Расчет дисперсионных характеристик струны, лежащей на упруго-инерционном основании Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

УДК 534.1

© 2013 г.

РАСЧЕТ ДИСПЕРСИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СТРУНЫ, ЛЕЖАЩЕЙ НА УПРУГО-ИНЕРЦИОННОМ ОСНОВАНИИ

В.И. Ерофеев, 1,2 Д.А. Колесов, 1 Е.Е. Лисенкова3

Нижегородский филиал Института проблем машиностроения им. А.А. Благонравова РАН ^Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского 3Нижегородский институт управления

erfD4@sinn.ru

Поступилк в редккцию 01.04.2013

Рассматривается распространение поперечных волн в струне, лежащей на упруго-инерционном основании. Проанализировано влияние параметров основания на дисперсионные характеристики волн (в частности, на зависимости фазовой и групповой скоростей от волнового числа). Исследованы закономерности генерации волн источником нулевой частоты, равномерно движущимся по струне.

Ключевые слова: струна, упруго-инерционное основание, поперечная волна, дисперсия, движущийся источник.

Введение

Многие элементы машиностроительных конструкций, в частности, несущих движущиеся нагрузки (путевая структура, контактный провод) рассматриваются в виде одномерной системы (струна, балка), взаимодействующей с деформируемым основанием. Основание задается упругим (основание Винклера) или вязкоупругим, что позволяет учитывать возможность его сопротивления силовому воздействию. При этом основание как динамическая система, как правило, не рассматривается.

А.И. Весницкий [1] предложил математическую модель, обобщающую модель Винклера путем учета инерционности упругого основания, с которым взаимодействует струна, совершающая малые поперечные колебания.

Математическая модель

Задача Весницкого рассматривается в следующей постановке: одномерная гибкая нерастяжимая струна (ее объемная плотность р0; площадь поперечного сечения 5) находится на упруго-инерционном основании, жесткость которого у, а погонная масса р g. Через щ и и2 обозначены поперечные отклонения струны и средней линии «постели» от равновесного положения (рис. 1).

В начальный момент времени струна натянута с силой N и ее положение совпадает с осью X.

При отклонении струны от положения равновесия ее бесконечно малый элемент Сх растягивается и переходит в элемент С1. При этом предполагается, что при малых амплитудах ко-

ди1

лебаний струны (-<< 1) ее натяжение оста-

дх

ется неизменным и равным N. Плотности потенциальной и кинетической энергий системы «струна-упругое основание» будут соответственно равны

к=^дХ-] + }т[»;+(», - щ)'- ];

г - i „0 S Т +1 р, ]2

2 [dt ) 2 g [ dt

и лагранжиан системы имеет вид

* - i Г SВ

du2

dt

- N

du1

dx

- y[u2 + (u1 - u 2 )2 ]f-

(1)

Используя уравнения динамики (континуальный аналог системы уравнений Лагранжа второго рода)

2

2

2

8 8Ь 5 8Ь 8Ь

- +-----------------------------------= 0

8і 8и,., 8х 8и .

8и,

зл ~з,х

где з принимает значения 1 и 2, а запятая после индекса подразумевает дифференцирование, с учетом (1) получим систему уравнений, описывающих колебания струны на упругоинерционном основании:

8 2и, ^2-

*1 2 8 и, у / ч 1 / ч

—2— с —2~ +--------------(и, —и2)=-----------------F(x,?),

812 8х2 р 0 1 2 р0 Ъ У '

82и2 2у у

-¿¡Г +--------и 2 =-------и1.

8 Р* Р*

Здесь ¥ (х, t У(ро 5) - погонная плотность внешней силы, действующей на струну, с=4 N (ро 5).

Первое из уравнений системы (') описывает волны, распространяющиеся вдоль струны, а второе - вибрации массива осцилляторов, взаимодействующих с колебаниями струны. Как частный случай можно получить уравнение, описывающее колебания струны, лежащей на упругом основании. Для этого необходимо перейти к пределу р? ^ 0. Тогда из второго

уравнения системы следует, что и1 = 'щ , и в пренебрежении внешней силой получаем

д 'и

лежащей на линейно-упругом (безынерционном) основании, связаны соотношением

ю' - c2k' -ю' = 0, га, = 7у/ ('р05). (5)

Разрешая уравнение (5) относительно частоты ю , получим ю = + ю* .

Наличие упругого основания приводит к существованию критической частоты ю* (частота отсечки), при превышении которой колебания струны носят волновой характер.

