CC BY
78
УДК 624.04
Л.И. Кузьмина, Ю.В. Осипов*
НИУВШЭ, *ФГБОУВПО «МГСУ»
РАСЧЕТ ДЛИНЫ ТРАЕКТОРИИ ДЛЯ ЗАДАЧИ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ
Рассмотрена классическая задача преследования, в которой преследователь всегда движется по направлению к цели. Исследована форма траектории движения. Доказано, что при любом начальном положении преследователь всегда догоняет цель сзади. Выписан интеграл для нахождения длины траектории и его асимптотика в предположении, что скорость преследователя много больше скорости цели. Численные значения длины траектории сравниваются с результатами расчетов по асимптотическим формулам.
Ключевые слова: задача преследования, траектория движения, асимптотика, длина траектории.
Пусть две материальные точки А (догоняющий) и В (убегающий) движутся в одной плоскости с постоянными по величине скоростями u и v. Скорость точки В не меняет своего направления, а вектор скорости точки А поворачивается и всегда направлен на В. Задача описания движения этих точек называется задачей преследования, а траектория движения называется кривой преследования. В старинных версиях данной задачи говорилось о собаке, охотящейся на зайца. Строго математически первым эту задачу в 1732 г. рассмотрел французский ученый Пьер Бугер на примере пиратского корабля, догоняющего торговое судно. Сам термин «задача преследования» впервые появился в работе Джорджа Буля «Treatise on differential equations» в 1859 г. Историческое исследование этой задачи содержится в [1, 2], ее приложения к механике описаны в [3—6]. Одно из важных приложений задачи преследования — задача о захвате движущегося груза. Пусть груз движется равномерно и прямолинейно параллельно земной поверхности. Неподвижно стоящий кран выдвигает «догоняющую» телескопическую стрелу с постоянной скоростью, одновременно поворачивая ее в сторону груза. Оба движения крана происходят в горизонтальной плоскости. Ниже будет показано, что в этих предположениях грузозахватный механизм всегда заходит на груз сзади. Различные обобщения классической задачи преследования можно найти в [7—9]. В современных работах для расчета кривых преследования используются компьютерные методы. Пакеты прикладных программ Matlab и Maple позволяют построить кривые преследования на плоскости и на сложной поверхности в трехмерном пространстве, а также смоделировать процесс преследования [10].
Настоящая статья является продолжением [11, 12], в которых определялась длина кривой преследования. Для решения этой задачи можно перейти к системе отсчета, связанной с «догоняющим», и использовать полярную систему координат. Постоянство скоростей точек А и В позволяет описать движение точки В относительно А одним стационарным уравнением и найти в явном виде форму траектории и время движения до встречи.
20
© Кузьмина Л.И., Осипов Ю.В., 2013
В [11] в предположении, что скорость V догоняющего много больше скорости и убегающего, исследовался интеграл Ь для нахождения длины траектории движения до точки встречи, и вычислялась его асимптотика по малому параме-1 V
тру —, где 1 = — . При условии V >>и была получена асимптотическая формула 1 и
L = R
R sin2 a 212
-O (l-3),
(1)
где R — расстояние между точками А и В в начальный момент времени; a — начальный угол между направлениями их скоростей.
В [12] содержится вывод формул для следующих членов асимптотического разложения. Получено представление R sin2 a R sin2 a,
Ь = R + + ~йГ~ (4 - 581П 2 а) + 011 ). (2)
Формулы (1) и (2) показывают, что в асимптотическом разложении отсутствуют члены первого и третьего порядка малости. Настоящая работа посвящена анализу траекторий движения и сравнению вычислений длины траектории по асимптотическим формулам с численным расчетом.
Приведем классическую формулу для траектории движения В относительно А в полярных координатах [6, 11]:
r = -
tg Ф
R sin al 2
tg
a
sin ф
(3)
Функция (3) определена и положительна при R > 0, 0 < a < p, 0 < ф < p и описывает как движение «вдогонку» при начальном значении угла a<p/2, так и «сближение» при a > p/2.
