового способа вторичной переработки отходов из термопластов.
Ключевые слова: термопластичные полимеры, вторичная переработка, электрофизическая обработка, наносекундные электромагнитные импульсы, прочность
В связи с непрерывным возрастанием объема производства и потребления термопластичных полимеров увеличивается и количество их отходов. При этом весьма важным становится вопрос повторной переработки отходов или использования их в различных композициях. Одним из подходов к повышению эффективности вторичной переработки отходов термопластов для производства высококачественной продукции является реализация электрофизической обработки перерабатываемых отходов.
Цель данной работы - исследование влияния электрофизической обработки термопластичных материалов на их прочность и разработка на этой основе новых технических решений по вторичной переработке отходов термопластов. В качестве электрофизической обработки применялись на-