В пренебрежении действующей на струну внешней силой система уравнений (') может быть сведена к одному уравнению относительно поперечного перемещения частиц струны ы1 :

(

1 +

2Р0 Ъ

82и1 2с2р0Ъ 82и1

* у

8і2

8х2

+

р0Ъ 8 и1 с р0Ъ 8 и1 у

+------и1 = 0. (6)

(2)

у 8ґ у 8х 8ґ р *

Отыскивая его решения в виде (4), получим дисперсионное уравнение, связывающее частоту и волновое число поперечной волны, распространяющейся в струне, лежащей на упругоинерционном основании

( п. \

+

'* У

ю4 -ю2

У-+ ^ с '-к 2

р0Ъ р *

+

2Ус-к2 +- у2

= 0.

(7)

1 ' д и у

—Г - с —г- + —— и1 = 0. (3)

дt2 дх2 'р05 ^ ;

Уравнение (3) называется уравнением Клейна-Гордона. Оно описывает, в частности, распространение волн

ы(х,t) = (Ае*(шt-кх) + А *е“'(ю-кх^/' , (4)

где А = ае'ф - комплексная амплитуда волны; а - действительная амплитуда; ю t — кх + ф -полная фаза волны; ф - фазовый сдвиг; ю = 'я/ Т - частота волны; Т - период волны; к = 'я/Л - волновое число; Л - длина волны.

Дисперсионные зависимости

Согласно (3) частота и волновое число поперечной волны, распространяющейся в струне,

рg рgр05

Разрешая это уравнение относительно частоты в безразмерных переменных

~ = ск^р^У ,ю = ю7р05/у , a = ^|pJp05,

получим

1 =17'(а 'к2 +а' + ' +

(8)

12 аТ2

±7(а2к2 + а2 + 2)2 -4а2(2к2 +1)))1/2.

Здесь и ниже для краткости записи опущен знак «тильда» над безразмерными переменными.

Из (8) следует, что учет инерционности основания приводит к наличию двух критических частот

( ( у

2р0 Ъ

1 +

* у

(9)

4р2 ъ 2

1 +

р

*у

р * р0 Ъ

Сравнивая эти частоты с критической частотой ю*, характерной для безынерционного основания, определим, что их значения связаны между собой двойным неравенством ю' <

+

Р

*

1,2

1/2

2

2

2

у

у

Рис. 3а

Рис. 3б

Рис. 3в

< ю» < ю1. В плоскости (ю, к) при этом имеется уже не одна, а две дисперсионных ветви, одна из которых исходит из точки (0, ю1), а другая -

из точки (0,ю2). Знак «+» в (8) соответствует верхней, а «-» - нижней ветви дисперсионной кривой. При больших волновых числах кривые

(8) стремятся к асимптотам ю = ск и ю = р у/р*

соответственно.

Точка перегиба нижней ветви дисперсионной кривой определяется из уравнения

6а8к8 + 2а6 к 6(7а2 + 2) +

+ 9а4к4(а4 + 4) - (а4 + 4)2 = 0.

На рис. 2, 3 приведены дисперсионные кривые при различных соотношениях погонной массы струны и основания.

На рис. 2а показана верхняя дисперсионная ветвь при а = 1 (линия 1), а = 0.5 (линия 2) и а = 5 (линия 3).

На рис. 2б при тех же соотношениях масс показана нижняя дисперсионная ветвь.

На рис. 3 приведены обе дисперсионные ветви для случаев а = 1 (а); а = 0.5 (б); а = 5 (в).

Фазовые скорости (урк = ю/к = с ю/к ) поперечных волн, распространяющихся в струне, лежащей на упруго-инерционном основании, определяются выражениями 1

=------1= (а2к2 + а2 + 2 ±

с ’ ~

(11)

акл/Т

±4(а'к2 + а' + ')' - 4а'('к2 +1))1Й.

На рис. 4 показан качественный вид фазовых скоростей, соответствующих верхней (линия 1) и нижней (линия ') дисперсионным ветвям, в зависимости от волнового числа.

Групповые скорости волн (vgr = Сю/Ск =

= сСю/Ск ) описываются выражениями

у*г ак Р± (а 2к2 +а2 - 2)

с л/2^а2к2 + а2 + 2 ±р ,

Р = ^(а2к2 + а2 + 2)2 - 4а2 (2к2 +1) . (12)

Их зависимости от волнового числа представлены на рис. 5. Кривая 1 соответствует верхней дисперсионной ветви; кривая 2 - нижней. Значение длины волны, при котором кривая 2 достигает своего максимума, определяется на основе решения уравнения (10).

На рис. 6 сравниваются значения фазовых скоростей с групповыми скоростями при изменении волнового числа от нуля до бесконечности для верхней (а) и нижней (б) дисперсионных ветвей.

Видно, что во всем диапазоне волновых чисел значения фазовых скоростей волн превосходят значения их групповых скоростей, следовательно, дисперсия является нормальной. При к ^ ю для верхней дисперсионной ветки урк ^ с и ^ с; для

нижней дисперсионной ветки УрЬ ^ 0 и ^ 0 .