На рис. 1, 2 изображены траектории движения при различных значениях параметра l (значения указаны на траекториях) для начального расстояния
p
R = 1 и разных начальных углах a. Отметим, что при a > — траектории закручиваются вокруг начала координат (Для создания рисунков использовался пакет программ Advanced Grapher).
Y
10 5 3 2 \\y v\ \\
i ^ \l,5 1,1 1
Рис. 1. Траектория для a = —
2р
Рис. 2. Траектория для a =
Р л/3
Число 0,866 на оси OY — приближенное значение sin — = .
Тип траектории определяется поведением функции (3) при ф ^ 0 . В случае 1 < 1 (v < u) имеем r ^ да при ф ^ 0 , т.е. траектория неограничена и А не может догнать В при любом начальном угле a. На рис. 1, 2 изображена одна из таких траекторий. Это крайняя правая линия, отвечающая 1 = 0,5. При 1 = 1 (v = u) получаем
R sin a 2 fa
r -R cos21 -I, (4)
при ф^ 0 , и для любого начального угла а А не догонит В, при t ^ да расстояние между ними стабилизируется на величине, меньшей первоначального расстояния R. На рис. 1, 2 случаю l = 1 соответствует вторая справа линия, за-
канчивающаяся в точке x0 = R cos j на оси ОХ. Касательная к траектории в
этой точке перпендикулярна оси ОХ, поскольку
, y' r' sin ф + r cos ф Isin ф
y = =---- =--— (5)
Jx 11-11 v '
хф r cos ф-r sin ф Icos ф-1 и yX ^ да при l = 1, ф ^ 0 . Отметим, что в этом случае длина траектории конечна с точки зрения догоняющего, но время движения бесконечно. В системе отсчета, связанной с неподвижным наблюдателем, длины траекторий обеих точек А и В бесконечны.
При l > 1 (v > u) встреча произойдет. Время движения до встречи равно [6, 11]:
/
t = R
cos (а/2) + sin (а/2)
, V - и V + и
\ *
В этом случае длина траектории конечна, причем г ^ 0 при ф^ 0 , т.е. линия заканчивается в начале координат О. Из (5) получаем, что в точке О касательная к траектории совпадает с осью ОХ. Таким образом, при сделанных предположениях пираты догоняют торговое судно и атакуют его с кормы, а собака хватает зайца сзади.
При V » и В практически не движется по сравнению с А. Следовательно, траектория становится близка к прямолинейному отрезку, соединяющему точки начального положения В и А, и длина траектории Ь ^ R при 1 ^ да.
Длина траектории от начала движения до точки встречи равна [11]
IR sin a rv 2) Í ,cos ф 1
L = 7-7Г - 2 x1 -+ТГ dф. (6)
' ai 0 sin ф V l l
tg- ' 0
2.
Интеграл (6) зависит от параметров а и 1 и является аналитической функцией в области {—л < а < л, 1 > 1}. Асимптотика интеграла строится методами [13, 14]. Разложение квадратного корня в ряд по степеням 1—1 позволяет представить интеграл для длины траектории (6) в виде линейной комбинации интегралов Ьп, п = 0...4:
L = Rsina|L0 -1L + + + L + 61 5L
10 1 212 213 814
(1-5 ) =
(7)
где
L = -
tg
Ф
tg-
a
1 f . 2У cos" Ф dф, n = 0 ...4.
J с ц- 2 -
sin ф
(8)
Вычисляя интегралы Ьп и группируя слагаемые с одинаковыми степенями 1, получаем асимптотическое разложение (2) интеграла (6). Подробный вывод асимптотических формул приведен в [12].
Ниже проводится сравнение численных расчетов длины траектории Ь с приближенными асимптотическими формулами:
-(2) „ R sin2 a (4) R sin2 a R sin2 a/ • 2 \
I(2) = R +--—, I(4) = R +--— +-;—(4 - 5sin2 a)
(9)
212 ' 212 814 для различных значений начального угла а при Л = 1.
В таблице для различных значений параметра 1 приведены численные значения интеграла Ь, асимптотические формулы второго порядка Ь(2) и четвертого порядка Ь(4), а также погрешности асимптотических приближений |Ь - Ь(2) | и |ь - Ь(4) |. Жирным шрифтом выделены погрешности |Ь - Ь(4) |, меньшие чем
Ь - Ь(2) | (в этом случае асимптотическая формула Ь(4) дает наилучшее приближение). Все расчеты выполнены с точностью 10-7.
Сравнение численных значений длины траектории Ь с асимптотическими формулами Ь(2) и Ь(4) для различных начальных углов а
1 L l(2) I(4) \i - L<2)| \i - l(4)|
Угол a = P, асимптотики I(2) = 1 + —^r-, I(4) = 1 + —+—11— 6 812 812 12814
2 1,0384677 1,0312500 1,0366211 0,0072177 0,0018466
5 1,0051524 1,0050000 1,0051375 0,0001524 0,0000149
10 1,0012591 1,0012500 1,0012586 0,0000091 0,0000005
20 1,0003131 1,0003125 1,0003130 0,0000006 0,0000001
40 1,0000782 1,0000781 1,0000782 0,0000001 0
60 1,0000347 1,0000347 1,0000347 0 0
да 1 1 0 0 0
p r(2) 1 1 r(4) 1 1 3 Угол a = —, асимптотики i = 1 + 2, i = 1 + 2 + 4 4 412 412 3214
2 1,0717561 1,0625000 1,0683594 0,0092561 0,0033967
5 1,0101922 1,0100000 1,0101500 0,0001922 0,0000422
10 1,0025109 1,0025000 1,0025094 0,0000109 0,0000015
ВЕСТНИК
МГСУ-
12/2013
Окончание табл.
1 L L2 ¿(4) L - ¿(2) L - L(4)|
20 1,0006256 1,0006250 1,0006256 0,0000006 0
40 1,0001563 1,0001563 1,0001563 0 0
да 1 1 1 0 0
Угол a = —, асимптотики L(2) = 1 +---, L(4) = 1 +--2---т 2 212 212 814
2 1,1234353 1,1250000 1,1171875 0,0015647 0,0062478
5 1,0198493 1,0200000 1,0198000 0,0001507 0,0000493
10 1,0049882 1,0050000 1,0049875 0,0000118 0,0000007
20 1,0012492 1,0012500 1,0012492 0,0000008 0
40 1,0003125 1,0003125 1,0003125 0 0
да 1 1 0 0 0
3— 1 13 Угол a = —, асимптотики L() = 1 + 2, L() = 1 + 2 + 4 4 412 412 3214
2 1,0638734 1,0625000 1,0683594 0,0013734 0,0044860
5 1,0100850 1,0100000 1,0101500 0,0000850 0,0000650
10 1,0025074 1,0025000 1,0025094 0,0000074 0,0000020
20 1,0006255 1,0006250 1,0006256 0,0000005 0,0000001
40 1,0001563 1,0001563 1,0001563 0 0
да 1 1 0 0 0
Угол a = —, асимптотики L(2) = 1 + , L(4) = 1 + +—11— 6 812 812 12814
2 1,0339388 1,0312500 1,0366211 0,0026888 0,0026823
5 1,0051120 1,0050000 1,0051375 0,0001120 0,0000255
10 1,0012579 1,0012500 1,0012586 0,0000079 0,0000007
20 1,0003130 1,0003125 1,0003130 0,0000005 0
40 1,0000782 1,0000781 1,0000782 0,0000001 0
60 1,0000347 1,0000347 1,0000347 0 0
да 1 1 0 0 0
Отметим, что асимптотики L(2) и L(4) совпадают для смежных начальных углов a и p - a, но форма и длина траектории для этих углов различаются.