Заметим, что система (2) совпадает с системой уравнений, введенной в [2] для описания длинноволновых динамических процессов в метаматериале, моделируемом, как решетка «масса-в-массе».

В [3] выявлены общие закономерности, присущие упругим системам, лагранжианы которых зависят от обобщенных координат и их производных до второго порядка включительно. Заметим, что струна, лежащая на упруго-инерционном основании (2), относится к этому классу систем.

Излучение волн движущейся нагрузкой

Если на струну, лежащую на упругоинерционном основании, действует равномерно движущаяся нагрузка, величина которой постоянна, то смещение под нагрузкой тоже должно быть постоянным, т.е. u(Vt, t) = const, где V - скорость движения нагрузки. Это условие возможно, когда ш - kV = 0 (13)

или в безразмерных переменных а - kV = 0, где V = V/с . В результате частоты и волновые числа возникающих в направляющей волн будут связаны не только дисперсионным уравнением (7), но и посредством так называемого кинематического инварианта (13).

Физически реализуемыми будут лишь те волны, которые удовлетворяют условию ограниченности прогибов струны на бесконечности и условию излучения Мандельштама [1, 4].

Определяя из системы уравнений (7), (13) частоты и волновые числа и отбирая только физически реализуемые решения, получим, что в зависимости от скорости движения нагрузки возможны два качественно различных режима волнообразования. Критическая скорость, разделяющая эти случаи, равна с , т.е. совпадает со скоростью распространения волн в струне без учета упругоинерционного основания.

У неподвижной нагрузки поле поперечных смещений локализовано около источника, т.е. спадает по мере удаления от него, а k12 имеют

вид к12 =± г/V'. При движении нагрузки со скоростью 0 < V < 1 слева от нее (х < Vt)

к1 = /(аV2 - '(1 - V2) + -^аV4 + 4(1 - V2)')Г

х('а 'V 2(1 - V2))-

к34 =±('(1 - V2) -а 'V2 + Л/0¥774(1-К2)7 )Г

х ('а'V2(1 - V2))-а справа при х > V

к, = -/(а'V2 - '(1 - V2) + ^/а4V4 + 4(1 - V2)' )Г х

х('а 'V 2(1 - V2))-1',

ю1-4 kl-4V .

Отсюда следует, что движение источника нулевой частоты приводит к возникновению, наряду с собственным полем, двух бегущих вслед волн.

Источник нулевой частоты, движущийся со скоростью V > 1, собственного поля не создает, но зато излучает четыре волны, бегущие ему вослед, волновые числа и частоты которых определяются формулами

к1-4 = ±(а'V2 + '(V2 -1) ±^/аV4 + 4(У' -1)')/' х х('а 'V2(У2 -1))-1',

ю 1-4 =

Справа от нагрузки при х > Vt направляющая остается невозмущенной.

Таким образом, наличие инерционности в основании струны приводит к тому, что даже при «докритических» скоростях движения нагрузки х (0 < V < 1) возникают бегущие волны. Однако для очень малых ( Л ^ 0 ) длин волн vgr ^ 0.

Следует отметить, что решение задачи кинемах тики (нахождение частот, волновых чисел и критических скоростей) определяет лишь необходимые условия излучения волн, но не достаточные. Так, может оказаться, что амплитуды прогнозируемых волн будут равны нулю.

Работа выполнялась при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 12-08-00888-а, № 12-08-90032-Бел_а, № 12-08-31066-мол_а).

Список литературы

1. Весницкий А.И. Волны в системах с движущимися границами и нагрузками. М.: Физматлит, 2001. 320 с.

2. Huang H.H., Sun C.T., Huang G.L. On the negative effective mass density in acoustic metamaterials // Int. J. of Engineering Science. 2009. V. 47. P. 610-617.

3. Ерофеев В.И., Лисенкова Е.Е. Общие соотношения для волн в одномерных упругих системах // Прикладная математика и механика. 2013. Т. 77. № 2.

С. 315-321.

4. Весницкий А.И. Избранные труды по механике. Н. Новгород: ИД «Наш дом», 2010. 248 с.

CALCULATION OF THE DISPERSION CHARACTERISTICS OF A STRING RESTING ON AN ELASTIC-INERTIAL FOUNDATION

V.I. Erofeev, D.A Kolesov, E.E. Lisenkova

The propagation of transverse waves in a string resting on an elastic-inertial foundation is considered. The influence of the foundation parameters on the wave dispersion characteristics is analyzed (in particular, on the wave number dependences of phase and group velocities). The wave patterns generated by a zero-frequency source uniformly moving along the string are studied.

Keywords: string, elastic-inertial base, transverse wave, dispersion, moving source.