Численные расчеты показывают, что при достаточно больших значениях 1 для всех начальных углов a асимптотические формулы служат хорошим приближением длины траектории, причем асимптотика L(4> ближе к точному значению, чем приближение L(2).
Библиографический список
1. Simoson A.J. Pursuit Curves for the Man in the Moone // The College Mathematics Journal. Washington. 2007, vol. 38, no. 5, pp. 330—338.
2. Nahin Paul J. Chases and Escapes: The Mathematics of Pursuit and Evasion. Princeton University Press, 2007, 270 p.
3. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М. : Наука, 1970. 420 с.
4. Рихсиев Б.Б. Дифференциальные игры с простым движением. Ташкент : Фан, 1989. 232 с.
5. Азамов А.А., Кучкаров А.Ш., Саматов Б.О. О связи между задачами преследования, управляемости и устойчивости в целом в линейных системах с разнотипными ограничениями // Прикладная математика и механика. 2007. Т. 71. Вып. 2. С. 259—263.
6. Сигаладзе З.К., Чащина О.И. Задача преследования зайца волком как упражнение элементарной кинематики // Вестник НГУ Серия Физика. 2010. Т. 5. Вып. 2. С. 111—115.
7. BernhartA. Curves of Pursuit // Scripta Mathematica. 1954, vol. 20, pp. 125—141.
8. Barton J.C., Eliezer C.J. On Pursuit Curves // The Journal of the Australian Mathematical Society, ser. B41, 2000, pp. 358—371.
9. Петросян Л.А. Дифференциальные игры преследования. Л. : ЛГУ, 1977. 222 с.
10. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9. М. : НТ Пресс, 2006. 492 с.
11. Kuzmina L.I., Osipov Yu.V Calculation of the pursuit curve length // Journal for computational civil and structural engineering. 2013, vol. 9, no. 3, pp. 31—39.
12. Кузьмина Л.И., Осипов Ю.В. Асимптотика длины траектории в задаче преследования // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. 2013. № 16. С. 238—249.
13. МасловВ.П. Асимптотические методы и теория возмущений. М. : Наука, 1988. 310 с.
14. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М. : Наука, 1978. 375 с.
Поступила в редакцию в ноябре 2013 г.
Об авторах: Кузьмина Людмила Ивановна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Московского института электроники и математики, ФГАОУ ВПО «Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики» (НИУ ВШЭ), 101000, Москва, ул. Мясницкая, д. 20, lkuzmina@ hse.ru;
Осипов Юрий Викторович — кандидат физико-математических наук, профессор кафедры информатики и прикладной математики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, yuri-osipov@mail.ru.
Для цитирования: Кузьмина Л.И., Осипов Ю.В. Расчет длины траектории для задачи преследования // Вестник МГСУ 2013. № 12. С. 20—26.
L.I. Kuzmina, Yu.V. Osipov
CALCULATION OF THE PATH LENGTH IN THE PURSUIT PROBLEM
A classic pursuit problem is studied with two material points — a Pursuer and an Evader, who move in plane at constant speeds. The velocity vector of the Evader does not change its direction and the velocity vector of the Pursuer turns and is always aimed at the Evader. If the Pursuer moves at a higher speed, he will overtake the Pursued for any initial angle between velocity vectors.
The mechanical path geometry is established. The path line rotates around the origin of coordinates so that at the final meeting point the line tangent to the motion trajectory always coincides with the velocity vector of the Evader. The two-parameter integral for the length of the pursuit curve is considered, its asymptotics up to quartic
BECTHMK 19/9nl3
12/2013
is calculated on the assumption that the speed of the Pursuer is much higher than the speed of the Evader. Rapid convergence of the asymptotics to the integral for the path length is provided by the absence of the first and third members of the asymptotic expansion. Numerical computation of the path length is compared to the asymptotic formulas. Calculations show that the resulting asymptotics is a good approximation of the integral for the path length, and the quartic in the asymptotic formulas significantly improves the approximation.
Key words: pursuit problem, motion path, asymptotics, path length.
References
1. Simoson A.J. Pursuit Curves for the Man in the Moone. The College Mathematics Journal. Washington, 2007, vol. 38, no. 5, pp. 330—338.
2. Nahin P.J. Chases and Escapes: The Mathematics of Pursuit and Evasion. Princeton University Press, 2007, 270 p.
3. Krasovskiy N.N. Igrovye zadachi o vstreche dvizheniy [Game Problems on the Meeting of Movements]. Moscow, Nauka Publ., 1970, 420 p.
4. Rikhsiev B.B. Differentsial'nye igry s prostym dvizheniem [Differential Games with Simple Motion]. Tashkent, Fan Publ., 1989, 232 p.
5. Azamov A.A., Kuchkarov A.Sh., Samatov B.O. O svyazi mezhdu zadachami presle-dovaniya, upravlyaemosti i ustoychivosti v tselom v lineynykh sistemakh s raznotipnymi ogranicheniyami [The Relation between the Pursuit, Handling and Overall Stability Problems in Linear Systems with Heterogeneous Constraints]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics]. 2007, vol. 71, no. 2, pp. 259—263.
6. Sigaladze Z.K., Chashchina O.I. Zadacha presledovaniya zaytsa volkom kak uprazh-nenie elementarnoy kinematiki [The Dog-and-rabbit Chase Problem as an Exercise in Introductory Kinematics]. Vestnik NGU. Seriya Fizika [Bulletin of the Novosibirsk State University. Physics Series]. 2010, vol. 5, no. 2, pp. 111—115.
7. Bernhart A. Curves of Pursuit. Scripta Mathematica. 1954, vol. 20, pp. 125—141.
8. Barton J.C., Eliezer C.J. On Pursuit Curves. The Journal of the Australian Mathematical Society, ser. B41. 2000, pp. 358—371.
9. Petrosyan L.A. Differential Games of Pursuit. World Scientific. Singapore, 1993, 326 p.
10. Alekseev E.R., Chesnokova O.V. Reshenie zadach vychislitel'noy matematiki v pak-etakh Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9 [Solving Computational Mathematics Problems Using Packages Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9. Moscow, NT Press Publ., 2006, 492 p.
11. Kuzmina L.I., Osipov Yu.V. Calculation of the Pursuit Curve Length. Journal for Computational Civil and Structural Engineering. Moscow, ASV Publ., 2013, vol. 9, no. 3, pp. 31—39.
12. Kuz'mina L.I., Osipov Yu.V. Asimptotika dliny traektorii v zadache presledovaniya [Asymptotics of the PathLength in the Pursuit Problem]. Voprosy prikladnoy matematiki i vychislitel'noy mekhaniki [Problems of Applied Mathematics and Computational Mechanics]. 2013, № 16, pp. 238—249.
13. Maslov V.P. Asimptoticheskie metody i teoriya vozmushcheniy [Asymptotic Methods and Perturbation Theory]. Moscow, Nauka Publ., 1988, 310 p.
14. Olver F. Introduction to Asymptotics and Special Functions. New York, Academic Press, 1974, 375 pp.
About the authors: Kuz'mina Lyudmila Ivanovna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Higher Mathematics, Moscow Institute of Electronics and Mathematics, Higher School of Economics (NIU VShE),
20 Myasnitskaya st., Moscow, 101000, Russian Federation, lkuzmina@hse.ru;
Osipov Yuriy Viktorovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Department of Computer Science and Applied Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26, Yaroslavskoe Shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; yuri-osipov@mail.ru.
For citation: Kuz'mina L.I., Osipov Yu.V. Raschet dliny traektorii dlya zadachi presledo-vanya [Calculation of the Path Length in the Pursuit Problem]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 12, pp. 20—26.
